Многозначные динамические системы и системы итерированных функций

Актуальность работы. В представленной работе изучаются динамические системы, порожденные многозначными трансформациями, которые можно рассматривать как набор отображений, выбираемых с заданными в каждой точке пространства вероятностями. Такие системы интересуют нас особенно как «надстройка» над системами итерированных функций, имеющими, как правило, фрактальные аттракторы.

В настоящее время теория динамических систем и теория систем итерированных функций являются интенсивно развивающимися разделами эрго-дической теории и фрактальной геометрии, тесно связанными со многими разделами математики: топологией, алгеброй, дифференциальной геометрией, теорией чисел, теорией меры, теорией случайных процессов, теорией особенностей, функциональным анализом и вариационным исчислением и имеющими широкое применение в математической физике, компьютерных технологиях. Хороший обзор в этой области можно найти, например, в монографиях Х. В. Брура, Ф. Дюмортье, С.Дж. ван Стринга и Ф. Такенса [14], М. Брина и Г. Штука [39], И. П. Корнфельда, Я. Г. Синая и С. В. Фомина [9], P.M. Кроновера [10], Х.-О. Пайтгена, X. Юргенса и Д. Саупа [83], М. Ф. Барнсли [26, 28], А. Б. Катка и Б. Хасселблата [7], С. Уэлстида [16], П.Р. Массопу-ста [77], П. Р. Халмоша [18], Дж. Кигами [68].

Основным классическим подходом к изучению нелинейных динамических систем является явное или приближенное «вычисление» индивидуальной траектории (например, работы Дж.Д. Биркгофа [35], Дж. фон Неймана [99], Б. О. Купмана [69], монографии Дж.Д. Биркгофа [34], А. Я. Хинчина [19],.

9 9.

Н.С. Крылова [11], П. Биллингслея [1], А. Б. Катка и Б. Хасселблата [7]). Однако все более внедряются геометрические и алгебраические методы в данной области: вместо эволюции точек изучаются эволюции плотностей распределения точек системы (монография А. Ласоты и М. Макея [72]), вместо эволюции плотностей — эволюции меры (монографии А. Ласоты и М. Макея [73], работы А. Ласоты, Ж. Мижака и Т. Жарека [74], М. Ф. Барнсли, С. Г. Демко, Дж.Х. Элтона и Дж.С. Джеронимо [58], Дж.Э. Хатчинсона [55]). При этом рассматриваются различные критерии асимптотической стабильности оператора Фробениуса-Перрона, который отвечает за эволюцию мер. В терминах систем итерированных функций аттрактор может быть представлен как носитель инвариантной относительно этого оператора меры.

Одним из основных вопросов теории динамических систем является вопрос о существовании и нахождении инвариантных относительно заданной трансформации мер. Инвариантные меры существуют для широкого класса динамических систем, определенных на компактном пространстве с непрерывной трансформацией (теорема Крылова-Боголюбова). Как показал П. Р. Халмош [18], без ограничения общности меру можно считать конечной, а трансформацию — несингулярной.

Вопрос об инвариантности меры для некоторых семейств одномерных динамических систем рассматривался в работах А. Ласоты и Дж.А. Йорка [75], М. В. Якобсона [63], М. Мизиуревича [79], Р. Боуэна [37], Д. Руэля [89], в монографии А. Боярского и П. Горы [38].

Из специальной символической реализации динамических систем возникает связь эргодической теории и теории арифметических разложений. Основной целью работ в этой области послужила еще не решенная проблема сингулярности свертки распределений Бернулли, поставленная П. Эрдешем в [47]. С этой проблемой непосредственно связано понятие /^-представления чисел, введенное в работах А. Реньи [88] и изучаемое А. О. Гельфондом [4], Б. Пэрри [82], A.M. Гарсиа [52], П. Эрдешем, И. Жу и В. Коморником [48], Ю. Пересом и Б. Соломяком [85], Д. Молдиным и К. Саймоном [78], A.M. Вер-шиком и Н. А. Сидоровым [3, 94], Н. Сидоровым [91−93], Ю. Пересом, В. Шлагом и Б. Соломяком [84].

Многозначные отображения с топологической точки зрения начали изучаться с работ К. Куратовского [71].

Введение

в теорию, а также хороший обзор в этой области дан в монографии [2]. Многозначным динамическим системам и их связи с задачами фрактальной геометрии посвящена работа К. Б. Игудесмана [57]. Некоторые вопросы, касающиеся принципа сжимающих многозначных отображений, можно найти в монографии В. М. Тихомирова [15].

Системы итерированных функций стали пристально изучаться сравнительно недавно (начиная с 1981 г.), после работ Дж.Э. Хатчинсона [55], М. Хаты [54], М. Ф. Барнсли и С. Г. Демко [30], С. Г. Демко, JL Ходжеса и Б. Нэйло-ра [41], уже ставших классическими в области фрактальной геометрии монографий М. Ф. Барнсли [26], К.Дж. Фальконера [49] и патентования М. Ф. Барнсли и А. Слоуном алгоритма фрактального сжатия изображений на их основе (1991 г.), усовершенствованного впоследствии А. Джеквином [62], Ю. Фишером [50] и др. Некоторые важные для этих работ идеи были рассмотрены еще ранее в статьях по композиции сжимающих отображений Р.Ф. Уильям-сом [101] и по марковским случайным процессам В. Доблином и Р. Форте [42], JI. Дубинсом и Д. Фридманом [44], а также в обширном обзоре Т. Кайже-ра [65].

В работах М. Ф. Барнсли, С. Г. Демко, Дж.Х. Элтона и Дж.С. Джерони-мо [58], А. Ласоты, Ж. Мижака и Т. Жарека [74], монографии М. Йозифес-ку и С. Григореску [59] рассматриваются системы итерированных функций с вероятностями, зависящими от точки пространства. Для таких систем исследуются вопросы существования инвариантной меры и асимптотической стабильности оператора Фробениуса-Перрона при различных условиях на вероятности и трансформации (например, «условие Дини», «условие усредненного сжатия», «условие ограниченной положительности»). Более ранние работы С. Карлина [66], Р. Исаака [61], монография М. Йозифеску и Р. Теодореску [60] посвящены так называемым моделям обучения.

В работах М. Ф. Барнсли и С. Г. Демко [30], Дж.Х. Элтона [46], О. Штен-фло [98] и монографии М. А. Бергера [32] представлен рандомизированный алгоритм построения аттрактора систем итерированных функций, позволяющий эффективно получать изображения на персональном компьютере (Б. Мандельброт [76] впервые использовал идею этого алгоритма применительно к фракталам для построения множеств Жюлиа).

В работах М. Ф. Барнсли и А. Н. Харрингтона [31], Т. Буша [36], К. Банд-та [21], Б. Соломяка [96], Б. Соломяка и X. Сю [97] вводится и изучается множество Мандельброта для системы итерированных функций, состоящей из пары линейных отображений на комплексной плоскости. К. Бандтом и Н. В. Хунгом [23] для такой системы итерированных функций исследовался вопрос о выполнении «условия открытого множества», введенного П. Мора-ном [80]. Один важный частный случай аттрактора таких систем рассмотрен Ж. Роузи [87] в связи с проблемой неподвижных точек «подстановки Трибо-наччи» (см. обширный обзор в работе А. Зигель и Дж. Тусвалднера [95]).

В работах К. Бандта и X. Рао [25], К. Бандта и С. Графа [22], К. Бандта, Н. В. Хунга и X. Рао [24], а также А. Шифа [90] «условие открытого множества» исследуется для систем итерированных функций общего вида.

Задачам вычисления хаусдорфовой размерности для аттракторов систем итерированных функций со значительным самопересечением, когда не выполняется «условие открытого множества», посвящены работы Ю. Переса и Б. Соломяка [86], Д. Брумхеда, Дж. Монтальди и Н. Сидорова [40], Т. Жор-дана [64], С. М. Нгаи и Ю. Ванга [81], К. Б. Игудесмана [5, 56].

В работах М. Ф. Барнсли [27, 28] введены понятия верхних адресов, верхней динамической системы и адресной структуры для системы итерированных функций. Эти объекты изучаются в настоящее время М. Ф. Барнсли [29],.

К.Б. Игудесманом [6].

Цель диссертационной работы. Целью работы является решение следующих вопросов фрактальной геометрии и эргодической теории.

1. Изучение связи между многозначными динамическими системами и системами итерированных функций.

2. Нахождение инвариантных мер для специальной динамической системы, связанной с арифметическими разложениями.

3. Изучение адресной структуры для системы итерированных функций на комплексной плоскости.

4. Классификация аттракторов для системы двух итерированных линейных функций над телом кватернионов.

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение при проведении научных исследований и чтении спецкурсов в Казанском, Московском, Нижегородском, Новосибирском и Саратовском государственных университетах.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Доказано, что при специальном оснащении n-й итерации га-трансформации Sn операторы Купмана и Фробениуса-Перрона для нее совпадают с 72-ми итерациями соответствующих операторов для m-трансформации S: USn = Щ, PSn = Р§-.

2. Найден критерий инвариантности меры Лебега для специального семейства одномерных 2-значных динамических систем. Построено семейство t > инвариантных мер с непостоянными плотностями.

3. Вычислена адресная структура для системы двух итерированных линейных функций над полем комплексных чисел. Найдено семейство параметров, при которых пересечение двух подобных подмножеств аттрактора имеет любую конечную мощность вида 2″, п = 0,1,., либо мощность континуума.

4. Дана классификация аттракторов для системы двух итерированных линейных функций над телом кватернионов. Выяснена структура аттракторов в важных частных случаях.

Апробация работы. По результатам диссертации были сделаны доклады на следующих конференциях и семинарах:

Всероссийские молодежные научные конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2006, 2009 гг.).

Международные школы-семинары по современным проблемам теоретической и математической физики «Петровские чтения» (Казань, 2007, 2008 гг.).

Международная конференция «Fractals and Stochastics 4» (Грайфсвальд, Германия, 2008 г.).

Научный семинар программы «Михаил Ломоносов» (Москва, 2008 г.).

Научный семинар «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике» (Фря-зино, 2008 г.).

Кроме того, результаты работы регулярно докладывались на научных семинарах кафедры геометрии и итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (2006;2009 гг.), а также на семинаре «Fractals» научного коллектива проф. К. Бандта (Грайфсвальд, Германия, 2007;2008 гг.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [108−110] и 6 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения,.

1. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация / П. Биллингслей. — М.: МИР, 1969. — 238 с.

2.

Введение

в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис, В. В. Обуховский. — М.: КомКнига, 2005. — 216 с.

3. Вершик А. М. Арифметические разложения, ассоциированные с поворотом окружности и непрерывными дробями / А. М. Вершик, Н. А. Сидоров // Алгебра и анализ. — 1993. — Т. 5, вып. 6. — С. 97−115.

4. Гелъфонд А. О. Об одном общем свойстве систем счисления / А. О. Гельфонд // Известия академии наук СССР. Серия математическая. — 1959. — Т. 23. — С. 809−814.

5. Игудесман К. Б. Фрактальная размерность пересечения стандартных канторовых множеств / К. Б. Игудесман // Известия вузов. Математика. 2002. — № 11. — С. 32−35.

6. Игудесман К. Б. Верхние адреса для одного семейства систем итерированных функций на отрезке / К. Б. Игудесман // Известия вузов. Математика. — 2009. — № 9. — С. 75−81.

7. Каток А. Б.

Введение

в современную теорию динамических систем / А. Б. Каток, Б. Хасселблат. — М.: Факториал, 1999. — 768 с.

8. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин.— 4-е изд., перераб. — М.: Наука, 1976. 544 с.

9. Корнфелъд И. П. Эргодическая теория / И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. — М.: Наука, 1980. — 193 с.

10. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / Р. М. Кроновер. — М.: Постмаркет, 2000. — 352 с.

11. Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики / Н. С. Крылов. М. — Л.: Изд-во АН СССР, 1950. — 207 с.

12. Портенко Н. И. Марковские процессы / Н. И. Портенко, A. В. Скороход, В. М. Шуренков // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления / ВИНИТИ. — М., 1989.— Т. 46: Теория вероятностей — 4. — 248 с.

13. Садовничий В. А. Теория операторов: учеб. для вузов / В. А. Садовничий. — 4-е изд., испр. и доп. — М.: Дрофа, 2001. — 384 с.

14. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы / X. В. Брур, Ф. Дюмортье, С. Д. ван Стринг, Ф. Такенс. — М. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 336 с.

15. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений /B. М. Тихомиров. — М.: Изд-во Московского ун-та, 1976. — 304 с.

16. Уэлстид С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображения /C. Уэлстид. М.: Триумф, 2003. — 320 с.

17. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения /В. Феллер. М.: МИР, 1967. — Т. 2. — 752 с.t.

18. Халмош П. Р. Лекции по эргодической теории / П. Р. Халмош.— Ижевск: РХД, 2000. 136 с.

19. Хинчин А. Я. Математическое основание статистической механики / А. Я. Хинчин. — М. — Л.: Гостехиздат, 1943. — 128 с.

20. Шерстнев А. Н. Конспект лекций по математическому анализу / А. Н. Шерстнев. — 3-е изд., доп. — Казань: УНИПРЕСС, 1998. — 488 с.

21. Bandt С. On the Mandelbrot set for pairs of linear maps / C. Bandt // Nonlinearity. — 2002. Vol. 15. — P. 1127−1147.

22. Bandt C. Self-similar sets 7. A characterization of self-similar fractals with positive Hausdorff measure / C. Bandt, S. Graf // Proc. Amer. Math. Soc. — 1992. Vol. 114. — P. 995−1001.

23. Bandt C. Self-similar sets with open set condition and great variety of overlaps / C. Bandt, N. V. Hung // Proc. Amer. Math. Soc. — 2008.— Vol. 136. P. 3895−3903.

24. Bandt C. On the open set condition for self-similar fractals / C. Bandt, N. V. Hung, H. Rao // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. — Vol. 134, № 5. -P. 1369−1374.

25. Bandt C. Topology and separation of self-similar fractals in the plane / C. Bandt, H. Rao // Nonlinearity. — 2007. — Vol. 20. — P. 1463−1474.

26. Barnsley M. F. Fractals everywhere / M. F. Barnsley. — Boston: Academic Press, 1988. 394 p.

27. Barnsley M. F. Theory and application of fractal tops / M. F. Barnsley // Fractals in engineering: new trends in theory and applications / ed. by J. Levy-Vehel, E. button. ^ London, 2005. P. 3−20. '.

28. Barnsley M. F. Superfractals / M. F. Barnsley. — Cambridge: Cambridge University Press, 2006. — 453 p.

29. Barnsley M. F. Transformations between self-referential sets / M. F. Barns-ley // Amer. Math. Monthly. — 2009. — Vol. 116. P. 291−304.

30. Barnsley M. F. Iterated function systems and the global construction of fractals / M. F. Barnsley, S. Demko // Proc. Roy. Soc. London. — 1985. — Vol. 399, № 1817. P. 243−275.

31. Barnsley M. F. A Mandelbrot set for pairs of linear maps / M. F. Barnsley, A. Harrington // Phisica. — 1985. — Vol. 15 D. P. 421−432.

32. Berger M. A. An introduction to probability and stochastic processes / M. A. Berger. — New York: Springer-Verlag, 1993. — 205 p.

33. Bielecki A. Iterated function system analogues on compact metric spaces and their attractors / A. Bielecki // Universitatis Lagellonicae Acta Math-ematica. 1995. — Vol. 32. — P. 187−192.

34. Birkhoff G. D. Dynamical systems / G. D. Birkhoff // American Mathematical Society. Colloquium publications. — New York, 1927. — Vol. 9. — 295 p.

35. Birkhoff G. D. Proof of the ergodic theorem / G. D. Birkhoff // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1931. — Vol. 17. — P. 656−660.

36. Bousch Т. Соппех^ё locale et par chemins holderiens pour les syst^mes iteres de fonctions Electronic resource] / T. Bousch. — Режим доступа: http://topo.math.u-psud.fr/~bousch/preprints/clhifs. pdf, свободный. — Проверено 15.12.2009.f.

37. Bowen R. Invariant measures for Markov maps of the interval / R. Bowen //Comm. Math. Physics. — 1979. — Vol. 69. — P. 1−17.

38. Boyarsky A. Laws of chaos: invariant measures and dynamical systems in one dimension / A. Boyarsky, P. Gora. — Boston — Basel — Berlin: Birkhauser, 1997. — 399 p.

39. Brin M. Introduction to dynamical systems / M. Brin, G. Stuck. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — 240 p.

40. Broomhead D. Golden gaskets: variations on the Serpinski sieve / D. Broom-head, J. Montaldi, N. Sidorov // Nonlinearity.— 2004.— Vol. 17.— P. 1455−1480.

41. Demko S. Construction of fractal objects with iterated function systems / S. Demko, L. Hodges, B. Naylor // SIGGRAPH '85 Proceedings. — New York, 1985.-P. 271−278.

42. Doeblin W. Sur des chaines a liaisons competes / W. Doeblin, R. Fortet j j Bulletin de la Societe Mathematique de Prance. — 1937. — Vol. 65. — P. 132−148.

43. Dube S. Undecidable problems in fractal geometry / S. Dube // Complex systems: mechanism of adaptation / ed. by R. J. Stonier, X. H. Yu. — Amsterdam, 1994.— P. 283−290.

44. Dubins L. Invariant probabilities for certain Markov processes / L. Dubins, D. Freedman // Ann. Math. Stat.— 1966. —Vol. 37. P. 837−848.

45. Dunford N. Convergence almost everywhere of operator averages / N. Dun-ford, J. T. Schwartz // J. Rational Mech. Anal. — 1956. — Vol. 5. — P. 129−178., ,.

46. Elton J. H. An ergodic theorem for iterated maps / J. H. Elton // Ergodic Theory Dynam. Systems. — 1987. — Vol. 7. — P. 481−488.

47. Erdos P. On a family of symmetric Bernoulli convolutions / P. Erdos // Amer. J. Math. 1939. — Vol. 61. — P. 974−975.

48. Erdos P. Characterization of the unique expansions 1 = Q щ arid related problems / P. Erdos, I. Jo6, V. Komornik // Bull. Soc. Math. France. — 1990. Vol. 118. — P. 377−390.

49. Falconer K. J. The geometry of fractal sets / K. J. Falconer. — Cambridge: Cambridge University Press, 1985. — 162 p. — (Cambridge tracts in mathematics — vol. 85).

50. Fractal image compression: theory and application / ed. by Y. Fisher. — New York: Springer-Verlag, 1995. — 341 p.

51. Foguel S. Selected topics in study of Markov operators / S. Foguel. — Chapel Hill: University of North Carolina, 1980. — 116 p. — (Carolina Lecture Series).

52. Garsia A. M. Arithmetic properties of Bernoulli convolutions / A. M. Gar-sia // Trans. Am. Math. Soc. 1962. — Vol. 102. — P. 409−432.

53. Girard P. R. Quaternions, Clifford algebras and relativistic physics / P. R. Girard. Birkhauser, 2007. — 179 p.

54. Hata M. On the structure of self-similar sets / M. Hata // Japan J. Appl. Math. 1985. — Vol. 2. — P. 381−414.

55. Hutchinson J. E. Fractals and self-similarity / J. E. Hutchinson // IndianaUniv. Math. J. 1981. — Vol. 30. — P. 713−747.f.

56. Igudesman К. B. Lacunary self-similar fractal sets and intersection of Cantor sets / К. B. Igudesman // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2003. Vol. 12. — P. 41−50.

57. Igudesman К. В. Dynamics of finite-multivalued transformations / К. B. Igudesman // Lobachevskii Journal of Mathematics.— 2005.— Vol. 17. P. 47−60.

58. Iosifescu M. Dependence with complete connections and its applications / M. Iosifescu, S. Grigorescu. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990.-324 p.

59. Iosifescu M. Random processes and learning / M. Iosifescu, R. Teodores-cu. — New York: Springer-Verlag, 1969. — 304 p.

60. Isaac R. Markov processes and unique stationary probability measures / R. Isaac // Pacific J. Math. — 1962. Vol. 12, № 1. — P. 273−286.

61. Jacquin A. Fractal image coding based on a theory of iterated contractive image transformations / A. Jacquin // Proc. SPIE Visual Communications and Image Processing. — 1990. — P. 227−239.

62. Jakobson M. V. Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps / M. V. Jakobson // Comm. Math. Phys. 1981. — Vol. 81. — P. 39−88.

63. Jordan T. Dimension of fat Serpinski gaskets / T. Jordan // Real Anal. Exchange. 2005. — Vol. 31, Щ 1. — P. 97−110.

64. Kaijser T. On a new contraction condition for random systems with complete connections / Т. Kaijser // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. — 1981. Vol. 26. P. 1075−1117.

65. Karlin S. Some random walks arising in learning models. 1. / S. Karlin // Pacific J. Math. 1953. — Vol. 3. — P. 725−756.

66. Kechris A. S. Classical descriptive set theory / A. S. Kechris. — New York: Springer-Verlag, 1995. — 402 p. — (Graduate texts in mathematics — vol. 156).

67. Kigami J. Analysis on fractals / J. Kigami. — Cambridge: Cambridge University Press, 2001. — 226 p. — (Cambridge tracts in mathematics — vol. 143).

68. Koopman B. 0. Hamiltonian systems and transformations in Hilbert spaces / B. 0. Koopman // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S. — 1931. — Vol. 17. — P. 315−318.

69. Krengel U. Ergodic theorems / U. Krengel. — Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1985. — 357 p.

70. Kuratowski C. Les fonctions semi-continues dans i’espace des ensembles fermes / C. Kuratowski // Fund. Math. — 1931. — Vol. 18. — P. 148−159.

71. Lasota A. Probabilistic properties of deterministic systems / A. Lasota, M. C. Mackey. — Cambridge: Cambridge University Press, 1985. — 368 p.

72. Lasota A. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics / A. Lasota, M. C. Mackey. — New York: Springer-Verlag, 1994. — 472 p. — (Appl.Math. Sci. — vol. 97).f.

73. Lasota A. Markov operators and semifractals / A. Lasota, J. Myjak, T. Szarek // Progress in probability / ed. by C. Bandt, U. Mosco, M. Zahle. — Basel, 2004. — Vol. 57: Fj-actal geometry and stochastics 3. — P. 3−22.

74. Lasota A. On the existence of invariant measures for piecewise monoton-ic transformations / A. Lasota, J. A. Yorke // Trans. Am. Math. Soc. — 1973. Vol. 186. — P. 481−488.

75. Mandelbrot В. B. Fractals: form, chance and dimension / В. B. Mandelbrot. — San Francisco: W.H. Freeman k. Co., 1977. — 365 p.

76. Massopust P. R. Fractal functions, fractal surfaces, and wavelets / P. R. Massopust. — San Diego: Academic Press, 1994. — 383 p.

77. Mauldin D. The equivalence of some Bernoulli convolutions to Lebesgue measure / D. Mauldin, K. Simon // Proc. Amer. Math. Soc. — 1998. — Vol. 126, № 9. P. 2733−2736.

78. Misiurewicz M. Absolutely continuous measure for certain maps of an interval / M. Misiurewicz // Publ. Math. IHES.— 1981. Vol. 53. P. 17−51.

79. Moran P. A. P. Additive functions of intervals and Hausdorff measure / P. A. P. Moran // Proc. Cambridge Philos. Soc.— Vol. 42.— 1946.— P. 15−23.

80. Ngai S. M. Hausdorff dimension of self-similar sets with overlaps / S. M. Ngai, Y. Wang // J. bond. Math. Soc.- 2001. Vol. 63.-P. 655−672.

81. Ратту W. On the /^-expansions of real numbers / W. Parry j I Acta Math. f Acad. Sci. Hung. 1960. — Vol. 11. — P. 401'-416.

82. Peitgen H.-O. Chaos and fractals, New frontiers of science / H.-O. Peitgen, H. Jiirgens, D. Saupe. — New-York: Springer-Verlag, 1992. — 984 p.

83. Peres Y Sixty years of Bernoulli convolutions / Y. Peres, W. Schlag, B. Solomyak // Progress in probability / ed. by C. Bandt, S. Graf, M. Za-ehle. — Basel, 2000. — Vol. 46: Fractal Geometry and Stochastics 2. — P. 39−65.

84. Peres Y. Absolute continuity of Bernoulli convolutions, a simple proof / Y. Peres, B. Solomyak // Math. Research Letters. — 1996. — Vol. 3, № 2. — P. 231−239.

85. Peres Y. Self-similar measures and intersections of Cantor sets / Y. Peres, B. Solomyak // Trans. Amer. Math. Soc.— 1998.— Vol. 350.— P. 4065−4087.

86. Rauzy G. Nombres algebriques et substitutions / G. Rauzy j I Bull. Soc. Math. France. 1982. — Vol. 110. — P. 147−178.

87. Renyi A. Representations for real numbers and their ergodic properties / A. Renyi // Acta Math. Acad. Sci. Hung. — 1957. — Vol. 8. — P. 477−493.

88. Ruelle D. Applications conservant une mesure absolument continue par rapport a dx sur 0,1] / D. Ruelle // Comm. Math. Phys. — 1977. — Vol. 55. — P. 47−51.

89. Schief A. Separation properties for self-similar sets / A. Schief // Proc. Amer. Math. Soc. 1994. — Vol. 122. — P. 111−115.

90. Sidorov N. Almost every number has a continuum of^-expansions / N. Sidorov // Amer. Math. Monthly. — 2003. Vol. 110. — P. 838−842.t.

91. Sidorov N. Arithmetic dynamics / N. Sidorov // London Mathematical Society lecture note series / ed. by S. Bezuglyi, S. F. Kolyada. — Cambridge, 2003. — Vol. 310: Topics in dynamics and ergodic theory. — P. 145−189.

92. Sidorov N. Expansions in non-integer bases: Lower, middle and top orders / N. Sidorov // J. Number Theory. — 2009. Vol. 129, № 4. — P. 741−754.

93. Sidorov N. Ergodic properties of the Erdos measure, the entropy of the goldenshift, and related problems / N. Sidorov, A. M. Vershik // Monatsh. Math. 1998. — Vol. 126, № 3. — P. 215−261.

94. Siegel A. Topological properties of Rauzy fractals Electronic resource] / A. Siegel, J. Thuswaldner. — Режим доступа: http://www.irisa.fr/ symbiose/people/asiegel/Articles/Topological .pdf, свободный. — Проверено 15.12.2009.

95. Solomyak В. On the Mandelbrot set for pairs of linear maps: asymptotic self-similarity / B. Solomyak // Nonlinearity. — 2005. — Vol. 18. — P. 1927;1943.

96. Solomyak B. On the 'Mandelbrot set' for a pair of linear maps and complex Bernoulli convolutions / B. Solomyak, H. Xu // Nonlinearity.— 2003.— Vol. 16. P. 1733−1749.

97. Ward J. P. Quaternions and Cayley numbers / J. P. Ward. — Dordrecht — t Boston: Kluwer Academic Publishers, 1997. r~ 237 p. — (Mathematics and its applications — vol. 403).

98. Williams R. F. Composition of contractions / R. F. Williams // Bol. da Soc, Brasil de Mat. — 1971. — Vol. 2. — P. 55−59.Публикации автора по теме диссертации.

99. Трошин П. И. Системы итерированных функций над теломкватернионов / П. И. Трошин // Сборник материалов научного семинара стипендиатов программы «Михаил Ломоносов» 2007/08 года / ДААД — под ред. Н. Праль. М., 2008. — С. 216−218.

100. Трошин П. И. Многозначные динамические системы с весами / П. И. Трошин // Известия вузов. Математика.— 2009.— № 7.

101. Трошин П. И. Об инвариантности меры для одной 2-трансформации / П. И. Трошин // Ученые записки Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2009. — Т. 151. — С. 183−191.

102. Трошин П. И. Системы двух итерированных функций над телом кваг тернионов / П. И. Трошин // Известия вузов. Математика. — 2009. —С. 35−50.12. С. 95−100.