Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Функция спектрального сдвига в пределе большой константы связи

Диссертация: Функция спектрального сдвига в пределе большой константы связи
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

ФСС Настоящая работа посвящена функции спектрального сдвига (ФСС) — важному объекту спектральной теории, введенному физиком-теоретиком И. М. Лифшицем в 1952 г. и впоследствии изученному М. Г. Крейном. ФСС £(А) для пары операторов Но, Н (сх) является естественным аналогом «считающей функции» М+ (А, а) на непрерывном спектре. Основной результат работы (см. параграф 4) — некоторое новое формульное… Читать ещё >

Содержание

  • Введение
  • 1. Постановка задачи
  • 2. Обозначения. Предварительные сведения
  • 3. Функция спектрального сдвига
  • 4. Основной результат работы
  • 5. Оператор Шредингера
  • 6. Оценки для ФСС
  • 7. ФСС в пределе большой константы связи
  • 2. Представление для ФСС
  • 8. Доказательство основной теоремы
  • 9. Величины Л/±- как функции от А, К, а
  • 10. Величины Л/±- как функции от Но) Сг, А
  • 11. Представление (4.6): относительно ядерные возмущения
  • 3. Вспомогательные факты об операторе Шредингера
  • 12. Определение. Свойство доминации
  • 13. Спектральные оценки и асимптотики
  • 4. Интегральные оценки для ФСС
  • 14. Абстрактные результаты

Функция спектрального сдвига в пределе большой константы связи (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

1 Постановка задачи.

1.1 Модель Рассмотрим оператор Шредингера, Но = —Л + и (х) в Х^О^)) (1 > 1, где II — некоторый периодический потенциал. Оператор, Но есть гамильтониан электрона, находящегося в поле решетки некоторого ¿—мерного кристалла (без учета взаимодействия данного электрона с остальными свободными электронами кристалла — «одноэлектронное приближение»). Как хорошо известно, оператор, Но имеет зонный спектр.

Далее, пусть в кристалл введена некоторая примесь, локализованная в конечной области пространства. Предположим, что количество атомов примеси можно каким-то образом менять. Модельным гамильтонианом для такой задачи может служить оператор Н (а) = Щ — аУ, где V = V (х) — потенциал, создаваемый одним атомом примеси, а, а > 0 — параметр (константа связи), который можно интерпретировать как количество атомов примеси. Непрерывный спектр оператора Н (а) совпадает со спектром Но. В отличие от Но, оператор Н (а) может иметь дискретный спектр в лакунах непрерывного. При изменении константы связи, а дискретный спектр оператора Н (а) изменяется.

1.2 Поток собственных значений Предположим для простоты, что потенциал V неотрицателен: V > 0. Тогда все собственные значения Хп (а) оператора Н (а) являются невозрастающими функциями параметра а. Пусть (А, А+) — лакуна в спектре оператора Но. При непрерывном росте, а собственные значения Ап (а), находящиеся в лакуне (А, А+), двигаются справа налево (т.е. в сторону отрицательных энергий) и в конце концов «исчезают» на левом крае, А лакуны. В то же время, на правом крае А+ при росте, а «рождаются» собственные значения. Таким образом, мы приходим к следующей картине: при росте, а имеется поток собственных значений справа налевоэтот поток «течет» в лакунах, «просачиваясь» через непрерывный спектр.

Этот поток подчиняется некоторому асимптотическому закону сохранения. Именно, для точки Л из лакуны спектра Н0 обозначим через N+(X, a) количество собственных значений (с учетом кратностей) оператора H (t), проходящих через Л при монотонном росте параметра t от 0 до а. Оказывается, что при достаточно быстром убывании V (x) на бесконечности главный член асимптотики величины N+(X, a) при, а —V оо не зависит от Л: где — объем единичного ¿—мерного шара.

1.3 ФСС Настоящая работа посвящена функции спектрального сдвига (ФСС) — важному объекту спектральной теории, введенному физиком-теоретиком И. М. Лифшицем в 1952 г. и впоследствии изученному М. Г. Крейном. ФСС £(А) для пары операторов Но, Н (сх) является естественным аналогом «считающей функции» М+ (А, а) на непрерывном спектре. Основной результат работы (см. параграф 4) — некоторое новое формульное представление для ФСС. Из этого представления, в частности, вытекают некоторые интегральные оценки для ФСС, а также асимптотическое соотношение вида (1.1) для ФСС на непрерывном спектре.

19 Заключение.

19.1 Библиографические замечания Основной результат работы (теорема 4.1) и его обобщения (теоремы 11.3 и 11.5) были опубликованы в [44]. При этом в [44] был приведен несколько иной, формально более сильный вариант теоремы 11.5: вместо (11.19) требовалось, чтобы.

Я*(А, Н±-) — Яг (А, Но)? (c)1, ?>0, СЯт (А, Я0) <Е б2, т> 0.

В [44] были также доказаны теоремы 9.6, 9.7, 9.10. Результаты параграфов 10 и 14, 15 опубликованы в [45]. Теоремы 17.1, 17.2, 17.6, 17.7, 18.1 опубликованы в [46]. Теоремы 9.3 и 9.11 не публиковались.

19.2 Автор глубоко благодарен своему научному руководителю М. Ш. Бирману за постановку задачи, многочисленные обсуждения и помощь в работе. Автор благодарит В. С. Буслаева, обратившего его внимание на вопрос об интегральных оценках для ФСС и тем самым стимулировавшего написание работы [45]. Автор благодарит А. В. Соболева и Д. Робера за полезное обсуждение формулы (4.6), которое привело к ряду упрощений в конструкции параграфа 9. Автор благодарен А. А. Лаптеву и Г. В. Розенблюму за консультации, связанные с приложениями результатов работы к теории оператора Шредингера.

Показать весь текст

Список литературы

  1. J. Avron, 1. Herbst, B. Simon, Schrodinger operators with magnetic fields. I. General' interactions, Duke Math. J. 45 (1978), 847−883.
  2. M. Ш. Бирман, Об условиях существования волновых операторов. Изв. АН СССР. Сер. мат. 27, вып. 4 (1963), 883−906.
  3. M. Ш. Бирман, Дискретный спектр периодического оператора Шредингера, возмущенного убывающим потенциалом. Алгебра и Анализ 8, вып. 1 (1996), 3−20.
  4. М. Ш. Бирман, М. Г. Крейн, К теории волновых операторе и операторов рассеяния, ДАН СССР, 144, вып. 3 (1962), 475−478.
  5. М. Sh. Birman, G. D. Raikov, Discrete spectrum in the gaps for perturbations of the magnetic Schrodinger operator, Adv. in Sov. Math. 7 (1991), 75−84.
  6. M. Sh. Birman, M. Z. Solomyak, Spectral theory of selfadjoint operators in Hilbert space, Dordrecht, D. Reidel, P.C., 1987.
  7. M. HI. Бирман, M. 3. Соломяк, Компактные операторы со степенной асимптотикой сингулярных чисел. Исследования по теории линейных операторов и теории функций, 12. Зап. науч. семинаров ЛОМИ 126 (1983), 21−30.
  8. M. Sh. Birman, M. Z. Solomyak, Schrodinger operator. Estimates for the number of bound states as function-theoretical problem. Amer. Math. Soc. Transi. (2) 150 (1992), 1−54.
  9. M. Ш. Бирман, M. 3. Соломяк, Количественный анализ в теоремах вложения Соболева и приложения к спектральной теории. Труды X летней математической школы (Кацивели Нальчик, 1972), 5−189. Ин-т математики АН Украин. ССР, Киев, 1974.
  10. M. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк, Замечания о функции спектрального сдвига. Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций, 6. Зап. науч. семинаров ЛОМИ 27 (1972), 33−46.
  11. M. Ш. Бирман, С. Б. Энтина, Стационарный подход в абстрактной теории рассеяния, Изв. АН СССР, сер. мат., 31, вып. 2 (1967), 401−430.
  12. M. Sh. Birman- А. В. Pushnitski, Spectral shift function, amazing and multifaceted. Integral Equations Operator Theory, 30, no. 2, 191−199.
  13. M. Ш. Бирман, Д. P. Яфаев, Асимптотика спектра матрицы рассеяния. Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций, 13. Зап. науч. семинаров ЛОМИ 110 (1981), 3−29.
  14. , M. Ш.- Яфаев, Д. Р. Функция спектрального сдвига. Работы М. Г. Крейна и их дальнейшее развитие. Алгебра и анализ 4, вып. 5 (1992), 1−44.
  15. , М. Ш.- Яфаев, Д. Р. Спектральные свойства матрицы рассеяния. Алгебра и анализ 4, вып. 6 (1992), 1−27.
  16. М. Ш. Бирман, Д. Р. Яфаев, Матрица рассеяния при возмущении периодического оператора Шредингера убывающим потенциалом. Алгебра и Анализ 6, вып. 3 (1994), 17−39.
  17. В. С. Буслаев, Л. Д. Фаддеев, О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма-Лиувилля, ДАН СССР 132, вып. 1 (1960), 13−16.
  18. В. С. Буслаев, Формулы следа для оператора Шредингера в трехмерном пространстве, ДАН СССР 143, вып. 5 (1962), 1067−1070.
  19. В. С. Буслаев, Формулы следов и некоторые асимптотические оценки ядра резольвенты для оператора Шредингера в трехмерном пространстве, Проблемы матем. физики, вып.1 (1966), 82−101, ЛГУ.
  20. Е. В. Davies, Heat kernels and spectral theory, Cambridge Univ. Press, 1989.
  21. M. Demuth, Е. М. Ouhabaz, Scattering theory for Schrddinger operators with magnetic fields, Math. Nachr. 185 (1997), 49−58.
  22. F. Gesztesy, D. Gurarie, H. Holden, M. Klaus, L. Sadun, B. Simon, P. Vogl, Trapping and cascading of eigenvalues in the large coupling limit. Commun. Math. Phys. 118 (1988), 597−634.
  23. R. Hempel, A left-indefinite generalized eigenvalue problem for Schrodinger operators, Habilitationsschrift, Univ. Munchen, 1987.
  24. R. Hempel, On the asymptotic distribution of the eigenvalue branches of a Schrodinger operator H — XW in a spectral gap of H, J. Reine Angew. Math. 399 (1989), 38−59.
  25. H. Hess, R. Schrader, D. A. Uhlenbrock, Domination of semigroups and generalization of Kato’s inequality, Duke Math. J. 44 (1977), 893−904.
  26. T. Kato, Wave operators and unitary equivalence, Pacif. J. Math. 15 (1965), 171 180.
  27. T. Kato, Monotonicity theorem in scattering theory, Hadronic J. 1 (1978), 134−154.
  28. T. Kato, Schrodinger operators with singular potentials, Israel J. Math. 13 (1973), 135−148.
  29. T. Kato, Remarks on Schrodinger operators with vector potentials, Int. Eq. Oper. Theory 1 (1979), 103−113.
  30. R. Konno, S. T. Kuroda, On the finiteness of perturbed eigenvalues, J. Fac. Sci. Univ., Tokyo, Sect. I, 13 (1966), 55−63.
  31. JI. С. Коплиенко, К теории функции спектрального сдвига, Проблемы мат. физики, 5, (1971), 62−72.
  32. М. Г. Крейн, О формуле следов в теории возмущений, Мат. сб., 33, вып. 3 (1953), 597−626.
  33. М. Г. Крейн, Лекции Первой летней математической школы (Канев, 1963), часть I, «Наукова думка», Киев, 1964, 103−187.
  34. Е. Lieb, The number of bound states of one-body Schrodinger operators and the Weyl problem, Proc. Am. Math. Soc. Symposia Pure Math. 36 (1980), 241−252.
  35. И. M. Лифшиц, Об одной задаче теории возмущений, Успехи мат. наук, 7, вып. 1 (1952), 171−180.
  36. И. М. Лифшиц, О задаче рассеяния частиц центрально-симметричным полем в квантовой механике, Ученые зап. Харьковского Гос. Ун-та 27 (1948), 105−107.
  37. M. Melgaard, G. Rozenblum, Spectral estimates for magnetic operators, Math. Scand. 79 (1996), 237−254.
  38. С. H. Набоко, О граничных значениях аналитических оператор-функций с положительной мнимой частью, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 157 (1987), 55−69.
  39. С. Н. Набоко, Нетангенциальные граничные значения операторных R-функций в верхней полуплоскости, Алгебра и Анализ, 1 (1989), вып. 5, 197−222.
  40. Е.-М. Ouhabaz, Invariance of closed convex sets and domination criteria for semigroups, Potential Anal. 5 (1996), 611−625.
  41. В. В. Пеллер, Операторы Ганкеля в теории возмущений унитарных и самосопряженных операторов, Функцион. анализ и его прил. 19, вып. 2 (1985), 37−51.
  42. А. Б. Пушницкий, Представление для функции спектрального сдвига в случае знакоопределенных возмущений, Алгебра и анализ 9, вып. 6 (1997), 197−213.
  43. А. В. Pushnitski, Integral estimates for the spectral shift function, препринт KTH, TRITA-MAT-1998−35.
  44. A. B. Pushnitski, Spectral shift function of the Schrodinger operator in the large coupling constant limit, препринт KTH, TRITA-MAT-1998−34.
  45. M. Рид, Б. Симон, Методы современной математической физики. Теория рассеяния, М., Мир, 1982.
  46. D. Robert, Semi-classical asymptotics of the spectral shift function, в сборнике «Differential Operators and Spectral Theory. Collection of papers, dedicated to the 70-th birthday of M. Sh. Birman» (в печати).
  47. Г. В. Розенблюм, Распределение дискретного спектра сингулярных дифференциальных операторов, Изв. ВУЗов. Математика, 1 (1976), 75−86.
  48. B. Simon, Trace Ideals and Their Applications, Cambridge University Press, Cambridge University Press, Cambridge 1979.
  49. B. Simon, Functional integration and quantum physics, Academic Press, NY, 1979.
  50. B. Simon, Schrodinger semigroups, Bull. Amer. Math. Soc. 7 (1982), 447−526.
  51. B. Simon, Koto’s inequality and the comparison of semigroups, J. Funct. Anal. 32 (1979), 97−101.
  52. B. Simon, Maximal and minimal Schrodinger forms, J. Oper. Theory 1 (1979), 37−47.
  53. A. V. Sobolev, Efficient bounds for the spectral shift function, Ann. Inst. H. Poincare, Physique theorique, 58, no. l (1993), 55−83.
  54. A. V. Sobolev, D. R. Yafaev, On the quasi-classical limit of the total scattering cross-section in nonrelativistic quantum mechanics, Ann. Inst. H. Poincare, 44, no.2 (1986), 195−210.
  55. A. V. Sobolev, D. R. Yafaev, Спектральные свойстав абстрактной матрицы рассеяния, Tr. MIAN, 188, (1990), 125−149.
  56. М. Z. Solomyak, Piecewise-polynomial approximation of functions from Hl ((0, l) d), 21 = d, and applications to the spectral theory of the Schrodinger operator, Israel J. Math. 86 (1994), 253−276.
  57. M. Z. Solomyak, Spectral problems related to the critical exponent in the Sobolev embedding theorem, Proc. London Math. Soc. (3) 71 (1995), 53−75.
  58. Д. P. Яфаев, Математическая теория рассеяния. Общая теория, СПбГУ, 1994.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?