ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΠ΅Π»Π΄Π΅ΡΠ°-ΠΠΈΠ΄Π° ΡΡΡΠΎΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΠΈΠ· n+1 ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³ΡΠ°Π½Π½ΠΈΠΊΠ°. ΠΠ° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ k+1-ΠΌ ΡΠ°Π³Π΅ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ xi (k), i=1, …, n+1, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° k-ΠΌ ΡΠ°Π³Π΅, Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° xh (k), Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (Ρ ΡΠ΄ΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°). ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ xh (k) Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½ΠΎΠ²Π°Ρ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠ°ΡΠ΅Π΄ΡΠ°: ΠΠ’ ΠΠΠ’ΠΠΠ« ΠΠΠ’ΠΠΠΠΠΠ¦ΠΠ Π€Π£ΠΠΠ¦ΠΠ ΠΠΠΠΠΠ₯ ΠΠΠ ΠΠΠΠΠΠ«Π₯ ΠΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ½Π±ΡΡΠ³ 2007
- ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
- ΠΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° № 1.
- 1. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π±Π΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ
- 1.1 Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° Π±Π΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ
- 1.2 Π§ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
- 2. ΠΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
- 3. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
- 4. ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΡΠΌΠ°
- ΠΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° № 2.
- 1. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ
- 1.1 Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ
- 1.2 Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°
- 1.3 Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ
- 2. ΠΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
- 3. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
- 4. ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΡΠΌΠ°
- ΠΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ
- ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΡΡΠΎΡΡΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ Π² ΡΠ΅ΡΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΊ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΠΌ ΠΏΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ½Π°ΠΌ «ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅» ΠΈ «ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ». ΠΠ°Π½Π½ΡΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠ½Ρ ΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ°ΠΌ 2-Π³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ° ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ 230 101 — ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Ρ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΡ, ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ 230 100 — ΠΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠ° (Π±Π°ΠΊΠ°Π»Π°Π²ΡΡ).
Π ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π±Π΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ. Π ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ, ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡ. ΠΠ»Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΈ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ·ΡΠΊΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠ°ΠΊΠ΅ΡΠΎΠ² MATLAB, MATCAD, EXCEL. ΠΡΠ±ΠΎΡ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌΡ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΡ. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΡΠΎΡΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ, Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠΎΡΠΌΠ»Π΅Π½Ρ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΡΡΠ΅ΡΠ° Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ ΡΠΎ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΈ ΠΊ ΠΎΡΡΠ΅ΡΠ°ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΊΠ°ΠΌ. Π‘Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΡΡ , Π² ΠΎΡΡΠ΅Ρ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π½Π΅ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅ΡΡΡ.
ΠΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° № 1.
1. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π±Π΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ
Π¦Π΅Π»Ρ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ — Π·Π°ΠΊΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π²ΡΠΊΠΎΠ² ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π° Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΡΡΡ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π½Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ, ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² Π²ΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Π² EXCEL ΠΈ MATLAB.
1.1 Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° Π±Π΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ
Π Π°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°
f (x) > extr, xRn. (1)
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° Π±Π΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡΡ :
ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ *Rn. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ *— Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ (1), ΡΠΎ
grad f (x*) =0. (2)
ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ *Rn. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
Π°) Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ * — ΡΠΎΡΠΊΠ° Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ (1), ΡΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΠ΅ΡΡΠ΅ Π (Ρ *) Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Ρ. Π΅. ΡRn Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (Π (Ρ *) Ρ, Ρ) ?0;
Π±) Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ * — ΡΠΎΡΠΊΠ° Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ (1), ΡΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π (Ρ *) Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Ρ. Π΅. ΡRn Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (Π (Ρ *) Ρ, Ρ) ?0.
ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ *Rn ΠΈ
grad f (x*) =0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
Π°) Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π (Ρ *) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Ρ. Π΅. ΡRn, Ρ?0, (Π (Ρ *) Ρ, Ρ) >0, ΡΠΎ Ρ * — ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) Π½Π° Rn;
Π±) Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π (Ρ *) ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Ρ. Π΅. ΡR, Ρ?0, (Π (Ρ *) Ρ, Ρ) <0, ΡΠΎ Ρ * — ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) Π½Π° Rn.
ΠΡΠ»ΠΈ grad f (x*) =0, ΡΠΎ Ρ * Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ. ΠΠ»Ρ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΠΉ (Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΠΉ) Π½Π° Rn ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π΅Π΅ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° (ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°). Π‘ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΡΠ΅ (Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΡΠ΅) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ (ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ).
ΠΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ²Π°ΠΆΠ΄Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π½Π° Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π₯ Ρ Π½Π΅ΠΏΡΡΡΠΎΠΉ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΠΉ (Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΠΉ) Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΠ΅ΡΡΠ΅ Π (Ρ *) Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ (Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ Ρ Π₯.
ΠΡΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π‘ΠΈΠ»ΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ° ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
Π‘Ρ Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° Π±Π΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (2).
Π ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ (ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ , ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΡ ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (2)) ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ; ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π (Ρ ) >0, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°; ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π (Ρ ) <0, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΏΡΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ Π½Π° Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ (Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ). Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΠ΅ΡΡΠ΅ Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ (Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° Π²ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Πn, ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° (ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°).
1.2 Π§ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π§ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ (1), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ x0,x1,x2,…,xn,…, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ
f (xk) <f (xk-1), k=0,1,… (3)
ΠΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
x k+1=x k+t kd k, k=0,1,…,
Π³Π΄Π΅ Ρ 0 — Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ°; dk — ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΊΠΈ xk Π² ΡΠΎΡΠΊΡ xk+1, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ (3) ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°; tk — Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π³Π°. ΠΠ°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈ Π°ΠΏΡΠΈΠΎΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ° ΠΎ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ m = L/l, Π³Π΄Π΅ L ΠΈ l — ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³Π΅ΡΡΠΈΠ°Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° x0 (Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ°Π·Π±ΡΠΎΡ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° f (x)), Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π³Π΅ΡΡΠΈΠ°Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ x0. ΠΡΠ»ΠΈ m >> 1, ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡ ΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ²ΡΠ°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ²ΡΠ°ΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΡΠ½ΡΡΠΎΡΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ.
Π Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π½Π°ΠΈΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x), ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ dk ΠΈ tk, ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π° ΡΡΠΈ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ:
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) (ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π΄Π΅ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³ΡΠ°Π½Π½ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°ΡΠΈΠΉ). ΠΡΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π½Π΅ΡΠ²Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ΅Π½ ΡΡΠ΄ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π² Ρ ΠΎΠ΄Π΅ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΠ½ΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ, Π½ΠΎ ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ (ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π½Π°ΠΈΡΠΊΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°, Π΄ΡΠΎΠ±Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π³Π°, ΠΠ°ΡΡΡΠ°-ΠΠ΅ΠΉΠ΄Π΅Π»Ρ, Π€Π»Π΅ΡΡΠ΅ΡΠ°-Π ΠΈΠ²ΡΠ°).
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΠΈΠ΅, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) (ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ).
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°ΡΠΈΠΉ (Π₯ΡΠΊΠ° — ΠΠΆΠΈΠ²ΡΠ°)
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π΄Π²Π° ΡΡΠ°ΠΏΠ° ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°ΡΠΈΠΉ:
1) ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈ 2) ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ°ΠΌ.
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ 0, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΌ Π±Π°Π·ΠΈΡΠΎΠΌ. ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° — ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΎ Ρ ΡΠ°Π³ΠΎΠΌ +t0 (-t0) ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ (2) ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ° Π±Π΅ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠ΄Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°Π³ΠΎΠ² ΠΈΠ· Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΡΠ°ΡΠΎΠ³ΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ°: Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° y1=x0+ (x1-x0). ΠΠ΄Π΅ΡΡ — ΡΡΠΊΠΎΡΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΄Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° Π±Π΅ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. Π ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π΄Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΊΠΈ x1.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π΄Π΅ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³ΡΠ°Π½Π½ΠΈΠΊΠ° (ΠΠ΅Π»Π΄Π΅ΡΠ° — ΠΠΈΠ΄Π°).
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΠ΅Π»Π΄Π΅ΡΠ°-ΠΠΈΠ΄Π° ΡΡΡΠΎΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² ΠΈΠ· n+1 ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³ΡΠ°Π½Π½ΠΈΠΊΠ°. ΠΠ° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ k+1-ΠΌ ΡΠ°Π³Π΅ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ xi (k), i=1, …,n+1, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° k-ΠΌ ΡΠ°Π³Π΅, Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° xh (k), Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (Ρ ΡΠ΄ΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°). ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ xh (k) Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°, Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Ρ ΡΠ΄ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΈ ΡΠ΅Π½ΡΡ ΡΡΠΆΠ΅ΡΡΠΈ ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΠΈΡ ΡΡ n Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³ΡΠ°Π½Π½ΠΈΠΊΠ°:
xn+2= - ΡΠ΅Π½ΡΡ ΡΡΠΆΠ΅ΡΡΠΈ;
xn+3= xn+2+ (xn+2 — xh)
Π½ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° («ΡΠ°ΡΡΡΠ½ΡΡΠΎΠ΅» ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΈΡ ΡΠ΄ΡΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ).
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π΄ΡΠΎΠ±Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π³Π°.
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π΅ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡΡ ΡΠ΅Π»Π°ΠΊΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, Ρ. Π΅. ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ {xk}, k=0,1,…, ΡΡΠΎ f (xk) <f (xk-1), k=0,1,… Π’ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ {xk} Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ:
xk+1=xk-tkgrad f (xk), k=0,1,… (4)
ΠΠ°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Ρ 0 ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ°Π³ t0 Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ. ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π³Π° t0 Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ f (xk+1) — f (xk) <0 (ΠΈΠ»ΠΈ <-Π΅). ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π³Π° ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅, Ρ. Π΅. tk=tk/2.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΡΠΊΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°
ΠΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π΅, ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ΅Π»Π°ΠΊΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ {xk}, k=0,1,… Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ (4). Π’ΠΎΡΠΊΠ° Ρ 0 Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ; Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π³Π° tk ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ (tk) =f (xk-tkgrad f (xk)). ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ (tk) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½Π° Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° =0 Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° >0 ΠΈΠ»ΠΈ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ².
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ (Π€Π»Π΅ΡΡΠ΅ΡΠ° — Π ΠΈΠ²ΡΠ°).
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ p ΠΈ q Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Q, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ pQq=0.
Π’ΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ΅Π»Π°ΠΊΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ {xk}, k=0,1,… Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ
xk+1=xk-tkdk, k=0,1,…;
dk = - grad f (xk) +Π²k-1 dk - 1; (5)
d0= - grad f (x0);
Π²k-1=Β¦grad f (xk) Β¦2?Β¦grad f (xk-1) Β¦2.
Π’ΠΎΡΠΊΠ° Ρ 0 Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ; Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π³Π° tk ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ (t) =f (xk-tdk). ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ (tk) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½Π° Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° =0 Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° >0 ΠΈΠ»ΠΈ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ². ΠΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Π²k-1 Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ dk ΠΈ dk-1.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°.
Π‘ΡΡΠΎΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ {xk}, k=0,1,…, ΡΠ°ΠΊΠΈΡ , ΡΡΠΎ , k=0,1,… Π’ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ {xk} Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ xk+1=xk+dk, k=0,1,… Π’ΠΎΡΠΊΠ° Ρ 0 Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΡΡΠ²Π° ΠΈ Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΠ΅ΡΡΠ΅ Π² Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°. ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΏΡΡΠΊΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ k ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ dk =-H-1 (xk) grad f (xk), Π³Π΄Π΅ Π — ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΠ΅ΡΡΠ΅.
2. ΠΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°. ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΠΊΠ΅ΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° Π² Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ . ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΠΈ ΠΎΠ²ΡΠ°ΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π² ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°. Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΎΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ·Π±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°.
ΠΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ. Π Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄Π°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π² ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° — ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΡΠ±ΡΠ°ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°. ΠΠ°Π΄Π°ΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π·Π°Π²Π΅ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ°. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ. Π‘ΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°, ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°, ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ°. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ± ΠΎΠ±ΡΡΠΌΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
3. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π° ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΠΎΠ½Π΅Π²ΡΠΌ Π‘.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ: min, x0= (-2,-2).
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ: Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ° ΠΈ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 1. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ (ΡΠΈΡ.1).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Π° MathCAD.
Π ΠΈΡ. 1. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ
2. Π Π΅ΡΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ.
Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π½ΡΠ»Ρ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
ΠΡΠ»ΠΈ x1x2 =0, ΡΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ x1 =0 ΠΈ x2 =0.
ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° — A0 (0; 0).
ΠΡΠ»ΠΈ
x1x2 ?0, ΡΠΎ
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Ρ 1 Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ
:
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ
.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ:
;
;
;
.
ΠΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ:
Π0 (0; 0), Π1 (1.068; 1.668), Π2 (-1.068; - 1.668), Π3 (-0.331; 0.848), Π4 (0.331;0.848).
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΠ΅ΡΡΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ Π0,…, Π4.
;
.
H (A0 (0; 0)) =0
(ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ).
ΠΠ½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A0 (0; 0) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ, ΠΏΡΠΈΠ΄Π°Π²Π°Ρ Ρ 1 ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ Ρ 2, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, A0 (0; 0) Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°, Π½ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
Π (Π1 (1,068; 1,668)) ? , ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π1 Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ.
Π (Π2 (-1,068; - 1,668))? , ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π2 Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ.
Π (Π3 (-0,331; 0,848))? , ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π3 Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ.
Π (Π4 (0,331; - 0,848)) ?, ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π4 Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ.
Π’ΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π1 (1,068; 1,668) — Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ, f (A1) ?1,801; Π2 (-1,068; - 1,668) — Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ, f (A2) ?? — 1,801.
3. ΠΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π½Π° ΡΠ·ΡΠΊΠ΅ Π‘Π, Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Ρ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ (Cvector ΠΈ Cmatrix) ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π΅ Π½Π°ΠΈΡΠΊΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π·ΠΎΠ»ΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ»Ρ ΠΎΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π―ΠΊΠΎΠ±ΠΈ, Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ — ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠΎΡΠ΄Π°Π½Π°-ΠΠ°ΡΡΡΠ°.
Π Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ :
Stationary dots:
x1x2f (x1,x2) Extreme
1.678 901.6675661.80 1131LOC MAX
1.67 890−1.667 566−1.80 1131LOC MIN
0.3 310 770.848071−0.14 4426LOC MIN
0.331 077−0.8 480 710.144426LOC MAX
GLOBAL MIN: x (-1.67 890, — 1.667 566)
f (x) = - 1.801 131
GLOBAL MAX: x (1.67 890, 1.667 566)
f (x) = 1.801 131
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠ°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° x0 (-2,-2), ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΡΡΡ/Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΠ΅ΡΡΠ΅:
x0 (-2.0, — 2.0) Hessian: Alternating sign
f (x0) = - 0.398 297
cond H (x0) = 4.751 665
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ°, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ²ΡΠ°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π² ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΈ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°.
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ Π·Π°ΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΡΠΊΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°, ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ Π΄Π²Π΅ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ.
Steepest descent method:
x2 (-1.200 031, — 1.706 888) Hessian: Convex
grad_f (x2) = (-0.963 083, 0.275 166)
f (x2) = - 1.741 440
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΡ, Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΡΡ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΊΠΈ (-2; - 2) ΡΡΠ°ΡΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° Ρ ΠΏΠΎΠΏΡΠ°Π²ΠΊΠΎΠΉ Π³Π΅ΡΡΠΈΠ°Π½Π°. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π΄Π²ΡΡ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ:
Newton method:
x2 (-2.735 431, — 2.306 328) Hessian: Alternating sign
grad_f (x2) = (-0.110 421, 0.31 948)
f (x2) = - 0.18 516
ΠΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ. ΠΠ°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π° Π½Π΅ΡΠ΄Π°ΡΠ½ΠΎ. Π£Π²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°. ΠΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΠΉ. ΠΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, (-1; - 2):
x0 (-1.0, — 2.0) Hessian: Convex,
f (x0) = - 1.471 518, cond H (x0) = 3.786 885
Newton method:
x2 (-1.47 041, — 1.722 604) Hessian: Convex
grad_f (x2) = (0.379 214, — 0.339 841)
f (x2) = - 1.787 758
ΠΠ°ΠΊ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΠΉ. ΠΠ° Π΄Π²Π΅ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΠ»ΠΈΡΡ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π2 (-1,068; - 1,668).
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ Π΅ΡΠ΅ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ Π2, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ (-1; - 1,5):
x0 (-1.0, — 1.500 000) Hessian: Convex
f (x0) = - 1.752 302
cond H (x0) = 3.857 905
Newton method:
x2 (-1.67 889, — 1.667 566) Hessian: Convex
grad_f (x2) = (0.0, 0.0)
f (x2) = - 1.801 131
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°, ΠΎΠ± ΡΡΠΎΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ.
Π’ΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° Π½Π° 4,729β’10-7 (ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ).
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄Ρ.
Π Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΡΠ·ΡΠΊΠ΅ C++.
Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ° ΡΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡ ΡΠ»ΡΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΡΠ±ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ x0 (-2,-2) Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΡΡ Π½Π΅ΡΠ΄Π°ΡΠ½ΡΠΌ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΠ΅ΡΡΠ΅ Π² Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΠΌΠ΅Π½Π° Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»Π° Π·Π° Π΄Π²Π΅ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠΉΡΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΡ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΡΡΡΡΡ Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠ΅ΠΉ.
Π Π°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ Cvector ΠΈ Cmatrix ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π² Π±ΡΠ΄ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠ°Ρ .
4. ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΡΠΌΠ°
ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΡΡΠΈ/Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΡ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°. ΠΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠ²ΡΠ°ΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π° EXCEL ΠΈΠ»ΠΈ MATLAB.
Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ. Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΎΠ± ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°.
ΠΡΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ Π½Π° ΡΠ·ΡΠΊΠ΅ Π‘Π Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΌΠΈΠ»ΠΈΠΈ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ° Π² ΡΠΏΠΈΡΠΊΠ΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π₯ΡΠΊΠ°-ΠΠΆΠΈΠ²ΡΠ°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΡΠΊΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π₯ΡΠΊΠ°-ΠΠΆΠΈΠ²ΡΠ°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠ΅Π»Π΄Π΅ΡΠ°-ΠΠΈΠ΄Π°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠ΅Π»Π΄Π΅ΡΠ°-ΠΠΈΠ΄Π°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΡΠΊΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π₯ΡΠΊΠ°-ΠΠΆΠΈΠ²ΡΠ°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π΄ΡΠΎΠ±Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π³Π°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΡΠΊΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠ΅Π»Π΄Π΅ΡΠ°-ΠΠΈΠ΄Π°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π΄ΡΠΎΠ±Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π³Π°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠ΅Π»Π΄Π΅ΡΠ°-ΠΠΈΠ΄Π°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΡΠΊΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π΄ΡΠΎΠ±Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π³Π°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠ΅Π»Π΄Π΅ΡΠ°-ΠΠΈΠ΄Π°.
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ:
ΠΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ²
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠ³ΡΡΠ°ΡΠΈΠΉ (Π₯ΡΠΊΠ°-ΠΠΆΠΈΠ²ΡΠ°).
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π΄Π΅ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³ΡΠ°Π½Π½ΠΈΠΊΠ° (ΠΠ΅Π»Π΄Π΅ΡΠ° ΠΠΈΠ΄Π°).
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΡΠΊΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π΄ΡΠΎΠ±Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π³Π°.
ΠΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° № 2.
1. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ
Π¦Π΅Π»Ρ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π·Π°ΠΊΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π²ΡΠΊΠΎΠ² Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΡΠ½Π°-Π’Π°ΠΊΠΊΠ΅ΡΠ°, Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΡΡΠ²ΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ.
1.1 Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ
ΠΠ±ΡΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ — ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:
f (x) > extr, (6)
xX= {xEn: gi (x) ?0, i=1,2,…,r; gi (x) =0, i=r+1, …, m, m-r<n},
Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ f (x) ΠΈ gi (x) ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅.
ΠΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ — Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ * — ΡΡΠΎ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°.
ΠΠ°ΡΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ — Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ * — ΡΡΠΎ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°.
ΠΡΠ»ΠΈ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ-Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ-ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ * Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ, ΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π² ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Π΄Π»Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
L (x,Π»0,Π») =Π»0f (x) +Π»igi (x). (7)
ΠΡΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠ΅Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π»0?0 ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΡΠΎΡ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ 1.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΡΠ½Π° — Π’Π°ΠΊΠΊΠ΅ΡΠ° (Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°). ΠΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° Ρ * — ΡΠΎΡΠΊΠ° Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ (6), ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f,gr+1,…,gm Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ , ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ g1,…,gr Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ x. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ:
ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΏΠΎ Ρ :
gradxL (x*, ,) =0;
ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΡΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ:
2+2>0,Ρ.Π΅. Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π½ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ;
ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ:
?0, ?0, i=1, …, r,
Ρ.Π΅. ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ — Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°ΠΌ, Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ;
ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π΅ΠΆΠ΅ΡΡΠΊΠΎΡΡΠΈ:
gi (x*) =0, i=1, 2, …, r.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ f, gr+1,…, gm ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ g1,…, gr ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΡΠ½Π° — Π’Π°ΠΊΠΊΠ΅ΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠΌΠΈ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΡΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° (Ρ *,), ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠ°Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΏΠΎ Ρ ΠΏΡΠΈ ?0, ΡΡΠΌΠΌΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ-Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ * ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ-ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ n. ΠΡΠ»ΠΈ >0 Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ Π°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ gj (x), ΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° Ρ * — ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ (6).
ΠΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΡΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° (Ρ *,), ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠ°Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΏΠΎ Ρ ΠΏΡΠΈ ?0. ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ d2L (Ρ *,) >0 Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ dx ΡΠ°ΠΊΠΈΡ , ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ * ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ-Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² dgj (x*) =0, >0 ΠΈ dgj (x*) ?0, =0, ΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° Ρ * ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΠ±ΡΠ°Ρ ΡΡ Π΅ΠΌΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Π²ΠΈΠ΄Π° (7).
ΠΡΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°, ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΡΠ½Π° — Π’Π°ΠΊΠΊΠ΅ΡΠ°. Π ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Π·Π°Π΄Π°ΡΡΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π₯. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ-ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ (ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ·ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π½Π° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ) ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ. Π¦Π΅Π»Π΅ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ Π»0=0 ΠΈ Π»0=1 (ΠΈΠ»ΠΈ Π»0 — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ). ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ ΡΠ΅Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ Π»0=0 ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ.
Π Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π½Π° Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ.
Π§ΡΠ²ΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΠΠ.
ΠΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π²Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΡ ΠΌΠ°Π»ΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΡΡΡΡ Ρ *=Ρ * (b) — ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ
f (x) > min, (8)
xX= {xEn: gi (x) ?bi, i=1,2,…, m; Ρ ?0}
ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ΅ b ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² Π² ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ — Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°Ρ , Π° v (b) ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΠΠ, Ρ. Π΅. v (b) =f (x*). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: ?v=f (b+?b) — f (b) ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° b Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠ°Π»ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ?b:
?f? (?b,Π»*), (9)
Π³Π΄Π΅ Π»* — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ * (b).
1.2 Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ΠΌ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° (6) ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
Π Π°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ-Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ
f (x) > min, (10)
xX= {xEn: gi (x) ?0, i=1,2,…, m; Ρ ?0}.
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π³ΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Ρ. Π΅. ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ Π»0=1.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΡΠΊΠ° (Ρ *, Π»*), Π³Π΄Π΅ Ρ * Π₯, Πm, Π»*?0, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° L (x, Π»), Π΅ΡΠ»ΠΈ
L (x*,Π»)? L (x*, Π»*)? L (x, Π»*). (11)
Π£ΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1 (ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°). Π’ΠΎΡΠΊΠ° (Ρ *, Π»*) — ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° L (x, Π») Π² ΡΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ:
L (Ρ *, Π»*) =min {L (x, Π»*) Π x Π₯}, (12)
L (Ρ *, Π»*) =max {L (x*, Π») Π Π» ?0}, (13)
gi (x*) =0, i=1, 2,…, m, (14)
Ρ *?0,Π»*?0.
Π£ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ (12) ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΏΠΎ Ρ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (Ρ *, Π»*) Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°
?0. (12?)
Π£ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ (13) ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΏΠΎ Π» ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (Ρ *, Π»*) Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°
?0. (13?)
Π£ΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2. Ρ * — ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ (3) Π² ΡΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π»* ?0, ΡΡΠΎ (Ρ *, Π»*) — ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° L (x, Π»).
1.3 Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, Ρ. Π΅.
f (x) = (Π‘x, x) + (d, x) min, (15), g (x) =Ax? b,
Π³Π΄Π΅ Π‘ — ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° n*n; d, Ρ — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ-ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ n*1; Π — ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ° m*n; b — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ m*1. ΠΠ»Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π‘ΠΠΠ£. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅
L = dkxk+ckjxkxj+ Π»i (aijxj-bi), (16)
Π³Π΄Π΅ ckj — ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π‘; dk — ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° d; bi — ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² b; aij — ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π; Π»i — ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°. ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ * ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π²ΠΈΠ΄
vj dj+2ckjxk+ Π»iaij, vj ?0, (j=1,…,n), (17)
yi aijxj-bi, — yi ?0, (i=1,…,m), (18)
xjvj=0, xj?0, (j=1,…,n), (19)
Π»i (-yi) =0, Π»i?0. (20)
Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (17), (18) ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ n+m Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ 2 (n+m) Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ x1,…,xn,v1,…,vn, Π»1,…, Π»m,y1,…,ym. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (19), (20), Π΄Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ (Ρ *,Π»*). Π‘ΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ n ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Ρ * Π΄Π°ΡΡ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ (15).
2. ΠΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ.
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΠΊΠ΅ΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ-ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΏΠ°ΡΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° Π² Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ . ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΠΉ (ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1), ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ (9), ΡΠ΅ΡΠΈΠ² Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°Π»ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ?b.
Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (17) — (18), Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ (19) — (20).
3. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
ΠΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΠΈ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°. ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (9).
ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΠ°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ — ΡΠ°ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡ, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ°Ρ Π² ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅
a= (1, 1,1).
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ, ΡΠΎ .
ΠΠ· (21) — (23), ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡ (28).
ΠΡΠ»ΠΈ, ΡΠΎ (ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡ Π² (21) — (23)).
ΠΠ· (21) — (23). ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π² (26):. ΠΡΡΡΠ΄Π°, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ .
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ .
ΠΡΠ»ΠΈ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ (ΠΈΠ· (1?) … (3?), (7?)).
ΠΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ «ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅» ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΈ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ.
ΠΡΠ»ΠΈ, ,, ΡΠΎ
.
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠΈ
ΠΈ. , .
ΠΠ»Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π΄Π»Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ .
ΠΡΠ»ΠΈ, , ΡΠΎ
ΠΡΠ»ΠΈ, ΡΠΎ
ΠΈ .
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ,, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΏΡΠΈΡΠ»ΠΈ ΠΊ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, .
Π‘ΡΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ
.
Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ,
ΠΈ .
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ,
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π°. ΠΡΠ»ΠΈ, ΡΠΎ .
Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π½Π°:. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ, ΡΠΎ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ,. ΠΡΠ»ΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ:
.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΊΡ
(Π² ΡΠΈΠ»Ρ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Ρ 1, Ρ 2, Ρ 3 ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ),
.
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ.
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ:
, ;
, , ;
, , ;
, , .
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°.
, ;
.
ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΊ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅:
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² ΠΈ Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
.
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ:
.
ΠΠ»Ρ «Π²Π΅ΡΡ Π½Π΅Π³ΠΎ» Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°
.
ΠΠ»Ρ «Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ» Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ. Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΈΡ Π‘ΠΈΠ»ΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ°, Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°.
Π‘ΡΠ°Π²Π½ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ :
;; .
Π’ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅
— 0, 192 450. .
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, .
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π΅ΠΌΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°
.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, Π²Π²Π΅Π΄Ρ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ :
;
.
ΠΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:
.
.
.
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ,
.
Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ,
.
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ
ΠΈ .
Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ 15 ΠΈ 1,2,3.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
.
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°:
, ,
,.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²:
ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΠ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ MS Excel. ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ (ΡΠΈΡ.2), ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΡΠΈΡ.3).
Π ΠΈΡ. 2. ΠΠ²ΠΎΠ΄ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π ΠΈΡ. 3. ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΠ°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»Ρ Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³Π° «ΠΠΎΠΈΡΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ» (ΡΠΈΡ.4).
Π ΠΈΡ. 4. ΠΠΊΡΠ°Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° «ΠΠΎΠΈΡΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ»
Π ΠΎΠΊΠ½Π΅ «ΠΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ» ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠΌ ΡΠ»Π°ΠΆΠΎΠΊ «ΠΠ΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ» .
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°
(Ρ *, Π»*) = (15; 0; 0; 30) (ΡΠΈΡ.5).
Π ΠΈΡ. 5. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΏΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ: Ρ * (15; 0; 0), f (x*) = 225.
4. ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΡΠΌΠ°
Π Π΅ΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°.
Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΠΠ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π‘ΠΠΠ£ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ EXCEL.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
ΠΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ (Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ²):
.
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ:
ΠΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΏΠ°ΡΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π Π΅Π³ΡΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΡΠ½Π°-Π’Π°ΠΊΠ΅ΡΠ°.
ΠΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
Π‘Π΅Π΄Π»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
ΠΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ
1. Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΡΠΈΡΡΠΈΡ: ΠΠ±ΡΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΎΡΠΎΡΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΊΡΡΡΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² (ΡΠ°Π±ΠΎΡ): Π‘Π’Π Π£ΠΠ’Π£ — Π£ΠΠ 1 — 96. ΠΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ½Π±ΡΡΠ³, 1996.
2. ΠΠΊΡΠ»ΠΈΡ Π. Π. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ / Π. Π. ΠΠΊΡΠ»ΠΈΡ. Π.: ΠΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΠ»Π°, 1993.335 Ρ.
3. ΠΡΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ² Π. Π. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ / Π. Π. ΠΡΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ², Π‘. Π. ΠΠ°Π»ΠΊΠΈΠ½,
4. Π. Π‘. ΠΠ°ΡΡΠ±ΠΈΠ½. Π.: ΠΠΠ’Π£, 2004.432 Ρ.
5. ΠΠ°ΡΠΈΠ»ΡΠ΅Π² Π. Π. Π§ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ / Π. Π. ΠΠ°ΡΠΈΠ»ΡΠ΅Π². Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1980.518 Ρ.
6. ΠΠ°Π±Π°ΡΠΎΠ² Π . ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ / Π . ΠΠ°Π±Π°ΡΠΎΠ², Π€. Π. ΠΠΈΡΠΈΠ»Π»ΠΎΠ²Π°. ΠΠΈΠ½ΡΠΊ: ΠΠΠ£, 1981.350 Ρ.
7. ΠΡΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² Π. Matlab: ΡΡΠ΅Π±Π½ΡΠΉ ΠΊΡΡΡ / Π. ΠΡΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ². Π‘ΠΠ±.: ΠΠΈΡΠ΅Ρ, 2001.560 Ρ.
8. ΠΡΠ΅ΠΌΠΈΠ½ Π. Π. / Π. Π. ΠΡΠ΅ΠΌΠΈΠ½, Π. Π. ΠΡΡΠ°ΡΡΠ΅Π². Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, 1976.192 Ρ.
9. ΠΠ°Π½ΡΠ΅Π»Π΅Π΅Π² Π. Π. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ /
10. Π. Π. ΠΠ°Π½ΡΠ΅Π»Π΅Π΅Π², Π’. Π. ΠΠ΅ΡΠΎΠ²Π°. Π.: ΠΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΠ»Π°, 2005.544 Ρ.
11. ΠΠΠ’ΠΠΠ« ΠΠΠ’ΠΠΠΠΠΠ¦ΠΠ Π€Π£ΠΠΠ¦ΠΠ ΠΠΠΠΠΠ₯ ΠΠΠ ΠΠΠΠΠΠ«Π₯: ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΡ ΠΊ Π»Π°Π±ΠΎΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΠΌ / ΡΠΎΡΡ. Π‘. Π. Π§Π΅ΡΠ½ΠΈΠ½Π°. ΠΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ½Π±ΡΡΠ³: Π£ΠΠ’Π£Π£ΠΠ, 2007.36 Ρ.
ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄Π°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ EXCEL ΠΈ MATLAB
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ²
ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y=f (x1,x2) ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ:
1. Π EXCEL — ΠΠ°ΡΡΠ΅Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠΏ ΠΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ.
Π°. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π°Π²ΡΠΎΠ·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π° Π»ΠΈΡΡΠ΅ EXCEL Π² ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ, Π ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ Ρ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ°Π³ΠΎΠΌ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ x1 ΠΈ x2, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π±. Π ΡΡΠ΅ΠΉΠΊΡ Π2 Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x1,x2) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ $A2, B$ 1 (Π·Π½Π°ΠΊ $ - ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π΄ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π·Π°ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ — ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΎΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x1 ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° — ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΎΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x2) ΠΈ Π½Π°ΠΆΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΡΠΈ ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΡΠΈ Ctrl, Shift, Enter, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²ΠΎΠ². Π ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΡΡΡΡ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ.
Π². ΠΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠ΅ΠΉΠΊΡ Π2 ΠΈ, ΠΏΡΠΎΡΡΠ½ΡΠ² ΠΌΠ°ΡΠΊΠ΅Ρ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²Π½ΠΈΠ·, ΠΏΡΠΎΠ±Π΅Π³Π°Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΉΠΊΠΈ, Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅ Π, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ, ΠΏΡΠΎΠ±Π΅Π³Π°Ρ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΉΠΊΠΈ, Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ 1, Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ² Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠ·Π»ΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°.
Π³. ΠΠ° Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅ «Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅» ΠΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠΏ ΠΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ. ΠΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ½Π°Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π΄Π°Π΅Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΠ½Π°Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ ΡΠ²Π΅ΡΡ Ρ Π½Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ½ΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠΌ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
2. Π MATLAB — ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ plot3, mesh, surf, surfl.
Π°. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ meshgrid ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠ·Π»ΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°: u=a: ?1: b; v=c: ?2: d; [x, y] =meshgrid (u, v).
Π±. ΠΠ°Π΄Π°ΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ: f= f (Ρ , Ρ).
Π². ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: plot3 (x, y, f) ΠΈΠ»ΠΈ mesh (x, y, f), surf (x, y, f), surfl (x, y, f).
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ MATLAB:
Π» = eig (a) — ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ eig (a) Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ a. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ 4×4: a = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1] ;
[v,d] = eig (a) — ΠΏΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ v ΠΈ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ d.
ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΠ΅ΡΡΠ΅, ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ:
Π EXCEL — ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠΠΠ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Ρ ΡΠ°Π½ΡΡΠ΅ΠΉΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π΅.
Π MATLAB — ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y=inv (a) Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ a.