Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Разработка комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений для моделирования водооборотных систем

Диссертация: Разработка комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений для моделирования водооборотных систем
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Апробация работы. Теоретические и практические результаты, полученные в процессе исследования, докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики и информационных технологий Липецкого государственного педагогического университета (2001;2002) — II научно-практической конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Наша общая окружающая среда» (Липецк, 2001) — III… Читать ещё >

Содержание

  • ГЛАВА 1. ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕЧЕТКИХ РЕЛЯЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
    • 1. 1. Расширение стандартных логических операций на единичном отрезке
    • 1. 2. Нечёткие соответствия и их композиции
    • 1. 3. Классификация нечетких реляционных уравнений и их основные свойства
    • 1. 4. Использования нечетких реляционных уравнений для моделирования проблемных ситуаций
    • 1. 5. Основные методы решения нечетких реляционных уравнений .29 Постановка задач диссертационного исследования
  • ГЛАВА 2. СРАВНИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕЧЕТКИХ РЕЛЯЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
    • 2. 1. Основной метод
    • 2. 2. Метод Г-матриц
    • 2. 3. Метод «матричного шаблона»
    • 2. 4. Метод нечеткого 5-правила
    • 2. 5. Метод нечетких нейроопераций
    • 2. 6. Результаты сравнительного анализа по количеству затрачиваемого машинного времени
  • Выводы
  • ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОМБИНИРОВАННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ НЕЧЕТКИХ РЕЛЯЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
    • 3. 1. Метод выбора композиции нечетких соответствий, адекватной проблемной ситуации
    • 3. 2. Комбинированный метод решения нечетких реляционных уравнений
      • 3. 2. 1. Модифицированный метод нечеткого-правила для определения основания min-/уравнений
      • 3. 2. 2. Модифицированный метод нечеткого 8-правила для определения ответвления min-I уравнений
      • 3. 2. 3. Примеры решения тестовых нечетких реляционных уравнений модифицированными методами
    • 3. 3. Программная реализация комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений
      • 3. 3. 1. Алгоритмизация методов решения
      • 3. 3. 2. Структура программного комплекса «Fuzzy Relational Equation»
  • Выводы
  • ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВОДООБОРОТНОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ АППАРАТА НЕЧЕТКИХ РЕЛЯЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
    • 4. 1. Проблема стабилизации производственных водных систем
      • 4. 1. 1. Проблемы коррозии и солеотложения в водооборотных системах
      • 4. 1. 2. Методы определения показателя стабильности воды и стабилизационная обработка водных систем
    • 4. 2. Методика расчета параметров подпиточной воды водооборотной системы с целью ее стабилизации
    • 4. 3. Пример использования методики для расчета рН подпиточной воды Волжской ТЭЦ-2 (ОАО «Волгоградэнерго»)
    • 4. 4. Методика прогнозирования значений параметров водооборотной системы
  • Выводы

Разработка комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений для моделирования водооборотных систем (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Актуальность темы

Аппарат нечетких реляционных уравнений (НРУ) в настоящее время используется для моделирования технических, социальных, экономических, экологических и других процессов. К уравнениям подобного типа сводятся многие прикладные задачи, например, управления и диагностики, распознавания образов, сжатия изображений. Возможность использования в качестве исходных данных информации, полученной от экспертов, позволила широко использовать нечеткие уравнения в задачах принятия решений и задачах диагностического характера.

Нечеткие соответствия позволяют в простой и понятной форме представить связь между элементами нечетких множеств, а возможность выбора типа композиции, наиболее точно описывающего систему, обеспечивает гибкость построенной модели. Наиболее часто в качестве композиции нечетких соответствий используются max — Т и min- / композиции, где Т и / — расширения стандартных логических операций конъюнкции и импликации на единичном отрезке.

Каждое НРУ имеет множество решений, состоящее из одного основания (максимальное решение для шах-Г композиции, минимальное для min-/), нескольких ответвлений (минимальные решения для max-Г композиции и максимальные для min-/), а также всех решений, находящихся между ними. Основной задачей при решении НРУ является определение полного множества решений: основания и всех ответвлений.

Анализ публикаций, связанных с решением НРУ, свидетельствует о постоянно возрастающем интересе к этой проблеме. На сегодняшний день предложено множество методов и их модификаций для решения нечетких реляционных уравнений: численные, матричные, нейросетевые. Каждый из них имеет свою специфику, позволяет получить определенные элементы множества решений.

Наиболее универсальный метод определяет полное множество решений, но бессилен в большинстве задач с реальными данными: уравнение не удовлетворяет необходимым и достаточным условиям разрешимости. Менее универсальные позволяют обходить это ограничение, но привязаны к определенному типу композиции или позволяют вычислить только отдельные элементы множества решений.

Часть методов использует специальные приемы, позволяющие обходить тупиковые ветки алгоритмов решений. Это сокращает затраты машинного времени при решении, но так и не позволяет для уравнения любого типа получить полное множество решений.

Таким образом, задача определения метода, который позволяет получить наиболее полную информацию о множестве решений НРУ, в настоящее время актуальна и представляет как теоретический, так и практический интерес.

Диссертационная работа соответствует научному направлению Липецкого государственного педагогического университета «Модели и методы искусственного интеллекта».

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является разработка и численное исследование модифицированных нейросетевых методов решения нечетких реляционных уравнений, создание на их основе комбинированного метода решения и его использование для моделирования водообо-ротных систем.

В соответствии с данной целью были поставлены и решены следующие задачи: обзор существующих методов решения нечетких реляционных уравненийсравнительное исследование методов решения нечетких реляционных уравненийразработка и численное исследование модифицированных нейросетевых методов для определения основания и одного ответвления min- / уравнений на основе нечеткого нейросетевого метода вычисления основания maxТ уравненийразработка и программная реализация комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений, включающего в себя модифицированные методы решенияразработка математической модели водооборотной системы на основе комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, теории нечетких множеств и нечеткой логики, нечеткого реляционного исчисления, теории решеток, теории нейронных сетей, численных методов, математической статистики, структурного и модульного программированиявычислительные эксперименты.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной: метод определения композиции, используемой в нечетком реляционном уравнении, основанный на анализе соответствия между реальными данными и рассчитанными значениями расширенных логических операций, позволяющий повысить уровень адекватности построенной моделимодифицированные алгоритмы решения нечетких реляционных уравнений, основанные на нейросетевом методе определения основания уравнения с max-Г композицией, отличающиеся возможностью получения основания и ответвления min-/ уравнения и обеспечивающие, в случае неразрешимости исходного уравнения, определение некоторого элемента множества решенийкомбинированный метод решения нечетких реляционных уравнений с произвольной max-Г или min-/ композицией, основанный на стандартном, исходном нейросетевом и модифицированных нейросетевых методах решения, обеспечивающий получение наиболее полной информации о множестве решений исходного уравнения- — математическая модель водооборотной системы, использующая комбинированный метод решения нечетких реляционных уравнений и применяемая для расчета параметров подпиточной и циркулирующей воды с целью стабилизации циркулирующей.

Практическая ценность работы. Произведенный анализ и сопоставление методов решения нечетких реляционных уравнений позволяет обоснованно выбрать и использовать в моделях, основанных на аппарате уравнений подобного типа, некоторые методы решения, наиболее адекватные цели моделирования.

Разработанная программная оболочка, реализующая комбинированный метод решения может использоваться для практического вычисления элементов решения нечетких реляционных уравнений.

Математическая модель водооборотной системы позволяет снизить затраты предприятия при реализации программ реагентной обработки систем водоснабжения и адаптации свойств реагентов для применения в конкретном технологическом цикле.

Реализация и внедрение результатов работы. Модель водооборотной системы на основе комбинированного метода решения НРУ использована в ЗАО «НИИЭПМ» (г. Липецк) при производстве реагентов для стабилизации водооборотной системы Волжской ТЭЦ-2 (ОАО «Волгоградэнерго»). Используемая наряду со стандартными эмпирическими способами расчета, она позволяет более комплексно исследовать изменение характеристик циркулирующей воды, прогнозировать отклонения значений параметров от допустимых. В конечном итоге, это приводит к увеличению срока эксплуатации теплообменного оборудования и снижению материальных затрат предприятия.

Результаты диссертации нашли отражение в программе спецкурса «Введение в математические методы принятия решений» для студентов специальности 10 501 —"Прикладная математика и информатика". Курс читался в течение ряда лет на физико-математическом факультете Липецкого государственного педагогического университета.

Апробация работы. Теоретические и практические результаты, полученные в процессе исследования, докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики и информационных технологий Липецкого государственного педагогического университета (2001;2002) — II научно-практической конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Наша общая окружающая среда» (Липецк, 2001) — III Международной электронной научной конференции «Новые технологии в образовании» (Воронеж, 2001) — межвузовской научно-технической конференции «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве» (Воронеж, 2001) — X международной научно-методической конференции «Наукоёмкие технологии образования» (Таганрог, 2001) — IX Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2002) — на семинарах, проводимых Липецким региональным отделением Российской ассоциации искусственного интеллекта (Липецк, 2000;2004).

Публикации. Основные результаты исследования нашли свое отражение в 9 опубликованных в печати научных работах. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит изложение общей теории решений нечетких реляционных уравнений в монографии [9], обзор существующих методов решений и их краткая характеристика в [22], в [38] операции композиций в нечетких уравнениях рассмотрены как расширения булевых операций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 145 страницах, списка литературы из 111 наименований и приложений на 6 страницах, содержит 23 рисунка и 28 таблиц.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Произведен сравнительный анализ существующих методов решения нечетких реляционных уравнений, что обосновало выбор некоторых из них в качестве составляющих комбинированного метода решения.

2. Разработана методика выбора композиции, используемой в НРУ, основанная на анализе соответствия между реальными данными и рассчитанными значениями расширенных логических операций, позволяющая повысить уровень адекватности математических моделей, использующих нечеткие реляционные уравнения.

3. Разработаны алгоритмы решения min-/ уравнений на основе модификации нейросетевого метода определения основания max-Г уравнений, позволяющие вычислить основание и одно ответвление min- / уравнениядоказаны утверждения и теоремы, обосновывающие использование модифицированных методов.

4. Разработан комбинированный метод решения нечетких реляционных уравнений, позволяющий получить наиболее полную информацию о множестве решений уравнения общего вида и осуществлена его программная реализация.

5. Разработана методика определения значений параметров подпиточной воды на основе комбинированного метода решения нечетких реляционных уравнений, обеспечивающая стабилизацию водооборотной системы.

6. Разработана методика определения параметров циркулирующей воды на несколько водооборотных циклов вперед, основанная на аппарате нечеткого реляционного исчисления и позволяющая учитывать влияние физико-химического состава воды на водооборот-ную систему.

Возможности исследования методов решения нечетких реляционных уравнений не исчерпаны. Можно выделить следующие направления, по которым могут производиться дальнейшие исследования:

7. разработка итерационных методов для определения решений, находящихся между основанием и ответвлениями;

8. разработка новых методов для решения min-/, в том числе на основе модификации имеющихся методов для решения max-Г уравнений;

9. переход к рассмотрению уравнений с операциями, являющимися 9бобщением tнорм и импликаторов (унинорм и нульнорм).

Заключение

.

Нечеткие реляционные уравнения, с одной стороны, рассматриваются как специальный класс матричных уравнений, где вместо сложения и умножения используются расширения стандартных логических операций на единичном интервале. С другой стороны, с уравнениями подобного вида тесно связаны многие разделы искусственного интеллекта: нечеткие системы логического вывода, нейросетевые и генетические алгоритмы. Основой эффективного использования данного класса уравнений является возможность варьирования операций, в зависимости от исходных данных и требований, предъявляемых к конечному результату. Еще одна важнейшая черта — получение интервала результатов: максимальных и минимальных параметров, при которых система будет находиться в определенном состоянии.

При моделировании процессов с помощью аппарата нечетких реляционных уравнений наиболее важным моментом является определение типа композиции, то есть используемых операций. Это во многом определяет качество построенной модели.

Множество методов решений нечетких уравнений, каждый из которых имеет собственные достоинства и недостатки, позволяет сделать выбор в пользу того или иного метода с учетом специфики исходных данных.

Показать весь текст

Список литературы

  1. С.А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. — М.: Финансы и статистика. — 1985. — 487с.
  2. С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. — М.: Юнити. — 1998. — 1022 с.
  3. А.Е., Семухин М. В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: Монография. — Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета. — 2000. — 352 с.
  4. К. и др. Прикладные нечеткие системы: пер. с японского /Под ред. Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугэно. — М.: Мир, 1993. — 386 с.
  5. Ф., Кордонье Ж. Водоочистка. — М: Химия. — 1997.
  6. С. Л., Шуйкова И. А. Методы принятия решений: учебное пособие. — Липецк: Липецкий государственный педагогический институт. —1999.—104 с.
  7. С.Л., Шуйкова И. А., Сараев П. В., Черпаков И. В. Нечеткая логика: алгебраические основы и приложения: монография.—Липецк: ЛЭ-ГИ. — 2002. — 111с.
  8. Водоснабжение промышленных предприятий: Методические указания к выполнению лабораторных работ /Часть 1. Стабилизация воды.— Вологда: ВоПИ. — 1998. — 28 с.
  9. В.И., Аникин И. В., Аджели М. А. Мягкие вычисления (soft computing) и их приложения: учебное пособие /Под ред. В. И. Глова. — Казань: Изд-во КГТУ. — 2000. — 98 с.
  10. Дьяконов В. Matlab 6: учебный курс. — СПб.: Питер, 2001. — 592 с.
  11. Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний.— Новосибирск: Изд-во Ин-та математики. — 1999. — 270 с.
  12. А., Хил Алуха X. Введене теории нечетких множеств в управлении предприятиями: Пер. с исп. — Мн.: Выш. шк., 1992. — 224 с.
  13. В.В., Дли М.И., Голу нов Р. Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. — М.: Физматлит. — 2001. — 224 с.
  14. Н.И., Ларин, С.А. Хаскин. Канализация населенных мест и промышленных предприятий. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Стройиз-дат. — 1981. — 639 с.
  15. Ю.Ю. Аналитическая химия промышленных сточных вод. — М.: Химия. — 1884. — 447 с.
  16. А.Н., Баронец В. Д. Проектирование микропроцессорных средств обработки нечёткой информации. — Ростов н /Д: Издательство Ростовского университета. — 1990. — 128 с.
  17. А.Н., Бернштейн Л. С., Коровин С .Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. — М.: Наука, Гл.ред. физ.-мат. лит. — 1990. —272 с.
  18. О. В. и др. Общая алгебра /Под общ. ред. Л. А. Скорняко-ва. — М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит. — 1990. — Т. 1,2.
  19. В.И., Минц Д. М., Кастальский А. А. Подготовка воды для питьевого и промышленного водоснабжения. — М.: Высшая школа.—1984. —560 с.
  20. Е.П., Черпаков И. В. Решение полиномиальных уравнений над решёткой // Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве. Труды межвузовской научно-технической конференции. — Воронеж: ВГТУ. — 2001. — С. 22−23.
  21. А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. — М.: Наука. — 1979. — 296 с.
  22. Л.Л., Кару Я. Я., Мельдер Х. А. Справочник по очистке природных и сточных вод. — М.: Высшая школа. — 1994. — 336 с.
  23. В. Я., Бакулин Е. П., Кореньков Д. И. Нечеткие множества в системах управления / Под ред. Золотухина Ю. Н. http://www.idisys.iae.nsk.su/fuzzybook/content.htm.
  24. С.К., Цаленко М. Ш. Системы линейных уравнений с коэффициентами в решётках Ч. 1,2 // НТИ. Сер. 2. — 1992. — № 1.
  25. Строительные нормы и правила. СНиП 2.04.02−84. Водоснабжение. Наружные сети и сооружения. — М.: Стройиздат. — 1985. — 134 с.
  26. В.П. Математическое моделирование технических систем. — Мн.: ДизайнПРО. — 1997. — 640 с.
  27. Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений: научно-практическое издание // Серия «Информатизация России на пороге XXI века». — М.: СИНТЕГ. — 1998. — 376 с.
  28. В.И. Основные критерии для технологического расчета и эксплуатации мембранных систем водоподготовки //Критические технологии. Мембраны. — 2003. — № 17. — С.22−29.
  29. Г. М. Основы математического анализа (1). — СПб.: Издательство «Лань», 2001. — 448 с.
  30. И.В. Нечеткие реляционные уравнения и реализация их решений в среде MatLab// Наукоёмкие технологии образования. Тезисы десятой международной научно-методической конференции. — Таганрог: ТГРУ. — 2001. — С.40−42.
  31. И.В. Решение нечетких inf-I уравнений на единичном интервале // Сборник тезисов девятой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». — М.: Прогресс-Традиция. — 2002. — С. 111.
  32. И.В. Решение нечетких inf-I уравнений на единичном интервале // Сборник научных трудов семинара «Методы и модели искусственного интеллекта». — Липецк: ЛГТУ. — 2003. — С. 115−130.
  33. С.В., Карелин Я. А., Ласков Ю. М. Водоотведение и очистка сточных вод: учебник для вузов. — М.: Стройиздат. — 1996. — 592 с.
  34. Adamopoulos G.I., Pappis С.P. Some Results on the Resolution of Fuzzy Relation Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1993. — № 60. — pp.83−88.
  35. Agapie A., Giuclea M. Genetic Algorithms For Solving Systems of Fuzzy Relational Equations, in Proc. of 7th International Fuzzy Systems Association World Congress (IFSA'97), Prague, Czech Republic, vol. 2. — 1997. — pp.379−382.
  36. Berrached A., Beheshti M., de Korvin A., Alo R. Applying Fuzzy Relation• • th
  37. Equations to Threat Analysis. Proceeding of the 35 Hawaii Conference on1. System Sciences. — 2002.
  38. Blanco A., Delgado M., Requena I. Solving Fuzzy Relational Equations by Max-min Neural Network, Proc. 3rd IEEE Internet Conf. On Fuzzy Systems, Orlando. — 1994. — pp. 1737−1742.
  39. Cechlarova К. Unique Solvability of Max-Min Fuzzy Equations and Strong Regularity of Matrices over Fuzzy Algebra // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. —№ 75. —pp.165−177.
  40. Cheng L., Peng B. The Fuzzy Relation Equation with Union or Intersection Preserving Operator // Fuzzy Sets and Systems. — 1988. — № 25. — pp. 191−204.
  41. Chung F., Lee T.A. New Look at Solving a System of Fuzzy Relational Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1997. — № 99. — pp.343−353.
  42. De Baets B. Analitic Solution Methods for Fuzzy Relational Equations // Fundamentals of Fuzzy Sets: Handbooks of Fuzzy Sets Series. — Dordrecht: Kluwer, 2000. — Vol. 1. — Ch. 6. — 50 pp.
  43. De Baets B. Idempotent Uninorms // European Journal of Operational Research. — 1999. — № 118. — P. 631−642.
  44. Di Nola A., Sessa S. On the Set of Composite Fuzzy Relation Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1983. — № 9. — P.275−285.
  45. Di Nola A., Pediycz W., Sessa S. Some Theoretical Aspects of Fuzzy Relation Equations Describing Fuzzy System // Inform Sci. —1984. — № 34. — P.261−264.
  46. Di Nola A., Pedrycz W., Sessa S., Wang, P.Z. Fuzzy Relation Equation under a Class of Triangular Norms: A Survey and New Results // Stochastica. — 1984. —№ 8. —P. 99−145.
  47. Di Nola A. Relational Equations in Totally Ordered Lattices and their Complete Resolution // J. Math. Appl. — 1985. — № 107. — P. 148−155.
  48. Di Nola A., Sessa S. Pedrycz W., Sanchez E. Fuzzy Relational Equations and their Application in Knowledge Engineering. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. — 1989. — 220 pp.
  49. Di Nola A., Pedrycz W., Sessa S., Sanchez E. Fuzzy Relation Equations Theory as a Basis of Fuzzy Modeling: An Overview // Fuzzy Sets and Systems. — 1991. — № 40. — P.415−429.
  50. Di Nola A. On Solving Relational Equations in Brouwerian Lattices // Fuzzy Sets and Systems. — 1994. — № 34. — P.365−376.
  51. Gavalec M. Solvability and unique solvability of max-min fuzzy equations // Fuzzy Sets and Systems. —2001. —№ 124 (3). — 2001. — P. 385−393.
  52. Giorgos B. Stamou, Spyros G. Tzafestas. Resolution of composite fuzzy relation equations based on Archimedean triangular norms // Fuzzy Sets and Systems. —2001. — № 120 (3). — 3. 395−407.
  53. Gottwald S. Approximately Solving Fuzzy Relation Equations: Some Mathematical Results and Some Heuristic Proposals // Fuzzy Sets and Systems. — 1994. —№ 66. —P. 175−193.
  54. Gottwald S. Approximate Solutions of Fuzzy Relational Equations and a Characterization of t-norms that Define Matrices for Fuzzy Sets // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. — № 75. —P. 189−201.
  55. Gottwald S., Perdycz W. On the Methodology of Soliving Fuzzy Relational Equations and its Impact on Fuzzy Modelling, In Fuzzy Logic in Knowledge-Based Systems /М.М. Gupta, T. Yamakawa Edts // Decision and Control. — 1988. —P. 197−210
  56. Guo S.Z., Wang P.Z., Di Nola A., Sessa S. Further Contributions to the Study of Finite Fuzzy Relation Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1988. -r-№ 26. —P. 93−104.
  57. Drewniak J. Fuzzy Relation Calculus. — Katowice: Univ. Slaski. — 1989. — 160 pp.
  58. Drewniak J. Equations in Classes of Fuzzy Relations // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. — № 75. — P. 215−228.
  59. Dubois D., Prade H. Fuzzy Relation Equations and Causal Reasoning // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. — № 75. — P. 119−134.
  60. Fang S.C., Li G. Solving Fuzzy Relation Equations with a Linear Objective Function // Fuzzy Sets and Systems. — 1999. —№ 103. —P. 107−113.
  61. Higashi M., Klir G.J. Resolution of Finite Fuzzy Relation Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1984. — № 13. —P. 65−82.
  62. Hirota K., Pedrics W. Data Compression With Fuzzy Relational Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 2002. —№ 126. —P. 325−335.
  63. Hirota К., Pedrics W. Specificity Shift in Solving Fuzzy Relational Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1999. — № 106. — P. 211 -220.
  64. Imai H., Kikuchi K., Miyakoshi M. Unattainable solutions of a fuzzy relational equation // Fuzzy Sets and Systems. — 1998. — № 99. —P. 193−196.
  65. Imai H., Miyakoshi M., Da-te T. Some properties of minimal solutions for a fuzzy relation equation // Fuzzy Sets and Systems. — 1997. — № 90 (3). — P. 335−340.
  66. Janis Fan-Fang Yao, Jing-Shing Yao. Fuzzy Decision Making For Medical Diagnosis Based On Fuzzy Number And Compositional Rule of Inference // Fuzzy Sets And Systems. — 2001. — № 120. — P. 351−366.
  67. Jianjun Lu, Shu-Cherng Fang. Solving nonlinear optimization problems with fuzzy relation equation constraints // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — № 119(1). —P. 1−20.
  68. Jiranut Loetamonphong, Shu-Cherng Fang. Optimization of fuzzy relation equations with max-product composition // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. № 18(3).—P. 509−517.
  69. Kagei S. Fuzzy Relational Equation with Defuzzification Algorithm for the Largest Solution // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — № 123. —P. 119−127.
  70. Kandasamy V., Praseetha R. New Fuzzy Relation Equations to Estimate the Peak Hours of the Day for Transport Systems // J. of Bihar Math. Soc. — 2000. —№ 20.—P. 1−14.
  71. Kandasamy V., Smarandache F. Fuzzy Relational Maps And Neutrosophic Relational Maps. — Hexis: Church Rock. — 2004. — 301pp.
  72. Kurano M., Yasuda M., Nakagami J., Yoshida Y. A fuzzy relational equation in dynamic fuzzy systems // Fuzzy Sets and Systems. — 1999. — № 103. — P. 473−486.
  73. Lettieri A., and Liguori F. Characterization of Some Fuzzy Relation Equations Provided with one Solution on a Finite Set // Fuzzy Sets and Systems. — 1984. —№ 13. —P. 83−94.
  74. Li X., Ruan D. Novel Neural Algorithm Based on Fuzzy S-rules for Solving Fuzzy Relation Equations Part I // Fuzzy Sets and Systems. —1997. — № 90. — P. 11−23.
  75. Li X., Ruan D. Novel Neural Algorithms Based on Fuzzy S-rules for Solving Fuzzy Relation Equations Part II // Fuzzy Sets and Systems. — 1999. — № 103. —P. 473−486.
  76. Li X., Ruan D. Novel Neural Algorithm Based on Fuzzy S-rules for Solving Fuzzy Relation Equations Part III // Fuzzy Sets and Systems. — 2002. — № 109. —P. 355−362.
  77. Loetamonphong J., Shu-Cherng Fang. Optimization of Fuzzy Relation Equations With Max-Product Composition // Fuzzy Sets And Systems. — 2001. — № 118. —P. 509−517.
  78. Loetamonphong J., Shu-Cherng Fang, Robert E. Young. Multi-objective optimization problems with fuzzy relation equation constraints // Fuzzy Sets and Systems. —2002. — № 127 (2). — P. 141−164.
  79. Lu J. An Expert System Based on Fuzzy Relation Equations for PCS-1900 Cellular System Models, Proc. South-eastern INFORMS Conference, Myrtle Beach SC. — 1998. /
  80. Lu J., Fang S.C. Solving Nonlinear Optimization Problems with Fuzzy Relation Equation Constraints // Fuzzy Sets and Systems. —2001. — № 119. — P. 1−20.
  81. Luo C.Z. Reachable Solution Set of a Fuzzy Relation Equation // J. of Math. Anal. Appl. — 1984. — № 103. — P. 524−532.
  82. Luoh L., Wang W.J., Liaw Y.K. New Algorithms for Solving Fuzzy Relation Equations // Mathematics and Computers in Simulation. — 2002. — № 59. — P. 329−333.
  83. Mary M. Bourke, D. Grant Fisher. Solution Algorithms for Fuzzy Relation Equations With Max-Product Composition // Fuzzy Sets And Systems. —1998. —№ 94. —P. 61−69.
  84. Miyakoshi M., Shimbo M. Solutions of Fuzzy Relational Equations with Triangular Norms // Fuzzy Sets and Systems. — 1985. — № 16. — P. 53−63.
  85. Miyakoshi M., Shimbo M. Sets of Solution Set Invariant Coefficient Matrices of Simple Fuzzy Relation Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1987. — № 21. —P. 59−83.
  86. Miyakoshi M., Shimbo M. Sets of Solution Set Equivalent Coefficient Matrices of Fuzzy Relation Equation // Fuzzy Sets and Systems. — 1990. — № 35. — P. 357−387.
  87. Neundorf D., Bohm R. Solvability criteria for systems of fuzzy relation equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1996. —№ 80 (3). — P. 345−352.
  88. Pedrycz W. Algorithms for solving fuzzy relational equations in a probabilistic setting // Fuzzy Sets and Systems. — 1990. — № 38. — P. 313−327.
  89. Pedrycz W. Numerical and applicational aspects of fuzzy relational equations //Fuzzy Sets and Systems. — 1983. —№ 11. —P. 1−18.
  90. Pedrycz W. Fuzzy Relational Equations with Generalized Connectives and their Applications // Fuzzy Sets and Systems. — 1983. — № 10. — P. 185−201.
  91. Pedrycz W. Inverse Problem in Fuzzy Relational Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1990. — № 36. — P. 277−291.
  92. Pedrycz W. Processing in Relational Structures: Fuzzy Relational Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1991. —№ 25. — P. 77−106.
  93. Pedrycz W. s-t Fuzzy Relational Equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1993.—№ 59. —P. 189−195.
  94. Pedrycz W. Genetic Algorithms for Learning in Fuzzy Relational Structures // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. —№ 69. — P. 37−52.
  95. Plavica V., Petrovacki D. About simple fuzy control and fuzzy control based on fuzzy relational equations // Fuzzy Sets And Systems. — 1999. — № 101. —P. 41−47.
  96. Prevot M. Algorithm for the Solution of Fuzzy Relation // Fuzzy Sets and Systems. — 1976. — № 5. — P. 38−48.
  97. Sanchez E. Resolution of composite relation equations // Information and Control. — 1976. — № 30. — P. 38−48.
  98. Sanchez E. Truth-qualification and fuzzy relations in natural languages, application to medical diagnosis // Fuzzy Sets and Systems. — 1996. — № 84 (2).1. P. 155−167.
  99. Sessa S. Some Results in the Setting of Fuzzy Relation Equation Theory // Fuzzy Sets and Systems. — 1984. — № 14. — P, 217−248.
  100. Stamou G.B., Tzafestas S.G. Neural Fuzzy Relational Systems with New Learning Algorithm // Mathematics and Computers in Simulation. — 2000.51.—P. 301−314.
  101. Stamou G.B., Tzafestas, S.G. Resolution of Composite Fuzzy Relation Equations based on Archimedean Triangular Norms. // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — № 120. — P. 395−407.
  102. Wang H.F. An Algorithm for Solving Iterated Complete Relation Equations, Proc. NAFIPS. — 1988. — P. 242−249.
  103. Wang X. Method of Solution to Fuzzy Relation Equations in a Complete Brou-werian Lattice // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — № 120. — 409−414.
  104. Wang X. Infinite Fuzzy Relational Equations on a Complete Brouwerian Lattice // Fuzzy Sets and Systems. — 2003. —№ 138. — P. 657−666.
  105. Zhao C.-K. On Matrix Equations In A Class of Complete And Completely Distributive Lattices // Fuzzy Sets And Systems.— 1987. — № 22. — P. 303−320.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?