Теоретико-модельные свойства частично упорядоченных полигонов

Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются некоторые классы частично упорядоченных полигонов. С помощью современного арсенала теории моделей, включающего теорию категоричности, различные теоретико-модельные конструкции, изучаются такие свойства этих классов, как аксиоматизируемость, полнота, модельная полнота, категоричность.

Пон51Тие частично упорядоченного полигона возникло при изучении отображений между частично упорядоченными множествами (см. [18]). В некотором смысле понятие частично упорядоченного полигона является обобщением понятия полигона. Напомним, что левым полигоном над моноидом S или, просто, полигоном называется множество, на котором S действует слева, при этом единица S действует тождественно. Если S — частично упорядоченный моноид (ЧУ-моноид), то под левым частично упорядоченным полигоном или, просто, частично упорядоченным полигоном (ЧУ-полигоном) понимается частично упорядоченное множество, являющееся левым полигоном над моноидом S1, на котором действие частично упорядоченного моноида S является монотонным по каждому аргументу. ЧУ-полигопы исследовались такими авторами, как S.M. Fakhrud-din [27, 28], X. Shi [47, 48], Z. Liu [48], F. Wang [48], S. Bulman-Fleming [19, 20, 25, 26, 48], V. Gould, L. Shaheen [35, 36], A. Golchin and P. Rezaei [31], S. Tajnia [50] и др.

Толчком к исследованию теоретико-модельных свойств ЧУ-полигопов послужили работы в области теории моделей полигонов Т. Г. Мустафина [1, 9, 10, 46], S. Bulman-Fleming [22], V. Gould [22, 30, 33, 32], J.В. Fountain [29, 30], В. Poizat [46], A.A. Степановой [15, 16, 17], E.B. Овчинниковой [12], М. Kilp [6, 39, 42], U. Knauer [40, 43, 44, 45], А. Н. Ряскипа [13], A.A. Иванова [38], П. Нормака [11], J1.A. Скорнякова [14], L.H. Tran [51] и др. В этих работах изучаются класс всех полигонов над моноидами и классы плоских, проективных, свободных, регулярных полигонов с точки зрения их аксиоматизируемости, полноты, модельной полноты, категоричности, стабильности. Аналогичные вопросы для ЧУ-полпгонов исследуются в данной работе.

В 1980;х годах S.M. Fakhruddin публикует две работы [27, 28], посвященные тензорным произведениям и плоскостным свойствам в контексте ЧУ-моноидов, действующих на частично упорядоченных множествах. В частности, в этих работах вводится понятия плоского ЧУ-полигона. Позднее X. Shi в [47] были рассмотрены сильно плоские ft слабо плоские ЧУ-полигоны. Сильно плоский ЧУ-полигон можно определить как ЧУ-полигон, удовлетворяющий условиям (Р<) и (-Е1<), которые являются аналогами условий (Р) и (Е) для полигонов. V. Gould и S. Bulman-Fleming в работах [3, 22, 33, 34] дали описание моноидов с аксиоматизируемыми классами сильно плоских, слабо плоских, плоских полигонов и полигонов, удовлетворяющих условию (Р) и условию (Е). Подобные результаты для ЧУ-полигонов были получены нами (теоремы 1.33, 1.2G, 1.27, 1.29, 1.31). V. Gould и L. Shaheen в [35] изучались аксиоматизируемые классы ЧУ-полигонов, удовлетворяющих некоторым более слабым, чем (Р<) и (Ек) условиям. A.A. Степановой в [15] рассматривались вопросы полноты п модельной полноты класса сильно плоских полигонов. В данной работе нами показано (теорема 1.36), что для коммутативных ЧУ-моноидов полнота (модельная полнота, категоричность) класса сильно плоских ЧУ-полигопов эквивалентна тому, что ЧУ-монопд является частично упорядоченной абелевой группой. Также нами исследована полнота (модельная полнота, категоричность) классов ЧУ-полигоиов, удовлетворяющих условию (Е<) и условию (Р<) (теоремы 1.34, 1.35).

Обобщением понятий плоского, слабо плоского и сильно плоского ЧУ-полигонов является понятие проективного ЧУ-полигона, которое впервые появилось в работе S.M. Fakhruddin |28]. Позднее в своей совместной работе X. Shi, Z. Liu, F. Wang, S. Bulman-Fleming [48] дали алгебраическую характеризацию проективных ЧУ-полигонов. Описание моноидов с аксиоматизируемыми (полными, модельно полными и категоричными) классами проективных ЧУ-полигонов получено A.A. Степановой в jl5]. В данной работе сформулированы соответствующие результаты для ЧУ-полигоиов (теоремы 2.13, 2.17).

Известно, что любой проективный ЧУ-полигон является свободным над множеством. Свободные над множествами ЧУ-полигоньг впервые были рассмотрены в работе X. Shi и др. [48]. Здесь же были исследованы их свойства. S.M. Fakhruddin ввел понятие свободного над ЧУ-множеством ЧУ-полигона [28]. Описание моноидов с аксиоматизируемым классом свободных полигонов было получено A.A. Степановой для некоторых специальных моноидов [15] и V. Gould [3] в общем случае. Нами получено описание ЧУ-моноидов с аксиоматизируемыми классами свободных над множествами и над ЧУ-множествами ЧУ-полигонов (теоремы 2.13, 2.14, 2.1G, 2.17, 2.18, 2.19).

В 2005 году в работе X. Shi и др. [48] было введено понятие регулярного ЧУ-полигона и изучены некоторые его свойства. A.A. Степановой в [16] получена характеризация моноидов с аксиоматизируемым классом регулярных полигонов и исследованы вопросы модельной полноты регулярных полигонов. Для некоторых частных случаев.

Е.В.Овчинниковой были исследованы полные классы регулярных полигонов [12]. Вопрос о полном описании моноидов с полным классом регулярных полигонов остается открытым. В данной работе описаны ЧУ-моноиды с аксиоматизируемым классом регулярных ЧУ-полигонов (теорема З. б) и доказано, что не существует ЧУ-моноида, над которым аксиоматизируемый класс регулярных ЧУ-полигонов был бы полон или модельно полон (теоремы 3.7, 3.8).

Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теоретико-модельной алгебре, в теории полигонов, при чтении спецкурсов по теории моделей, написании учебных пособий и монографий.

Результаты диссертации излагались автором на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Дальневосточного государственного университета, а также на следующих международных конференциях и школах-семинарах: Всероссийская конференция «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2007), Дальневосточная математическая школа — семинар им. ак. Е. В. Золотова (Владивосток, 2007), Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2007), XV Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2008), Российская школа-семинар «Синтаксис и семантика логических систем» (Владивосток, 2008), Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике (Владивосток, 2009).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [58, 59, 60].

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии.

1. Богомолов B.C., Мустафин Т. Г. Описание коммутативных моноидов, над которыми все полигоны а—стабильны // Алгебра и логика. 1989. Т.28. т. С.371−381.

2. Ершов Ю. Л., Палютип Е. А. Математическая логика. М.: Наука. 1987.

3. Кейслер Г., Чен Ч. Теория моделей, М.: Мир. 1977.

4. Кильп М. К гомологической классификации моноидов // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13. № 3. С.578−586.

5. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир. 1972.

6. Михалев A.B., Овчинникова Е. В., Палютин Е. А., Степанова A.A. Теоретико-модельные свойства регулярных S-полигонов// Фундаментальная и прикладная математика. 2004. Т. 10. № 4. С. 107−157.

7. Мустафин Т. Г. О стабильностной теории полигонов // Теория моделей и ее применение. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1988. — (Тр.АН СССР. Сиб. отд-е. Ин-т математикиТ.8), С.92−107.

8. Мустафин Т. Г. К описанию моноидов, над которыми все полигоны имеют а—стабильную теорию // Алгебра и логика. 1990. Т.29. № 6. С.675−695.

9. Нормак П. О нетеровых и конечно связанных полигонах // Уч. записки Тартуского университета. 1977. № 431. С.37−45.

10. Овчинникова Е. В. Полные классы регулярных полигонов с конечным числом идемиотентов // Сиб. мат. журн. 1995. Т.36. № 2. С.381−384.

11. Ряскин А. Н. Структура моделей полных теорий унаров: Автореферат дис. канд. физ. мат. наук: 01.01.06. Н-ск. 1989.

12. Скорняков Л. А. Характеризация категории полигонов // Мат. сб. 1969. Т.80. Ш. С.492−502.

13. Степанова А. А., Аксиоматизируемость и полнота некоторых классов 5-полигонов // Алгебра и логика. «1991. Т.З. № 5. С.583−594.

14. Степанова А. А. Аксиоматизируемость и модельная полнота класса регулярных полигонов // Сиб. мат. жури. 1994. Т.35. № 1. С.181−193.

15. Степанова А. А. Моноиды со стабильными теориями регулярных полигонов //Алгебра и логика. 2001. Т.40. № 4. С.430−457.

16. Blyth S., Janowitz M.F. Residuation Theory. Pergamon: Oxford. 1972.

17. Bulman-Fleming S. Flat and strongly flat S-systems // Commun. of Algebra. 1992. V.20. P.2553−2567.

18. Bulman-Fleming S. Flatness properties of S-posets: an overview // International Conference on Semigroups, Acts and Categories, with Applications to Graphs, Estonian Mathematical Society, Tartu. 2008. P. 28−40.

19. Bulman-Fleming S., Normak P. Monoids over which all flat cyclic right acts are strongly flat // Semigroup Forum. 1995. V.50. P.233−241.

20. Bulman-Fleming S., Gould V. Axiomatisability of weakly flat, flat and projective acts // Communications in Algebra. 2002. V. 30. P. 5575−5593.

21. Bulman-Fleming S., Laan V. Lazard’s theorem for Sposets // Math. Nachr. 2005. V. 278. P. 1743−1755.

22. Bulman-Fleming S., Gutermuth D., Gilmour A. Flatness properties of S-posets // Comm. Algebra, (в печати).

23. Bulman-Fleming S., Mahmoudi M. The category of S-posets // Semigroup Forum. 2005. V.71. P. 443−461.

24. Bulman-Fleming S., Gilmour A., Gutermuth D. and Kilp M. Flatness properties of S-posets // Comm. Alg. 2006. V.34. P. 1291−1317.

25. Fakhruddin S.M. Absolute flatness and amalgams in pomonoids // Semigroup Forum. 1986. V. 33. P. 15−22.

26. Fakhruddin S.M. On the category of S-posets // Acta Sci. Math. (Szeged). 1988. V. 52. P. 85−92.

27. Fountain J.B. Perfect semigroups // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1976. V. 20. P. 87−93.

28. Fountain J .B., Gould V. Stability of the theory of existentially closed S-acts over a right coherent monoid // Advances in algebra and combinatorics. 2008. P. 129−155.

29. Golchin A. and Rezaei P., Subpullbacks and flatness properties of S-posets // Communications in Algebra, (в печати).

30. Gould V. The characterization on monoids by properties of their S-systems // Semigroup forum. 1985. V.32. P.251−265.

31. Gould V. Axiomatisability problems for S-systems // J. London Math. Soc. 1987. V. 35. P. 193−201.

32. Gould V. Axiomatisability of free, projective and flat S-acts // Semigroup forum, (в печати).

33. Gould V., Shaheen L. Axiomatisability problems for S-posets // Semigroup forum, (в печати)36| Gould V., Shaheen L. Perfection for pomonoids // Semigroup forum, (в печати).

34. Isbell J.R. Perfect monoids // Semigroup forum. 1971. № 2. P.95−118.

35. Ivanov A. A. Structure problems for model companions of varieties of polygons // Siberian Math. J. 1992. V. 33. № 2. P. 194−201.

36. Kilp M., Knauer U. On free, projective and strongly flat acts // Ach. Math. 1986. V.47. P. 17−23.

37. Kilp M., Knauer U. Characterization of monoids by properties of regular acts // J. of Pure and Applied Alg. 1987. V.2. № 35. P.193−201.

38. Kilp M., Knauer U., Mikhalev A.V. Monoids, Acts and Categories // Walter De Gruyter, Berlin New York. 2000.