Экстремальные задачи на классах функций с мажорирующим выпуклым модулем непрерывности

19.2. Вспомогательные результаты 161

19.3. Задача Колмогорова в классах Соболева 164

19.4. Условия экстремальности 169

19.5. Построение экстремальных функций 173

19.6. Свойства экстремальных функций 185

19.7. Предельный переход ¦ 190

19.8. Экстремальные функции задачи Колмогорова на полупрямой и прямой 194

19.9. Упрощенное построение экстремальных функций в случае р = 1 197

19.10. Задача Колмогорова — Ландау в И^Я^И) П 1Ц (1) 199

19.11. Задача Колмогорова-Ландау в W1HU (I) nLp (I) 211

Часть 6. Задача линейной динамики в WrHw 217

20. Экстремальные точки векторных мер 217

20.1. Теорема Ляпунова для липшицевых классов об экстремальных точках векторных мер 217

20.2. Классические задачи Ляпунова и ФельдбаумаБушо 218

20.3. Обобщение bang-bang управлений 219

20.4. Обобщение задач Ляпунова и Фельдбаума-Бушо на классы Hw 220 5

21. Экстремальные траектории в задаче Фельдбаума-Бушо 221

21.1. Взаимосвязь между задачами Ляпунова и Фельдбаума-Бушо 221

21.2. Ограничения на A{t) и B (t) 221

21.3. Экстремальные функции 223

21.4. Множества достижимости 225

21.5. Принцип Ляпунова для задачи (21.1.4) 226

21.6. Принцип Минковского для задачи (21.1.4) 226

21.7. Образ векторных мер: теорема Ляпунова для классов Hw[0, Т] 227

22. Доказательства 1 229

22.1. Доказательство Теоремы 21.12 229

22.2. Доказательство Теоремы 21.13 231

23. Основные принципы задачи быстродействия 233

23.1. Интегральный принцип максимума 233

23.2. Принцип динамического программирования в случае г = 1 233

24. Классическая задача о встрече 236

24.1. Взаимосвязь между задачей о встрече и задачей Фельдбаума-Бушо 236

24.2. Задача о встрече в соболевских классах 236

24.3. Классическая задача о встрече в М’п 237

24.4. Определения 241

24.5. Экстремальные функции задачи о встрече 243

24.6. Управляемость 244

24.7. Свойства множеств достижимости 251

24.8. Принцип динамического программирования в задаче о встрече 253

24.9. Задача Фельдбаума — Бушо в гельдеровых классах 254

24.10. Предельные функции задачи быстродействия в гельдеровских классах 255

24.11. Задача о встрече для г = 1 255

24.12. Экстремальные траектории в задаче о встрече для г = 2 256

Часть 7. Интегральный принцип максимума 259

25. Постановка задачи оптимизации 259

25.1. Области управления, контроли, экстремальные задачи классический теории оптимального управления 259

25.2. Области управления и экстремальные задачи теории тотального контроля 262

26. Интегральный принцип максимума 265 6

26.1. Вспомогательный результат 265

26.2. Экстремальная задача 266

26.3. Принцип максимума 267

26.4. Доказательство интегрального принципа максимума 267

27. Обсуждение принципа максимума 272

27.1. Принцип максимума для экстремальных задач в классе IIй 272

27.2. Изопериметрические задачи оптимального управления 273

27.3. Доказательства результата в классическом случае 274

27.4. Лемма о приращении функционала и принцип минимума в общей задаче оптимизации 275

28. Экстремальные задачи 278

28.1. Торговая модель товарно-сырьевого рынка 278

28.2. Модель торговли ценными бумагами 281

Часть 8. Результаты и гипотезы в задаче о поперечниках ¥-ГНШ[—1,1] 283

29.

Введение

283

29.1. Известные результаты 283

29.2. Поперечники соболевских классов 284

29.3. Поперечники периодических классов функций? ГП^(Т) 285

30. Замечания о поперечниках классов

30.1. Поперечники классов Ны[—1,1] 287

30.2. Поперечники классов И/1Яи-'[-1,1] 288

30.3. Оценки снизу для поперечников класса \п Нш[п] 290

30.4. Гипотеза о поперечниках класса УГНШ [0,1] 298 Список литературы 300

Список иллюстраций

1 График функции 36

2 Перестановка Ф*(-) простого ядра Ф и функция /0 41

3 Графики экстремальной функции ж*, ядра Ф и интервалы разбиения в случае п, в, т) = (1,-1,1). 46

4 Графики экстремальной функции ж*, ядра Ф и интервалы разбиения в случае п, т) = (1,1,1). 47

5 Графики экстремальной функции х*, ядра Ф и интервалы разбиения в случае п, з, т) = (2,1,1). 47

6 Графики экстремальной функции х*, ядра Ф и интервалы разбиения в случае п, 5, т) = (2,1,1). 48

7 Графики экстремальной функции х*, ядра Ф и интервалы разбиения в случае л, в, т) = (2,1,1). 48

8 Графики экстремальной функции х*, ядра Ф и интервалы разбиения в случае (п, з, т) = (2,1,1). 49

9 Графики экстремальной функции х*, ядра Ф и интервалы разбиения в случае (п, з, т) = (3,1,1). 49

10 Графики экстремальной функции .г*, ядра Ф и интервалы разбиения в случае (п, в, т) = (3,1,1). 50

11 Экстремальное разбиение ядра Ф на сумму простых ядер 51

12 Ядро Ф, экстремальная перестановка 2(Ф- •) и функция к* 53

13 Набор точек {сг}?=0 со свойством (6.5.2). 55

14 Тривиальное ^//-разбиение. 57

15 Элементы разложения простого вектора 62

16 Случай векторов с четным числом перемен знака 67

17 Случай векторов с нечетным числом перемен знака 69

18 Случай векторов с нечетным числом перемен знака 69

19 Планарная реализация графа перестановок (V) 76

20 Планарная реализация графа <&Ш (У) 77

21 Графы перестановок с гамильтоновой цепью 80 8

22 Определение Е-перестановки Корнейчука 96

23 Эйлеровы сплайны г 101

24 Экстремальная функция в неравенствах Ландау в 138

25 Экстремальная функция в неравенствах Адамара в WlHw (M.) 141

26 Экстремальная функция задачи экстраполяции Маркова в сю, г] 145

27 Экстремальная функция задачи максимизации первой производной в W2Ни)(Ш) 148

28 Экстремальная функция задачи максимизации второй производной в W2 Нш (К) 151

29 Экстремальная функция задачи максимизации второй производной в W2HW (R+) 157

30 Функции F' и X (т = 0, I = R+) 200

31 График производной экстремальной функции X в случае т = 0, I = 202

32 Функции F' и X (т = 1,1 = М+) 205

33 График производной экстремальной функции X в случае т — 1, I = М+ 205

34 График производной экстремальной функции X в случае т = О, I = R 207

35 График производной экстремальной функции X в случае т — 1, I = М 208

36 Оптимальные траектории задачи о встрече 241

37 Множества АШ (Т) для Л = 0 и Т = 2, 4, 6, 8, 10. 256

38 Вторые производные экстремальных функций в (21.1.4) для г = 2 257

39 Classical and total control regions 263

40 Эйлеровы си-сплайны fn, r{w, x) 287

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ 2000 г. Американское Математическое Общество http://www.ains.org/mathweb / msc2000/ 41-ХХ Аппроксимации и расширения 41А17 Неравенства в аппроксимации неравенства Бернштенна, Джексона, Никольского) 41А44 Точные константы 65-ХХ Численный анализ и вычислительная геометрия

65D25 Численное дифференцирование 26-ХХ Вещественные функции

26Ахх Функции одной переменной

26А15 Непрерывность и связанные с ней понятия модуль непрерывности, полунепрерывность, точки разрыва, и т. д.) 26А16 Классы Липшица (Гельдера) 26Dxx Неравенства

26D10 Неравенства для производных и дифференциальных или интегральных операторов 49-ХХ Вариационное исчисление и теория оптимального управленияоптимизация

49Jxx Теория существования для оптимальных решений

49J30 Оптимальные решения, принадлежащие классам с ограничениями липшицевы управления, осциллирующие управления, и т. д.) 49Кхх Необходимые и достаточные условия оптимальности 49К30 Оптимальные решения, принадлежащие классам с ограничениями 49N15 Теория дуальности 52-ХХ Выпуклая и дискретная геометрия 52Ахх Общая выпуклость 52А40 Неравенства и экстремальные проблемы 90С05 Линейное программирование

Часть 0. Введение

1. Предисловие

Во введении мы очень кратко коснемся предшествующей истории и мотивации наших исследований. В частности, упоминание результатов, которые мы или применили, или обобщили, или получили в общем случае функциональных классов с ограничивающим модулем непрерывности, по возможности будет носить описательный и неформальный характер. Читатель найдет формализированную постановку, строгое приведение и детальное обсуждение исторических результатов в соответствующих главах, посвященных основным результатам наших исследований.

1.1.

Введение

классов У Нш Д. Джексоном и С. М. Никольским. В диссертации Д. Джексона [98], ознаменовавшей собой начало нового этапа в теории приближений, впервые погрешность индивидуальной функции / е Сг[а, Ь] конечномерными под1 пространствами была выражена в терминах модуля непрерывности г-ой производной (см. [48], гл. 6). С. М. Никольский [67] предложил рассматривать классы функций? ГНШ (Я) с модулем непрерывности I), мажорируемым выпуклым модулем непрерывности из. После этих публикаций возник широкий круг вопросов, связанных с наилучшими аппроксимативными характеристиками классов ¥-гНиз (1) и их периодических аналогов алгебраическими и тригонометрическими многочленами данной размерности, полиномиальными сплайнами и другими конечномерными функциональными подпространствами. Ввиду сравнительно простой структуры экстремальных функций наиболее законченные результаты в смысле достижения точных констант и совершенства используемых методов были получены в классах ]¥-ГНШ (1) для линейных модулей непрерывности из (Ь) = КЬ, т. е. в соболевских классах К¥-^1(1). В случае нелинейного из попытки полного решения экстремальных задач увенчались успехом, главным образом, для периодических аналогов ~УчГи классов УГН" (1).

1. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. Наука, Ы., 1976.

2. В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. Лекции по теории графов. Наука, M., 1990.

3. В. Ф. Бабенко, II. П. Корнейчук, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов. Неравенства для производных и их приложения. Наукова Думка, Киев, 2003.

4. С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Б. М. Семенов. Интерполяция линейных операторов. Наука, Москва, 1978.

5. Ю. Г. Боссе (Г. Е. Шилов). Неравенства между производными. Сборник работ науч. студ. кружков МГУ, 1:17—27 1937.

6. Н. И. Ахиезер, М. Г. Крейн. О наилучшем приближении дифференцируемых периодических функций периодическими суммами. Доклады АН СССР, 15:107−112, 1937.

7. JI. В. Канторович, Г. Ш. Рубинштейн. Об одном функциональном пространстве и некоторых экстремальных задачах. ДЛЯ СССР, 115:1058−1061, 1957.

8. В. М. Тихомиров, А. Д. Иоффе. Теория экстремальных задач. Наука, Москва, 1974.

9. В. П. Моторный, В. И. Рубан. Поперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций в пространстве L. Матем. заметки., 17(4):531−543, 1975.

10. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ. Наука, М., 1984.

11. В. H. Малоземов, А. Б. Певный. Полиномиальные сплайны. Издат. Лен. Унив., Ленинград, 1986.

12. Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров. Краткий курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ, М., 1989.

13. В. В. Арестов, В. Н. Габушин. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи. УМН, 51(6):89—124, 1996.

14. Г. Г. Магарил-Ильяев. О неравенствах Колмогорова на полупрямой. Вестник МГУ, 31 (5):33—41, 1976.

15. Г. Г. Магарил-Ильяев. Неравенства для производных и двойственность. Труды МИАН им. Стеклова, 161:183−194 1983.

16. П. Л. Чебышев. Задачи о наименьших числах, связанных с приблизительным представлением функций. Записки Ст,-Петерб. Акад. Наук, 1859.

17. Е. И. Золотарев. Приложения эллиптических функций к задачам о функциях, наименее уклоняющихся от нуля. Зап. Ст.-Нстерб. Акад. Наук, 30(5), 1877.

18. А. А. Марков. О задаче Д. И, Менделеева. Зап. Ст.-Летерб. Акад. Наук, 62:1−24, 1889.

19. В. А. Марков. О функциях, наименее уклоняющихся ог нуля на данном интервале. Издат. Ст.-Петерб. Акад. Наук, 1892.

20. С. H. Бернштейн. О теореме В. А. Маркова. Труды Лениград. Индустнр. Инст., Раздел Физ.-Мат. Наук, 5:8−13, 1938.

21. A. H. Колмогоров. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функций на бесконечном интервале. Ученые записки МГУ. Матем., 3:3−16, 1939.

22. Л. В. Канторович. О перемещении масс. ДАН СССР, 37:227−229, 1942.

23. С. Н. Бернштейн. Избранные труды, volume I. Издат. АН СССР, 1952.

24. П. Л. Чебышев. Избранные статьи. АН СССР, 1955.

25. А. А. Фельдбаум. О синтезе оптимальных систем с помощью фазового пространства. Автоматика и Телемеханика, 16:129−149, 1955.

26. А. П. Маторин. О неравенствах между максимумами абсолютных значений функции и ее производных на полупрямой. Укр. Мат. Журнал, 7:262−266, 1055.

27. Б. В. Вороновская. Функционал первой производной и усилении теоремы А. А. Маркова. Изв. АН СССР Сер. мат., 23:951−962, 1959.

28. Ю. И. Любич. О неравенствах между степенями линейных операторов. Изв. АН СССР Сер. мат., 24:825−864, 1960.

29. В. М. Тихомиров. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений. УМН, 1 Г.(3):81—-120, 1960.

30. В. А. Гусев. Функционалы для производных алгебраических мноючленов и теорема В. А. Маркова. Изв. АН СССР, Сер. Математическая, 25:367—384, 1961.

31. Н. П. Корнейчук. Точное значение наилучших приближений и поперечников некоторых классов функций. Докл. АН СССР, 150:1218−1220, 1963.

32. Н. И. Ахис ¡-ер. Лекции по теории аппроксимации. Наз’ка, М., 1965.

33. С. Б. Стечкин. Наилучшее приближение линейных операторов. Мат. Заметки, 1(2):137−148, 1967.

34. В. Н. Габушин. Неравенства для норм функций и их производных в Ьр. Мат. Заметки, 1(3):194−198, 1967.

35. В. Н. Габушин. Точные константы в неравенствах между нормами производных функции. Мат. Заметки, 1(2):630−634, 1968.

36. Л. В. Тайкой. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования. Мит. Заметки, 4:631−634, 1968.

37. В. Г. Болтянский. Математические методы оптимального управления. Наука, Москва, 1969.

38. В. Н. Габушин. Наилучшее приближение оператора дифференцирования на полупрямой. Мат. Заметки, 6:573−582, 1969.

39. В. М. Тихомиров. Наилучшие методы приближения и интерполяции дифференцируемых функций в пространстве С-1,1]. Мат. Сборник, 9:277−289, 1969.

40. Н. П. Корнейчук. Верхние грани наилучших приближений на классах дифференцируемых периодических функций в метриках С и Ь. Докл. АН СССР, 190(2):269−271, 1970.

41. И. П. Корнейчук. Экстремальные значения функционалов и наилучшее приближение на классах периодических функций. Изв. АН СССР, Сер. Мат., 35:423−434, 1971.

42. Н. П. Корнейчук. Неравенства для дифференцируемых периодических функций и наилучшее приближение одного класса другим. Иов. АН СССР Сер. матем., 36(2):423−434, 1972.

43. В. П. Моторный. О наилучшей квадратурной формуле вида Рк}{%к) Для некоторых классов периодических дифференцируемых функций. Изв. АН СССР Сер. мате.ч., 38(3):583−614, 1974.

44. В. И. Губан. Четные поперечники классов \г^Ни в пространствах С’гтгМатем. заметки, 15(3):387−392, 1974.

45. Р. В. Гамкрелидзе. Основы оптимального управления. Изд-во ТГУ, Тбилиси, 1975.

46. В. В. Арестов. Аппроксимация линейных операторов и связанные с ней экстремальные задачи. Труды МИАН им. Стеклова, 138:29−12, 1975.

47. Н. П. Купцов. Неравенства Колмогорова для производных в ?20,°°) — Труды МИАН им. Стеклова, 138:101−125, 1975.

48. Н. П. Корнейчук. Экстремальные задачи теории приближений. Наука, Москва, 1976.

49. В. М. Тихомиров. Некоторые проблемы теории приближений. Изд. МГУ, Москва, 1976.

50. Ю. И. Маковоз. Поперечники соболевских классов и сплайны, наименее уклоняющиеся от нуля. Матем. заметки, 26(5):805−812, 1979.

51. В. И. Рубан. Поперечники множеств в пространствах периодических функций. Докл. АН СССР, 255(1):34−35, 1980.

52. А. А. Лигун.- О поперечниках некоторых классов дифференцируемых периодических функций. Матем. заметки, 27(1):61−75, 1980.

53. II. П. Корнейчук. Сплайны в теоргш приближения. Наука, М, 1984.

54. А. Н. Колмогоров. Избранные Труды. Математика и Механика. Наука, Москва, 1985.

55. Н. П. Корнейчук. С. М. Никольский и развитие исследований об аппроксимации в СССР. УМН, 40:83−156, 1985.

56. Н. П. Корнейчук. Точные ког1станты в теории приближений. Па ка, М., 1990.

57. В. В. Арестов. Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными. Известия вузов. Математика., 11:11−66, 1995.

58. С. К. Багдасаров. Общая конструкция чебышевских ш-сплапнов с данной нормой. Алгебра и Анализ, 10(6):93−134, 1998.

59. С. К. Багдасаров. Максимизация функционалов Ниа, Ь]. Мателштический Сборник, 189(2):3−72, 1998.

60. С. К. Багдасаров. Экстремальные функции интегральных функционалов в //" «, Ь]. Известия РАН, Сер. Мат., 63(2):3−62, 1999.

61. С. К. Багдасаров. Свойства w-перестановок. Функциональный Анализ и В? о Приложения, 33(3):1−20, 1999.

62. Г. А. Калябин. Эффективные формулы для констант в задаче Стечкина-Габушина. Тр. МИАН, 248:124—129, 2005.

63. С. К. Багдасаров. Неравенства Колмогорова для функций из классов WНш с ограниченной нормой в Lp. Известия РАН, Сер. Мат., 74(2):5−64, 2010.

64. Ю. Григорян. Поперечники некоторых множеств в функциональных пространствах. Матем. заметки., 13(6):637−644, 1973.

65. Ф. П. Васильев. Численные методы решения экстрелшлъных задач. Наука, Москва, 1980.

66. В. А. Зорич. Математический анализ. Наука, М., 1984.

67. С. М. Никольский. Ряд Фурье функции с данным модулем непрерывности. Докл. АН СССР, 52(3):191−194, 1946.

68. А. С. Schaeffer, R. J. Duffin. On some inequalities of S. Bernstein and W. Markoff for derivatives of polynomials. Bull. Amer. Math. Soc., 44:289−297, 1938.

69. A. S. Cavaretta, I. J. Schoenberg. Solution of Landau’s problem concerning higher derivatives on the half-line. Proc. of the Intern. Conf. on Constructive Function Theory, Golden Sands (Varna) May 19−25, 1970, 1:297−308, 1972.

70. P. Appell. Memoire sur les deblais et les remblais des systemes continus on discontinus. Memoires presentes par divers Savants a l’Academie des Scientes de l’Institut de France, Paris, 29:1−208, 1887.

71. V. V. Arestov. On sharp inequalities between the norms of functions and their derivatives. Acta Sei. Math., 33:243−267, 1972.

72. S. K. Bagdasarov. Zolotarev w-polynomials in WHw0,1]. J. Approx. Theory, 90(3):340−378, 1997.

73. S. K. Bagdasarov. Chcbyshev Splines and Kolmogoiov inequalities, volume 105 of Operator Theory Advances and Applications, ed. I. Cokhbeig. Birkhauser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 1998.

74. S. K. Bagdasarov. Kolmogoiov-Landau problem and extremal Zolotarev u-splines, volume 379 of Disiertationes Mathematicae. IM PAN, Wari>zawa, 1998.

75. S. K. Bagdasarov. Extremal problems in generalized Sobolev classes, pages 327−358. Appl. Numer. Harmon. Anal., eds. W. Bray, С. V. Stanoevich. Birkhauser, Boston, MA, 1999.

76. S. K. Bagdasarov. Generalizations of the time optimal problem and Ljapunov theory on the range of vector measures. J. Approx. Theory, 147(1):81−111, 2007.

77. R. E. Bellman. Dynamic Programming. Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1957.

78. K. Borsuk. Drei Satze uber die n-dimensionale euklidische Sphare. Fund. Math., 20:177−191, 1933.

79. D. Bushaw. Optimal discontinuous forcing terms. Theory of Nonlinear Oscillations, 4:29−52, 1958.

80. C. A. Micchelli, A. Pinkus. Some pioblems on approximation of functions of two variables and n-widths of integral operators. J. Approx. Theory, 24:51−77, 1978.

81. C. A. Micchelli, T. J. Winograd, S. Itivlin. Optimal recovery of smooth functions. J. Numer. Math., 25(2):191−200, 1976.

82. C. Bennett, R. Sharpley. Interpolation of Operators. Academic Press, Inc., N. Y., 1988.

83. C. H. Papadimitriou, K. Steiglit?. Combinatorial Optimization: algorithms and complexity. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1982.

84. H. Cartan. Sur les classes de fonctions definies par des inegalites partant sur leurs derivees successives. Act. Sc г. Ind., 867, 1940.

85. A. S. Cavaretta. An elementary proof of Kolmogorov’s theoiem. Amer. Math. Monthly, 81:480−486, 1974.

86. A. S. Cavaretta. A refinement of Kolmogorov’s inequality. Journal of Approximation Theory, 27:45−60, 1979.

87. К. M. Chong. Some extensions of a theorem of Ilardy, Littlevvood and Polya and their applications. Can. J .Math., 26:13 211 340, 1974.

88. E. N. Chukwu. Optimal Control of the Growth of Wealth of Nations, volume 17 of Stability and Control• Theory, Methods and Applications. Taylor Л Francis Inc., New York, N. Y., 2003.

89. F. H. Clarke. Optimization and Nonsmooth Analysis. John Wiley Л Sons, Inc, New York, 1983.

90. D. S. Mitrinovic, J. Pecaric, A. M. Fink. Inequalities Involving Functions and their Integrals and Derivatives, volume 53 of Mathematics and its Applications. Springer-Verlag, Berlin, 1991.

91. L. Markus E. B. Lee. Foundations of Optimal Control Theory. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1967.

92. A. T. Fuller. Optimization of nonlinear control systems with transient inputs. J. of Electron, and Control, 8(6):465−479, 1960.

93. G. H. Hardy, J. Littlewood, G. Polya. Inequalities. Cambridge Univ. Press, New York, 1934.

94. H. Hermes, J. P. LaSdlle. Functional Analysis and Optimal Control. Academic Press, New York and London, 1969.

95. J. Hadamard. Sur le module maximum d’une fonction et de ses derivees. Soc. math. France, Comptes rendus, des Seances, 41:68−72, 1914.

96. F. L. Hitchcock. The distribution of a product from several sources to numerous localities. J. of Mathematics and Physics 20:224−230, 1941.

97. I. J. Schoenberg, A. Whitney. On Polya frequency functions. Trans. Amer. Math. Soc., 74(2):246−259, 1953.

98. D. Jackson. Ubet die Genauigkett des Annaherung stetigen Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Giades und trigonometrischen Summen gegebener Ordnung. Disi., Gottingen, 1911.

99. L. V. Kantorovich. On a problem of Monge. UMN, 3:225−226, 1948.

100. S. Karlin. Total positivity. Stanford University Press, Stanford, Calif., 1968.

101. S. Karlin. Oscillatory perfect splines and related extremal problems. Studies in Spline Functions and Approximation Theory, 1:371−460, 1976.

102. S. Karlin. Some one-sided numerical differentiation formulae and applications. Studies in Spline Functions and Approximation Theory, 1:485−500, 1976.

103. A. N. Kolmogorov. Uber die beste Annaherung von Functionen einer gegebenen Funktionenklasse. Ann. of Math., 37:107−110 1936.

104. E. Landau. Einige Ungleichingen fur zweimal differentierbare Funktionen. Proc. London Math. Soc., 13:43−49, 1913.

105. V. L. Levin. General Monge-Kantorovich problem and its applications in measure theory and mathematical economics Functional Analysis, Optimization and Mathematical Economics, pages 141−176, 1990.

106. J. Lindenstrauss. A short proof of LiapunofFs convexity theorem. J. Math. Mech., 15(6):971−972, I960.

107. G. G. Lorentz. Approximation of functions. Halt, Rinehalt and Winston, New York, 1966.

108. D. G. Luenberger. Optimization by vector space methods. Series in Decision and Control. Wiley-IEEE, New York, 1997.

109. A. Lyaptinov. Sur les fonctions-vecteurs completement additives. Dull. Sei. USSR, Ser. Math., 4:465−478, 1940.

110. M. G. Krein, M. A. Krasnoselskii, D. P. Milman. On deficiency numbers of linear operators in Danach spaces and some geometric problems. Sbornik Trudov Inst. Mat. Ukr. SSR, 11:97−112, 1948.

111. M. K. Kwong, A. Zettl. Norm Inequalities for Derivatives and Differences, volume 1536 of Lectuie Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1992.

112. R. McCann. Exact solutions to the transportation problem on the line. Proc. Royal Soc. London Ser. A, 455:1341−1380 1999.

113. G. Monge. Memoire sur la theorie des deblais et des remblais. Histoire de l’Academie Royale des Sciences de Paris, pages 666−704, 1781.

114. A. Pinkus. Some extremal properties of perfect splines and the pointwise Landau problem on the finite interval. Journal of Approximation Theory, 23(2):37−64, 1978.

115. A. Pinkus. On n-widths of periodic functions. J. Anal. Math., 35:209−235, 1979.

116. R. A. DeVore, H. Kierstead, G. G. Lorent?. A proof of Borsuk’s theorem. Functional Analysis, 1332, 1988.

117. R. Bellman, I. Glicksberg, O. Gross. On the Bang-Bang control problem. Quart. Appl. Math., 14:11−18, 1956.

118. R. Dorfman, P. A. Samuelson, R. M. Solow. Linear Programming and Economic Analysis. Dover Publications, Inc., N.Y. 1986.

119. R. R. Kaiman, G.-C. Rota. Inequalities II. Academic Press, New York, 1970.

120. I. J. Schoenbeig. The elementary case of Landau’s problem on inequalities between derivatives. Arncr. Math. Monthly, 80:121−158, 1973.

121. A. Schrijver. Theory of Linear and. Integer Programming, volume 2. John Wiley& Sons, N.Y., 1986.

122. M. Spivak. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Publish or Perish, Inc., Berkeley, 1979.

123. S. B. Stechkin. Inequalities between norms of derivatives of an arbitrary function. Acta Sei. Math., 26:225−230, 1965.

124. E. M. Stein. Functions of exponential type. Ann. of Math., 65(3):582−592, 1957.

125. B. Szekefalvi-Nagy. Uber Integralungleichungen zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung. j4cio Sei. Math., 10:64−74, 1941.

126. C. Villani. Topics in Optimal Transportation, volume 58 of Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, R. I., 2003.

127. E. V. Voronovskaja. The functional method and its application, volume 28. AMS, Providence, R. I., 1970.

128. P. A. Williams. Linear Programming Approach to Production Scheduling. Production and Inventory Management, 11(3), 1970.

129. A. Zygmund. Trigonometric Series. Cambridge Univ. Press, Cambridge, N.J., 1959.