Некоторые применения метода площадей к классам аналитических функций с квазиконформным продолжением

В геометрической теории функций комплексного переменного одно из центральных мест занимают вопросы, связанные с решением различных экстремальных задач. Восходящий к Б. Риману вариационный принцип Дирихле, носивший первоначально эвристический характер, впоследствии был строго обоснован Д. Гильбертом и А. Пуанкаре и утвердился во многих других разделах математики. Широкое внимание привлекли две проблемы Л. Бибербаха [28,29], касающиеся точных оценок модулей тейлоровских коэффициентов ап однолистных в единичном круге, А функций /, нормированных условиями /(0) = /'(0) — 1 = 0 (класс 5), и изучения структуры п-тел коэффициентов 1) п (5), п ^ 3.

Проблема модулей алгебраических кривых, также восходящая к Риману, и связанная с ней задача Греча-Тейхмюллера о минимизации коэффициента квазиконформности в гомотопических классах сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов / римановых поверхностей стали истоком глубокой теории пространств Тейхмюллера. Указанные ключевые проблемы в XX столетии стимулировали развитие эффективных методов аналитического исследования: площадей и контурного интегрирования (Т. Гронуолл, Г. Фабер, Г. Грунский, Н. А. Лебедев, И. М. Милин, Л. Л. Громова [7,8,27,46,47]) — вариаций (М. А. Лаврентьев, Г. М. Голузин, М. Шиффер, П. П. Белинский, С. Л. Крушкаль [3,4,6,14,15,19,21]) — модулей и экстремальных длин (Г. Греч, О. Тейхмюллер, Л. Альфорс, Дж. Джен-кинс, В. А. Зорич, П. М. Тамразов, Г. В. Кузьмина [2,4,24,25,26]) — параметрических продолжений и оптимального управления (Ч. Левнер,.

П. П. Куфарев, И. А. Александров, В. Я. Гутлянский, В. И. Попов, Д. В. Прохоров [1,37]) — симметризаций (Д. Пойа, И. П. Митюк, В. Н. Дубинин, А. Ю. Солынин [9,10,11,41]).

Весомый вклад в геометрическую теорию функций внесли также Л. Берс, И. Н. Векуа, Ю. Г. Решетняк, Г. Д. Суворов, Л. И. Волковыский, В. М. Миклюков, В. В. Горяйнов, В. И. Рязанов, А. Ю. Васильев, В. В. Старков [12,48]. Крупным достижением явилось доказательство Л. де Бранжем [33] в 1984 г. гипотезы Бибербаха о справедливости на классе 5 точных коэффициентных неравенств |ап| ^ п для всех п ^ 2. Этому предшествовали глубокие исследования проблемы другими авторами. В. Г. Шеретовым [16,30] был обоснован вариант метода площадей для классов однолистных и р-листных функций с ¿-¡—квазиконформными продолжениями с использованием метрик, порождаемых аналитическими квадратичными дифференциалами на разветвленных накрывающих сферы Римана. К полученным на этом пути результатам относится решение второй проблемы коэффициентов Бибербаха (1916 г.), заключающейся в точном описании структуры п-тел тейлоровских коэффициентов.

А. (5) = {(а2,а3,., ап) е С*" 1: а, — /(^(0)М ^ = 2. п, / € 5}, где 5- известный класс голоморфных и однолистных в единичном круге, А = {г: г < 1} функций /(г), нормированных условиями /(0) = /'(0) — 1 = 0, п — произвольное натуральное число, п ^ 2.

Критерий принадлежности точки (а2, аз,., ап) телу 1) п (5) при произвольном фиксированном п, п > 2, в форме счетной системы точных коэффициентных неравенств, вполне характеризующей область коэффициентов Дзо (5), был получен В. Г. Шеретовым [16]. Это открыло путь для приближенного численного построения п-тел, точность которого зависит только от числа используемых неравенств указанной счетной системы.

В более широком плане развитие методов комплексного анализа актуально в свете их современных применений в алгебраической геометрии и теории чисел, теории многообразий малых размерностей, математической и теоретической физике. Как известно, римановы поверхности, пространства Тейхмюллера и гармонические отображения нашли глубокие приложения в теории струн и солитонов, сыграли ключевую роль при решении проблемы Ферма. Традиционными потребителями идей и методов, рожденных в комплексном анализе, остаются механика твердого тела и гидродинамика.

Замечательные успехи геометрической теории функций открыли новые возможности для исследования нерешенных еще задач.

Целью диссертации является систематическое изложение ряда взаимосвязанных вопросов, касающихся применений двух вариантов метода площадей к решению новых экстремальных задач на классах однолистных и р-листных аналитических функций, допускающих /г-квазиконформные продолжения на сферу Римана или ее разветвленные накрывающие.

Методика исследования заключается в адаптации метода приведенных площадей и указанного выше варианта метода площадей, развитого В. Г. Шеретовым, к задачам о неналегающих парах областей, об оценках коэффициентов и теоремах искажения и покрытия. Параллельно используются принцип Дирихле для комплексных гармонических отображений, ряды Пюизе, квазиконформные продолжения и отражения, аналитические квадратичные дифференциалы на римановых поверхностях и порождаемые ими особые римановы метрики, зависящие от нескольких комплексных параметров. При выводе оценок кривизны линий уровня в классах использованы результаты В. В. Черникова [40], Р. Кюнау [20], В. Я. Гутлянского и В. А. Щепетева [37,44]. Для построения геометрических образов, относящихся к изучаемым классам отображений, использован пакет аналитических вычислений Maple V.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все полученные в диссертации результаты, за исключением материала § 7, носящего подготовительный характер, являются новыми и обоснованы строгими математическими доказательствами. Объекты исследования — классы однолистных и р-листных аналитических функций с квазиконформным продолжением и нормировками точечного типа, отображающих канонические области (круги, круговые кольца, всю риманову сферу) на подобные канонические области либо на подходящие ]9-листные их накрывающие. Основные результаты касаются получения теорем типа искажения, вращения и покрытия, точных либо асимптотически точных оценок начальных тейлоровских (лорановских) коэффициентов для разложений отображающих функций в окрестности начала координат или бесконечно удаленной точки, а также оценок кривизны линий уровня в классах отображений с р-кратной круговой симметрией.

Указанные оценки зависят от радиусов кругов покрытия элементов либо от таких параметров изучаемых классов как коэффициент квазиконформности, число листов римановой поверхности образа и порядок группы симметрии.

Во всех случаях выполняется принцип соответствия: надлежащие специализации доказанных теорем дают известные результаты других авторов, касающиеся однолистных и р-листных функций.

Работа в целом носит теоретический характер, поэтому ее результаты могут быть востребованы в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций и смежным разделам математики, а также в тех прикладных вопросах, где используются конформные и квазиконформные отображения.

На заключительном этапе диссертационные исследования поддержаны грантом РФФИ (проект 01.01.112).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Подведем итог и выделим основные положения работы, выносимые на защиту.

В начале семидесятых годов двадцатого века получили интенсивное развитие методы решения экстремальных задач в различных классах однолистных аналитических функций с квазиконформным продолжением. Крупный вклад в это направление внесли С. Л. Крушкаль, Р. Кюнау, О. Лехто, В. Я. Гутлянский, В. Г. Шеретов и другие отечественные и зарубежные специалисты.

Данная диссертация посвящена дальнейшему развитию метода площадей и его применениям к классам однолистных и р-листных квазиконформных функций. В первой главе «Приведенная логарифмическая площадь и теоремы искажения в некоторых классах р-листных функций» решается ряд экстремальных вопросов в новых классах р-листных^{-квазиконформных} функций, являющихся естественными обобщениями известных в геометрической теории аналитических функций комплексного переменного классов С. А. Гельфера, Н. А. Лебедева, Г. Грунского. Основные результаты главы 1:

1. Доказательство неравенства площадей для классов ШР) к (Я, 0, оо) пар р-листных /¿—квазиконформных функций в единичном круге А, аналитических в меньшем концентрическом круге и отображающих, А на взаимно неналегающие области, расположенные р-листной накрывающей римановой сферы (теорема 1.1) — использование для этой цели оценок приведенной логарифмической площади.

2. Доказательство аналога теоремы Лаврентьева-Шепелева о произведении конформных радиусов и соответствующей теоремы вращения для классов 0, оо) (теоремы 1.2, 1.3) — получение точных двухсторонних оценок типа теорем искажения на классах С®к (Я: аьаг) р-листных /¿—квазиконформных функций, обобщающих классы Н. А. Лебедева и С. А. Гельфера (теорема 1.4).

3. Нахождение точных оценок модуля и аргумента коэффициента ар в классах Мр>к (Я, р) ограниченных р-листных /г-квазиконформных вложений единичного круга, голоморфных в меньшем концентрическом круге, связанных с классами Шр>к (Я, 0, оо) (теоремы 1.5, 1.6) — доказательство теорем 1.7 и 1.8 об искажении в классах Срк (Я, р, а) и^{-листных} /г-квазиконформных вложений круга, А и отражений римановой сферы, соответственно, а также теоремы 1.9 об искажении в классах, обобщающих класс Грунского.

Вторая глава «Приложения метода площадей к некоторым классам однолистных функций и оценки кривизны линий уровня» содержит новые результаты об однолистных функциях с квазиконформными продолжениями, доказательство которых базируется на методе площадей, использующем метрики, отвечающие аналитическим квадратичным дифференциалам, заданным на разветвленных накрывающих римановой сферы и зависящим от конечного числа комплексных параметров. Основные результаты главы 2:

4. Получение обобщений неравенства Альфорса между вторым и четвертым тейлоровскими коэффициентами функций класса Б на подкласс образуемый нечетными элементами из 5, и на подклассы (оо) /г-квазиконформных автоморфизмов римановой сферы, оставляющих неподвижной точку г = оо и имеющих ограничения /|д, принадлежащие классу (теорема 2.6).

5. Получение асимптотически точных при к —> 1 оценок начальных.

2} коэффициентов функций из указанных классов ¿-¿-.(оо), (оо), 5, зависящих от радиусов кругов покрытия элементов и коэффициента квазиконформности (теоремы 2.7 и 2.8) и доказательства соответствующих теорем покрытия (теоремы 2.9 и 2.10).

6. Вывод асимптотически точных при к —> 1 оценок для кривизны р) линий уровня отображений из классов, образуемых р-кратно симметричными /с-квазиконформными функциями во внешности единичного круга с гидродинамической нормировкой на бесконечности (теорема 2.11).

Уместно заметить, что надлежащие специализации всех перечисленных результатов приводят к известным утверждениям, полученным ранее другими авторами.

С помощью численного метода в Приложении получены геометрические образы, связанные с классами однолистных функций. Результат можно резюмировать следующим образом:

7. Дана демонстрация компьютерных геометрических образов, связанных с сечениями и слоениями сечений остова области коэффициентов функций класса 5- приведены графические построения средствами пакета Maple V, основанные на визуализации множеств, определяемых неравенствами из настоящей диссертации и некоторыми оценками других авторов.

Возможности методов, использованных в данной работе, не вполне исчерпаны. Например, очевидным направлением обобщения результатов главы 1 является рассмотрение семейств из трех и более р-листных fc-квазиконформных, а также гармонических вложений единичного круга в сферу Римана с условием неналегания образов и родственным ему, что с другой стороны послужило бы обобщением результатов Н. А. Лебедева и его учеников, изложенных в монографии [7]. Естественно было бы распространить результаты § 8,9 главы 2 на классы однолистных функций с р-кратно круговой симметрией и квазиконформными продолжениями.