Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных третьего и высокого порядков с действительными характеристиками

В зависимости от того имеет ж характеристическое уравнение действительные и комплексно сопряженные, действительные различные или действительные кратные корни, дифференциальное уравнение третьего порядка с двумя независимыми переменными приводится к уравнению составного типа, либо к уравнению с действительными характеристиками, либо к уравнению с кратными характеристиками.

Первый тип уравнений рассматривался многими математиками. Достаточно подробные его исследования приведены, например, в монографиях М. С. Салахитдинова (JE], Т. Д. Джураева [2]. Последующие два типа объединим одним названием — дифференциальные уравнения с действительными характеристиками, которые будут предметом наших исследований.

Если в одной части рассматриваемой области уравнения с кратными характеристиками, а в другой с действительными характеристиками и эти части разделены линией перехода, на которой уравнение или не определено или вырождается, то такое уравнение будем называть уравнением смешанного типа.

Уравнения с действительными характеристиками находят широкое применение при моделировании задач механики и техники, в частности, в задачах магнито-гидродинамики L33, 34], в задачах тепломассообмена t32, 36] и фильтрации 131], в задачах динамики арок и колец 1221, в задачах аэродинамики [21], и т. д.

В настоящее время имеется большое количество работ отечественных и зарубежных математиков, посвященных исследованию краевых задач для этих уравнений.

Т.Д.Джураевым [2^, Я. С. Шарифбаевым ]б А. С. Рустамовым, а также итальянским математиком B. Pinl Х19] были изучены различные краевые задачи для уравнении третьего порядка с оператором теплопроводности в главной части.

Работы R. Nardini ^33,34^ О. М. Тверитина j30l, Takahashi Tadaysi, Iwamiya Tashiyki L37}, Bona Jerry L,.

Daugalis Vassilios А.^38), М. Х. Шханукова 123−25^, B.A.Ba-даховой 126−28*1, i. CaBcante L20I, также посвящены изучению уравнении с действительными характеристиками.

Можно назвать еще работу С. Елубаева 135^ в которой рассматриваются краевые задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа.

Продолжается исследование краевых задач для смешанных уравнений третьего порядка, содержащих параболо-гиперболиче-ский оператор. Среди других назовем лишь работы, М.С.Салахит-динова, Т. Д. Джураева 3], М. С. Салахитдинова, А. М. Нагорного, Т. Д. Джураева, М. Мамажанова 151, Я.С.ШарифбаеЕа 17}, А. Сапуева 8l, Б. Байменова 129^, М. Мамажанова t9l.

И все же, уравнения с действительными характеристиками третьего и более высокого порядка остаются мало изученными.

Настоящая диссертация посвящена постановке и исследованию корректных краевых задач для отдельных классов уравнений третьего и более высокого порядков с действительными характеристиками и смешанных уравнений, составленных из них.

Она состоит из введения, двух глав и списка литературы. Приведем полученные основные результаты.

Первая глава содержит четыре задачи" Пусть.

— односвязные области плоскости XQU, где л 1.

• — - -3.

3 а д, а ч, а I. Найти функцию удовлетворяющую уравнению.

U.^ (I) в области Л и краевым условиям.

Исследование этой задачи начато с построения решения задачи I для однородного уравнения (I), затем построено решение однородной задачи I для уравнения.

С помощью их, решение исходной задачи I сведено к решению интегро-дифференциального уравнения, которое реализовано методом последовательных приближений.

Единственность решения задачи I доказана с помощью неравенств, полученных при построении решения.

Задача 2. Найти функцию удовлетворяющую уравнению в области и краевым условиям u u.

UxO J-0.

Единственное регулярное решение этой задачи построено в явном виде. ^.

Задача 3. Найти функцию удовлетворяющую уравнению хххх в области и граничным условиям.

2).

Ч)-<�Г^ ' Oi^iW. (4).

Решение задачи 3 найдено в виде суммы.

Функция «W^ - решение уравнения удовлетворяет неоднородным условиям (2), (4) и однородным условиям (3), a — решение уравнения удовлетворяет однородным условиям (2), (4) и неоднородным условиям (3),.

Решение обеих задач эквивалентно сведено к решению системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода с ядрами имеющие интегрируемые особенности. Задача 4. Найти функцию.

Щх.теС. IVI Г С. ^^ еоли и. — четное,.

С et fit iTty.

— если.

VI — нечетное) удовлетворяющую уравнению.

VL.

О*.

П)и+1ы.

О) х:

О) ОС.

И + 1- и краевым условиям u для четных Vt, и.

VL г a ы U.

H+d для нечетных VI •.

С помощью специально построенной функции Грина.

7^, Vj^ получено решение задачи 4 для уравнения .VL которое для четных VI, имеет вид.

О ^ Т4 * й h Ovi Гт о К г d.

•V.

5 * ЪА.

Это дало возможность сведению вопроса существования ре.

О О, А шения нелинейной задачи 4 к существованию решения интегро-дифференциального уравнения.

Единственность решения задачи 4 доказана методом последовательных приближений.

Вторая глава состоит из пяти задач. Пусть ^ - треугольная область, ограниченная прямыми ~ 0, -'X.,, а ^ - промежуток.

0<Х<1 прямой. Совокупность областей ,.

3 обозначим через П^ •.

За дача I. Найти функцию Ц (, Х, р, которая.

1) непрерывно дифференцируема в замкнутой области П^ ;

2) является решением из клдсса R. в области и регулярным решением в области П^ уравнения a^u^x^vy t^x^u, >о, при IJ ^ 0.

3) удовлетворяет на отрезке непрерывным условиям склеивания.

4) удовлетворяет краевым условиям.

IV,^" ft) VL Vj—X 1.

Через R. обозначен класс функций, представших посредством Функции Римана [17″ ] •.

Решение уравнения (5) в области, удовлетворяющее условиям (7), имеет вид О.

Отсюда, при Ц—?-0, найдено соотношение xd о.

Второе соотношение между X и ^ (X) получено интегрированием уравнения (5) при > 0 по переменной X в пределах от 0 до X и последующим предельным переходом при —V 0 :

3L.

Ьсх). о.

С помощью найденных из этих соотношений ^ (Д.), решение задачи I в области ^ выписано явно.

Задача 2. Определить функцию 1, которая.

I) непрерывно дифференцируема в замкнутой области TJ ;

2) имеет непрерывную производную VI ц при переходе через промежуток — ^.

3) является регулярным решением уравнения <Т.

Г uy aix^u^U^u^ c (x, u) u.

8) И х N хх где в области q^ лпри Ф 0) — 4) удовлетворяет граничным условиям.

Преобразуя уравнение (8), для определения неизвестных t [X)" ^ получены два соотношения.

Ч*} [АЛ, о^ ex-l dt *.

•V о.

Из них, с помощью граничных условий определены искомые Т, ^ «Н ^^ «К '.

В результате, решение задачи 2 в области ^^ сведено к известной задаче, исследованной в j-d, а в области оно выписано явно, 1.

Задача 3. Найти регулярное решение уравнения о= ч U V0'.

XX'.

ЛГа’т ' М в области (при ^ Ф 0)" непрерывно дифференцируемое в замкнутой области «удовлетворяющее граничным условиям.

ГШ.

4 <0.

U CX^ ,.

0)4 l^-X условию склеивания (6) и условию.

Решение задачи 3 в области Ti 3 а д, а ч, а 4. Определить функцию ^ДАХ,^), которая выписано в явном виде.

I) непрерывно дифференцируема в замкнутой области П^.

2) является регулярным решением уравнения а>г о= о>ес.1 >0 в области Hi (при lj ф 0);

3) удовлетворяет условиям склеивания (6);

4) удовлетворяет граничным условиям а>п>

— 4-iu to.

Общее решение уравнения (9) в области Фл имеет вид do).

С помощью (Ю), при Vj—>-0 найдено соотношение.

— 14.

— s КX’V5CO) + >[? ос V 0).

Второе соотношение получено из уравнения (9) при IJ > 0 «путем интегрирования по переменной X в пределах от О до X и последующим предельным переходом при ^ * Посредством граничных условий найдены неизвестные функции Т.

В результате, решение задачи 4 в области ^ сведено к решению задачи 4 главы I (случай VI), а в области оно выписано явно.

Задача 5. Найти регулярное решение в области ^ (приф 0) уравнения u. ОЛ*^u ^ fc №, у) а ос + ц (П) дважды непрерывно дифференцируемое в замкнутой области, удовлетворяющее условиям склеивания (6) и граничным условиям.

CK 1, 0 TJ ik, u.

0)11.

IL го И.

Для определения значения искомой функции 1/Цх, 1|)и ее производной на отрезке *3 первое соотношение между перенесенное из области найдено в виде.

Второе соотношение получено из уравнения (II) при ^>0 > после некоторых преобразований и яредельного перехода при :

X о лWx-Л.^^, oytXV) Л-*.

-'о.

— зс.

— 16.

Из этих равенств, используя условия определены значения СХЛ, ^(^с) • в результате этого, решение задачи 5 в области ^ сведено к решению. задачи 3 главы I .В области оно выписано в явном виде.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора³⁹ — 41 ^ и докладывались на семинаре «Дифференциальные уравнения с частными производными и математические вопросы механики» Института механики и сейсмостойкости сооружений имМ.Т.УразбаеваАН УзССР (руководитель — член-корреспондент АН УзССР Т.Д.Джураев), на семинаре. отдела дифференциальных уравнений Института математики им. В, И, Романовского АН УзССР (руководитель — академия АН УзССР М.С.Салахитди-нов), на Всесоюзном коллоквиуме по теории кубатурных формул и дифференциальным уравнениям с частными производными, г. Бухара 1983 г., на Всесоюзном семинаре по аналитическим методам исследований эллиптических уравнений, г. Уфа, 1984 г.

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность моему научному руководителю, члену-корреспонденту АН УзССР, доктору физико-математических наук, профессору Тухтамураду Джураевичу Джураеву за постановку. задач, многочисленные ценные советы и постоянную поддержу.

1. С, а л, а хи т. дин о в М. С, Уравнения смешанно-составного типа, Ташкент, «Фан», 1974. — 156 с.

2. Д ж у р, а е в Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент, «Фан», 1979. 238 с.

3. Салахитдинов М. С., Д ж у р, а е в Т. Д. Ободной смешанной задаче для уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа. Ташкент, «Изв. АН УзССР», серия физ.-мат.наук, 1971, Ш 4, с.26−31.

4. Салахитдинов М. С., Нагорный A.M. Ободной краевой задаче для уравнений третьего порядка, параболо-гиперболического типа. Б сб. «Краевые задачи для уравнений математической физики», Ташкент, «Фан», 1980, с, 3−13.

5. Шарифба ев Я.С. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка с оператором теплопроводности с главной части, Ташкент, «Изв. АН УзССР», серия физ.-мат.наук, 1975, IP. I, с. 45−48.

6. Ш a p и ф б аев Я.С. О корректных краевых задачах дляуравнения с частными производными третьего порядка. составного. и гиперболо-параболического типа. Автореферат канд. дисс, Ташкент, 1975.

7. С о п j 6 в А. Краевые задачи для уравнений смешанногои смешанно-составного типа, содержащих параболо-ги-перболический оператор. Автореферат канд. диссТашкент, 1982.

8. Трик. оми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных", М.:. Изд. ИИ., 1957, 443 с.

9. Г у р с, а. Э. Курс математического анализа. Гос.техн.теорет. изд. 1933, т. З, ч.1, 276 с.

10. И л ь. ин A.M., Калашников А. С., 0 л е й н и кО.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. М.:.3№, 1962, т.17, вып. 3, с. 3-I4I.

11. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: «Мир», 1968, 427 с.

12. Д в, а й т Г. Б. Таблицы интегралов. М.: Наука, 1964, 228 с.

13. П у л ь к и н П. С. Задача. Трикоми для общего уравненияЛаврентьева-Бицадзе, М.: ДШ СССР, 1958, т. П8,Д 4, с. 38−41.

14. Cascante Joaguin M.A. Aprioximacionessucesivas de las soluciones de equaciones en deriervadas parciales de 3 orden. «Collect.math.», 1961, 13, No 1−2, 89−167.

15. Богданов E.B.O линейной задаче обтекания вибратора сверхзвуковым потоком вязкого газа', М.: ШМ, 1981, т. 45, вып.4, с. 645−650.

16. Пи липч ук В.Н. О существенно нелинейной динамике арок и колец. М.: ШМ, 1982, т. 46, вып. З, с. 461−466.

17. Ш х, а н у к о в М.Х. О некоторых краевых задачах дляуравнения третьего порядка, возникающих при. моделировании фильтрации жидкости в. пористых средах. М.: ДУ, 1982, т.18, Я 4, с. 689−699.

18. В, а д, а х о в.а. В, А, Краевые задачи с нелокальными условиями А. М. Нахушева для одного псевдо-параболиче-ского уравнения. влагопереноса, М: ДУ, 1982, т.18, Ш 2, с. 280−285,.

19. Б, а д, а х о в, а В. А. Об одной краевой задаче для уравгнения третьего порядка с нелокальными условиями A.M. Нахушева. М.: ДУ, 1983, т.19, J" I, с. 163−166.

20. Б, а д, а х о в, а В. А. Задача Гурса для обобщенного уравнения влагопереноса. Сб.: САПР и АСПР в мелиорации, Нальчик, 1983,.с. 74−80.

21. Байменов Б. О краевых задачах для уравненийсмешанно-составного типа. М.: ДУ, 1981, т.17, IS I, с. 13−17.

22. Тверитин О. М. Математическое рассмотрение задачи о продольном ударе по упруго-вязкому стержню со свободным концом, Киев: ДАН УССР, 1953, Л 5, с. 307−312.. .

23. Баре нб лат Г. И., Ж е л т о в Ю.П., КичинаИ.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиновидных породах. М.: ПММ, т.24, вып.5, I960, с. 852−864.

24. Ч уд н о в с к и й А. Ф. Теплофизика почвы. М.:Наука, 1976, 365 с.

25. Nard. Ini Renato. Soliizione di un problema al contorno della magneto-idrodinamica.Ann. mat. pura ed appl. 1953, v.35, 269−290.

26. Рубштейн М. М. К вопросу о процессе распространения тепла в. гетерогенной среде. М.:" Изв. АН СССР", серия географ. 1948, iS I, с. 27−45.

27. Takahashi М a d, а у, а в i, Iwamiya Tashiyki. On the non linear groupassociatedwith a non linear dispersive equation, «KokyMechn. Rept, Nat., Aerospace Lab, 1980, No 626, T. 15.

28. Bona Jerry L., Daudalis Vassi1 i о s A. An initial and bondary vallue problem for a model equation for propagation of lond waves. «J.Math. Anal, and Appl.», 1980, v.75, No 2,503−522.

29. С, а л и x о в Ш. Н. О краевой задаче для одного нелинейного уравнения третьего порядка с действительными характеристиками. «Изв. АН УзССР», серия физ.-мат. наук, 1983, Ш 2, с. 19−24.

30. Салихов Ш. Н. О краевой задаче для одного дифференциального уравнения в частных производных с действительными характеристиками." Изв. АН УзССР", серия физ.-мат.наук, 1983, IS 5, с. 29−33.

31. С, а л и х о в Ш. Н. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с действительными характеристиками. Б сб. «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения», Ташкент," Фан", 1984, с. 123−128.