Краевые задачи типа Римана-Гильберта-Пуанкаре для общих эллиптических систем первого порядка

Работа посвящена краевым задачам типа РиманаГильбертаПуанкаре (Р-Г-П) для общих эллиптических систем первого порядка как в областях с гладкой границей, так и в областях с кусочно-гладкой границей. Особый интерес к ним многих математиков объясняется тем, что они имеют весьма общирную область применения в различных вопросах анализа, геометрии и механики.

Задачей типа Римана-Гильберта-Пуанкаре (Р-Г-П) будем называть задачу для системы с краевыми условиями, содержащими производные от искомых функций:

Исторически первая постановка задачи для аналитических функций принадлежит Риману[21], она выглядит так: требуется определить аналитическую функцию в области по известному соотношению между действительной и мнимой частями на границе области. Полное решение этой задачи в односвязной области в случае когда действительная и мнимая части и и V удовлетворяют на границе условию.

Я, е ((а — 1(3)(и + IV)) = аи— (Зу — у, где а2 + (З2 = 1, дал Гильберт [4].

0.1).

0.2).

В монографии И. Н. Векуа [1] отмеченная проблема решена для обобщенных аналитических функций и для некоторого класса эллиптических систем двух уравнений. В дальнейшем усилия многих математиков были направлены на обобщение задачи на общие эллиптические системы 2п уравнений первого порядка. Отметим здесь работы Б. Боярского [22], В. С. Виноградова [23−25], А. И. Вольперта [26]. В работе [22] изучается краевая задача для Qаналитических функций (в многосвязных областях), которые являются решением одной эллиптической системы специального вида. А в [23−26] рассматриваются краевые задачи в односвязных областях для общих эллиптических систем, установлена нетеровость и дается формула для индекса. Изучение здесь проводится привлечением аппарата сингулярных интегральных операторов, который в случае многосвязных областей недостаточно развит. Краевые задачи в односвяз-ной области для однородной эллиптической системы с действительными коэффициентами, порядки производных в краевых условиях которых меньше порядка системы, изучены А. И. Вольпертом [27]. Много интересных результатов для систем с постоянными коэффициентами получены А. В. Бицадзе, А. П. Солдатовым и др. (см. [7], [2831] и имеющуюся там литературу).

Краевую задачу типа Гильберта для аналитических функций с краевым условием, содержащим производные, впервые рассмотрел Ф. Д. Гахов в [2]. К этой задаче приводятся многие задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны, а также задачи безмоментной теории оболочек. Такая задача рассматривается в третьей главе работы. В первой главе изучены краевые задачи типа Р-Г-П в областях с гладкой границей. Вторая и третья главы посвящены краевым задачам типа Р-Г-П в областях с кусочно-гладкой границей. В последние два десятилетия построена общая теория эллиптических краевых задач в областях, границы которых содержат особенности — углы, конические точки, ребра и т. п. Нарушение условия гладкости границы приводит к появлению у решения особенностей в окрестностях нерегулярных точек границы. К изучению краевых задач для уравнений в частных производных в областях с нерегулярными точками на границе приводят многие важные прикладные задачи. Эта теория имеет широкие и важные приложения в механике сплошных сред, в различных вопросах асимптотической теории дифференциальных уравнений с частными производными, в теории приближенных методов. Этим вопросам посвящена общирная литература.

Как всегда в современной теории краевых задач, для правильной постановки задачи в области с негладкой границей необходимо подобрать подходящие функциональные пространства, в которых рассматриваются решения задачи, правые части уравнений и граничных условий. Во многих таких задачах удобно использовать функциональные пространства с весовой нормой, где веснекоторая степень расстояния до множества нерегулярных точек границы.

Такие пространства функций в этих задачах правильно описывают особенности решения и его производных в окрестности нерегулярных точек границы. Среди многочисленных подходов к исследованию краевых задач в областях с негладкой границей отметим подход основанный на сведении краевой задачи к решению интегральных уравнений.

Радон [12] является основоположником изучения эллиптических задач в области с угловыми точками. Он применил метод сведения краевой задачи (Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа) к интегральным уравнениям на границе области, в случае плоской области с угловыми точками на ее границе. В дальнейшем метод Радона нашел широкое применение в краевых задачах теории функций, плоской теории упругости, общей теории эллиптических задач. Широкий класс краевых задач в областях с кусочно-гладкой границей для аналитических функций тесно связан с сингулярными интегральными уравнениями и в комбинацинации с комформными отображениями допускает прямое эффективное исследование (см. [1], [2], [10]). С помощью представления общего решения через аналитические функции этот метод нашел многочисленные приложения. Существенное затруднение, которое вносит здесь наличие угловых точек границы, состоит в том, что в указанном представлении помимо самой аналитической функции фигурируют и ее производные. Следует отметить работу Я. Б. Лопатинского [8], посвященную краевым задачам в двумерной области с угловой точкой. Применяя метод сведения краевой задачи к интегральному уравнению на границе, он получил условия нормальной разрешимости такой краевой задачи в пространствах Ск (0)~ функций, у которых все производные порядка к включительно непрерывны в ф. Я. Б. Лопатинский сводит общую граничную задачу для эллиптической системы (с постоянными коэффициентами) в плоской области с границей содержащей конечное число угловых точек к системе интегральных уравнений и изучая эту систему с помощью Ф-операторов, находит явную формулу для ее индекса [8]. Наличие угловых точек делает эту систему сингулярной. Большое число работ, посвяшенных изучению общих краевых задач в областях с особенностями на границе типа угловой или конической точки, опубликовали В. Г. Мазья и Б. А. П л аменевский.

В работах А. П. Солдатова [28−31] даются законченные результаты по краевым задачам для общих эллиптических систем с постоянными коэффициентами.

В работе [15] М. М. Сиражудинова рассматриваются краевые задачи для общих эллиптических систем (с переменными коэффициентами) в ограниченной области плоскости с кусочно-гладкой границей. Даются необходимые и достаточные условия нетеровости и формулы для индекса. Здесь обобщается подход [13] на случай кусочногладкой области.

Краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена краевым задачам типа Римана-Гильберта-Пуанкаре (Р-Г-П) для общих эллиптических систем первого порядка в областях с гладкой границей. В § 1 приводятся вспомогательные сведения, которыми мы пользуемся в последующих параграфах. В § 2 рассматривается краевая задача типа Р-Г-П (0.1),(0.2) для системы с действительными коэффициентами. Здесь доказана следующая.

Теорема 0.1. Для нетеровости задачи (0.1)-(0.2) необходимо и достаточно, чтобы.

7 = с1е1-(а/+1Т1Л' - щТгК1'1 + • • • + (-1)^ТО ф 0 всюду над (Э.

При выполнении этого условия индекс задачи дается формулой я = 2"0-й (2г + 1)(т-1), где к, о = 1пс17- Т, А, — матрицы определяемые специальным образом по коэффициентам системы и краевых условий. (Подробнее см. (1.6) главы 1) — кчисло уравнений системыт- число внутренних компонент границы. (Задача изучается в классических пространствах Соболева или Гельдера.).

В § 3 рассматривается следующая Я — линейная краевая задача типа Р-Г-П ди ди.

0.3) Аи = Е— + В— = у) <е Х (п И-^ —.

1 + 1, гл l + l-j / о 3−1.

0.4) 11е (Вч) ее Яе и≠фе и е Х (п + 1,0).

Пространства О) и У (п.- д0)~ обычные пространства Соболева или Гельдера.) Здесь в отличие от задачи (0.1),(0.2) элементы матриц В и ау — комплекснозначные функции. Доказана следующая.

Теорема 0.2. Для нетеровости задачи (0.3), (0.4) необходимо и достаточно выполнения условия.

3 = с1е1-(т1 Т2) ф 0 всюду надС где.

П — а1+1Ш — а{ГхА'Г1 + • • • + (-1)1ахТъ т2 — а1+1Т2А21 — а{Т2А^" 1 + • • • + (-1)га1Г2.

При выполнении этого условия индекс задачи дается равенством к, = 21пс1 — /с (2/ + 1) (ш — 1).

Здесь матрицы Т, К и Л2 имеют аналогичный смысл, что и в предыдущей теореме. (Подробнее см. (1.6) главы 1).

В § 4 рассматривается краевая задача типа Р-Г-П (0.3), (0.4) (без знака «Яе» в граничном условии) для правильно эллиптической системы, т. е для системы, корни характеристического полинома которой расположены поровну (с учетом кратности) в верхней и нижней полуплоскостях. Доказана следующая.

Теорема 0.3. Для нетеровости задачи (0.3)-(0.4) необходимо и достаточно выполнения условия где «4 = ЪкЦс^тх) — = 1пс1(с^Т2) (по поводу матриц Т, ЛхЛ2 см. (1.6) главы 1).

Вторая глава посвящена краевым задачам типа Р-Г-П для общих эллиптических систем первого порядка в областях с кусочно-гладкой границей. Здесь мы обобщаем результаты первой главы на кусочно-гладкий случай.

В § 1 дается описание весовых пространств Соболева и Гельдера, над которыми рассматриваются задачи. Здесь мы также напоминаем понятия функций от матрицы и концевого символа А. П. Солдатова Краевые задачи Iпорядка рассматриваются во втором параграфе. В § 3 рассматривается следующая краевая задача типа Р-Г-П.

71 = щ+гТ^ - ахТхА*" 1 +. + (-1)^Тъ т2 = а1+1Т2А12 — а{Г2К12~1 + • • • + (-1)^72.

При этом индекс задачи дается формулой.

3 = К1 + К2 — к (21 + 1)(т — 1),.

0.5).

0.6) где В и а^ - квадратные матрицы порядка элементы которых действительные функции принадлежащие С°°(О) и соответственно. (Задача изучается в весовых пространствах Соболева или Гельдера.) Здесь доказана следующая.

Теорема 0.4. Для нетеровости задачи (0.5), (0.6) необходимо и достаточно выполнения следующих условий.

7 = йеЦсц+^А1 — сцТхк1'1 + • • • + (-1Уа^) ф 0 всюду на д<3 3,.

7(т, — ± 0) ф 0, т, — € 3, ф 0 на прямой Яе^ = — I, т^ (Е 3.

При выполнении последних индекс задачи дается равенством И.

ЫА = 2 Ыг 7 + - !) мг ШРгГ1 ^(ОК (О)" 1.

7=1.

Щ1|±-1) +1} к (? + г + 1)(т 1), т<�Е"7 7=1 где Т, А такие же как в теореме 0.1- 3- конечное число граничных точек, куда, в частности, входят все угловые точки- ?- производная по дуге при естественной параметризацииу, X) (?) — У^ (?) -некоторые матрицы (специальным образом построенные по коэффициентам системы и краевых условий).

В § 4 рассматривается задача (0.3), (0.4) для систем с комплексными коэффициентами в случае кусочно-гладкой области. Доказана следующая.

Теорема 0.5. Для нетеровости задачи (0.3),(0−4) необходимо и достаточно выполнения следующих условий det N = det (7Vi | Щ ф 0 всюду на dQ J, det N (rj ± 0) ф 0, Tj G J, detXj (^) ф 0 на прямой i? e? = (3Tj — l, Tj G J, где.

Ni = al+iTiA/ - a/TiA/-1 + • • • + (-1) VA,.

TV2 = amT2A2' - a’iT2k21−1 + • • • + (-1) V?2.

При выполнении последних индекс задачи дается равенством И.

Ind, А = Indr N 1N + kl (l — 1) Indr ?~Y1Ind^-/^(OM (O)" 1.

3=1 k ^ л ^ +1} k (l,+,+1)(m 1) t reJ j=i где T, Г2, Ai, A имеют тот же смысл, что и в теореме 0.2.

В этом параграфе также рассмотрена краевая задача для систем, краевые условия которых имеют разные порядки на разных частях границы. В § 5 рассматривается краевая задача типа Р-Г-П (0.3), (0.4) (без знака «Re» в краевом условии) для правильно эллиптических систем. Доказана следующая.

ТЕОРЕМА 0.6. Для нетеровости задачи (0.3), (0.4) необходимо и достаточно выполнения следующих условий det Ni ф 0 всюду на dQ J, г = 1, 2, а^ Щт ± о) ф о, ^ е з, detXj (^) ф 0 на прямой = ¡-Зт — I, где а^ М = ?еЦщ+гШг1 — щТ[А¹ + • • • + (-Ц^Тх), а<* N2 = det (a/+lT2Л2/ - а{Г2А21~1 + ¦ ¦ • + (-1)'о1Т2).

При выполнении последних индекс задачи дается равенством 2 И ьа, а = ыг лтЧ-+ы (1−1) 1Паг * - ш0тГ1 Ш) У1−1=1 3=1.

1) к^ + 1} к (]2+1 + 1){т1) те/ 3=1.

Третья глава посвящена приложениям результатов первых двух глав к некоторым вопросам геометрии. А именно, рассмотрены следующие три краевые задачи: Задача А:

0.7) + + =.

0.8) Яе{адгю + Ы) = фг? 3),.

0.9) Ке (Ъу) = ф2е?*(Ь23), V е Х%(<2), где V, А,. , фъ ф2 — скалярные функции — дг = ^ - Ьх -1^=1²¹−1, = и'=1 Г2у-, где г— гладкие дуги, составляющие границу дЯ. х^я) = И£(7)(<?), ¥-^{Ь3 з) = у/р^Ць^ 3), если задача рассматривается в весовых пространствах Соболева и.

Х (7)№) = Ы®- ' = НШ (Ь1 ^ В СЛУЧае ВеС0″ вых пространств Гельдера. (Подробнее об этих пространствах см.

§ 1 второй главы).

Задача В:

0.10) дщ + + = /¦¦ е х}г{0), з = 1,2, адгУ + ЬхдгЩ + + ¿-хщ.

0.11).

— а2дгу2—Ь2дЕу2 — с2у2 — (12у2 -ф € </), V е Хр ((3), где ах, 6х, ., с2, (12 — скалярные функции. Задача С:

0.12)? = 0, (о-) где и ф — действительные непрерывные функциии — действительная часть функции т = и (х, у) + т (х, у). Первые две из них как не решенные отмечены в монографии И. Н. Векуа [1]. Они возникают при исследовании вопросов жесткости поверхностей. К задаче С приводят многие задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны, а также задачи безмоментной теории оболочек. Задача С является краевой задачей типа задачи Гильберта с краевым условием, содержащим производные [2]. Для этих задач доказаны следующие теоремы:

Теорема 0.7. Задача, А тогда и только тогда нетерова, когда выполняются следующие условия:

1) а (х) ф 0- х Е Ьг 3 и Ь (х) ф 0, х Е Ь2 3,.

2) а (тз ± 0) ф 0, т, Е Ьг П 3, Ь{т, ± 0) ф 0, т, Е 12 ПЗ,.

3) на прямой = /?Т2. нет нулей функции detX2j (() = + (1 + + 1,.

4) на прямой Rel- = PT2j-i нет нулей функции detX2. l (i) = (1 + lf a+(bx) a+(bx) где 0j — раствор криволинейного сектора с вершиной в точке Tj Е 3- а±- = a (rj ± 0) — b± = b (rj ± 0) — х±- = x (tj ± 0).

Пусть е-достаточно малое фиксированное число такое, что в полосе 0 < |i?e?| < е нет нулей функций 3) и 4) (такое? существует). Тогда индекс задачи дается равенством.

Ind? А = si + s2 — 2|3 — 3(т — 1), где s 1 = 2[Ind?1 a], s2 = 2[Indr bx]- т — число внутренних компонент границы dQ. В случае произвольного /3Т, т Е J (для которого имеет место 1)~4)), индекс задачи дается равенством.

Ind^ А = Inde, А ± ?{[(& «Ц7] + 1}, tej где [а] - целая часть числа а. Знак «+» соответствует случаю, когда 1-? < (3Т, а — 1 —? > /Зт.

Теорема 0.8. Для нетеровости задачи В необходимо и достаточно выполнения условий:

1)а (ж) = (&2Oi — bia2){x) ф 0 всюду на dQJ, 2) a (rj + 0) ф 0, Tj <Е J, 3) на прямой ReC = (3Т — 1 нет корней функции detX^) = (1 — e2ie^)2{e4i9^A + е™*В + 1), где.

Л = a (Tj — 0) а (т, + 0) а^-ои^ + о)' ~ (a (rj — 0) Q (tj + 0) + + b{Tj + 0) b (rj — 0) + c (tj + 0) d (rj — 0) + c (tj — 0) d (r, + 0)) b (Tj ± 0) = (bia2 — b2a1){rj ± 0), c (tj ± 0) = (b2a2 — ^(r, ± 0), d (Tj ± 0) = (bicii — hai)(Tj ± 0). Пусть e — достаточно малое фиксированное число такое, что в полосе 0 < |iie?| < с нет нулей функции 3) (такое е существует). Тогда индекс задачи дается равенством.

Inde, А = s — J — 6(m — 1), где s = [Мг Ьй1 ~ ьУа b2a — ba2.

В случае произвольного (3Tj, Tj E J, индекс задачи дается равенством.

Ind^ А = Inde, А ± У^Ш — 1)-] + 1},.

7II где [а] — целая часть числа а. Знак «+» соответствует случаю, когда 1 — е < (3Т, а — 1 — е > (Зт.

Теорема 0.9. Для нетеровости задачи С необходимо и достаточно выполнения условий:

1)7 = а1+{—г)1 — а1{—г)1~1 + • • • + (—1)гах ф 0 всюду на д (^3,.

2)7(^ + 0)^0,^еЗ, 3) на прямой В, е? = ¡-3Т — I нет корней функции еЬХ&-) = (-1)1+1Ъ1+1е2'"+1^ + • • • + Ъ2е4- Ъ^ + 1, где 9^ - раствор криволинейного сектора с вершиной в точке ту? 3. В случае (3г. = I — е, т^ Е 3, где е — достаточно малое фиксированное число такое, что в полосе 0 < < е нет нулей функции 3), индекс задачи дается равенством.

1пс1б, А = з — 4^ + 1} - к (12 + I + 1)(т — 1), где 8 = 2[1пс1г7], к — число уравнений системы, т — число внутренних компонент границы. В случае произвольного (3Т, г^ Е 3 индекс задачи дается равенством.

1 Й, А = 1пс1е, А ±? ?{[(& - ¿-)-Г] + 1},.

7=1 таз где [а — целая часть числа аЗдесь «+» — соответствует случаю, когда (3Т > I — е, «-» — (Зт < I — е.

1. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988.

2. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: ГИФМЛ, 1963.

3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

4. Hilbert D. Grundzuge der Integralgleichungen. Leipzig Berlin., 1924.

5. Жура Н. А. Нелокальная краевая задача для стационарной системы Стокса в многосвязной области. // ДУ. Т. 27, 1. 1991. С. 51 -59.

6. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с угловыми и коническими точками. // Тр. Моск. мат. общества. Т. 16. 1967. С. 202- 292.

7. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

8. Лопатинский Я. Б. Теория общих граничных задач. Киев.: Наук, думка, 1984.

9. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями. // ДАН. Т. 210, № 3. 1973. С. 529- 532.

10. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

11. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991.

12. Радон И. О. О краевых задачах для логарифмического потенциала. // УМН. Т. 1, вып. 3−4. 1946. С.96−124.

13. Сиражудинов М. М. Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости. // Изв. РАН, сер. матем. Т. 61, № 5. 1997.

14. Сиражудинов М. М. О задаче Римана-Гильберта для эллиптических систем первого порядка в многосвязной области // Матем. сб. Т. 184, № 11. 1993. С. 39 62.

15. Сиражудинов М. М., Магомедов А. Г., Магомедова В. Г. Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости. 2. // Изв. РАН, сер. матем. № 2. 2000.

16. Сиражудинов М. М., Умалатов С. Д. О нетеровости одной задачи И. Н. Векуа. // Тезисы международной научной конференции, посвященной 275 летию РАН. Махачкала, 1999.

17. Сиражудинов М. М., Умалатов С. Д. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре. Махачкала. 1998, — 11 с., Деп. в ВИНИТИ, 10. 02. 98, № 972- В98.

18. Умалатов С. Д. О нетеровости одной краевой задачи, возникающей при исследовании вопросов жесткости поверхностей. Вестник ДГУ, естеств. тех. науки, вып. 1, Махачкала. 2000.

19. Умалатов С. Д. О нетеровости одной краевой задачи 1 -го порядка // Тезисы международной научной конференции, посвященной 275 летию РАН. Ростов-на-Дону, 1999.

20. Сиражудинов М. М., Умалатов С. Д. Краевые задачи для системы Навье Стокса.- Махачкала. 1998, — 26 с., Деп. в ВИНИТИ, 30. 01. 98, № 236-В98.

21. Риман Б. Основы общей теории функций. (В сочинениях). М.: ГТИ, 1948.

22. Боярский Б. Теория обобщенного аналитического сектора // Ann. Polon. Mathem. Т. 10. 1966. С. 41 87.

23. Виноградов В. С. Граничная задача для эллиптической системы первого порядка на плоскости // Дифф. урав. Т. 7, № 8. 1971. С. 1440 1448.

24. Виноградов В. С. Об одном методе решения краевой задачи для эллиптической системы первого порядка на плоскости // ДАН СССР. Т. 201, № 4. 1976. С. 767- 770.

25. Виноградов В. С. О граничных задачах для эллиптической системы на плоскости с непрерывными коэффициентами //ДАН СССР. Т. 227, № 4.1976. С. 777- 780.

26. Вольперт А. И. Нормальная разрешимость граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости // Теор. и прикл. матем. Вып. 1. 1958. С. 28 57.

27. Вольперт А. И. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости // Тр. ММО. Т. 10. 1961. С. 41 87.

28. Солдатов А. П. Общая краевая задача (к-1) — порядка для эллиптических уравнений // ДАН СССР. Т. 311, № 1. 1990. С. 39−43.

29. Солдатов А. П. Общая краевая задача для эллиптических систем // ДАН СССР. Т. 311, № 3. 1990. С. 539 543.

30. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М.: Высш. шк, 1991.

31. Солдатов А. П. Метод теории функций в краевых задачах на плоскости. 1. Гладкий случай // Изв. АН. Сер. мат. Т. 55, № 1. 1991. С. 1070 1110.100.

32. Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем // Матем. сб. Т. 68, № 3. 1965. С. 373- 416.