Создание конструкций с определенными демпфирующими свойствами требует разработки методов учета влияния гистерезисных потерь как при установившихся колебаниях, так и в нестационарных динамических процессах. Известно, что потери энергии при колебаниях механических систем обусловлены двумя основными факторами: конструкционным трением, имеющимся в узлах сочленения агрегатов конструкций, и внутренним трением в материале. Общепринятым является мнение, что потери энергии при конструкционном трении на порядок больше, чем при внутреннем трении в материале. Однако последние достижения в создании материалов и сплавов с высокими демпфирующим свойствами [37, 38, 52, 82, 83, 84] практически уравнивают упомянутые выше виды трения. Работы в области проектирования и расчета больших космических конструкций [97] свидетельствуют о необходимости учета даже незначительного рассеяния энергии для обеспечения их эффективной стабилизации и управления. Поэтому при оценке динамической напряженности элементов конструкций учет внутреннего трения в материале обязателен [92, 98].
Независимо от природы внутреннего трения внешнее проявление его в материале или конструкции наблюдается в виде нелинейной зависимости напряжений от деформаций. При установившихся вынужденных колебаниях это приводит, как известно, к образованию замкнутой петли, называемой петлей гистерезиса. Форма этой петли существенно зависит от механизмов, определяющих рассеяние энергии в системе (микро-или макропластические деформации, сухое трение, вязкое или квазивязкое течение, магнитный эффект, диффузионные процессы и т. д. [28, 56, 99]. Однако во многих случаях можно не интересоваться формой петли, а достаточно ограничиться определением ее площади, так как именно площадь петли гистерезиса характеризует энергию, рассеянную в материале.
В подавляющем большинстве работ по рассеянию энергии при колебаниях механических систем рассматривается единственный вид движения этих систем — установившиеся гармонические (стационарные) колебания. Это в равной степени относится как к теоретическим, так и к экспериментальным работам. Для таких колебаний разработаны методы решения нелинейных уравнений, описывающих движение конструкций с учетом внутреннего трения материала [11, 67, 89], получены физические зависимости, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями как при одноосном, так и сложном напряженном состоянии [13, 22, 43, 59, 63, 87, 88], имеются экспериментальные данные о демпфирующих свойствах различных типов материалов. И хотя исследования в этом направлении продолжают развиваться, все же можно считать, что проблема учета внутреннего трения в материале конструкций при их стационарных колебаниях в настоящее время является достаточно хорошо разработанной.
К сожалению, этого нельзя сказать о проблеме нестационарных колебаний, которые могут возникать в конструкциях при различного рода переходных процессах, а также при действии непериодической внешней нагрузки (ударной, импульсной, случайной и т. д.). Закономерности рассеяния энергии при таких колебаниях до сих пор по существу не изучены. Это объясняется сложностью таких исследований и неприемлемостью общепринятых характеристик демпфирующих свойств и способов их определения к изучению рассеяния энергии при нестационарных колебаниях.
О том, что проблема учета внутреннего трения в материале является актуальной для практических приложений свидетельствуют аварии многих конструкций, вызванные именно нестационарными колебаниями. Наиболее известной из них является, например, авария Такомского висячего моста (США), возникшая из-за нестационарных изгибно-крутильных автоколебаний, вызванных ветровой нагрузкой. В некоторых случаях нестационарные колебания имеют характер резонансных режимов. Такие режимы могут возникать, например, в строительных конструкциях, поддерживающих машины, при медленных пусках и остановках последних, если число их оборотов в рабочем режиме выше основной частоты собственных колебаний этих конструкций, что обычно и имеет место.
Решением проблемы учета внутреннего трения при нестационарных колебаниях в свое время занимались многие исследователи. Так Е. С. Сорокин использовал для решения этой проблемы разработанную им теорию комплексного внутреннего трения [6, 77]. Комплексная форма представления физических зависимостей и начальных условий позволила Е. С. Сорокину получить общее решение уравнения движения, содержащее собственные колебания конструкции, и тем самым учесть переходные процессы, возникающие при гармонических вынужденных колебаниях. Однако решение, полученное им, можно было использовать только для анализа квазигармонических переходных процессов, т. е. процессов, происходящих при медленно изменяющихся амплитудах. Известны так же попытки решить проблему учета внутреннего трения для некоторых частных задач с помощью моделирования нелинейных уравнений движения конструкции на аналоговых вычислительных машинах. Так была, например, решена задача о нестационарных колебаниях стержня (турбинной лопатки), работающего на изгиб при действии пульсирующих продольных сил [35]. Экспериментальные методы изучения этой проблемы [25] сводятся пока лишь к накоплению данных, необходимых для понимания закономерностей рассеяния энергии в материале при некоторых видах нестационарных колебаний.
Краткий обзор состояния проблемы учета внутреннего трения материала при нестационарных колебаниях, приведенный выше, показывает, что на сегодняшний день эта проблема является практически не решенной. Те немногие разработки, которые имеются по решению этой проблемы, нельзя назвать ее решением, поскольку применить их для учета демпфирующих свойств каких-либо реальных конструкций при произвольных динамических воздействиях, невозможно. Для столь широкого решения этой проблемы необходимы совершенно другие методы и подходы, отличные от тех, которые использовались для ее изучения до сих пор.
Все имеющиеся на сегодняшний день теории, учитывающие рассеяние энергии при колебаниях механических систем, в первую очередь связаны с построением физических зависимостей, устанавливающих связь между напряжениями и деформациями. Этот вопрос, очевидно, является главным и в проблеме учета внутреннего трения в материале конструкций при их нестационарных колебаниях.
Для построения физических зависимостей, как известно, используются два основных подхода. Первый из них является чисто феноменологическим. Он основан на подборе некоторых подходящих эмпирических соотношений, описывающих неоднозначную зависимость напряжений от деформаций при нагрузке и разгрузке материала. Эти соотношения могут содержать какие-либо постоянные величины и коэффициенты, которые затем определяются с помощью экспериментов. Как правило, такие соотношения являются алгебраическими и при необходимости могут в дальнейшем уточняться. Описанный подход в теории рассеяния энергии является самым простым и именно он чаще всего используется для построения физических зависимостей при стационарных колебаниях. Таким образом получены, например, известные уравнения Е. С. Сорокина, H.H. Давиденкова, Г. С. Писа-ренко [87] и др. Данный подход, безусловно, является весьма субъективным. Этим, очевидно, и объясняется большое разнообразие используемых в настоящее время физических зависимостей для описания внутреннего трения при стационарных колебаниях.
Второй способ построения физических зависимостей для учета внутреннего трения основан на замене реального материала некоторой подходящей моделью и изучении свойств последней. Такие модели называются реологическими. Реологические модели состоят, как правило, из нескольких различных типов элементов (упругих, вязких, пластических и т. д.). Тип этих элементов, а также способ их соединения (последовательный или параллельный) определяют свойства реологической модели. Физические постоянные, описывающие свойства элементов, определяются экспериментально. Так как эти постоянные не зависят от характера деформирования модели, то для их определения можно воспользоваться экспериментальными данными, полученными для какого-либо простейшего закона деформирования, например, гармонического. Зависимость напряжений от деформаций представляется в данном случае в виде каких-либо дифференциальных или интегральных уравнений, описывающих реологические свойства модели.
Для построения физических зависимостей, учитывающих внутреннее трение материала при нестационарных колебаниях, из двух описанных выше подходов, единственно возможным, очевидно, является последний, так как только он позволяет получить эти зависимости для произвольного закона деформирования. Основным вопросом, который необходимо решать при таком подходе, является выбор подходящей реологической модели, соответствующей тому или иному механизму трения в реальном материале. Например, при вязком внутреннем трении, пропорциональном скорости деформации, можно выбрать реологическую модель Фойгта [68, 79], состоящую из двух параллельно соединенных элементов — упругого и вязкого. Такую модель можно использовать для некоторых полимеров и пластмасс [85], обладающих вязко-упругими свойствами. Для большинства же металлов и сплавов, рассматривается амплитудно-зависимое внутреннее трение, поскольку экспериментально установлено [10, 68], что в области средних и значительных напряжений рассеянная энергия в них практически не зависит от скорости деформации, а зависит лишь от ее амплитуды.
В настоящее время общепризнанным является факт, что амплитудно-зависимое трение в металлах и сплавах в области средних и значительных напряжений в основном обусловлено микропластическими деформациями.
Под микропластическими деформациями понимаются деформации, происходящие в микрообъемах материала при любом уровне напряжений, в том числе и при напряжениях, меньших макроскопического предела текучести. Впервые такой взгляд на природу внутреннего трения был высказан в 1938 г. H.H. Давиденковым [19] на основании проведенных к тому времени экспериментов. Имеется даже его прямое указание на то, что внутреннее трение должно изучаться с использованием уравнений теории пластичности Мизе-са-Генки [33, 41]. Однако эта рациональная идея была реализована H.H. Давиденковым только для случая гармонического деформирования материала в условиях одноосного напряженного состояния и при частном виде кривой нагружения. В результате была предложена известная формула петли гистерезиса, по которой потери энергии за один цикл колебаний зависят по степенному закону от амплитуды деформаций.
Указанный взгляд на основополагающую роль теории пластичности для прикладной теории рассеяния энергии разделяется и многими другими авторами. Так формула H.H. Давиденкова и ее обобщения широко используются в исследованиях Г. С. Писаренко и других сотрудников киевской школы. Эта же формула явилась основой для создания более простых прикладных теорий внутреннего трения, из которых наибольшее распространение имеет теория Я. Г. Пановко [59]. Прямое использование уравнений теории пластичности для анализа внутреннего трения в условиях одноосного напряженного состояния и опять-таки для гармонических колебаний было выполнено Е. С. Сорокиным [77]. Таким образом, в основе получения наиболее популярных в настоящее время формул рассеяния энергии при гармонических колебаниях лежат представления теории пластичности.
Плодотворность этого подхода заключается и в том, что попутно удается однозначно решить еще одну важную для прикладной теории рассеяния энергии задачу — обобщение физических зависимостей на случай сложного напряженного состояния. О том, что эта проблема актуальна для теории рассеяния энергии, свидетельствуют прямые указания в работе [77] и многочисленные способы ее решения для случая гармонических колебаний В литературе предлагалось, например, это обобщение осуществлять методами теории линейной вязко-упругости [9, 77], с помощью принципа суперпозиции [61, 62, 63], с использованием гипотезы о том, что рассеяние энергии в единице объема за цикл колебаний зависит по степенному закону от амплитудного значения плотности потенциальной энергии [58] и, наконец, методами теории пластичности [62]. Только последний из этих способов может быть корректно обобщен на негармонические колебания.
В предлагаемой диссертационной работе для построения физических зависимостей, учитывающих внутреннее трение в материале при нестационарных колебаниях, выбрана реологическая модель А. Ю. Ишлинского [32, 48, 60]. Данная модель состоит из бесконечного множества упруго-пластических элементов (элементов Прандтля) с непрерывным распределением их пределов текучести. Демпфирующие свойства модели определяются плотностью распределения этих пределов текучести. Выбранная модель позволяет получить физические зависимости при нестационарных колебаниях как для одноосного, так и сложного напряженного состояния.
Одномерный вариант реологической модели А. Ю. Ишлинского, соответствующий одноосному напряженному состоянию, неоднократно встречался в литературе. Им пользовался Мазинг для обоснования принципа его имени в теории пластичности [55]. Его рекомендовал использовать в проблеме гистерезисного трения С. П. Тимошенко [81]. Указанная модель рассматривалась так же в работах [3, 5, 21, 51] и др. Однако во всех перечисленных выше работах реологическая модель А. Ю. Ишлинского использовалась исключительно для построения кривых нагрузки и разгрузки материала при установившихся гармонических колебаниях.
Вторым основным вопросом в проблеме учета внутреннего трения при нестационарных колебаниях является выбор способа формирования разрешающих уравнений (уравнений движения конструкции). В диссертационной работе этот вопрос решается с помощью метода конечных элементов (МКЭ) [17, 26, 27, 54, 69, 80]. В настоящее время МКЭ является одним из основных методов решения задач строительной механики, механики твердого деформируемого тела, теплопроводности, гидромеханики и др. Данный метод позволяет рассчитывать сложные инженерные конструкции без каких-либо ограничений на их форму, распределение материала и внешнее воздействие. Исключительная универсальность МКЭ, а также высокая степень его приспособленности к автоматизации всех этапов расчета позволяют создавать программные комплексы целевого назначения, обеспечивающие контроль подготовки исходных данных, численную машинную реализацию алгоритмов расчетов конструкций определенных классов и выдачу результатов в удобной для практического использования форме. На сегодняшний день разработано достаточно большое число таких комплексов: КИПР-ЕС [72], Система-4 [44], ССП-МКЭ [29], СПРИНТ [95], СУМРАК-80 [12], NASTRAN [100], SAP, ASKA, SESAM [2] и др.
Решение задач общей прочности таких конструкций как планер летательного аппарата или корпус судна с использованием классических конечно-элементных моделей требует очень большого числа неизвестных узловых параметров (порядка 104 -105). Поэтому в последнее время широко используются новые варианты конечно-элементного подхода, такие как метод суперэлементов [70], метод редуцированных элементов [16], метод модуль-элементов [71], гибридные расчетные схемы [45, 47], позволяющие значительно снизить порядок системы разрешающих уравнений.
Следует заметить, что в теории рассеяния энергии при колебаниях механических систем МКЭ используется еще не так широко, как, например, при решении задач общей прочности конструкций. Однако интерес к этому методу, в связи с необходимостью расчета сложных инженерных конструкций, в последнее время растет [14, 23, 31].
И, наконец, третьим основным вопросом в проблеме учета внутреннего трения при нестационарных колебаниях является выбор способа решения уравнений движения конструкции. При использовании конечно-элементных аппроксимаций эти уравнения в общем случае имеют следующий вид [50]: M]{q] + [Ку ]{q} = {R (t)} - [AK]{q]. (0.1).
Здесь {g}- вектор узловых перемещений конечно-элементной модели,.
М соответствующие принятой конечно-элементной аппроксимации матрица масс и матрица жесткости, вектор нагрузки, которая произвольным образом меняется во времени, [АК] - матрица, учитывающая гистерезисные потери в материале, структура и вид которой определяются принятой реологической моделью.
При нестационарных колебаниях значения узловых перемещений конструкции, а следовательно, и деформаций ее элементов могут меняться во времени по любому произвольному закону. При этом переход от разгрузки материала к его нагрузке может происходить при различных значениях относительной деформации. Кроме того, как показано в [48], процессы разгрузки или нагрузки материала при нестационарных колебаниях происходят по весьма сложным и различным зависимостям, построенным в различных системах координат or— s. Единственным общим методом решения уравнений (0.1), позволяющим отследить такие сложные зависимости и переходы от одной из них к другой при произвольных значениях деформаций, очевидно, является численный метод пошагового интегрирования этих уравнений [7, 34, 49]. Для построения пошаговых процедур решения уравнений движения механических систем чаще всего используют уравнения динамического равновесия приращений сил в течение интервала времени At, равного шагу интегрирования [7]. Так, вместо (0.1), можно рассматривать уравнения.
М]{Ад} + [ку]{АЧ} = {АЯ (0}-[АК]{Ад}. (0.2).
Для перехода от дифференциальных уравнений (0.2) к алгебраическим наиболее часто используют метод линейного ускорения [7, 24, 34]. Существует достаточно большое число модификаций этого метода. Как показано в работе [49], можно с успехом применять классический вариант метода линейного ускорения.
Метод пошагового интегрирования позволяет применить уравнения (0.1) и для исследования стационарных процессов при периодической функции {/?(/)}. Однако в случае стационарных колебаний более выгодно применять уравнения, которые используют для своего построения упрощенные физические модели связи напряжений с деформациями [78]. Наиболее удобной для получения решения оказывается комплексная форма представления связи напряжений с деформациями [13], которая позволяет от дифференциальных уравнений (0.1) перейти к системе алгебраических уравнений [50]: п] [Кп] [К21] [К22] где кп]=[к>]-[к!]-р>[м),.
0.4).
В последних выражениях ], ] представляют соответственно действительную и мнимую части комплексной матрицы демпфирования конструкции. В случае зависимости этих матриц от амплитудных значений деформаций для решения системы (0.3) используется метод последовательных приближений.
0.3).
Динамические расчетные модели, как правило, содержат значительно меньшее число степеней свободы [8, 15, 36, 76] по сравнению с расчетными моделями, используемыми для решения задач статики. Если динамическая модель используется для летательного аппарата, то, как правило, фюзеляж моделируется балкой, а крыло, в зависимости от его удлинения — балкой или пластинкой. Ракета моделируется балкой.
Однако переход от реальной трехмерной конструкции к балке или пластинке оказывается не столь прост. Особенно трудно моделировать за счет лишь вариации жесткостных свойств балок или пластинок области сочленения различных агрегатов летательного аппарата. Кроме того, учет рассеяния энергии за счет внутреннего трения материала можно надежно сделать только в конечно-элементной модели, максимально приближенной к реальной конструкции. На уровне балки или пластинки расчетным путем этого сделать уже нельзя и необходимо решать рассматриваемую задачу с помощью эксперимента, что не всегда возможно, особенно при нестационарных колебаниях. Решать этот вопрос расчетным путем, рассматривая непосредственно уравнения движения конечно-элементной модели, так же практически невозможно, поскольку для отслеживания того или иного нестационарного процесса может потребоваться несколько сотен, а то и тысяч, временных шагов. При высоком порядке системы разрешающих уравнений и большом числе временных шагов будет неизбежным накопление погрешностей вычислений, что может привести либо к неверному результату, либо к прерыванию счета.
Одним из выходов из создавшейся ситуации является разложение вектора узловых перемещений конечно-элементной динамической модели по собственным формам колебаний. Удерживание в этом разложении только нескольких первых форм позволяет редуцировать исходную систему уравнений движения, имеющую большое количество неизвестных узловых перемещений, к системе уравнений сравнительно невысокого порядка.
Другой выход может быть найден в использовании гибридных расчетных схем (ГРС) [45, 47]. Снижение общего числа неизвестных параметров в этом случае достигается за счет введения некоторых кинематических гипотез, накладывающих ограничения на узловые перемещения исходной конечно-элементной модели без существенного изменения напряженно-деформированного состояния элементов конструкции.
Применение ГРС и разложения по собственным формам имеет еще одну не менее положительную сторону — улучшение обусловленности систем разрешающих уравнений в окрестности резонансных режимов. В этом случае матрица [Кп] в уравнениях (0.3) становится вырожденной, что приводит к слабой обусловленности этих уравнений. Улучшение обусловленности системы разрешающих уравнений при использовании ГРС или разложения по собственным формам происходит за счет уменьшения общего числа неизвестных. При этом удовлетворительные результаты с использованием разложения по собственным формам, как показано в [46], получаются при меньших размерах редуцированной системы уравнений, чем при использовании ГРС. Однако следует заметить, что решение задачи определения собственных форм и собственных частот колебаний какой-либо реальной конструкции является не столь уж простым и порой требует больших затрат времени, чем прямое решение уравнений, соответствующих ГРС.
Традиционные методы расчета и проектирования конструкций позволяют учитывать их демпфирующие свойства лишь на последнем этапе, т. е. тогда, когда конструкция уже спроектирована. Это не позволяет использовать характеристики демпфирования материала, как равноправные параметры проектирования, и приводит либо к необходимости замены материала при неудовлетворительных демпфирующих свойствах конструкции, что иногда означает фактически новый цикл проектирования, либо к принятию дополнительных мер по снижению ее динамической напряженности (установка виброгасителей, нанесение демпфирующих покрытий и пр.).
Отсюда вытекает актуальная необходимость разработки таких математических методов и алгоритмов, которые позволяли бы целенаправленно влиять на демпфирующие свойства конструкции путем выбора соответствующего демпфирующего материала как при стационарных, так и нестационарных динамических процессах.
Для решения этой задачи необходимо:
1) разработать математическую модель материала, устанавливающую аналитическую зависимость между его механическими характеристиками и химическим составом;
2) получить соотношения, связывающие характеристики демпфирования конструкции с характеристиками демпфирования материала.
Как известно [73, 74], для описания состояния или свойств системы используются математические модели трех основных типов: аналитические модели, имитационные модели и модели типа поверхности отклика.
Для описания механических свойств материала (сплава) как функций, зависящих от его химического состава, как правило, используются модели последнего типа, поскольку они являются наиболее простыми. Эти модели состоят из аппроксимирующих уравнений выбранного вида, коэффициенты которых определяются на основе имеющейся информации о механических характеристиках материала. Аппроксимирующие уравнения выбираются либо линейными, либо квадратичными. К такому типу относится, например, математическая модель сплава, полученная в работе [93].
Для решения второго вопроса необходимо выбрать критерии оценки демпфирующих свойств конструкции. При стационарных колебаниях таким критерием может быть либо коэффициент динамичности при резонансе для первых трех и более форм собственных колебаний конструкции, либо приведенный коэффициент поглощения для этих же форм колебаний [39]. Предпочтительнее брать коэффициент динамичности, так как он непосредственно связан с нагружением конструкции. При нестационарных колебаниях в качестве критерия оценки демпфирующих свойств конструкции выбирается время затухания колебательного процесса [50].
Наличие таких критериев позволяет получить уравнения, определяющие связь между характеристиками демпфирования конструкции и демпфирующими свойствами материала. Таким образом, появляется возможность по имеющимся характеристикам демпфирования конструкции и математической модели сплава определить его химический состав. Это позволяет включить содержание легирующих элементов в состав проектных параметров конструкции и таким образом влиять на ее демпфирующие свойства непосредственно через химический состав сплава.
Известно, что ни один из сплавов не обладает комплексом свойств, в котором высокая демпфирующая способность удачно сочеталась бы с высокой прочностью и пластичностью. Улучшить эти свойства можно внесением в сплав тех или иных легирующих элементов. В настоящее время эта задача решается, как правило, путем проведения длительных и дорогостоящих экспериментов. Отсюда возникает актуальная необходимость разработки математических методов определения оптимального химического состава сплава, сочетающего в себе высокие прочностные, пластические и демпфирующие свойства.
Предлагаемые в диссертационной работе методы и алгоритмы позволяют решить задачу оптимизации химического состава сплава по комплексу свойств расчетным путем. В зависимости от характера получаемых уравнений задача оптимизации решается либо отысканием в пространстве проектных параметров условного экстремума некоторого функционала, либо сводится к задачам математического программирования.
Наличие математической модели сплава позволяет решить еще одну практически важную задачу: произвести анализ чувствительности свойств.
18 сплава к вариациям содержания легирующих элементов. Принято считать [90], что детальный анализ чувствительности иногда оказывается полезнее, чем найденное оптимальное решение, поскольку с помощью такого анализа легко установить влияние каждого легирующего элемента на те или иные характеристики сплава [40] .
Диссертация состоит из трех глав. В первой главе рассмотрены методы формирования разрешающих уравнений на основе конечно-элементных аппроксимаций для определения динамической реакции конструкции как при стационарных, так и нестационарных колебаниях, разработаны методы решения этих уравнений, получены физические зависимости при нестационарных колебаниях для одноосного напряженного состояния. Во второй главе получены физические зависимости для сложного напряженного состояния и матрицы демпфирования различных конечных элементов при нестационарных колебаниях. В третьей главе рассмотрены принципы построения математической модели сплава, разработаны методы определения химического состава сплава, исходя из требуемых демпфирующих свойств конструкции и оптимизации свойств самого сплава, произведен анализ чувствительности оптимальных решений к погрешностям изготовления сплава.
Основные результаты и выводы.
1. Разработаны принципы построения математической модели сплава, относящейся к модели типа поверхности отклика.
2. Получены соотношения и разработаны алгоритмы, устанавливающие связь между характеристиками демпфирования конструкции и характеристиками демпфирования материала как при стационарных, так и нестационарных колебаниях. Данные соотношения и алгоритмы при наличии математической модели сплава позволяют определить его химический состав, который обеспечивает конструкции необходимые прочностные и демпфирующие свойства.
3. Разработаны методы и алгоритмы определения химического состава сплава из условий оптимизации его прочностных, пластических и демпфирующих свойств, представленных математической моделью.
4. Получены соотношения для оценки чувствительности оптимальных решений к погрешностям параметров проектирования при выборе химического состава сплава.
5. Разработаны пакеты прикладных программ, решающие задачу оптимального проектирования и анализа чувствительности сплава к изменению его химического состава.
6. Алгоритмы и пакеты прикладных программ, разработанные в диссертационной работе, представляют возможность целенаправленного выбора материала для элементов конструкций с целью получения высоких прочностных и демпфирующих свойств последней.
7. Разработаны методы формирования разрешающих уравнений на основе конечно-элементных аппроксимаций для определения динамической реакции конструкций как при стационарных, так и нестационарных колебаниях с учетом внутреннего трения материала.
8. Предложен метод пошагового интегрирования разрешающих уравнений, основанный на гипотезе линейного ускорения. Решена проблема обеспечения устойчивости метода при учете внутреннего трения материала.
Данный метод позволяет исследовать движение конструкции при произвольном законе изменения внешней нагрузки.
9. Получены физические зависимости при одноосном и сложном напряженных состояниях на основе реологической модели А. Ю. Ишлинского, позволяющие учитывать внутреннее трение материала как при стационарных, так и нестационарных колебаниях.
10. Получены соотношения для вычисления матриц демпфирования различных типов конечных элементов при нестационарных колебаниях.
11. Разработаны пакеты прикладных программ для исследования нестационарных процессов в конструкциях произвольной геометрии и сложности с учетом внутреннего трения материала.
12. На примере реальной конструкции (вертикального оперения само-лета-орбитера) показано, что исследование нестационарных колебаний конструкций с большим числом степеней свободы возможно только путем разложения решения по собственным формам и последующего использования метода Бубнова-Галеркина с целью уменьшения числа неизвестных независимых параметров.
