Математическое моделирование процессов удержания плазмы в тороидальных ловушках

Список литературы

1. Научные результаты, полученные в диссертации, четко делятся на теоретические и прикладные. В диссертации впервые получены следующие основные теоретические результаты:
2. Для расчета МГД равновесных состояний с магнитными островами разработан метод, основанный на применении неоднозначных потоковых координат с меняющейся топологией поверхностей уровня (базовых координат) 8А, 13А, 14А.
3. Доказан ряд теорем о математических свойствах модели развития и подавления вертикальной неустойчивости плазмы в токамаке, включая анализ модели нелинейной обратной связи 32А.
4. Помимо теоретических результатов, с помощью разработанных автором кодов решены также важные прикладные задачи:
5. Коды, разработанные автором для расчета МГД равновесия и вертикальной неустойчивости плазмы, доведены до уровня стандартных программ и выложены в открытом доступе 24А, 27А, 29А, ЗЗА.
6. Рассчитаны МГД равновесные состояния плазмы в нескольких установках стелларатор, в том числе в российском Л-2 7А, 9А-12А.
7. Проведена экспертиза проекта токамака Т-15М, Россия 15А-20А, 22А.
8. Проведена оптимизация системы катушек магнитного поля для проекта крупной установки СТБ, Великобритания источника термоядерных нейтронов 26А.
9. Проведен анализ дивертора в российском проекте термоядерного источника нейтронов токамаке ТИН-СТ 31 А.
10. Проведены уточняющие расчеты базового сценария разряда на токамаке КТМ, Казахстан, который в настоящее время построен и вводится в эксплуатацию 28А, ЗОА.
11. ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МГД РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ
12. Помимо упомянутых выше работ, результаты данной главы докладывались также на международных конференциях, 37А-39А, 41 А.§-1. УРАВНЕНИЯ МГД РАВНОВЕСИЯ 1С-4С, 23А, 25А.
13. Хотя плазма в равновесных состояниях не является идеально проводящей, уравнения МГД равновесия получаются из системы уравнений идеальной магнитной гидродинамики: div (pv) = 0-dtр— + p (vV)v + Vp = jxB.-dtrotB = ju0y, (2.1)divB = 0-dB r — = rot xBJ. dt
14. Опуская в системе (2.1) производные по времени, получим уравнения для описания стационарного режима с установившейся конвекцией 5С-7С.сИу (ру) = 0-уВ = 0- Ш х В. = 0.
15. Далее, если в (2.2) положить V = 0, то получим уравнения равновесияго (В = /и0 й сИУ В = 0-
16. Предметом данной главы являются уравнения равновесия, полученные из системы (2.3).
17. Метод базовых координат, который будет рассматриваться в главе 3, основан на применении вариационного подхода.
18. Следствия из уравнений МГД равновесия. Первое из уравнений равновесия (2.3) имеет в качестве следствий соотношения0- (ВУ/>) = 0. (2.7)
19. В следующем разделе мы рассмотрим систему (2.3) в аксиально-симметричном случае, когда система становится двумерной.§-2. УРАВНЕНИЕ ГРЭДА-ШАФРАНОВА И СВЯЗАННЫЕ С НИМ1. ЗАДАЧИ
20. В = Вр+В,? = зр+}х. (2.8)
21. Поскольку в аксиально-симметричном случае д/дд> = 0, то
22. В = Вр+В, — Вр=(Вг, 0, В2У, В, = (0,5^, 0)-1 1 (2−9)1. А, =(0,4,0) —. =—ШВ, —ШВ1. Мо Могде, А векторный потенциал магнитного поля. Введем функции4- 1=—гВ<�г> (2.10)
23. Прямой проверкой нетрудно убедиться в том, что=-Ихе,. (2.11)г' ' ' р г
24. Как показано в работе 1С., функция у/ удовлетворяет уравнению, обычно называемому уравнением Грэда-Шафранова:1. Д> = Г|.Г (2−12)дгг дгдг с11/ с1ц7
25. Аналитические решения уравнения (2.12) можно получить, если представить, А и В полиномами нулевой и первой степеней 11С.
26. Различные постановки двумерных задач МГД равновесия 4С.
27. В частном случае, когда, А и В линейны по у/, задача (2.13) также линейна.
28. Рис. 2.1. Сечения плазменного шнура Бр и проводящего кожуха 5*- Символами Гр и Г обозначены границы плазмы и кожуха.
29. Граница плазмы у/ = у/р выбирается в зависимости от обстоятельств.
30. Рис. 2.2. Пример расчета лимитерной конфигурации МГД равновесия, выполненного с помощью кода ТОКАМЕС^ для установки КТМ 28А, ЗОА. Граница плазмы определяется одним из лимитеров (помечены квадратиком с крестиком внутри него). Все размеры даны в метрах.
31. Для диверторной конфигурации плазма проходит через сепаратрису магнитных поверхностей: у/р=у/5, (2.16-Ь)где у/$ значение магнитного потока на сепаратрисе.
32. Пример диверторной конфигурации равновесия, соответствующего 259-й миллисекунде описанного выше сценария, приведен на рис. 2.3.1. Cureer: si&ss: —.1. Fnax: О. SOOO
33. R"axSS: 1.3165 Zup95: О.94 981. Rmin95: О .49 411. Separ: о. Гозо Fbnd95: О.1378 Rnid95: О.9053
34. T ¡-г isep95 TriseD: Zdoun95 :1. О. GSSS Boundary:
35. Psiliax" 3.3682 Rnax: Rn in: 1.4024 О. ЗООЗzxline:2.3302 Znax — 1.3756
36. Boundary: Ft: О. Об... 2. Обz: -2.40... 2.401. Real currents:
37. Separ: 0.6307 Elongat 2.4963 FLJEXP: O. ff262 T r i ang: Zdoun: O.3472 -1.375
38. SO 13 80 95 95 80 13 80 5517 98 39 75 75 75−1.75 -2. 39 -2. 98 -2 .173.8853 2.5800 O.4000 -2.OOOO -2.3901 -2.3901 -2.OOOO О.4000 2.5800 3.8853uis581
39. Рис. 2.4. Пример расчета МГД равновесия, выполненного по коду ТОКАМЕС) для проекта установки СТБ 26А, 43А-46А. Все размеры даны в метрах.§-3. УСРЕДНЕННЫЕ ДВУМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ МГД РАВНОВЕСИЯ1. И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ЗАДАЧИ
40. Равновесие в присутствии железного сердечника. Для увеличения магнитного потока часто используют железный сердечник. В этом случае при нахождении равновесия необходим учет железа.
41. Внешне система (2.17) похожа на (2.1), с той, однако, разницей, что в нее входят не трехмерные, а усредненные по углу (р функции, из-за чего в (2.17) возникают добавки в виде эффективного магнитного поля В* и, А :
42. В* = ro/(r >*е.)-е0 <УФ2> /Вт-1. Л"=^-№/В2т. (2.18)
43. Усредненные уравнения равновесия Грина-Джонсона 14С. В случае МГД равновесия система уравнений (2.17) принимает вид, аналогичный уравнениям (2.3):1. Vp = jxB. + [Bx[BxVAp]]-ro/(B В*) = ju0'y, divB = 0. (2.19)
44. Из системы уравнений (2.19) получается одно уравнение Грина-Джонсона для усредненного полоидального потока у/ :2 dp 2I-dI1. W-V*) = -M or --Mody/ dy/f D*1. Вт
45. Винтовое равновесие 4С. Задача о равновесии сводится к скалярной задаче и в случае винтовой симметрии. В цилиндрических координатах (р, 6, z) решения с винтовой симметрией зависят лишь от двух переменных, р и ср = 9-а ¦ z, так что1. А (2.21)dz дв к 7
46. Параметр, а определяет значение периода L вдоль оси z: а = 2ж/Ь. Поскольку divВ = 0 и divj = 0, можно ввести потоковые функции у/ и I такие, что:1. D ду/ п ду/ 31. 31р = в~ар ®-р = Мо’дв' Jo-mz=-MQ-. (2.22)
47. В силу уравнения равновесия, / и у/ постоянны на поверхности р = const. Изуравнений В = rot A, j = — rotJl следует, что1. Моу/ = А2+ арАв- = Bz= арВв. (2.23)
48. Из (2.22), (2.23) следуют выражения для компонент магнитного поля:1. РВ, = /и0ар1 ду/V
49. РВ2 = р01 = аРАв Р =1 + «У2.24)
50. Из (2.23)-(2.24) выводится уравнение, аналогичное уравнению Шафранова:1 д2у/ р2дв1 01. Мо2а 2?2.25)
51. Как и в предыдущих случаях, оно зависит от двух функций,/?^ и 1{у/).
52. В главе 3, в качестве примера применения разработанного автором метода базовых координат 8А, 13А-14А., будет приведены результаты расчета МГД равновесия с винтовой симметрией и магнитными островами.§-4. ЭВОЛЮЦИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗС, 21С, 22С, 61С, 64С.
53. ОБЗОР 23С 29С, 6А, 23А, 25А.
54. Если заранее известен полный продольный ток J0, протекающий по плазме, то возникает модифицированная постановка задачи (2.29):-Lu=J*' bS, U>0BS, и г=0, (2.30)1. JJ f (r, u) ds
55. В случае сильно вытянутого тора/=/(и) и задача (2.29) упрощается:-А и- Я/(и) в Я, и> 0 в Б, и г=0. (2.31)
56. Здесь g (r, z) — функция усредненного воздействия внешних проводников, л „
57. Определение. Множество всех значений Л, при которых существуют классические, положительные решения поставленных задач, назовем спектром.
58. В работах 24С, 26С. исследовался вопрос о виде спектра и о единственности решения задач при следующих условиях на функцию /(г, и):f (r, и)>0-f'u (r, и)>0-f"u (г, м)<0 при и>0. (2.35)
59. На практике доказал свою эффективность процесс „перенормировки на полный ток“. Обозначим величину полного тока, текущего по плазме, как У0. Процесс перенормировки имеет вид2.39)f{r, un) dss
60. Теперь, описав положение дел в данной области, приступим к изложению результатов, полученных автором данной диссертации.§-6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧ МГД РАВНОВЕСИЯ 1. РЕЗУЛЬТАТЫ АВТОРА 6А.
61. Формулировки задач. В данном параграфе доказываются авторские теоремы о свойствах решений задач МГД равновесия тороидального плазменного шнура в токамаке и стеллараторе 6А., кроме того, [36А-38А].
62. Для случая токамака рассмотрим задачу (2.13) в безразмерных переменных и с нулевым граничным условием:1 * д (1 ду/Л 1 д2у/ м о
63. А у/ = -— -----—2- =. (г, у/) = Я/(г, у/), в аг дгг дг) г дг1. I до.~ Vо = (2−40)
64. Рис. 2.3. Сечение тороидального плазменного шнура плоскостью (р = const.
65. В случае большого аспектного отношения (RJa „1, приближение цилиндрического плазменного шнура) задача (2.40) переходит в задачу на плоскости1. Эх- ду- (2.41)I
66. Здесь g (г, z) функция усредненного воздействия внешних проводников, л 2
67. R = const. Плотность тока jpir,^/) является, в отличие от (2.40) и (2.41), знакопеременной, функция /(у/) по-прежнему неотрицательна. л 2
68. Помимо случая R = const в данном разделе также анализируется бестоковый стелларатор, для которого полный ток по каждой из магнитных поверхностей равен нулю. В этом случае имеет место R2 = R2(y/), гдеrdldl1. R2W =-jf = const2.43)
69. Множество значений А, при которых существуют классические, положительные решения поставленных задач, назовем спектром.
70. Обзор результатов, касающихся существования и единственности решения поставленных задач, дан в предыдущем параграфе, а также в 23 А, 25А. Исследуем вопрос о выпуклости линий уровня ц/ = сот (и количестве критических точек, их типах и расположении.
71. Рис. 2.4. Конфигурация типа „дублет“ с двумя максимумами v^ и |/2 и седловой точкой vj/3.
72. В данном параграфе формулируются условия отсутствия структур х-типа для токамака и стелларатора при Я =сот1. Для полностью бестокового стелларатора доказывается отсутствие островов типа „петелька“ при произвольных / е С°>а (Я+) и # > 0,? е С0'“ (О).
73. Рис. 2.5. Конфигурация типа „петелька“ с максимумом минимумом иседловой точкой у3.
74. Достаточные условия отсутствия структур г-типа для токамака. Пусть функция/ (г, у/) в правой части уравнения (2.40) удовлетворяет условиямг, 0) = 0-/(г,^)>0-/-(г,^)>0-/--(г, И<0 при у/>0. (2.44)г, у,)еС2>а (ОхЯ+). (2.45)
75. Результаты, касающиеся существования и единственности решения (2.40) при условиях (2.44)-(2.45), изложены в предыдущем параграфе.
76. В данном пункте доказывается следующая теорема.
77. Введем область Q~ = Qn{(r, z):z<0}, и обозначим через дОГ ее границу. Далее, введем функцию w = dij/(r, z, X)ldz. Данная функция является решением задачиf'{r, y/{r, z, X)w, B? lгw | 3Q- =Ф • (2.46)дф I
78. Введем пространство функций И^ (О) со скалярным произведениемч ГА (ди ду ди дуЛ. , пг дг дг дг дг) и перепишем задачу (2.40) в виде1 Д/(г, ф) д≥ (у)еп, фдп = о. г Ф ' (2.52)
79. Далее, введем формулу г (г) видал 2 / л 2 / (г-Я/г)-к2 при г>я/, 1. Л{г) = (2.56)г К /) • к при г <и рассмотрим следующую линейную задачу на собственные значения:-- А*и = м (г)и, (r, z)? П, ида = 0 г (2.57)
80. Теорема 2. Пусть функция f (yj) в уравнении (2.42) удовлетворяют условиям (2.55) и пусть g (r, z) > g0- const > 0. Тогда для всех 0 < Л < /ui (r., Q.) задача (2.42) имеет, и притом единственное, положительное решение.
81. Доказательство. Существование положительного решения задачи (2.42) непосредственно следует из теорем, приведенных в работе 27С. Для доказательства единственности приходится привлекать дополнительные рассуждения.
82. Из (2.58) следует, что функция у3 является собственной функцией задачи1 / к2Г (ф.) -/о/О
83. Ф2 = Я г--7-ф“ {Г, z) € а хы = оr r J Фг $ 2, (2.59)а Л является собственным значением (2.59). В силу (2.56) справедлива оценкаr-RVr) fiysO -f (n). / {щ щ) ¡-л}(rj, Q) 27С. Полученное противоречие доказывает теорему.
84. Достаточные условия отсутствия структур г-типа для стелларатора с током. Прежде чем доказывать математические утверждения, поясним их физический смысл.
85. Доказательство. Предположение о нарушении выпуклости по г линий уровня приводят к тому, что должна существовать точка М2 которой= 0. Для функции со = —имеем задачу дг дг1, , ч дф
86. Д*<�о = Х{г-К-/г)/ф (Ф)ы. (г, г)? П-,<�и|?0−1 = Ф = — 1 01 (2.60)
87. Из-за знакопеременности правой части (2.60) принцип Хопфа не действует, и мы априори можем только утверждать, что Ф > 0. В условиях теоремы 3по-прежнему справедливо неравенствоцх (/^, О) < /их{/^, ОГ), откуда следует
88. Согласно принципу максимума, max со > max или шахФ > 0.8й~
89. Опять же, согласно принципу максимума, из последнего неравенства следует, что со > 0 всюду внутри. Теорема доказана.
90. Замечание. Все доказанные в данном разделе утверждения остаются справедливыми для линейной функции jy/) = к у/, где к = const > 0.
91. Невозможность конфигурации с внутренним, локальным минимумом для бестокового стелларатора. Прежде чем формулировать и доказывать теорему, обсудим ее физические предпосылки.
92. Теорема 4. Решение задачи (2.42) при условии (2.43) не может обладать локальным внутренним минимумом, окруженным локальной структурой гладких или кусочно-гладких вложенных поверхностей при условии g{r, z) > 0,
93. Л,(г, V) = Л ¦ М» + В{у/)1г)=Л/(г, у/функции А (у/) и В (у/) фиксированы, а параметр Л определяется из условия заданного полного тока JJ’jvdS = I, П (^//) ступенчатая функция:
94. П (у/) -1 при у/ > 0, И{у/) = 0 при ц/<�О, причем y/0(r, z) — заданная функция, а поверхность y/(r, z) = y/р проходитчерез заданную точку Мр е S.
95. Лт+1=1/ ??(гА (рт) + В (1г'я)/г)сЮ (2.63)с/л+1V
96. Лг^ =-^-К-у/ = -А.у/ =--(2.64)пг пг 2 пгл = л к^.rr г zz' ггт 1 2 г п1J г2.65)К
97. Однако иногда применяют и более симметричную аппроксимацию:1. А = Л, +Аг-ггдеv rt+j + rij +, j J2.66)
98. Для решения линейной задачи (2.67) используют прямые и итерационные методы решения алгебраических уравнений с разреженной матрицей 31 С.
99. Здесь у/в — потенциал поля токов стационарных проводников, у/, потенциал поля плазменного тока. Для функции у/, получим задачуу/, →0 при (г, г)→оо, = (2.70)где у/ параметр, определяющий положение границы плазмы.
100. ДУ""1/ =-//0гП (^+1 +?") (2−71)с граничным условием2.72)
101. Таким образом, решение задачи (2.15) сводится к последовательности решений задач (2.14).
102. Подставляя в формулу Грина1. Л (8у дил
103. Г-(мД*у- уА*и)<38 = —[и — -v-«г гУ дп дп.1. Лсгвыражения и = ит+х, у = С (г, г, г', г'), и, учитывая (2.72), получим искомоеграничное условие1. VrГR=-|-^dcт (2.74)1. Гкг дп
104. Вспомогательная задача (2.73) решается так же, как и (2.67). В результате описанной процедуры двойной интеграл (2.72) заменяется однократным интегралом (2.74). Однако за это приходится «платить» решением двумерной задачи Дирихле (2.73).
105. Расчет равновесия в токамаке при наличии железного сердечника.
106. Поскольку задача расчета МГД равновесия с железным сердечником в диссертации не рассматривается, ограничимся очень кратким обзором и ссылками на ключевые работы 330−370.
107. В интерполяционных методах построения сеток новая сетка на п +1 шаге итераций выбирается из условия: где интерполянт решения сеточной задачи y/"h на предыдущей сетке.
108. Отметим, что в последнее время появились версии кода TOKAMEQ, аналогичные версии 21.8, и работающие под управлением ОС UNIX, которые может запускаться в режиме удаленного доступа пользователями библиотеки «Виртуальный Токамак» 24А, 26А, 33А, 148С-151С.
109. Операционной средой для работы с версиями кода 21.8 и 21.13 является MS Windows. Для поддержки Windows-версий кода не требуется никаких специальных программных средств.
110. Для работы с версией-аналогом кода TOKAMEQ 21.8 в режиме удаленного доступа надо зарегистрироваться в качестве постоянного пользователя библиотеки программ «Виртуальный Токамак» по адресу http:// leader.ic.msu.su/~fusion.
111. Общая характеристика кода. Код TOKAMEQ 24А, 27А. представляет собой высокоэффективный код, ориентированный на физиков, проектировщиков, экспериментаторов и инженеров, работающих над проблемой УТС на основе установок токамак. Он обладает:
112. Высокими скоростными характеристиками (время расчета типичного варианта равновесия на стандартной ПЭВМ составляет 2−5 секунд) —
113. Высокоэффективным текстово-графическим редактором данных, позволяющим вести проектирование установки и интерпретацию эксперимента в интерактивном режиме-
114. Встроенными средствами визуализации-
115. Удобным интерфейсом пользователя-
116. Средствами обмена информации с другими кодами-
117. Средствами самодокументации (помощь и встроенные описания кода и инструкции по его эксплуатации).
118. Средствами поддержки диалога на русском и английском языках.
119. Система физических единиц, применяемых в коде TOKAMEQ.
120. Выбор подобной системы приводит к появлению в уравнении Грэда-Шафранова (2.12) размерных множителей.
121. Распределение плотности плазменного тока (в версии кода 21.8) предполагается заданной в следующем виде:
122. Я. рг{у/ у/р)л + (1 — /3)—{ц/ - ¥-РУ2 = ~ ?Р2.76)где (3 «бета токовая" — л2 я
123. Я = «А А--среднее по шнуру значение г —
124. Описание распределения плотности тока для версии кода 21.13 будет дано ниже.
125. Ь. Постановка квазиобратной задачи. Пусть требуется вычислить МГД равновесие плазмы при условиях, что геометрический центр шнура имееткоординаты, равные Я^ и, а его эллиптичность сечения равна 8.
126. Разделим внешние управляющие проводники с током на четыре основные группы: л \/(г>?-У'р)<1г (Ь = 1р1.2.77)
127. В начале каждой внешней итерации с номером у на границе счетной области? вычисляется граничное условие по формуле, аналогичной (2.72):
128. Му \С{г, 2, гр, гр)/(р (г, 1/.-у/р2.78)о.
129. Здесь функция поток в точке (гот кольцевого тока, расположенного в точке (гк, гк), или, иными словами, функция источникадля оператора А*.
130. Формула (2.78) позволяет преобразовать задачу для неограниченной области (2.75) к задаче внутри счетной области