В современном многомерном комплексном анализе важное место занимает изучение следов голоморфных функций на вещественных подмногообразиях lit комплексных многообразий, или, общее, функций на М-, для которых производные по направлениям, сопряженных к комплексным касательным, равны нулю (функции Коши — Римана, или, короче, -функции).Содержательная теория таких функций развивается на многообразиях, у которых размерность комплексной касательной плоскости постоянна, так называемых 6 $ -многообразиях.Развитие этой, так называемой в Ятеории, в последние десятилетия связано с проникновением в комплексный анализ геометрических методов и методов теории дифференциальных уравнений.
Началотеории, по-видимоцу, восходит к Г. Леви (1956 г). Большая заслуга в развитии этой теории принадлежит таким математикам, как С. Хилл, А. Андреотти, Л. Хант, Р. Уэллс, Г. М. Хенкин, Е. М. Чирка, Л. Ниренберг и т. д. Существенную роль в.
— теории сыграли теорема Гринфилда [24] о С Я.-расширениях и теорема Баоэнди — Трева [25] оаппроксимациях.
Было давно замечено (например, Г. Леви [ 23], А.АндреоттиС.Хилл [29]), что некоторые комплексные дифференциальные системы после подходящего преобразования координат принимают вид, аналогичный тому, в котором можно локально записать касательную систему Коши-Римана (^-систему).Исследование связи произвольных комплексных дифференциальных систем с el.
— системами оказывается полезным для развития как соответствующих разделов теории дифференциальных уравнений, так и ея.
— теории.
Отметим, что взаимосвязь произвольных гладких комплексных дифференциальных систем с 6 Шсистемами существенно зависит от интегрируемости таких систем. Этот вопрос, как показал, например, Л. Ниренберг [?], нетривиален и, к настоящему моменту, открыт. Поэтому представляют интерес достаточно обширные классы интегрируемых комплексных дифференциальных систем.
Настоящая работа продолжает исследования в этом направлении. В ней произведен локальный анализ произвольных гладких комплексных дифференциальных систем, выяснен канонический вид таких систем без условия вполне интегрируемости, установлено, когда эти системы являются, по крайней мере локально, -системами на некотором порождающем № -многообразии, исследована локальная структура порождающих еямногообразий, выяснены некоторые вопросы единственности еяфункций и решений систем линейных дифференциальных уравнений с комплексными коэффициентами. Приведены новые достаточные условия локальной вполне интегрируемости таких систем.
1. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях.- М.:Мир, 1971. 232 с.
2. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии.- М.:Мир, 1970. 412 с.
3. Смирнов В. И. Курс высшей математики.-М.:Наука, I981, т.4, ч.2. 550 с.
4. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных.- М.: Иностр.Лит., 1957. 444 с.
5. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.:Мир, 1970. 720 с.
6. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка.- М.:Наука, 1966. 260 с.
7. Ниренберг Л. Лекции о линейных дифференциальных уравнениях с частными производными.- УМН, 1975, т.30, № 4, с. 147−204.
8. Шабат Б. В.
Введение
в комплексный анализ.- М.:Наука, 1976, ч.2. 400 с.
9. Хенкин Г. М., Чирка Е. М. Граничные свойства голоморфных функций нескольких комплексных переменных.- В кн.:Современные проблемы математики. ВИНИТИ, 1975, т.4, с. 13−142.
10. Айрапетян Р. А., Хенкин Г. М. Аналитическое продолжение-функций через острие клина.- Докл. АН СССР, 1981, т. 259, № 4, с. 777−781.
11. Садуллаев А. Внутренние функции в R Матем. Заметки, 1976, т.19, с. 63−66.
12. Туманов А. Е. О граничных значениях голоморфных функций нескольких комплексных переменных.- УМН, 1974, т. 29, № 4,с. 158−159.
13. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.:Наука, 1964. 272 с.
14. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции.- М.:Физматгиз, 1959. 628 с.
15. Горн.
Введение
в теорию дифференциальных уравнений с частными производными.- М.: ГОНТИ НКТП, 1938. 272 с.
16. Курант Р. Уравнения с частными производными.- М.:Мир, 1964.-830 с.
17. Хермандер Л.
Введение
в теорию функций нескольких комплекс- ' ных переменных.- М.:Мир, 1968. 280 с.
18. Абросимов А. В. Система Бельтрами с несколькими независимыми комплексными переменными.- Докл. АН СССР, 1977, т. 236, № 6, с. 1289−1292.
19. Абросимов А. В. Комплексные дифференциальные системы и касательные уравнения Коши Римана.- Мат. Сборник, 1983,.
20. Ж. (Ln example of a smooth /лпеап-partial differential eamlionwithout solution.-От. Шк., ШР, и:66,№, p. {35-{5 &.
21. Kill ift. Xaiani famihesofanafytiedisss in. C^imik SounUies on a prescribed PA-Su^maniSotdsCLnn.$.
22. Treves $ Remarks a@out eettain order Hi near 93}^ in turoтПаШе-вотт.(Part 2>z#. 8%" .,(Щ V. S, p.3ft-416.
23. Ctndreoth d. y ЖМ ЁЖ SompPex etiamekrtstie eoordmtes and tangential Gauchu-Qiemarin e^ualwns-dnri. Scuoia Worn. Super: fPisa, v. ie, jf%, p. 139−314.
24. Jlirea$er.
