Глобальные бифуркации трехмерных диффеоморфизмов с негрубыми гомоклиническими и гетероклиническими траекториями

Основной темой диссертации является исследование нелокальных бифуркаций, связанных с существованием нетрансверсальных пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических траекторий. Траектория, лежащая в пересечении инвариантных многообразий одной и той же седловой периодической орбиты называется гомоклиниче-ской, а в случае различных седел — гетероклинической. Часто используется также термин «гомоклиническая траектория Пуанкаре», чтобы подчеркнуть отличие от двоякоасимптотических траекторий другого типа — петель сепаратрис седловых состояний равновесий (которые тоже иногда называют гомоклиническими траекториями). В случае, когда инвариантные многообразия пересекаются нетрансверсально, говорят также о существовании гомоклинического или, соответственно, гетероклинического касания.

Настоящая работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем — теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем.

Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце 19-ого и начала 20-ого века в классических работах А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа. Теория бифуркаций как самостоятельная математическая дисциплина оформилась в работах A.A. Андронова, H.H. Баутина, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера, Л. С. Понтрягина. Прежде всего это касалось динамических систем на плоскости. Для них, в частности, было введено понятие грубой системы (Андронов, Понтрягин) и указаны отличительные признаки грубых векторных полей на плоскости (Андронов, Леонтович) — для систем с конечным множеством особых траекторий был построен полный топологический инвариант (Леонтович, Майер). Также были изучены бифуркации систем первой степени негрубости (Андронов, Леонтович). Эти бифуркации стали подразделяться условно на локальные и нелокальные. К основным локальным бифуркациям систем на плоскости относятся бифуркации состояний равновесий типа седло-узел и сложный фокус, а также бифуркации сложных (полуустойчивых) предельных циклов. Основные нелокальные бифуркации составляют бифуркация гомоклинической петли сепаратрисы седла, гомоклинической петли сепаратрисы седло-узла, а также бифуркация сепаратрисы, идущей из одного седла в другое.

В 60-е годы началось бурное развитие качественной теории многомерных динамических систем (размерность фазового пространства которых не меньше трех для потоков и двух для отображений). При этом основным объектом исследования поначалу стала теория грубых динамических систем, получившая наименование «гиперболической теории». Ее математический фундамент был заложен в работах В. М. Алексеева, Д. В. Аносова, С. Смейла, Л. П. Шильникова и др.

В случае многомерных динамических систем основные локальные бифуркации составляют а) бифуркации состояний равновесия типа седло-узел или седло-седлоб) бифуркации Андронова-Хопфа состояния равновесия с чисто мнимыми собственными значениямив) бифуркации периодических траекторий с мультипликатором, равным +1- г) бифуркации периодических траекторий с мультипликатором, равным — 1 (т.н. бифуркация удвоения периода) — д) бифуркации периодических траекторий с мультипликаторами е±г</? при условии отсутствия сильных резонансов, т. е. 0 < <р < тт и (р ф 7г/2,27г/3 (т.н. бифуркация рождения инвариантного тора).

Основы теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем были заложены в работах Л. П. Шильникова. Так, ещё в 60-х годах им были исследованы бифуркации гомоклинических петель состояний равновесия типа седло [32], седло-узел [27] и седло-седло [29]. Эти работы, по существу, обобщали соответствующие двумерные результаты, касающиеся рождения единственного предельного цикла из гомоклинической петли, на многомерный случай. В работах же [31, 28, 34] было продемонстрировано принципиальное отличие характера многомерных гомоклинических бифуркаций от двумерных случаев. Именно, было показано, что бифуркации коразмерности один систем с несколькими гомоклиническими петлями состояний равновесия типа седло-седло [31] могут приводить к возникновению сложной динамики. Это был, фактически, первый пример бифуркации типа гомоклинического Г2-взрыва, суть которой состоит в том, что до момента бифуркации система имеет простую структуру (принадлежит классу систем Морса-Смейла), а сразу после — сложную. В это же время Шильниковым была открыта сложная структура множества траекторий в окрестности гомоклинической петли состояния равновесия типа седло-фокус [28, 34].

В дальнейшем нелокальные бифуркации многомерных динамических систем изучались в работах В. С. Афраймовича, В. Н. Белых, JI.A. Белякова, В. В. Быкова, Н. К. Гаврилова, C.B. Гонченко, Ю. С. Ильяшенко, JI.M. Лермана, В. И. Лукьянова, С. Ньюхауса, Дж. Пэлиса, К. Симо, Ф. Такенса, Д. В. Тураева, А. Я. Хомбурга и др.

Среди нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем особое место занимают бифуркации гомоклинических касаний, а также бифуркации негрубых гетероклинических контуров. В последнем случае в системе имеется несколько седловых периодических траекторий, у которых одна пара инвариантных многообразий пересекается нетрансверсально, а остальные в общем случае имеют трансверсальные пересечения. Существование у системы грубой гомоклинической траектории Пуанкаре или грубого гетероклинического контура является одним из универсальных критериев сложной динамики или, другими словами, динамического хаоса. Это связано с тем, что уже множество траекторий N, целиком лежащих в малой окрестности грубой гомоклинической траектории, имеет весьма нетривиальную структуру: оно содержит счетное множество периодических и гомоклинических орбит, континуум устойчивых по Пуассону траекторий и т. п. Более того, как установил Л. П. Шильников [30, 31], множество N является грубым локально максимальным нетривиальным гиперболическим множеством, допускающим полное описание в терминах символической динамики.

В случае гомоклинического касания или негрубого гетероклинического контура соответствующая задача описания множества траекторий в их окрестности становится гораздо более сложной. Более того, как «задача полного описания», она является принципиально неразрешимой, особенно когда рассматриваются еще и близкие системы. Дело в том, что произвольно малые гладкие возмущения любой системы с таким квадратичным касанием инвариантных многообразий могут приводить к возникновению новых гомоклинических или гетероклинических касаний любых порядков, а также сколь угодно вырожденных периодических траекторий, [10, 11, 43, 17, 49]. С формальной точки зрения, это означает, что полное описание бифуркаций таких систем с помощью конечно-параметрических семейств не может быть достигнуто. Поэтому здесь на первый план должны выступать задачи, связанные с выяснением принципиальных особенностей и характеристических свойств динамики и бифуркаций.

В настоящей диссертации рассматриваются задачи именно такого рода, которые можно условно разбить на два класса. Задачи первого класса связаны с исследованием нелокальных бифуркаций, приводящих к появлению или исчезновению устойчивых периодических траекторий (периодических аттракторов). Задачи второго класса связаны с изучением нелокальных бифуркаций (именно, бифуркаций негрубых гетероклинических контуров), приводящих к рождению странных аттракторов.

В общем плане, критерии существования или отсутствия устойчивых периодических траекторий у систем, близких к системе с гомоклиническим касанием, были установлены в работах Гонченко, Тураева и Шильникова [9, 13, 50]. А первые результаты на эту тему были получены в работах Гаврилова и Шильникова [7, 8] для случая двумерных диффеоморфизмов (трехмерных потоков). При этом ответ в [7, 8] зависел от т.н. седловой величины а. Напомним, что в случае седловой периодической траектории ее седловая величина определяется как произведение модулей ближайших к единичной окружности устойчивого (< 1 по модулю) и неустойчивого (> 1 по модулю) мультипликаторов. Таким образом, в случае двумерных диффеоморфизмов, а — | А-у|, где Л и 7 — устойчивый и неустойчивый мультипликаторы соответствующего седла. Тогда, как вытекает из [7, 8, 9], если, а > 1, то все близкие диффеоморфизмы не имеют устойчивых периодических траекторийесли же, а < 1, то такие траектории рождаются при бифуркациях. В частности, в [7, 8] были изучены бифуркации рождения периодических аттракторов в однопараметрических семействах общего положения. Соответствующий результат получил позднее название Теорема о каскаде периодических стоков, поскольку периодические аттракторы (стоки) существуют при значениях параметров из счетного множества непересекающихся интервалов (каскада), накапливающихся к значению параметра, отвечающему существованию исходного касания.

Заметим, что в многомерном случае условие, а > 1 уже не влечет автоматически отсутствие устойчивых периодических траекторий у близких систем. Так, уже в трехмерном случае, когда диффеоморфизм имеет сед-ловую неподвижную точку О с мультипликаторами Ai, Л2, т такими, что О < |Лг| < |Лх| <1, | —у| > 1 и IA1A27I < 1, и также имеет негрубую гомо-клиническую траекторию к О, возможны две совершенно разные ситуации (здесь, а = |Ai7|): i) точка О является седлом, т. е. Ai, А2 — действительны и |Аг| < |Ai|- ii) точка О является седло-фокусом, т. е. А^ = Хе±1лр, где 0 < А < 1 и О < ip < тт.

Как вытекает из [13], в случае седла с, а > 1 при общих условиях1 ни сама система, ни все близкие не имеют устойчивых периодических траекторий в малой фиксированной окрестности негрубой гомоклинической орбиты. Однако, в случае седло-фокуса устойчивые периодические траектории, а также устойчивые замкнутые инвариантные кривые могут рождаться и при о > 1. Бифуркации, приводящие к их рождению, изучались в [18, 44, 50].

Случаи гомоклинических касаний к неподвижным точкам с, а = 1 (такие точки мы будем называть нейтральными) являются особыми. Здесь даже изучение бифуркаций квадратичных касаний требуют как мини.

1 Общие условия представлены в [13] как условия простоты гомоклинического касания и являются аналогами т.н. условия квазитраттсверсального пересечения [62] — гарантируют существование вблизи гомоклинического касания некоторого гладкого глобального двумерного центрального многообразия, в ограничении на котором система является двумерной с, а > 1, что автоматически препятствует возможности появления устойчивых периодических траекторий. Эти условия, кроме квадратичности касания, включают два требования: (а) |Ai| / [ Аз | и (б) т.н. расширенное неустойчивое многообразие W’e (0) трансверсально к слоям сильно устойчивого инвариантного слоения вблизи точки гомоклинического касания, см. подробнее [13, 44, 69, 50]. Эти условия являются условиями общего положения и они весьма важны, так как при их нарушении устойчивые периодические траектории могут рождаться при бифуркациях, [74, 67, 48, 47]. мум двухпараметрического анализа. Для двумерных диффеоморфизмов с, а — 1 такой бифуркационный анализ был проведен в [46, 19]. В частности, в этих работах были найдены условия рождения периодических траекторий и замкнутых инвариантных кривых при переходе от (т < 1 к <т > 1. Заметим, что в работе [74] изучались бифуркации трехмерных диффеоморфизмов, имеющих квадратичное гомоклиническое касание к нейтральному седлу. В главе 1 обобщаются результаты работ [19, 74] на случай многомерного (размерности п + 1, п > 2) седла с, а = 1.

Бифуркации же в случае седло-фокуса с, а — 1 до сих пор не рассматривались. Отметим, что хотя устойчивые периодические траектории и наблюдаются в случае седло-фокуса при, а > 1, [18], но для их надежной фиксации требуется рассмотрение уже как минимум двухпараметрических семейств. И это несмотря на то, что по своей природе задача изучения бифуркаций в данном случае выглядит формально как однопараметрическая (собственно, так оно и есть в случае, а < 1). Более того, такое явление как «каскад периодических стоков» в однопараметрических семействах общего положения может обнаруживаться в случае, а > 1 «с нулевой вероятностью», [18], хотя такой каскад в случае, а < 1 существует всегда. С этой особенностью указанных бифуркаций связан т.н. «эффект ненаблюдаемости» периодических аттракторов внутри хаоса. В главе 2 дается объяснение этого явления с помощью уже трехпараметрического анализа бифуркаций гомоклинического касания к нейтральному седло-фокусу.

Задачи второго класса связаны с исследованием нелокальных бифуркаций, приводящих к рождению странных аттракторов. Хорошо известно, что при бифуркациях гомоклинических касаний уже в случае двумерных диффеоморфизмов могут рождаться «странные» аттракторы типа аттрактора отображения Эно [40, 58]. Однако они кажутся «странными» только лишь «на физическом уровне», поскольку сколь угодно малые возмущения могут приводить здесь к появлению периодических аттракторов [38]. Это означает, что кажущееся хаотическим при наблюдении поведение траекторий может являться в действительности «периодическим плюс (неизбежные) ошибки» (экспериментальные или вычислительные). Такие аттракторы были названы «квазиаттракторы» [38]. Можно сказать, что квазиаттракторы встречаются в приложениях достаточно часто — это многочисленные аттракторы, наблюдаемые в конкретных системах, прежде всего малой размерности. Таковыми являются странные аттракторы в отображении Эно, в цепях Чуа, многие типы спиральных и тор-хаос аттракторов, аттракторы Ресслера и т. п. Основным их характерным признаком является наличие (или возможность возникновения) таких гомоклинических касаний, бифуркации которых приводят к рождению устойчивых периодических траекторий. Таким образом, квазиаттракторы можно часто распознать, используя критерий Гонченко-Тураева-Шильникова, [13, 50], показывающий, возможно ли рождение устойчивых периодических траекторий при данной гомоклинической бифуркации.

Другой вид «гомоклинического хаоса» представлен так называемыми дикими гиперболическими аттракторами, которые были введены в работе Тураева и Шильникова [25]2. Системы с дикими гиперболическими аттракторами (также как и системы с квазиаттракторами) принадлежат областям Ньюхауса. Однако в этом случае ни сама система, ни все близкие к ней не содержат устойчивых периодических траекторий.

2Термин «дикий» восходит к Ш. Ньюхаусу [61], который ввел понятие «дикого гиперболического множества» — равномерно гиперболического базисного множества, чьи устойчивое и неустойчивое инвариантные множества (усы) имеют касание. Ньюхаус показал, что свойство наличия касания является сохраняющимся и, следовательно, системы с дикими гиперболическими множествами образуют открытые области (в С" -топологии с г > 2) в пространстве динамических систем.

В той же работе Тураева и Шильникова [25] был приведен пример системы, обладающей диким спиральным аттрактором, который содержит состояние равновесия типа седло-фокус и, помимо этого, допускает также гомоклинические касания. Другой весьма важный тип диких гиперболических аттракторов составляют т.н. дикие лоренцевские аттракторы которые могут быть получены, в частности, при периодических возмущениях автономных систем с аттракторами Лоренца [26]. Хорошо известно, что последние не допускают гомоклинических касаний. Такие касания могут возникать при периодических возмущениях, но при этом устойчивые периодические траектории здесь все равно не появляются [26, 24]. Основной причиной этого обстоятельства является то, что дикие лоренцевские аттракторы обладают т.н. псевдо-гиперболической структурой, [25, 26]3.

Весьма важной особенностью диких лоренцевских аттракторов является то, что они могут рождаться в результате локальных бифуркаций периодических траекторий. Как показано в [66], это возможно в тех случаях, когда периодическая траектория имеет три или более мультипликатора на единичной окружности. Последнее обстоятельство говорит о том, что соответствующие аттракторы могут быть обнаружены в конкретных моделях, которые содержат достаточное количество параметров, чтобы обеспечить.

3Напомним, что, по определению, псевдо-гиперболическое множество отображения / — это такое компактное инвариантное множество, А с М, что для каждой точки х? А касательное пространство разлагается в прямую сумму ТХМ = Т © Т? двух подпространств таких, что / на Т является сильно сжимающим («сильно» означает здесь, что любые возможные сжатия в трансверсальных направлениях являются более слабыми), а на Т2 растягивает (экспоненциально) объемы. По сути, здесь определяется некоторый тип нормальной гиперболичности, ср. с [42, 54], а значит, псевдо-гиперболичность сохраняется при малых гладких возмущениях. Определение псевдо-гиперболичности для потоков — вполне аналогично, см., например, [25, 26], и поэтому мы его не приводим. Однако, заметим, что в случае потоков псевдо-гиперболичность сохраняется также и при малых неавтономных периодических возмущениях, [26]. Кроме того, условие растяжения площадей на Т2, очевидно, запрещает устойчивые периодические траектории. существование вырождения указанного типа.

Одной из таких моделей является трехмерное отображение Эно следующего вида: х = у, у = г, г — М + Вх + М^у — г2, (0.1) в котором присутствуют три независимых параметра, М, М2 и Б. В работе [72] (см. также [73]) было показано, что отображение (0.1) обладает (глобальным) диким лоренцевским аттрактором в некоторой открытой области параметров (см. рис. 1).

Рис. 1. Примеры аттракторов, численно наблюдавшихся в отображении (0.1) при Mi = 0, В = 0.7 и (а) М2 = 0.85- (б) М2 = 0.815.

Нужно отметить, что еще в работе Гонченко, Тураева и Шильникова, [13] было анонсировано, что бифуркации многомерных систем с гомокли-ническими касаниями коразмерности один могут приводить к настоящим странным аттракторам (например, лоренцевского типа). Однако, в этом случае исходная система с гомоклиническим касанием должна иметь, как минимум, размерность четыре — для отображений, или пять — для потоков. Условие коразмерности один означает, что предполагается выполненным только одно негрубое условие — существование гомоклинического касания. Все остальные накладываемые условия — общего положения, в частности, касание должно быть квадратичным, а ф 1 и т. п.

В недавних работах [73, 51], было показано, что глобальные бифуркации уже трехмерных диффеоморфизмов могут также приводить к рождению диких лоренцевских аттракторов.

В работе [73] изучались, в рамках трехпараметрических семейств, бифуркации в случае гомоклинического касания многообразий неподвижной точки О типа седло-фокус (2,1), с мультипликаторами = е±гч>, = 7, где 0 < Л < 1 < 7, 0 < </? < 7 г. Но в отличие от [13], исходный диффеоморфизм из [73] имеет дополнительное вырождение — якобиан отображения в О равен единице, т. е. А27 = 1 (такая точка называется седло-фокусом консервативного типа).

В работе [51] изучались бифуркации в случае негрубого гетероклини-ческого контура, содержащего две неподвижные точки 0 и О2 типа (2,1), причем одна из них — седло-фокус, а другая — седло. Хотя исходная система имеет здесь коразмерность один (поскольку IVй (О1) и 1У5(Ог) пересекаются трансверсально, а ^" (Ог) и У/8(0) имеют квадратичное касание в точках некоторой негрубой гетероклинической траектории), бифуркационный анализ проводится в рамках трехпараметрических семейств общего положения. Рождение диких аттракторов Лоренцевского типа доказывалось здесь при одном весьма важном дополнительном условии общего положения, что якобиан отображения в одной из точек 0 или О2 — больше единицы, а в другой — меньше единицы4.

4При невыполнении этого условия, если, например, якобианы в обеих точках меньше единицы,.

Рис. 2. Пример диффеоморфизма с негрубым гетероклиническим контуром, содержащим две неподвижные точки типа седло-фокус (2,1).

В настоящей диссертации эта тематика продолжена. В главе 3 рассматривается контур другого типа по сравнению с [51], а именно, негрубый гетероклинический контур, содержащий две неподвижные точки О и О2, которые обе являются седло-фокусами типа (2,1), см. рис. 2. И опять же, как в [51], накладывается дополнительное условие общего положения: якобиан отображения в одной из точек 0 или О2 — больше единицы, а в другой — меньше единицы.

Постановка задачи.

Рассматриваются три следующих случая Сг-гладких, г > 4, диффеолюбые трехмерные объемы вблизи контура будут асимптотически сжиматься при итерациях диффеоморфизма. И, соответственно, общая динамика становится эффективно двумерной [69]. морфизмов, обладающих негрубыми гомоклиническими или гетероклини-ческими орбитами.

Случай 1 (многомерные диффеоморфизмы с квадратичным гомокли-ническим касанием к нейтральному седлу).

Здесь мы предполагаем, что выполнены следующие условия: А1. Диффеоморфизм /о имеет седловую неподвижную точку О с мультипликаторами Ах, Аг,., Ап, 7, где 0 < |Аг| < |-X11 < 1 < |7|, г = 2,., п. Таким образом, сИт 14^(0) = п, сИтИ^О) = 1- В1. Седловая величина о = |Лх'у| равна 1;

С1. Устойчивое №" ¦(()) и неустойчивое И/э{0) многообразия точки О касаются квадратичным образом в точках некоторой гомоклинической орбиты Г0;

Мы также предполагаем, что рассматриваемое гомоклиническое касание является простым [13]. Тем самым к условиям А1 — С1 добавляется следующее условие общего положения:

01. Расширенное неустойчивое инвариантное многообразие И/" иг (0) и слои сильно устойчивого инвариантного слоения Fss на И/Г?!(0) пересекаются трансверсально в точках орбиты Го.

Напомним (см. [64, 54]), что при выполнении условия А1 на п-мерном устойчивом многообразии И/в (0) существует единственное Сг-гладкое сильно устойчивое инвариантное слоение Fss, каждый слой которого является (п — 1)-мерным многообразием. Слоение содержит также неведущее устойчивое многообразие И/5Я (0). По определению из [64, 54], локальное расширенное неустойчивое многообразие И^(О) — это инвариантное многообразие, содержащее Уи (0) и касающееся ведущего устойчивого направления (отвечающего мультипликатору Ах) в точке О.

Случай 2 (Трехмерные диффеоморфизмы с квадратичным гомокли-ническим касанием к нейтральному седло-фокусу).

Здесь мы предполагаем, что выполнены следующие условия: А2. Диффеоморфизм /о имеет неподвижную точку О типа седло-фокус с мультипликаторами — Хе±г1р, щ = 7, где 0 < А < 1 < | —у|- В2. Седловая величина, а = А|-у| равна 1;

С2. Устойчивое И^(О) и неустойчивое ¥-и{0) инвариантные многообразия точки О касаются квадратичным образом в точках некоторой гомоклинической орбиты Го.

Случай 3 (Трехмерные диффеоморфизмы с гетероклиническим контуром, содержащим седло-фокусы и квадратичным касанием многообразий) Здесь мы предполагаем, что выполнены следующие условия: АЗ. Трехмерный диффеоморфизм /о имеет две неподвижные точки 0 и О2, которые обе являются седло-фокусами типа (2,1).

ВЗ. /о имеет непостоянный якобиан и, более того, в одной из неподвижных точек якобиан меньше единицы, а в другой — больше единицы.

СЗ. Инвариантные многообразия Ши (0) и И^(02) пересекаются трансверсально в точках некоторой гетероклинической траектории Г12, а У/и{02) и У8(01) имеют квадратичное касание в точках некоторой гетероклинической траектории Г21.

Цель диссертации состоит в том, чтобы в рамках параметрических семейств общего положения изучить бифуркации периодических траекторий, целиком лежащих в некоторой малой окрестности гомоклинической орбиты (в случаях 1 и 2) или гетероклинического контура (в случае 3) в системах, близких к /о.

В настоящей диссертации были получены следующие результаты.

В случае 1 рассматривается двухпараметрическое семейство д = (/?1, ?12)> где ?1 — параметр расщепления устойчивого и неустойчивого многообразий неподвижной точки О, ^ — параметр, отвечающий за отклонение седловой величины, а от единицы, т. е. ?22 — |Ах7| — 1. Здесь изучаются бифуркации однообходных периодических траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической траектории. Такая окрестность строится как объединение некоторой малой окрестности Щ точки О и (конечного числа) малых окрестностей тех точек орбиты Го, которые лежат вне Щ. Введем следующие обозначения: К*0С{О) = 1У5(0) П и0, И^с (0) -IVй (О) П С/оВыберем две гомоклинические точки М+ 6 И^(О), М~ € ИП1ос{0) и их малые окрестности, соответственно, П+ и П. Отображения первого возвращения из П+ в П+ строятся в виде суперпозиций локального и глобального отображений: Тк — Однообходным периодическим траекториям отвечают неподвижные точки этих отображений. Здесь локальное отображение То представляет собой ограничение диффеоморфизма /ц на Щ, т. е. То = /ци0- Начиная с некоторого количества итераций к отображения То, образы окрестности П+ будут иметь при к > к непустые пересечения с окрестностью П~, причем (п + 1)-мерные полоски, а — П П" накапливаются к И^с (0) при к —у оо. Прообразы полосок, а — это, соответственно, полоски сгд С П+, которые накапливаются к ЩоС (0). Очевидно, существует натуральное щ такое, что М+ = Тогда при всех малых // определено отображение: Т =: П~ —>• П+, которое называетсяч глобальным.

В главе 1 настоящей диссертации показано (лемма 1), что при выполнении условия Б1 отображение Тк: с-«¦ П+ может иметь на сг^ (асимптотически устойчивое) двумерное инвариантное центральное многообразие И7^. При этом, отображение с помощью аффинных преобразований координат (рескейлинга) может быть приведено к следующему виду:

X — У + о (А{), ч.

0−2).

У = М1- М2Х — У2 + Ак-ЯХУ + А{5У3 + о (А{). Здесь координаты X и У могут принимать произвольные конечные значения при больших к. Новые параметры М и М2 связаны с и Д2 следующим образом (точные формулы приведены в параграфе 1.2.):

12кЫ + ак), М2~.Л (Ап)*, (0.3) где скд- —0 при к оо (напомним, что /л2 = 1¹⁷¹ — !)• Кроме того, Я, 5 и ,/1 ф 0 — некоторые инварианты глобального отображения. Из (0.3) видно, что при варьировании /?1 и /12 вблизи нуля параметры М и М2 при достаточно больших к могут принимать произвольные конечные значения, более того, М2 сохраняет при этом свой знак. Мы будем называть случай М2 > 0 «ориентируемым», а М2 < 0 — «неориентируемым». Заметим, что при А17 > 0 знак М2 не зависит от к, и при всех натуральных к > к мы будем иметь на IV* только ориентируемые (при > 0) или только неориентируемые (при Jl < 0) случаи. При А17 < 0 знак М2 зависит от четности к, и, соответственно, ориентируемые и неориентируемые случаи будут чередоваться.

Отображение (0.2) называется обобщенным отображением Эно, так как оно является малым возмущением специального вида стандартного отображения Эно:

X = У, У = М1- М2х — У2. (0.4).

Бифуркационные диаграммы отображения Эно (0.4) и обобщенного отображения Эно (0.2) приведены, соответственно, на рисунках 3 (а) и (б).

Здесь показаны бифуркационные кривые для неподвижных точек, а также точек периода два. Изображены линии Ь+, и Ь* (соответственно,, Ь^ и Ьна которых отображение имеет неподвижную точку с мультипликатором + 1, —1 и е±г<�р соответственнокроме того, линии ^ (и линии для отображения (0.2)), на которых точки периода два имеют мультипликаторы е±г1р, и Ь2~ (соответственно, на которой точки периода два имеют мультипликатор, равный —1. Основные бифуркации.

Рис. 3. Элементы бифуркационной диаграммы для (а) отображения Эно, б) обобщенного отображения Эно. коразмерности один) — седло-узловая и удвоения периода — невырождены в обоих случаях. Однако, у отображения Эно бифуркации, связанные с появлением мультипликаторов е±г^ у неподвижных точек, являются всегда вырожденными. В отличие от этого, у обобщенного отображения Эно эти бифуркации невырождены в общем случае, если Я. ф 0 [46]. И поэтому здесь можно говорить о настоящих бифуркациях Андроиова-Хопфа. В случае точек периода два бифуркация Андронова-Хопфа также невырождена, если Я ф 0 на кривой Ь%2 и Я2 + 27?, 5 ф 0 на кривой Щ2. Это показано в.

параграфе 1.3. (лемма 2).

Основной результат в случае 1 может быть сформулирован в виде следующей теоремы, описывающей структуру бифуркационной диаграммы семейства f^l =.

Теорема 1. Пусть /о удовлетворяет условиям А1 — 01. Семейство близких к /о диффеоморфизмов имеет на плоскости параметров (МъА^) следующие бифуркационные кривые:

1. Счетное множество бифуркационных кривых Ь^, накапливающихся к прямой ?1 = 0 при к —>• оо и отвечающих появлению у одно-обходных периодических траекторий мультипликаторов +1 и — 1 соответственно.

2. Если Л17 > 0 и Jl > 0, то существует также счетное мнооюество кривы, х Щ и стягивающихся к тючке (/11,^2) = (0)0) пРи & —> оо и отвечающих наличию у однообходных и двухобходных периодических траекторий соответственно, пары мультипликаторов е±1{р.

3. Если Л17 > 0 и < 0, то существует счетное множество кривых стягивающихся к точке (дь/лг) = (0,0) при к —> оо и отвечающих наличию у двухобходных периодических траекторий пары мультипликаторов е±г1р.

4. Если Л17 < 0, то имеет кривые Щ и пРи > 0 м кривые при Jl (Xl'y)k < 0.

В случае 2 исследование проводится в рамках трехпараметрического семейства диффеоморфизмов ц = (/¿-1,/¿-2,/¿-з)> гДе I1! ~ параметр расщепления устойчивого и неустойчивого многообразий, ~ параметр, отвечающий за отклонение седловой величины, а от единицы, и — комплексный аргумент р устойчивых мультипликаторов. Показывается, что отображение первого возвращения Т&при всех достаточно больших к с помощью аффинных замен координат и параметров может быть приведено к следующему виду (лемма 4):

Х = У + о{1).

У = М1- М2ХУ2 + о (1) (0.5).

2 = о{1).

Здесь координаты X, У и 2 могут принимать произвольные конечные значения, а параметры М и М2 связаны с исходными следующим образом (см. точную формулу (2.8) в параграфе 2.3.):

М^-уЫ^ + Тк), М2~{1 + 112) ксоъ{кр + (3), (0.6) где Тк —? 0 при к —> оо, ?5 — некоторая константа, зависящая от коэффициентов глобального отображения. При варьировании (1 вблизи нуля параметр М может принимать произвольные конечные значения. При^ь2 > 0 (т.е. а > 1), варьируя (р, можно добиться, чтобы параметр М2 принимал произвольные конечные значения.

Отображение (0.5), когда М2 не мало (что возможно только при ц2 > 0), с точностью до асимптотически малых членов совпадает на некотором центральном многообразии с отображением Эно (0.4). Если же р, 2 < 0, то М2 —у 0 при к —> оо, динамика отображения (0.5) становится одномерной и описывается отображением параболы:

У = МгУ2. (0.7).

Бифуркации отображений (0.4) и (0.7) хорошо известны. Что касается устойчивых неподвижных точек, то у отображения параболы (0.7) она существует при —¼ < М < ¾, в отображении Эно (0.4) — при значениях параметров М и М2, принадлежащих криволинейному треугольнику, ограниченному кривыми Ь+, Ь~ и Ьф (см. рис. За). Поэтому области устойчивости неподвижных точек отображений Т будут выглядеть по-разному при /.?2 < 0 и ^ > 0, см. рис 4, гле изображена область устойчивости для отображения Т^ при достаточно большом фиксированном к. При /?2 < 0 (сг < 1) области устойчивости семейства и, л.

Рис. 4. Вид области устойчивости 5fc для неподвижных точек отображения Тк в трехпараметрическом пространстве. диффеоморфизмов //7 представляют собой объединение счетного числа «слоев» между поверхностями и отвечающих седлоузловой бифуркации и бифуркации удвоения периода отображений Тк и накапливающихся к поверхности ¡-л — 0 при к —> оо (см. рис. 5 (а)). Очевидно, что однопараметрическое семейство общего положения в этом случае будет иметь счетное число пересечений с даными областями, то есть в рамках данного семейства будет наблюдаться каскад устойчивых периодических траекторий. В случае же Ц2 > 0, если </? принимает значения от 0 до 7 Г, область устойчивости на сечении, а = const при каждом к представляет собой объединение криволинейных треугольников (см. рис. 5 (б)), число которых бесконечно растет при к —> оо (примерно как число корней функции со в (?-</? + /3) на интервале Дер изменения значений угла (р). Поэтому, в общем случае, однопараметрические семейства общего положения могут или вообще не пересекать эти треугольники или может пересечь (в отличие от случая о < 1) лишь конечное число их. Это объясняет явление «ненаблюдаемости» устойчивых периодических траекторий в однопараметрических семействах при переходе через границу, а — 1 [18]. Основной результат для случая 2 может быть сформулирован в виде следующей теоремы:

Ь) Сечение Ль (ц.ср.ст) П {ст=сопз1>1}.

Рис. 5. Сечения области устойчивости при, а < 1 и ст > 1.

1 л 2,. v.

Ц (ц, СТ, ф) —" ф а) Сечение Дк (ц, ф, ст) П {о=сопб (<1}.

Теорема 2. Пусть /о удовлетворяет условиям А2 — С2. Тогда имеют место следующие утверждения, о структуре бифуркационной диаграммы однообходиых периодических траекторий семейства близких к /о диффеом, орфизмов при достаточно малых ||/л|| < 5.

1) содержит счетное множество поверхностей и k = к, к + 1,.накапливающихся к плоскости ц = О при к —> +оо. Эти бифуркационные поверхности вместе с линиями С Ь^ П В++ С L+ П Ъ и Вк С Lk П определяют границы области устойчивости Sk, т. е. такой открытой области в ||/л|| < 6, при значении ?1 из которой диффеоморфизм f^ имеет асимптотически устойчивую однообходную периодическую траекторию периода к + щ.

2) Зона устойчивости Sk имеет форму гребенки, как на рис. 4¦ При отрицательных ^ только поверхности и являются границами области Sk, которая выглядит как плоский слой толщины порядка *у~2к, лежащий вблизи плоскости ц — j~ky~. При приближении к положительным fj, 2 возникают новые границы устойчивости — поверхности h с кривыми, Bk+, Вк~. При этом, множество Sk П {/i 2 = const > 0} при любом достаточно большом к состоит из криволинейных треугольников, имеющих размеры порядка ry~2k х на (/¿-i,<p)-сечениях) и, расположенных периодически (с периодом 2тт/к) вдоль координаты, (р, см, рис. 5.

В случае 3 рассматривается трехпараметрическое семейство диффеоморфизмов /м, [г = (/?1, /?2, А^з)) гДе Д1 ~~ параметр расщепления устойчивого и неустойчивого многообразий,² ~~ комплексный аргумент устойчивых мультипликаторов одной из неподвижных точек, являющийся П-модулем, и /13 — параметр, управляющий значениями якобианов в неподвижных точках. Показано (лемма 6), что отображение первого возвращения Tkj в семействе с помощью аффинных преобразований координат и параid un I 11 mllli и ill ill II I III llll Ill Hi IL. I II метров может быть приведено к виду, асимптотически близкому к трехмерному отображению Эно (0.1). Таким образом, изучение бифуркаций одно-обходных периодических траекторий в семействе ft, может быть сведено к изучению бифуркаций неподвижных точек трехмерного отображения Эно.

В настоящей диссертации был исследован ряд основных таких бифуркаций в отображении (0.1). В частности, были рассмотрены все бифуркации коразмерности один и два. В случае бифуркации Андронова-Хопфа была вычислена первая ляпуновская величина и качественно описаны кривые в пространстве параметров, на которых она обращается в нуль. Для бифуркаций коразмерности два, связанных здесь с появлением у неподвижной точки двух единичных мультипликаторов5, были определены условия их невырожденности и построены локальные бифуркационные диаграммы. Соответствующие результаты собраны в главе 4.

Из многочисленных бифуркаций коразмерности три главное внимание в диссертации уделяется только одной, приводящей к появлению в отображении (0.1) странного аттрактора Лоренцевского типа, а именно, случаю, когда отображение (0.1) имеет неподвижную точку в мультипликаторами (-1,-1,-1−1) при значениях параметров (Mi = —¼, М2 = 1, В = 1). В окрестности данной бифуркационной точки рассматривается так называемая потоковая нормальная форма такая, что сдвиг на единицу времени по ее траекториям совпадает с квадратом отображения (0.1) с точностью до квадратичных членов. Затем эта нормальная форма с помощью некоторых замен координат, параметров и времени приводится к виду системы.

5Соответственно, здесь были исследованы бифуркации, когда неподвижная точка имеет пару мультипликаторов +1,4−1 (резонанс 1:1), или -1,-1 (резонанс 1: 2) или +1,-1 (в англоязычной литературе используется термин «fold-flip» для обозначения такой бифуркации). Также были рассмотрены случаи резонансов 1: 3 и 1: 4.

Шимицу-Мориока: х = у, у = х (1-г)-у, (0.8) г = — аг + х2.

Этот результат доказан в лемме 8. Как известно [37, 65], система (0.8) обладает аттрактором Лоренца в некоторой области параметров (Л, а), и, следовательно, трехмерное отображение Эно также обладает так называемым диким гиперболическим аттрактором Лоренцевского типа6 в некоторой области параметров в окрестности точки (М = —¼, М2 = 1, В = 1). Относительно исходного семейства данный результат приводит к следующей теореме, которая представляет собой основной результат в случае 3:

Теорема 3. В любой окрестности точки ?1 = 0 в пространстве параметров существуют открытые области N, в которых плотны значения ц = (/хх, /х2, /хз) такие, что соответствующий диффеоморфизм имеет счетное множество сосуществующих диких гиперболических аттракторов лоренцевского типа.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, а также списка литературы.

1. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд, — М.:Наука, 1978.

2. Афраймович, В. С. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел / B.C. Афраймович, Л. П. Шильников // ДАН СССР.- 1974, — Т. 219, № 6. С. 12 811 285.

3. Афраймович, B.C. О возникновении и структуре аттракторов Лоренца / B.C. Афраймович, В. В. Быков, Л. П. Шильников // ДАН СССР.- 1977, — Т. 234, № 2, — С. 336−339.

4. Афраймович, B.C. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца / B.C. Афраймович, В. В. Быков, Л. П. Шильников // Тр. ММО 1982. Т. 44, — С. 150−212.

5. Афраймович, B.C. О бифуркациях коразмерности один, приводящих к появлению счетного множества торов / B.C. Афраймович, Л. П. Шильников // ДАН СССР- 1982. Т. 262, № 4. С. 101−105.

6. Афраймович, B.C. Инвариантные торы, их разрушение и стохастич-ность / B.C. Афраймович, Л. П. Шильников // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб. науч. тр.- Горький, 1983.— С. 3−26.

7. Гаврилов, Н.К. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой. I / Н. К. Гаврилов, Л. П. Шильников // Матем. сб.- 1972. Т. 88, № 4 Р. 475−492.

8. Гаврилов, Н.К. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой. II / Н. К. Гаврилов, Л. П. Шильников // Матем,. сб.- 1973. Т. 90, № 1 — Р. 139−157.

9. Гоиченко C.B. Об устойчивых периодических движениях в системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой / C.B. Гон-ченко // Мат. заметки.— 1983 — Т. 33, № 5 — С. 745−755.

10. Гонченко, C.B. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников // Методы качественной теории и теории бифуркаций: Меэювуз. тематич. сб. науч. тр.— 1991.— С. 36−61.

11. Гонченко, C.B. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников //ДАН СССР.-1991. Т. 320, № 2, — С. 269−272.

12. Гонченко, C.B. О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Л. П. Шильников // Изв. РАН, сер. м, а, тематика— 1992, — Т. 56, № 6.— С. 1165−1196.

13. Гонченко, C.B. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников //Докл. Росс. Акад. Наук — 1993 — Т. 330, № 2, — С. 144−147.

14. Гонченко, C.B. О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) / C.B. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников // Докл. Росс. Акад. Наук.- 1993, — Т. 329, № 4, — С. 404−407. •.

15. Гонченко, C.B. Модули Г2-сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром / С. В. Гонченко // Мат. сборник.- 1996, — Т. 187, № 9. С. 3−24.

16. Гонченко, C.B. Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническимконтуром / C.B. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников // Труды МИАН— 1997.— Т. 216. С. 76−125.

17. Гонченко, C.B. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса / C.B. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников // Труды международной конференции, посвященной 90-летию со дня, рождения Л. С. Понтрягина.— 1999.— Т. 67.— С. 69−128.

18. Гонченко, C.B. О динамических свойствах диффеоморфизмов с гомо-клиническими касаниями / C.B. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников // Современная математика и ее приложения.— 2003.— Т. 7, — С. 92−118.

19. Гонченко, C.B. О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями / C.B. Гонченко, B.C. Гонченко // Труды МИАН— 2004, — Т. 244, — С. 87−114.

20. Гонченко, C.B. Гомоклинические касания, (под ред. С. В. Гонченко и Л. П. Шильникова // Москва-Ижевск, — 2007.

21. Лукьянов, В. И. О некоторых бифуркациях динамическизх систем с гомоклиническими структурами / В. И. Лукьянов, Л. П. Шильников // ДАН СССР.- 1978. Т. 243, № 1- С. 26−29.

22. Овсянников, И.М. О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса / И. М. Овсянников, Л. П. Шильников // Матем. сб.— 1986, — Т. 130, № 4, — С. 552−570.

23. Cama. ee, Е. А. Отсутствие устойчивых траекторий у неавтономных возмущений систем типа системы Лоренца / Е. А. Сатаев // Мат, ем, сб- 2005, — Т. 196, № 4, — С. 99−134.

24. Тураев, Д. В. Пример дикого странного аттрактора / Д. В. Тураев, Л. П. Шилыгаков // Матем. сб.- 1998. Т. 189, № 2. С. 137−160.

25. Тураев, Д. В. Псевдогиперболичность и задача о периодических возмущениях аттракторов лоренцевского типа / Д. В. Тураев, Л. П. Шильников // Доклады Академии Наук.— 2008, — Т. 418, № 1.— С. 2327.

26. Шильников, Л.П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий / Л. П. Шильников // Матем. сб.— 1963. Т. 61, № 4. С. 433−466.

27. Шильников, Л. П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений / Л. П. Шильников // ДАН СССР.— 1965, — Т. 160, № 3, — С. 558−561.

28. Шильников, Л.П. О рождении периодического движения из траектории, идущей из состояния равновесия типа седло-седло в него же / Л. П. Шильников // Докл. АН СССР.- 1966. Т. 170, № 1- С. 48−52.

29. Шильников, Л. П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа / Л. П. Шильников // Матем. сб.- 1967. Т. 74, № 4 — С. 378−397.

30. Шильников, Л.П. К вопросу о структуре окрестности гомоклиниче-ской трубы инвариантного тора / Л. П. Шильников // ДАН СССР.— 1968. Т. 180, № 2, — С. 286−289.

31. Шильников, Л.П. О рождении периодического движения из траектории, двоякоассимптотической к состоянию равновесия типа седло / Л. П. Шильников // Мат. сб.- 1968. Т. 77, № 3 С. 461−472.

32. Шилъников, Л. П. Об одном новом типе бифуркаций многомерных динамически систем / Л. П. Шильников f j Докл. АН СССР.— 1969.— Т. 189, № 1. С. 49−62.

33. Шильников, Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус /Л.П. Шильников // Матем. сборник.- 1970, — Т. 81, № 1. С. 92−103.

34. Шильников, Л. П. Теория бифуркаций и квазигиперболические аттракторы / Л. П. Шильников // УМЕ.- 1981, — Т. 36, вып. 4, — С. 240 241.

35. Шильников, Л. П. Теория бифуркаций и турбулентность / Л. П. Шильников // в сб. Методы качественной теории дифференциальных уравнений.— Горький, 1986, — С. 150−163.

36. Шильников, А. Л. Бифуркации и хаос в системе Мариока-Шимицу / А. Л. Шильников // в сб. «Методы качественной теории дифференциальных уравнений» .— Горький, 1986.— С. 180−193.

37. Afraimovich, V.S. Strange attractors and quasiattractors / V.S. Afraimovich, L.P. Shilnikov // Nonlinear dynamics and turbulence, Interaction Mech. Math. Ser— Pitman, 1983 — P. 1−34.

38. Arneode, A. The dynamics of triple convection / A. Arneode, P.H. Coullet, E.A. Spiegel // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn — 1985.— Vol. 31- P. 1−48.

39. Benedicks, M. The dynamics of the Henon map / M. Benedicks, L. Carleson // Ann. of Math.- 1991, — Vol. 133 P. 73−169.

40. Broer, H. Invariant circles in the Bogdanov-Takens bifurcation for diffeomorphisms / H. Broer, R. Roussarie, C. Simo // Ergod. Th. Dyn. Syst.- 1996. Vol. 16. P. 1147−1172.

41. Fenichel, N. Persistence and smoothness of invariant manifolds for flows / N. Fenichel 11 Indiana Univ. Math. J.- 1971; Vol. 21, no. 3. P. 193 226.

42. Gonchenko, S. V. On models with non-rough Poincare homoclinic curves / S.V. Gonchenko, L.P. Shil’nikov, D.V. Turaev // Physica D- 1993 -Vol. 62. P. 1−14.

43. Gonchenko, S. V. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits / S.V. Gonchenko, L.P. Shilnikov, D.V. Turaev // Interdisc. J. Chaos.- 1996. Vol. 6, no. 1. P. 15−31.

44. Gonchenko, S. V. Dynamics and moduli of fi-conjugacy of 4D-diffeomorphisms with a structurally unstable homoclinic orbit to a saddle-focus fixed point / S.V. Gonchenko // Amer. Math. Soc. Transl— 2000.— Vol. 200, no. 2, — P. 107−134.

45. Gonchenko, S. V. On Andronov-Hopf bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies / S.V. Gonchenko, V.S. Gonchenko // Preprint No.556, WIAS, Berlin, 2000.

46. Gonchenko, S. V. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps / S.V. Gonchenko,.

47. P. Shilnikov, D.V. Turaev // Nonlinearity.- 2007, — Vol. 20. P. 241 275.

48. Gonchenko, S. V. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions. I / S.V. Gonchenko, L.P. Shilnikov, D.V. Turaev // Nonlinearity.- 2008. Vol. 21 P. 923−972.

49. Gonchenko, S.V. On global bifurcations in three-dimensional diffeomorphisms leading to wild Lorenz-like attractors / S.V. Gonchenko, L.P. Shilnikov, D.V. Turaev // Regular and Chaotic Dynamics — 2009.— Vol. 14, no. 1- P. 137−147.

50. Gonchenko, V.S. On bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with a homoclinic tangency of manifolds of «neutral» saddle / V.S. Gonchenko // Proc. of Math. Steklov Inst.- 2001. Vol. 236. P. 8693.

51. Gonchenko, V.S. Generalized Henon map and bifurcations of homoclinic tangencies / V.S. Gonchenko, Yu.A. Kuznetsov, H.G.E. Meijer // SI AM J. of Appl. Dyn. Sys— 2005, — Vol. 4, no. 2, — P. 407−436.

52. Hirsh, M. Invariant manifolds / M.W. Hirsh, C.C. Pugh, M. Shub // Lecture Notes in Math.— Springer-Verlag, Berlin, 1977.— Vol. 583.

53. Kuznetsov, Yu.A. Elements of applied bifurcation theory / Yu. A. Kuznetsov // Springer-Verlag, 1995.

54. Kuznetsov, Yu.A. The fold-flip bifurcation / Yu.A. Kuznetsov, H.G.E. Meijer, I. van Veen // Int. J. Bifurcation & Chaos — 2004, — Vol. 14, no. 7. P. 2253−2282.

55. Lomeiii H.E. Heteroclinic Orbits and Transport in a Perturbed, Integrable Standard Map / H.E. Lomeiii, J.D. Meiss // Phys. Lett. A— 1999 Vol. 269, no. 5−6. P. 309−318.

56. Mora, L Abundance of strange attractors / L. Mora, M. Viana // Acta Math.— 1993, — Vol. 171, no. 1, — P. 1−71.

57. Neishtadt, A. The separation of motions in systems with rapidly rotating phase / A. Neishtadt //J. Appl. Math. Mech.- 1984, — Vol. 48. P. 133 139.

58. Newhouse, S.E. Diffeomorphisms with infinitely many sinks / S.E. Newhouse // Topology 1974, — Vol. 13, — P. 9−18.

59. Newhouse, S.E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms / S.E. Newhouse // Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci.- 1979, — Vol. 50. P. 101−151.

60. Newhouse, S. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms / S.E. Newhouse, J. Palis, F. Takens // Publ. Math. Inst. Haute Etudes Scientifiques.- 1983. Vol. 57. P. 5−72.

61. Pisarevsky, V. Asymptotic normal forms for equilibria with a triplet of zero characteristic exponents in systems with symmetry / V. Pisarevsky, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev // Regular and Chaotic dynamics — 1998.— Vol. 2, — P. 123−135.

62. Shilnikov, L.P. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics, Part I / L.P. Shilnikov, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev, L.O. Chua // World Scientific.— 1998.

63. Shilnikov, A.L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimuizu-Morioka model / A.L. Shilnikov // Phijsica D.- 1993, — Vol. 62, — P. 338 346.

64. Shilnikov, A.L. Normal forms and Lorenz attractors / A.L. Shilnikov, L.P. Shilnikov, D.V. Turaev // Int. J. of Bifurcation and Chaos — 1993.— Vol. 3, — P. 1123−1139.

65. Tatjer, J. С. Three-dimensional dissipative diffeomorphisms with homoclinic tangencies / J.C.Tatjer // Ergod. Th. & Dynam. Sys — 2001. Vol. 21, no. 1- P. 249−302.

66. Tig an, G. Analytical search for homoclinic bifurcations in the Shimizu-Morioka model / G. Tigan, D.V. Turaev // Physica D: Nonlinear Phenomena- 2011; Vol. 240, no. 12. P. 985−989.

67. Turaev, D. V. On dimension of non-local bifurcational problems / D.V. Turaev // Bifurcation and Chaos.- 1996 Vol. 6, no. 5 — P. 919−948.Основные публикации автора по теме диссертации.

68. Ронченко, С.В. О бифуркациях трехмерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром, содержащим седло-фокусы / С. В. Гонченко, И. И. Овсянников // Нелинейная динамика.— 2010.— Т. 6, № 1, — С. 61−77.

69. Гонченко, B.C. Бифуркации рождения замкнутых инвариантных кривых в обобщённых отображениях Эно / B.C. Гонченко, И. И. Овсянников // сб. статей «Математика, и кибернетика» .— 2003.— С. 101−103.

70. Gonchenko, S. V. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors / S.V. Gonchenko, I.I. Ovsyannikov, C. Simo, D.V. Turaev // Int. J. of Bifurcation and Chaos.— 2005, — Vol. 15. P. 34 933 508.

71. Gonchenko, S. V. Chaotic dynamics of three-dimensional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation / S.V. Gonchenko, J.D. Meiss, I.I. Ovsyannikov // Regular Chaotic Dyn— 2006.— Vol. 11.— P. 191−212.

72. Gonchenko, V.S. On bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms with a homoclinic tangency to a «neutral» saddle fixed point / V.S. Gonchenko, I.I. Ovsyannikov // Зап. иаучн. сем. ПОМИ.— 2003.— Vol. 300, — P. 167−172.