Об одном методе исследования уравнения Хилла

Уравнение вида.

0.1) где a (t) непрерывная периодическая функция, в математике принято называть уравнением Хилла. Оно в следующем частном виде: где а0 ф 0, о,<7,.- известные постоянные и ряд со$ 2т абсолютно сходится, встречается в мемуарах Хилла, опубликованных в 1877 году, посвященных исследованию движения Луны. Уравнение (0.1) в следующем виде было рассмотрено Матье еще в 1868 году в связи с изучением колебаний эллиптической мембраны. Со времен Хилла и Матье уравнение (0.1) в том или ином частном виде исследовались многими авторами (X. Кох, Н. Е. Кочин, А. Пуанкаре, Г. В. Бондаренко, А. П. Проскуряков, В. Ф. Журавлев, К. Г. Валеев, В. В. Болотин и др.) в связи с решением физических, технических и астрономических задач. Поскольку эти задачи были прикладного характера и в связи с отсутствием теоретически разработанного метода решения уравнения Хилла, авторы ограничивались построением приближенных решений, которые в том или ином смысле удовлетворяли потребности практики. Например, Хилл для решения астрономической задачи ограничивался использованием значения определителя лишь третьего порядка, составленного из центральных строк и столбцов бесконечномерного определителя.

Согласно теории Флоке решение уравнения (0.1) имеет вид: (Я + а со s 21) х — 0, да.

0 = (0−2) р = -<0 где и — характеристический показатель, а вектор определяется как решение бесконечномерной системы линейных однородных алгебраических уравнений, которая имеет решение лишь в том случае, когда некоторый бесконечномерный определитель, зависящий от ц, равен нулю. Это обстоятельство (например, вопросы существования бесконечномерного определителя, вычисление его значения и т. д.) вносит свои коррективы при разработке методики построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла. В этом направлении, несмотря на то, что теория линейных дифференциальных уравнений достаточно развита, на сегодняшний день почти отсутствует теоретически разработанный метод решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Что касается уравнения Хилла (0.1), то для случая, когда среднее значение а0 коэффициента, а (г) не равно нулю, достигнуты определенные успехи. Обзор литературы показал, что со времен Хилла исследования уравнения (0.1) проводились только при условии а0 + 0, и полученные результаты теряют смысл при а0 0. Поэтому случай а0 — 0 условно назовем критическим.

Поскольку уравнение Хилла часто встречается в прикладных задачах, а также ряд важных уравнений, после выполнения некоторых преобразований, приводятся к уравнению Хилла, то полное исследование уравнения Хилла в критическом случае (построение характеристического уравнения и вопросы его разрешимости, разработка алгоритма построения фундаментальной системы решений, поведение фазовых траекторий и др.) является одной из актуальных за/дач теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Цель диссертационной работы заключается в разработке конструктивного метода решения уравнения Хилла в критическом случае. Материалы диссертации изложены в следующей последовательности. В первой главе, состоящей из трех разделов, приведен обзор работ-других авторов, посвященных исследованию уравнения Хилла, изложена методика вывода характеристического уравнения и процедура приведения характеристического уравнения к каноническому виду.

В разделе 1.1. изложен подробный обзор литератур, посвященных исследованию уравнения Хилла.

В разделе 1.2. для уравнения Хилла (0.1) получено характеристическое уравнение:

А0{м) = йе1А0(м)^0 (0.3) где Л0 (/?) — матрица системы • Ч’У У: X". X />•• У-. (0.4).

Ч*Р т. е.

Ао (аО = ар, арр = (/' +1-Р)2 — арЧ ^ ар-1> р * СЬ ар — коэффициенты Фурье разложения, со а (0=?я/" (яо=о)р~-СА>

На основе метода регуляризации, предложенного автором, система (0.4) преобразуется к системе уравнений: а+7—7 матрица которой имеет вид:

Мп) |, 1 И, — 1 — у -, Ард =т—^.

Такой подход позволяет находить и из уравнения.

Д1(^) = ае1Х,(А?) = 0 (0.6) и для матрицы А, (/-) удается доказать (например, методом Коха) сходимость бесконечномерного определителя Д5 (/?) = det Л, (и).

В диссертации бесконечномерный определитель Л, О) вычисляется по правилу.

ДД/О-НтДГ^),.

К1 где, А «(¡-и) определитель матрицы.

2№-1-порядка. Сходимость бесконечномерного определителя ДД^) можно проверить согласно условиям Коха или Кагана, однако, заметим, что эти условия являются лишь достаточными.

Задача определения ц из уравнения Л, (, и) 0 является сама по себе сложной задачей и требует дополнительных исследований.

В разделе 1.3. доказано, что функция Л, О) обладает свойством четности и периодичности (с периодом i). Далее установлен ряд полезных формул и доказан ряд лемм.

Лемма 1.3.1. Для функции имеет место разложение.

Д, (/г) = 1+ l{al)ctg7ti[сх^ -¡-и)+ г2(а2)^т (а2 — /г) (0−7) где гх (а,) =——— Я{ах), гг (аг) =————— Я (а,).

ОС^^2 (X у ОС |.

К (ц) — бесконечномерный определитель, удовлетворяющий соотношению г — а т. е. имеет место разложение по котангенсам.

Лемма 1.3.2. Функции г (а,) и г, (а,) связаны соотношением г2(а2)=¦¦-/-(«!).

Лемма 1.3.3. Для функции Д,(у") имеет место представление.

АД/О.

Р (г)мф])Р1(г)Р2(г) Р (г).

0.8) где.

Р{2) = {г-р1){г-р2).

Лемма 1.3.4. Для функции г, (а,) имеет место представление.

Далее устанавливается эквивалентность уравнений.

А1(^) = 0 И !>(:¦:)¦ ¡-г (и)1>(~) /'.(:) | 0. и уравнение (0.10) преобразуется к уравнению вида эт2 Я1 ¡-л = ж2к,.

0.11).

0.10).

0.9). где к — бесконечномерный определитель. Уравнение (0.11) назовем каноническим видом характеристического уравнения (0.10).

Во второй главе, состоящей из грех разделов, изложены результаты исследований канонического уравнения, интервалы изменения характеристических показателей Ляпунова и приведены формулы их вычисления. Указан алгоритм построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла и возможные типы точек покоя.

В разделе 2.1. приведена полная картина расположения на комплексной плоскости корней промежуточного уравнения, эквивалентного характеристическому уравнению. Установлены всевозможные случаи расположения корней промежуточного уравнения в зависимости от значения бесконечномерного определителя к.

В разделе 2.2. согласно расположениям корней промежуточного уравнения вычислены характеристические показатели Ляпунова решений уравнения Хилла, и установлены интервалы изменения их значений. Результаты исследований разделов 2.1 и 2.2 приведены в следующей таблице:

Таблица 2.2.0.

Интервалы изменения.

— оо < /г < 0.

Корни уравнения (2.1.2) и их геометрические характеристики г, -=-2л2к + 2л^тс2/г -7? ащгх =0 = 1 -2л2к -2л^п2кг./г, к1: ащг7, = 0.

Интервалы изменения характеристических показателей Ляпунова >0.

8 2 < 0.

А = 0 =1, ¡-г,| = 1, ащг^ -0 г2 =1, к| = 1, ат§-22 =0.

5, — О 0.

О <1к.

2л' = 1 — 2лг2/? + Пж4ь. -п2Ь = 1 а^г, =аг.

2лык-л2к2 -2Л2И 1 — 2яг2/г —?2т1[И. -Л2И2, к| = 1.

1г§- ~ -агсЩ.

2л4н — л2к2 1−2Л2/1.

81 = 0.

5, = О.

2-г г, 1¹ = 1, а^^ = г2 = /', |г2| = 1, ащг, =¦ л л д) — О.

-> - О.

1 / 1.

2л~ л гх = -2л" 1ч +12л[И-л2И'', г1 —1 ащ = л + агс1%.

2лл]Ъ-л111г ~2л1Н г, = 1 — 2л2Ь -12к4ь — л2к2, к I = 1,.

2п1И— ж’А2 ат г, = -тг — агс№.

2 1- 2тг Л гх=-[, к = 1, ащг, Л Л.

Л, к (= 1, arg27 = л: О.

— О.

— О.

5,: О 2 < h < oo n' z, = — 2n2h + 2ял]ж2И2— h, |z,| = 2п1к—2ж4ж'1И1' -h, -im:., т z, -1 — 2ж2к-2пу[я7И2 -h, z2 = 2ж~]-1 -1 + 2тсVж~Ъ — h, arg z7 — я:

S1 < 0,.

7 > 0.

Рассмотрены несколько примеров и приведены в виде таблиц значения бесконечномерного определителя /г, корней ^ и z, промежуточного уравнения и значений характеристических показателей Ляпунова соответствующих корням z, и z,.

Например, для уравнения х" + sint-x = О результаты численных расчетов приведены в следующей таблице:

Таблица 2.2.1 (а (7) = sin t).

TV h{N) zl{N)) z2{N)) f? l (N) fi2(N).

3 0,462 046 682 -0,6 180 827 -16,17 906 359 -0,4 430 424 856+0,5i 0,4 430 424 856+0,5i.

5 0,459 855 802 -0,6 214 176 -16,9 223 764 -0,4 421 860 706+0,5i 0,4 421 860 706+0,5i.

10 0,459 323 971 -0,6 222 326 -16,7 116 028 -0,4 419 774 753+0,5i 0,4 419 774 753+0,5i.

20 0,459 257 137 -0,6 223 352 -16,6 851 152 -0,441 951 242+0,5i 0,441 951 242+0,5i.

30 0,459 250 408 -0,6 223 455 -16,6 824 484 -0,4 419 486 007+0,5i 0,4 419 486 007+0,5i.

40 0,45 924 877 -0,622 348 -16,6 817 991 -0,4 419 479 575+0,5i 0,4 419 479 575+0,5i.

50 0,459 248 186 -0,6 223 489 -16,6 815 678 -0,4 419 477 284+0,5i 0,4 419 477 284+0,5i.

60 0,459 247 928 -0,6 223 493 -16,6 814 656 -0,4 419 476 272+0,5i 0,4 419 476 272+0,5i.

70 0,459 247 797 -0,6 223 495 -16,6 814 136 -0,4 419 475 757+0,5i 0,4 419 475 757+0,5i.

80 0,459 247 723 -0,6 223 496 -16,6 813 844 -0,4 419 475 468+0,5i 0,4 419 475 468+0,5).

90 0,459 247 679 -0,6 223 497 -16,6 813 668 -0,4 419 475 293+0,5i 0,4 419 475 293+0,5i.

100 0,45 924 765 -0,6 223 497 -16,6 813 555 -0,4 419 475 181+0,5i 0,4 419 475 181+0,5i.

Как показывают численные расчеты, 1 т «0,45 924 и удовлетворяет неравенству 0,1013"-^-</7<0,4620< к» и.

К ' г, ~ -0,0622," -16,038, 8Х «-0,4419, 8 г «0,4419, ЧТО подтверждает аналитические результаты.

На рисунке 2.2.1 приведен график зависимости к=к[Щ,.

V:: i.

Рис. 2.2.1 который показывает, что значение бесконечномерного определителя, а конечно и удовлетворяет оценке.

0,45 923 <й< 0,46 204.

Заметим, что из расчетов приведенных в таблице 2.2.1 можно установить допускаемые погрешности, при замене точных значений величин /?, z, z2 и <5, <52 их приближенными значениями.

Отметим также, что результат |<5<10)|=—0,44 197 почти совпадает с результатом работы Филлипова А. Ф., где |?>, | ~ |<5,| — 0,442, которое им получено при исследовании характеристических показателей уравнения х" + sint-x = 0 с других позиций..

В разделе 2.3. изложена методика построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла. Решение уравнения (0.1) ищется в виде (0.2), где вектор у является нетривиальным решением бесконечномерной системы (0.4). Согласно разработанной методике вектор у находится как решение системы.

0.12) где в — нулевой вектор..

Лемма 2.3Л. Решение уравнения (0.12) не зависит охзначения, а. Поэтому вектор у можно определить из уравнения.

4 (/1,0)7(0)-е..

Определитель матрицы вычисляется по правилу.

Дг (/и, 0) = det 4 (ц, 0) = lim det A™+1 (ц, 0),.

V —>со где лГ+1(//, 0) — матрица порядка 2/VH, определитель которой вычисляется по известному правилу. При этом элемент у0, определяется как алгебраическое дополнение элемента 1 нулевой строки, а — элемента.

СI 01.

-у, v" — элемента —7V = 1,2,3,. В силу нормальности матрицы Д (/г.0) fi ' fi~ существует предел.

А = lim det A2'v+1 (ц, 0) < со, и алгебраическое дополнение любого элемента любой строки, в частности, нулевой строки матрицы ЛД/i, 0) является конечным числом. Кроме того, ряд.

С Ур' р = -СО где ур — алгебраическое дополнение элементов любой строки матрицы /1,(^, 0), абсолютно сходится. Поэтому существует решение бесконечномерной системы линейных алгебраических уравнений (0.12). Таким образом, уравнение Хилла (0.1) имеет решение, которое можно построить по формуле со со.

Согласно теории Флоке эти решения являются линейно независимыми и общее решение уравнения Хилла находятся по формуле.

СО СО х (7) = С>- (г) + С2х, (/) = X З^'+С^' X .у^', р~-со р=~ со где С]-С2- произвольные постоянные..

В заключение раздела представим в виде таблицы типы точек покоя системы х, = которая эквивалентна уравнению Хилла, в зависимости от к..

Таблица 2.3.1.

Интервалы изменения И (5, Типы точек покоя.

И е (-со, 0) больше нуля меныпе нуля седло равно нулю равно нулю центр седло меньше нуля больше нуля.

В приложении построена программа для приближенного решения уравнения Хилла на языке программирования С# 2005..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации приведены результаты исследований уравнения Хилла в критическом случае, т. е. когда коэффициент при неизвестной функции является периодической функцией, среднее значение которой равно нулю. Разработан метод, названный методом поляризации, суть которого заключается в том, что введением вспомогательного параметра, а удается характеристическое уравнение, представляющее собой бесконечномерную линейную однородную систему алгебраических уравнений, преобразовать к каноническому уравнению и находить корни характеристического уравнения посредством решения квадратного уравнения. Доказано, что бесконечномерная матрица характеристического уравнения обладает свойством нормальности, т. е. свойством конечномерной матрицы, которое было использовано при построении линейно независимых частных решений уравнения Хилла. Полученные результаты подтверждены численными расчетами. Подтвержден известный результат А. Ф. Филиппова [50], полученный им при исследовании уравнения Хилла с периодическим коэффициентом..

Отметим, что разработанный метод позволяет исследовать уравнение Хилла и в случае, когда среднее значение коэффициента не равно нулю и может быть использован при разработке качественных методов исследований и конструктивных методов решения линейных дифференциальных уравнений высоког о порядка с переменными коэффициентами..