Корректность задач тепломассопереноса в неоднородных средах
Диссертация
Проблема моделирования фазовых переходов актуальна как для природных, в том числе и биологических и экологических, так и для технологических процессов, таких, как выращивание кристаллов, наращивание пленок, расчет течения парафинированной нефти и осаждения парафинов на стенках нефтепроводов. Базовой моделью здесь является задача Стефана. Под задачей Стефана, возникновение которой относится… Читать ещё >
Содержание
- ЧАСТЬ I. КОРРЕКТНОСТЬ МОДЕЛЕЙ С ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
- 1. Основные сведения о базовых одномерных моделях
- 1. 1. Задача затвердевания бинарной смеси
- 1. 1. 1. Построение модели
- 1. 1. 2. Теорема о существовании решения задачи затвердевания бинарного сплава
- 1. 2. Об алгоритме численного решения задачи затвердевания бинарного сплава
- 1. 3. Монотонность свободной границы в двухфазной задаче Стефана
- 1. 1. Задача затвердевания бинарной смеси
- 2. Задача Стефана с переохлаждением
- 2. 1. «Переохлажденная"задача Стефана с нулевым потоком на известной границе
- 2. 2. „Переохлажденная“ задача Стефана с условием
- 1. Основные сведения о базовых одномерных моделях
- 3. Модель жидкостной эпитаксии
- 3. 1. Построение модели и постановка задач
- 3. 2. Прямая задача в ограниченной области
- 3. 3. Прямая задача на полубесконечном интервале
- 4. Модель тепломассопереноса в парафинонефтяной смеси
- 4. 1. Постановка задачи
- 4. 2. Классическое решение одномерной задачи
- 4. 2. 1. Формулировка теоремы
- 4. 2. 2. Формулировка модифицированной задачи
- 4. 2. 3. Формулировка вспомогательной задачи
- 4. 2. 4. Разрешимость вспомогательной задачи и построение оператора
- 4. 2. 5. Разрешимость модифицированной задачи
- 4. 2. 6. Доказательство теоремы 4
- 4. 3. Автомодельное решение
- 4. 3. 1. Постановка задачи
- 4. 3. 2. Простейший случай .»
- 4. 3. 3. Общий случай
- 5. Постановка задачи и ее простейшие решения
- 5. 1. Уравнения модели
- 5. 2. О простейших решениях
- 6. Автомодельное решение одномерной задачи
- 6. 1. Постановка автомодельной задачи и решение асимптотической автомодельной задачи
- 6. 1. 1. Постановка задачи
- 6. 1. 2. Автомодельное решение асимптотической задачи
- 6. 2. Вспомогательная краевая задача
- 6. 3. Существование автомодельного решения основной задачи
- 6. 4. Примеры численных расчетов
- 6. 1. Постановка автомодельной задачи и решение асимптотической автомодельной задачи
- 7. Корректность начально-краевых задач одномерного движения эмульсии
- 7. 1. Основная начально-краевая задача
- 7. 1. 1. Постановка задачи
- 7. 1. 2. Построение оператора."
- 7. 1. 3. Доказательство локальной разрешимости задачи
- 7. 1. 4. Единственность решения
- 7. 2. Другие краевые задачи
- 7. 1. Основная начально-краевая задача
- 8. Линеаризованная задача Коши для движения эмульсии в пространстве
- 8. 1. Постановка задач
- 8. 2. Единственности решения задачи Коши для линейной системы
- 8. 3. Существование решения задачи Коши для линейной системы
- 8. 4. Существование и единственность решения задачи Коши для линейной системы
- 9. Начально-краевая задача движения эмульсии в пространстве
- 9. 1. Постановка задачи
- 9. 2. Единственность классического решения задачи
- 9. 3. Построение оператора
- 9. 4. Разрешимость задачи (9.3.1)-(9.3.7)
- 9. 5. Основной результат
- 10. Управление составом растущей пленки
- 10. 1. Постановка задачи
- 10. 2. Теоремы о разрешимости обратных задач 1 и
- 10. 3. Автомодельные решения обратных задач жидкостной эпи-таксии
- 10. 3. 1. Автомодельное решение задачи
- 10. 3. 2. Автомодельное решение задачи
- 11. 1. 1. Постановка задачи
- 11. 1. 2. Разрешимость задачи I
- 11. 1. 3. Автомодельная обратная задача I
- 11. 2. Задача определения граничного температурного режима (обратная задача II)
- 11. 2. 1. Постановка задачи
- 11. 2. 2. О «точном» решении задачи II
- 11. 2. 3. Экстремальная формулировка задачи II
- 11. 2. 4. Автомодельная задача определения граничного температурного режима
- 12. 1. Модель затвердевания эмульсии
- 12. 2. Условия разрешимости прямой и обратной задач
- 12. 3. Специальные решения прямой и обратной задач
- 12. 3. 1. Случай теплового режима в виде бегущей волны
- 12. 3. 2. Автомодельное решение
- 12. 4. Задача управления составом затвердевшей эмульсии посредством выбора температурного режима
Список литературы
- Абрашин В.Н., Якубеня А. Н. Экономичные схемы с явным выделением фронта для многомерных задач со свободными границами// Дифференциальные уравнения. — 1990. Т.26. № 6. — С. 1055−1066.
- Авдонин H.A. Математическое описание процессов кристаллизации. -Рига, 1980. 180 с.
- Алексеев Г. В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции// Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. № 5, — С. 982−998.
- Алексеев Г. В. Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса// Сиб. мат. журн.- 2001. Т. 42. № 5. С, — 971−991.
- Алифанов О.М., Артюхин Е. А., Румянцев C.B. Экстремальные методы некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена М., 1988 — 288 с.
- Антановский Л.К., Копбосынов Б. К. Нестационарный дрейф капли в вязкой жидкости// Прикладная механика и техническая физика.-1986. Т. 27. № 2, — С. 59−64.
- Антонцев С.Н., Каэюихов A.B., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей.- Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1983. 319 с.
- Вадратинова Л.Г., Кузнецов В. В., Петрова А. Г., Пухначев В. В. О задачах со свободными границами, моделирующих процесс жидкофаз-ной эпитаксии из тройных растворов// Динамика сплошной среды.-Новосибирск, 1986. Вып. 78, — С. 137−141.
- Белопосов В.С. Оценки решений параболических систем в весовых классах Гёльдера и некоторые их приложения//Математический сборник. 1979. Т. 110(1.52), № 2(10) — С. 163−188.
- Брату хин Ю. К. Термокапиллярный дрейф вязкой капли// Изв. Акад. наук СССР, Механика жидкости и газа 1975. № 5 — С. 156−161.
- Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей М. Изд-во МГУ. 1987 — 164 с.
- Васильев В.И., Максимов А. М., Петров Е. Е., Цыпкин Г. Г. Тепломас-соперенос в промерзающих и протаивающих грунтах М., 1997.224 с.
- Воеводин А.Ф., Шугрин С. М. Методы решений одномерных эволюционных систем Новосибирск, 1993. — 365 с.
- Воинов О.В., Пухначев В. В. Термокапиллярное движение в газожидкостной смеси// Прикладная механика и техническая физика.- 1980. Т. 21. № 5.- С. 38−45.
- Воинов О.В., Пухначев В. В. Модель термокапиллярного движения эмульсии// Доклады Академии наук 2005. Т. 402. № 2. — С. 270−273.
- Вольперт А.И., Худяев А. И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений// Мат. сб.- 1972. Т. 87. Ш. С. 27−37.
- Гольдман П. Л. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения.-М., 1999 294 с.
- Гольдман П.Л. Классическое и обобщенное решение двухфазной граничной обратной задачи Стефана// Вычислительные методы и программирование 2002. Т.З. № 1- С. 133−143.
- Гурков Ю.В., Петрова А. Г. Численное решение задачи Стефана с непостоянной температурой фазового перехода// Прикладная механика и техническая физика 1996. Т. 37. № 4 — С. 105−112.
- Данилюк И.И. О задаче Стефана. Успехи математических наук.- 1985. Т.40. Вып.5(245)-С. 133−185.
- Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц. Линейные операторы. Общая теория.-М., 1962.- 455 с.
- Еникеева Э.Х. О кристаллизации бинарного сплава, образующего твердый раствор // Латвийский математический ежегодник.- Рига. 1968. Т. 4. № 21.
- Журавлева E.H. Локальная разрешимость сферически симметричной термодиффузионной задачи// Известия АлтГУ.- Барнаул, 2000. № 1 (15).- С. 7−11.
- Журавлева E.H. Численное решение задач плавления и кристаллизации бинарного сплава// Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1998. Вып. 113.- С. 70−73.
- Журавлева E.H., Петрова, А.Г. Асимптотическая модель управления составом материала, получаемого в результате затвердевания эмульсии// Известия АлтГУ- Барнаул, 2001. № 1(19).- С. 16−19.
- Журавлева E.H., Петрова, А.Г. Аналитическое и численное исследование задач затвердевания эмульсии// Тезисы докладов международной конференции ИМПРИМ-98 Новосибирск — С. 15.
- Журавлева E.H., Петрова, А.Г. Сферически симметричная задача затвердевания эмульсии// Материалы докладов международной конференции «Математические модели и методы их исследования».- Красноярск, 1999.
- Журавлева E.H., Петрова, А.Г. Асимптотические методы в задачах затвердевания бинарного сплава// Материалы 3 краевой конференции по математике Барнаул, 2000.- С. 20−21.
- Зальцман Б.В., Петрова А. Г. Задача управления составом материала, получаемого методом жидкостной эпитаксии в условиях невесомо-сти//Космическая наука и техника Киев, 1990. Вып. 4.- С. 57−60.
- Ивапцов Г. П. «Диффузионное» переохлаждение при кристаллизации бинарного сплава// Докл. АН СССР.- 1951. Т. 81. № 2, — С. 179−182.
- Кабанихин С.И., Хасанов А., Пененко A.B. Метод градиентного спуска для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности// Сибирский журнал вычислительной математики 2008:11(1).-С. 41−54.
- Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи- Новосибирск, 2009 460 с.
- Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям М., 1976. — 576 с.
- Копбосынов В.К. Одномерное термокапиллярное движение в газожидкостной смеси// Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1986. Вып. 74.- С. 25−37.
- Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М. 1980.- 280 с.
- Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости М. 1970 — 288 с.
- Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа М., 1967 — 736 с.
- Ладыженская O.A., Солонников В. А. Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи для вязких несжимаемых неоднородных жидкостей// Записки научного семинара ЛОМИ АН СССР.- 1975. Т.52 С. 52−109.
- Любое Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах.-'М. 1975.256 с.
- Мейрманов A.M. Задача Стефана- Новосибирск 1986- 240 с.
- Миронова O.A., Петрова А. Г. Исследование устойчивости равновесия однородной эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил// Известия АлтГУ Барнаул, 2005. № 1(45).- С. 15−19.
- Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред М. 1987. 4.1 — 464 с. 4.2 — 360 с.
- Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики М. 1981. — 368 с.
- Папин A.A. Разрешимость «в малом"по времени уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей// Динамика сплошной среды Новосибирск, 2000. Выи. 116. С, — 64−70.
- Папин A.A. Об единственности решений одной задачи для уравнений движения двухфазной смеси// Известия АлтГУ.- Барнаул, 2005. № 1(45).- С. 20−24.
- Папин A.A. Разрешимость модельной задачи тепломассопереноса в тающем снеге// Прикладная механика и техническая физика 2008. Т. 49. № 4. С.- 13−23.
- Петрова А.Г. Локальная разрешимость термодиффузионной задачи Стефана/ / Динамика сплошной среды Новосибирск, 1982. Вып. 58-С. 156−163.
- Петрова А.Г. Монотонность свободной границы в двухфазной задаче Стефана// Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1984. Вып. 67.-С. 97−99.
- Петрова А.Г. Термодиффузионная задача с малой начальной концентрацией примеси //Деп. ВИНИТИ 24.04.85. N2753−85 деп.
- Петрова А.Г. О задаче со свободной границей с «неправиль-ным"знаком в условии Стефана// Динамика сплошной среды Новосибирск, 1990. Вып. 95, — С. 94−101.
- Петрова А.Г. Задача непротекания для одномерного движения эмульсии// СибЖим 2007. Т. X, 3(31).- С. 128−137.
- Петрова А.Г. Автомодельное решение одномерной задачи термокапиллярного движения эмульсии// ПМТФ 2007. Т.48, № 5. С. — 61−70.
- Петрова А.Г. О начально-краевой задаче для одномерного движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил// СибЖим.- 2009. Т. XII, 2(38).- С. 111−119.
- Петрова А.Г. Математические модели фазовых переходов в гетерогенных средах.- Барнаул: изд-во АлтГУ, 2009, — 160 С.
- Петрова А.Г. Обратная задача затвердевания бинарной смеси// Известия АлтГУ, — 2009, Вып. 1(61).- с.40−45.
- Петрова А.Г. О математической модели жидкостной эпитаксии из тройного раствора// Известия АлтГУ.- 2010. Вып. 1(65).- С.56−61.
- Петрова А.Г. О задаче Коши движения эмульсии в пространстве под действием микроускорений и термокапиллярных сил// Известия АлтГУ, — 2010. Вып. ½(65).- С.52−62.
- Петрова А.Г. Одномерное движение эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил// Международная конференция «Лаврен-тьевские чтения по математике, механике и физике», — Новосибирск, 27−31 мая 2005 г. Тезисы докладов, — С. 161−162.
- Петрова А.Г. О корректности начально-краевых задач одномерного движения эмульсии// Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение».-Новосибирск, 23−28 апреля 2009. Тезисы докладов С. 113.
- Петрова А.Г. Задача управления составом материала в процессе затвердевания бинарной смеси// Всероссийская конференция «Успехимеханики сплошных сред».- Владивосток, 29 сентября 5 октября 2009. Тезисы докладов — С. 136.
- Петрова А.Г. О корректности задач движения эмульсии в пространстве под действием термокапиллярных сил и микроускорений. Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике».- Новосибирск, 2010. Тезисы докладов.- С. 145.
- Петрова А.Г., Потапенко М. А. Корректность математической модели тепломассопереноса в парафинонефтяной смеси// Материалы Седьмой региональной конференции по математике МАК 2004 Барнаул. С.- 27.
- Петрова А.Г., Пухначев В. В. Одномерное движение эмульсии с затвердеванием// Прикладная механика и техническая физика 1999. Т. 40. № 3. С, — 128−136.
- Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций // Бюлл. МГУ (А).- 1938. 1. Вып. 7.- С. 1−72.
- Плотников П.П., Старовойтов В. П. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференциальные уравнения.- 1993. Т. 23. № 3 С. 461−471.
- Пухначев В. В. О задаче Стефана, возникающей в одной модели электрического взрыва проводников// Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды семинара СЛ. Соболева, изд. Института математики СО АН СССР.- Новосибирск. 1976. № 2 С. 69−82.
- Пухначев В. В. Возникновение особенности в решении задачи стефа-новского типа// Дифференциальные уравнения.- 1980. Т. ХУ1. № 3. -С. 492−500.
- Пухначев В. В. Две обратные задачи механики сплошной среды // Некорректные задачи математической физики и анализа.- Новосибирск, 1984, — С 113−118.
- Пфанн В. Зонная плавка М. 1960 — 272 с.
- Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана Рига, 1967, — 457 с.
- Самарский А.А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача.-М. 2003.- 784 с.
- Самарский А.А., Моисеенко Б. Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана// Журнал вычислительной математики и математической физики 1965. № 5. С.- 816−827.
- Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1.- М. 1970 492 с.
- Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций М. 1989 — 270 с.
- Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.- Новосибирск, 1988.- 333 с.
- Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида// Труды МИАН СССР- 1965. Т. 83, — С. 3−162.
- Солонников В.А. О дифференциальных свойствах решений первой краевой задачи для нестационарной системы уравнений Навье-Стокса// Тр. МИАН СССР.- 1964. Т. 73.- С. 221−291.
- Тагиров В.И., Дэюафаров Т. Г., Гахраманов Э. Н. Управление составом бинарных твердых растворов при вытягивании монокристаллов из усеченного конусообразного тигля с применением подпитки// Прикладная физика 2006. Вып. 2- С. 86−90.
- Тагиров В.И., Гахраманов Н. Ф., Ибрагимова А. Р. Получение монокристаллов бинарных твердых растворов со ступенчатым распределением состава и примеси// Прикладная физика.- 2006. Вып. 2, — С. 91−95.
- Треногин В.А. Функциональный анализ М. 1980 — 494 с.
- Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа М. 1968 — 427 с.
- Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения- М. 1970.- 270 с.
- Эдварде Э. Функциональный анализ М., 1969.- 1071 с.
- С. Д. Эйдельман, С. Д. Ивасишен Исследование матрицы Грина однородной параболической граничной задачи// Труды Моск. матем. об-ва, 1970. Т. 23.-С. 179−234.
- Юдович В.И. Одиннадцать великих проблем математической гидродинамики// Вестник молодых ученых. Серия: Прикладная математика и механика 2'2003.- С. 3−18.
- Acrivos A., Jeffrey D.J., Saville D.A. Particle migration in suspensions by thermocapillary or electrophoretic motion// J. Fluid Mech.- 1990. V. 212.- P. 95−110.
- Badratinova L.G., Kuznetsov V. V., Petrova A.G., Pukhnachov. Direct and inverse problem of liquid phase epitaxy// Proceedings of the V-th Int. Conf. on the Numerical Analysis of Semiconductor Devices and Integrated Circuits.- Dublin. 1987, — P. 136−141.
- Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations // Journal of Inverse and Ill-posed Problems.- 1993. V. l, Is.4P. 283−305.
- Bonnerot R., Jamet P. Numerical computation of the free boundary for the two-dimensional Stefan problem by spacetime finite elements// J.Comp.Physics.- 1977. V. 25.- P. 163−181.
- Cannon J.R. The one-dimensional heat equation Cambridge University Press, NY, 1984, — 483 p.
- Cannon J.R., Fasano A. Boundary value multidimensional problems in fast chemical reactions// Arch. Rational Mech. Anal- 1973. V. 53 P. 1−3.
- Cannon J.R., Hill C.D. On the movement of a classical reaction interface// Indiana Math. J 1970. V.20. — P. 429−454.
- Dewynne J.N., Howison S.D., Ockendon J.R., Weiqing Xie. Asymptotic behavior of solutions to the Stefan problem with a kinetic condition at the free boundary// J.Austral.Math.Soc.Ser.B- 1989. V. 31. LI P. 81−96.
- Elliot C.M., Ockendon J.R. Weak and variational methods for moving boundary problems Pitman, London, 1982 — 213 p.
- Fasano A., Primicerio M. General free-boundary problems for the heat equation// J. Math. Anal. Appl. 1977. V. 57.- P. 694−723.
- Fasano A., Primicerio M. New results on some classical parabolic free-boundary problems// Quart. Appl. Math 1981. V. 38 — P. 439−460.
- Fasano A., Primicerio M. Heat and mass transport in non-isothermal partially saturated oil-wax solution// New Trends In Mathematical Physics. Proceedings of International Meeting Naples, Italy, 2003 — P. 34−44.
- Fasano A., Primicerio M. Classical solution of general two-phase parabolic free boundary problem in one dimension// In: Fasano A., Primicerio M.(Eds.) Research Notes in Mathematics. V. 79/IL- Pitman, Boston 1983, — P. 644−657.
- Fasano A., Primicerio M. Temperature driven mass transport in concentrated saturated solution// Prog. Nonlinear Differ.Equ. Appl. -2005. V. 61- P. 91−108.
- Fasano A., Fusi L, Correra S. Mathematical models for waxy crude oils// Meccanica.- 2004. V. 39. № 5.- P. 441−482.
- Fasano A., Fusi L, Ockendon J.R., Primicerio M. Gelification and mass transport in a static non-isothermal waxy solution// Euro. Journal of Applied Mathematics 2009. V. 20. 1.01 — P. 93−122.
- Friedman A. Analiticity of the free boundary for the Stefan problem //Arch. Rat. Mech. Anal.- 1976. V. 61. P. 97−125.
- Frolovskaya O., Nir A., Lavrenteva O.M. Stationary regimes of axisymmetric thermal wake interaction of two buoyant drops at low Reynolds and high Peclet number// Physics of Fluids.- 2006. V. 18. 73 103.
- Fusi L. Oil the stationary flow of waxy crude oil in a loop// Nonlinear Analysis.- 2003. V. 53. № 3−4, — P.507−526.
- Gianni R., Petrova A.G. One-dimensional problem for heat and mass transport in oil- wax solution// Rend. Mat. Acc. Lincei 2005. S. 9. V. 16.-P. 181−196.
- Golovin A.A., Nir A., Pismen L.M. Spontaneous motion of two droplets caused by mass transfer// Ind. Eng. Chem. Res., 1995. V. 34. P. 3278−3288.
- Goz, M. Existence and Unique ness of Time-dependent Spatially periodic Solutions of Fluidized Bed Equation// ZAMM.- 1991. V. 71. № 6.- P. 750−751.
- Gronwall N.N. Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations // Ann. Math.- 1919. V. 20.- P. 292−296.
- Gunsburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. The apptoximation of boundary control problems for fluid flows with an application to control by heating and cooling// Comput. Fluids.- 1993. V. 22. I. 2−3.- P. 239−251.
- Gunsburger M. D, Lee E.G. Analysis, approximation and computation of a coupled solid/fluid temperature control problem // Сотр. Methods Appl. Mech. Engr.- 1994. V. 118. I. 1−2.- P. 133−152.
- Hao D.N. A non-characteristic Cauchy problem for linear parabolic equations ?.'Solvability// Math.Nachr.- 1995. V. 171. 1.1.- P. 171−206.
- Hao D.H., Reinhardt, H.-J. A Generalization of Beck’s Method for Inverse Heat Conduction Problems// Abstract and Applied Analysis. Proceedings of International Conference. World Scientific 2004 — P. 287- -305.
- Holmgren E. Sur l’extension de la methode d’integration de Riemann // Arhiv for Math.Band. 1904. V. 1.- P. 315−326.
- Kaliev I.A., Kazhikhov A.V. Well-posedness of gas solid transition problem// Journal of Mathematical Fluid Mechanics — 1999. V. 1. № 3-P. 282−308.
- Meirmanov A.M. The Stefan problem with surface tension in the three dimensional case with spherical symmetry: nonexistence of the classical solution// Euro. Jnl.Appl.Math 1994. V. 5.- P. 1−19.
- Meyer G.H. On computing free boundaries which are not level sets// In: Free Boundary problems: Theory Applications. V. 1. Pitman Reasearch Notes in Mathematics 185 1990.
- Papin A.A., Akhmerova I.G. Solvability of the System of Equations of One-Dimensional Motion of a Heat-Conducting Two-Phase Mixture// Mathevftical Notes.- 2010. Vol. 87, No 2.-P. 262−266.
- Petrova A.G. On the Stefan problems for the systems of equations, arising in the modeling of liquid phase proc// Ser. Of Num. Math.- Basel, 1992. V. 106, — P. 253−262.
- Petrova A.G. On the problem of control the composition of material in the binary alloy solidification process// Journal of Inverse and Ill-posed Problems.- 2010. V.18, Is.3.- P.307−320.
- Petrova A.G. One-Dimensional Motion of Emulsion Under the Action of Microgravity and Thermocapillary Forces// Abstracts of 3rd International Conference on 21st Century Mathematics- March 2007, Lahore, Pakistan.- P. 10.
- Petrova A.G., Tarzia D.A., Turner C.V. The one phase supercooled Stefan problem with temperature boundary condition// Advances in Math. Sciences and Applications — 1994. V. 4. № 1. P. 35−50.
- Petrova A.G., Pukhnaehev V.V., Zhuravleva E, N. Solidification of emulsion moving under the action of thermocapillary forces and microgravity// Nonlinear Boundary Value Problems- Donetsk, 2000. 1.10.- P. 142−150.
- Petrova A.G., Pukhnaehev V. V Thermocapillary motion in an emulsion// IV International Topical Team Workshop on Two-Phase Systems for
- Ground and Space Applications Novosibirsk, 2009. Book of abstracts — P. 93.
- Petrova A.G., Pukhnachev V. V. Thermocapillary motion in an emulsion// Microgravity science and technology- 2009. V.21 S.l. P.227- 232.
- Primicerio M. Qualitative properties of some one-dimensional p arabolic free boundary problem// Free Boundary Problems. Proc. Sem. (Pavia), I-st. Naz. Alta Mat Roma, 1980. V. 1- P. 451−480.
- Pukhnachov V. V., Voinov O. V. Mathematical model of motion of emulsion under effect of thermocapillary forces and microacceleration// Abstracts of Ninth European Symposium on Gravity Dependent Phenomena in Physical Sciences Berlin, 1995 — P. 32−33.
- Pukhnachov V.V., Voinov O.V. Thermocapillary motion in an emulsion// In: Proceedings of the Third Conference on Fluid Physics in Microgravity-Cleveland, Ohio, 1996, — P. 347−342.
- Rajogopal K.L., Tao L. Mechanics of mixtures- L. World Scientific Publishing. 1995.- 195 p.
- Subramanian R.S., Balasubramaniam R. The Motion of Bubbles and Drops in Reduced Gravity.- Cambrige University Press, Cambrige, 2001.
- Shauder J. Der Fixpunktsatz in Funktionairaumen// Studia Math 1930. V. 2, — P. 171−180.
- Sherman A. General one-phase Stefan problems and free boundary problem for the heat equation with Cauchy data prescribed on the free boundary// SIAM J. Appl. Math 1971. V. 20.- P. 319−327.
- Seidmdn T.I. Two Rezults on Exact Boundary Control of Parabolic Equations.//Appl. Math. Optim.- 1984. 11. P. 145−152.
- Stefan J. Uber die Thjerie der Eisbildung insbesondere uber die Eisbildung in Polarmeere// S.B. Wein Akad. Math. Natur.- 1889. Bd.89 S.965−983.
- Tao L.N. The analyticity of solution of the Stefan problem// Arch. Rat. Mech. and Anal.- 1986. V.72.- P. 285−301.
- Tarzia D.A. Sobre el problema de Stefan unidimensional a una fase corespondiente al liquido sobreenfriado// Encuentro 1982 de Ecuaciones Diferenciales, J.E. Boillet (Ed.), Trabajos de Matematica № 53 IAM -CONICET, Buenos Aires, 1983.- P. 71−100.
- Valli A. Periodic and stationary solutions for compressible Navier-Stoekes equations via a stability method// Ann. Scuola Norm. Sup Pisa. 1983. V. 10. № 4 — P. 607−747.
- Visintin A.A. new model for supercooling and superheating effects// IMA J. Appl. Math.- 1986. V. 36. P.- 141−157.
- Yang G.Z., Zabaras N. The adjoint Method for an Inverse Design Problem in the Directional Solidification of Binary Alloys// Journal of Computational Physics.- 1998. V. 140 P. 432−452.
- Young N. O., Goldstein J.S., Block M. J. The motion of bubbles in a vertical temperature gradient// J. Fluid Mech 1959. V. 6, — P. 350−356.
- Zabaras N., Ruan Y., Richmond O. On the design of two-dimensional Stefan process with desired freezing front motion// Numer. Heat Transfer.- 1992. V. 21(B).- P. 307−325.