Конечные простые группы с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп

Исследования, связанные с влиянием строения нормализаторов силовских р-подгрупп в конечной группе на строение самой группы играют важную роль в теории групп. Имеется обширная литература, посвященная этой тематике. Например, G. Glauber-man в [34] доказал, что конечная группа, в которой нормализатор любой силовской подгруппы нильпотентен, разрешима. Разумно спросить, какой должна быть конечная группа, в которой все нормализаторы силовских подгрупп удовлетворяют условию, промежуточному по силе между условием нильпотентности и условием разрешимости. Кажется естественным в качестве такого промежуточного условия взять условие сверхразрешимости. С другой стороны, сверхразрешимые группы 2-нильпотентны (напомним, что конечная группа G называется 2-нильпотентной, если G = Л X S, где S — силовская 2-подгруппа). Поэтому возникает еще одна альтернатива для промежуточного условия: условие 2-нильпотентности. Оба соответствующих вопроса были сформулированы и опубликованы профессором Монаховым B.C. В Коуровской тетради [24] им был поставлен следующий вопрос (вопрос 14.63): Каковы композиционные факторы неразрешимых конечных групп с 2-нильпотентными, в частности, со сверхразрешимыми нормализаторами силовских подгрупп? Решение указанной задачи в классе конечных простых групп является центральной темой диссертации. Прежде, чем дать ответ, введем определение.

Определение. .Л4-группа (5.М-группа), это группа, нормализаторы всех силовских подгрупп которой 2-нильпотентны (разрешимы).

Теперь можно сформулировать основной результат диссертации (теорема 4.1 основного текста).

Теорема 1. Пусть G — неабелева конечная простая группа. G является М-группой тогда и только тогда, когда G изоморфна одной из групп следующего списка: L, 2(q), q = ± 1 (mod 8) — Ln{q), 2 q, тг[q — 1) С {2,3}, n G {3,4}- PSpA (q), Q = ±1 (mod 8) — Un (q), 2 | q, *(q + l) С {2,3}, n € {3,4}- An, n € {6,7,8,10}- Ln{2), n G {5,6}- Spn (2), n € {6,8}- PQfiQ), 4 € {2,3,5,7,17}- Pf⁰(2) — G2(q), q € {3,5, 7,17}- MnM12- Л/22- Л/23- Co3- HsMc.

Приведём некоторые другие новые результаты этой работы. Получены некоторые сведения о конечных ?>Л4-группах. В частности, перечислены все конечные ?>.М-груп-пы, изоморфные одной из следующих групп: Ап, СЬп (д), РОЬп (д), ЗЬп (д), РЗЬп{д). Вычислены нормализаторы силовских подгрупп нечетного порядка групп и СЬп (д) и получены удобные критерии 2-нильпотентности или разрешимости нормализаторов силовских подгрупп в группах Ап, СЬп (д), РОЬп (д), ЗЬп (д), РЗЬп (д). В частности, доказаны следующие утверждения (в основном тексте соответственно теоремы 2.2.1, 2.2.2, 3.3.3): оо.

Теорема 2. Пусть р 6 7 г (5&bdquo-){2}, п = ]Г) сгР% где О < а < р для всех г > О и все, кроме г=0 конечного числа, коэффициенты равны нулю, Р — Бр-подгруппа в Бп и N = Л^П (Р). Тогда имеет место изоморфизм (считаем, что 1° и 5о — единичные группы): г=0 оо.

Теорема 3. Пусть р € п (Зп) {2}, Р е Зу1р (Ап), п = с^р1, где 0 < й < р для i=О всех г > 0 и все, кроме конечного числа, коэффициенты с* равны нулю. Имеют место утверждения:

1) Иап{Р) 2-нильпотентен тогда и только тогда, когда Со < 3 и с* < 2 для всех г > 0;

2) Иап (Р) разрешим тогда и только тогда, когда с* < 4 для всех г > 0. Теорема 4. Пусть р е 7 г (РЗЬп (д)) {2}, (р, д) = 1, Р — Зр-подгруппа в РЗЬп{д), 8 оо наименьшее натуральное число к с условием дк = 1 (тос! р), = Х) сг'Рг> где есе, г=0 кроме конечного числа, коэффициенты с* равны нулю и 0 < С{ < р для всех г > 0, г = п — 5. Имеют место утверждения:

1) Пусть д нечётно. -ЛГр5хя (9)(.Р) 2-нильпотентен тогда и только тогда, когда г < 1 и Сг < 2 для всех г > 0. Пусть д четно. NpsLn (q){P) 2-нильпотентен тогда и только тогда, когда выполнены условия: с* < 2 при г > 0, Со < 3, если 5 нечётно, со < 2 в противном случае. Кроме того, г < 1 или г = д = 2.

2) Нормализатор Р в РЗЬп (д) разрешим тогда и только тогда, когда с* < 4 при г > 0 и либо г < 1, либо г = 2 и д € {2,3}.

Подробно описаны нормализаторы силовских подгрупп в некоторых других конечных классических группах невысоких размерностей.

Опишем кратко основные результаты и методы, использующиеся в настоящей работе. Доказательство теоремы 1 опирается на классификацию конечных простых групп см. [13]). При исследовании нормализаторов силовских 2-подгрупп конечных простых групп используются результаты статьи [22] Кондратьева A.C. Для изучения нормализаторов силовских подгрупп в симметрических и знакопеременных группах применяются методы и понятия терии групп перестановок. Описание нормализаторов силовских подгрупп в классических простых группах опирается на теорию линейных представлений конечных групп и на теорию линейных групп. Для анализа исключительных простых групп лиева типа используются методы теории алгебраических групп и результаты о подгруппах конечных групп Шевалле, полученные Кондратьевым A.C. (см. [21]). Кроме того, использованы результаты Kleidman’a P.B. о максимальных подгруппах в PQt (q) и zD^(q) (см. [38], [39]).

Все основные результаты диссертации отражены в публикациях [8], [9], [10], [11], [12].

Заключение

.

Классификация конечных простых групп с 2-нильпотентными нормализаторами силовских подгрупп, полученная в настоящей работе, является важным продвижением в решении вопроса Монахова B.C. Тем не менее, этот вопрос данной классификацией не исчерпывается. Поэтому, в качестве одного из возможных направлений для дальнейшего развития можно указать окончательное решение задачи Монахова B.C. Следует сказать, что уже после завершения текста диссертации в этом направлении были получены новые результаты. В статье [16] доказана следующая теорема:

Теорема. Если в неразрешимой конечной группе G нормализатор любой силовской подгруппы 2-нильпотентен, то каждый неразрешимый композиционный фактор группы G с точностью до изоморфизма принадлежит следующему списку: L2(q), q > 4, PSPi (q), q > 3- L.

Un{2), n < 6- Pf28″ (2) — (2) — Sp6(2) — Sp8(2) — An, n e {5,6,7,8,10}- MuM12- M22- M2ZCoy, HSMc.

В этой теореме L{q) = Ln{q), L~l{q) = PSUn (q2).

Привлекательность темы, рассматриваемой в растоящей работе во многом обусловлена тем, что в ходе ее решения требуется детальный анализ нормализаторов силовских подгрупп в конечных простых группах. Удивительно, но эта сторона теории конечных простых групп отнюдь не закрыта. Помимо статьи [22], в которой дано описание нормализаторов силовских 2-подгрупп в конечных простых группах, имеется лишь небольшое количество разрозненных фактов. Результаты о нормализаторах силовских подгрупп в конечных простых группах, полученные в диссертации, несомненно, могут быть значительно расширены и углублены. В этом заключено еще одно направление развития.