Проблеме поиска приближенных решений линейных и нелинейных уравнений, построению последовательности приближений посвящена обширная литература (см. например [1−5, 7−10, 16, 17, 20−22, 31−34]).
Исследования по данной тематике вели, в частности, Н. В. Азбелев, Н. С. Бахвалов, Ф. П. Васильев, Е. В. Воскресенский, Л. В. Канторович, М. А. Красносельский, Ю. А. Кузнецов, С. Н. Слугин, В. И. Сумин, М. И. Сумин и др.
В диссертации исследуется процесс построения последовательности приближений к решению нелинейного операторного уравнения, записанного в форме, соответствующей задачам для дифференциальных уравнений:
Dx = F (x), Nx = z, (0.1) где D — главная линейная часть уравнения, а последнее равенство означает начальные или (и) краевые условия.
В поиске приближенных решений — нелинейное уравнение обычно подвергается известному процессу линеаризации: подбирается такой линейный оператор Г, что.
T{x-z)~F{x)-F{z), минус-поправки Дя =ипмя+1 вычисляются как решения линейных уравнений я-г)Дя-х>"я-/'(««), о, устанавливаются достаточные условия сходимости метода в предположении, что линейные уравнения решаются точно. Однако, на практике они аппроксимируются другими линейными уравнениями, поэтому вопрос о сходимости метода остается открытым.
В диссертации исследуется композиция методов линеаризации нелинейного уравнения и аппроксимации при каждом п линейных уравнений алгоритма, устанавливаются достаточные условия существования и единственности решения нелинейного уравнения, сходимости процесса приближений к решению, указывается скорость сходимости.
Построение производится в банаховом полуупорядоченном пространстве Y. Образы.
Dx, F (x)<=Y.
Использование свойства полуупорядоченности пространства позволяет получить более детальные результаты по сравнению с теми, где не постулирована полуупорядоченность.
В диссертации пространство У затем реализуется как пространства С, L2, Lx с естествен> ным — поточечным смыслом сравнимости у > 0.
Однако, при таком смысле сравнимости — дифференцируемые функции не образуют полуупорядоченного пространства, поэтому пространство X элементов х здесь рассматривается как линейное подпространство в У.
Здесь изучается случай, когда обратный оператор
D — Г)-1 :Y -* М = {А: АЕХ, NA = 0} неизвестен вычислителю, но известен оператор
D" 1: Y -* М .
Исследуются два способа аппроксимации линейных уравнений.
В первом способе производится выбор целых чисел > т (п) s 0, т (п) °о, оператор со.
D — Г)-1 -D'^iTD'1)* при каждом п заменяется на операторы т (п).
D'1 ^(ПГ1)* .
Установлено достаточное условие выбора номеров т (п), при котором метод сходится.
Уравнение х = F (x) здесь трактуется как частный случай задачи (0.1) при.
X =У, Z = {0}, D = N = 0, где 1х & х.
Во втором способе задача (0.1) приводится к эквивалентному виду — уравнению л: = Ф (х) в пространстве У. Номера.
0 ss т{п) ^ т (п +1) -" оо. Вводится серия линейных подпространств.
УтСУт+1СУ. (0.2).
Оператор Г: У У, Г (* - z) «Ф (х) — Ф (z) заменяется при т = т (п) на линейные операторы.
Г «Г ГУ —> У т ' т ' т т'.
Невязки хп — Ф (хп) заменяются на проекции.
Уп=хп~ Уп GYm{H). уп — х&bdquo- - ф (х"), уп.
Обратные операторы (/ :Ym —> Ym считаются известными. Минус-поправки Хп ~ Хп+1 являются решениями линейных уравнений.
— Гот (л))&и=уй. (0.3).
Установлено существование такой последовательности номеров т (п), что метод сходится.
Полученные операторные схемы затем конкретизируются в классах нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна и вольтерровых, а также полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка в обыкновенных и в частных производных (в последнем случае — гиперболического типа).
При этом во втором способе линейные уравнения (0.3) решаются прямыми методами: интегральные уравнения — методом Фурье и методом, реализуемым в конечномерных подпространствах некоторых ступенчатых функций, а дифференциальные уравненияметодом Фурье.
В главе I диссертации изучается композиция методов для операторных уравнений.
В п. 1.1 приводится определение АГВ-линеала У, эквивалентное известному [6]: частично упорядоченное-пространство, где любой элемент имеет модуль |у| = у v (-у), и норма изотонна: если |>>||v|, то ||у|| ^ ||v||.
Вначале рассматривается вспомогательная задача.
Dx = Л (х), Nx = z (0.4) где хЕХ, X — линейное подпространство /Сй-линеала Уоперации.
D:X -*Y, A: Xt->Yэлемент zGZ, Z — линейное пространстволинейный оператор
N:X -+Z .
Строится модификация метода, отвечающего обобщенному принципу сжимающих отображений, для чего вводится последовательность операций.
Ап (х)~А (х:) и производится процесс.
Dx"+i = Am (n) (xn)> Nxn+1 = z. Установлены достаточные условия существования и единственности решения х* задачи (0.4) и сходимости процесса хп вместе с образами Dxn, соответственно, к решению х * и образу Dx *.
В п. 1.2 результат п. 1.1 применен к задаче (0.1). Построен процесс приближений хп, который сходится вместе с образами Dxn, соответственно, к единственному решению х * этой задачи и к образу Dx *. Приводится оценка скорости сходимости. В частности, изучен случай уравнения х = F (x). В п. 1.3 рассматривается вспомогательное уравнение х = А (х) в КВ-линеале Y. К уравнению применена модификация принципа сжимающих отображений в серии линейных подпространств (0.2) с привлечением операций.
Устанавливаются достаточные условия, при которых возможен такой выбор номеров т (п), что процесс.
Хп+1 = Ая (и) (хп) сходится к решению уравнения х = А (х) — указывается оценка скорости сходимости. В п. 1.4 предполагается, что известно решение х задачи.
Dx = 0, Nx = z.
Задача (0.1) сводится к эквивалентному уравнению х = Ф (*), где.
Ф (*) = x+D~lF{x). Затем результат п. 1.3 применяется к этому уравнению.
В главе II изучается композиция методов для интегральных уравнений.
В п. II. 1 конкретизируется результат п. 1.2 в применении к уравнениям в пространстве С (0Д): S.
Ф) — J* f (s, t, x (t))dt + w (s), 0 1.
Jt (s) = ajf (s, t, x (t))dt + w (s) (0.5) о с малым параметром а.
Строятся процессы приближений к решениям уравнений. Итерациям линейных интегральных операторов Г соответствуют итеративные ядра. Устанавливается, что при определенном выборе номеров т{п) процессы равномерно сходятся к решениям с указанной оценкой скорости сходимости.
В п. II.2 конкретизируется результат п. 1.4 в применении к уравнению (0.5). В качестве линейных подпространств (0.2) здесь вводятся, во-первых, линейные оболочки конечных подсистем базиса пространства L2(0,1) и, во-вторых, подпространства некоторых ступенчатых функций в пространстве (ОД).
Линейные уравнения (0.3) здесь принимают вид систем линейных алгебраических уравнений с квадратной и треугольной матрицами.
Доказана возможность такого выбора номеров т{п), что процессы приближений сходятся к решению уравнения (0.5), соответственно, среднеквадратично или п. в. равномерно. Дана оценка скорости сходимости.
В главе III изучается композиция методов для обыкновенных полулинейных дифференциальных уравнений второго порядка.
В п. III. 1 приводится приложение результатов п. 1.2 в пространствах.
Х=С2(0,1), У = С (ОД) к задачам x" (t) = f (t, x (t)), *(0) = z0, хЩ = Zj- (0.6).
— xt) = f (t, x (t)), x (0) = z0, x (l) = z,. (0.7).
Устанавливается, что при определенном выборе номеров т (п) процессы приближений равномерно сходятся вместе со вторыми производными, соответственно, к решениям этих задач и их вторым производным.
В п. III.2 приводится приложение результатов п. 1.4 в пространствах (см. [19]).
X-U ОД), Y = Ь2(0,1) к задаче (0.7). Функция/определена при xEY. Решение этой задачи здесь понимается обобщенно — как решение интегрального уравнения с ядром — функцией Грина: 1 x (s) = z0 + (ztz0)s+ pl (s, t) f (t, x (t))dt. 0.
Построение процесса приближений производится методом Фурье — в линейных оболочках Ут (и) конечных подсистем базиса //-пространства У.
Установлена возможность такого выбора номеров т (п), что процесс среднеквадратично сходится к обобщенному решению данной задачи.
В п. III.3 приводится приложение результатов п. 1.4 к задаче (0.6). Решение этой задачи понимается обобщенно — как решение интегрального уравнения S x (s) = z0 + zxs + J*(s — t) f (t, x (t))dt. 0.
Результат аналогичен изложенному в п. III.2.
В главе IV изучается композиция методов для полулинейного уравнения в частных производных гиперболического типа.
В п. IV. 1 производится приложение результатов п. 1.2 к задаче на квадрате Q = [0Д]х[0,1] :
4 = f (s, t, x (s, t) x (s, 0) = z,(s), x (0,l) = z2(t), ^(0) = z2(0). (0.8) Пространства (см. [19]).
X=H2(Q), 7 = L2(G), Z — пространство следов (см. [19]) функций xElX на сторонах квадрата Q, находящихся на осях координат.
Процесс приближений среднеквадратично сходится вместе со смешанной производной к решению этой задачи и его смешанной производной.
В п. IV.2 производится приложение результата п. 1.4 к задаче (0.8). Решение задачи понимается обобщенно — как решение интегрального уравнения s t t) = Zj (5) + z2 (/) — Zj (0) + J*dcrjf (<7, т, х (а, t))dr. о 0.
Функции ek (s, t) составляют базис //-пространства Y. Применяется метод Фурье. Процесс среднеквадратично сходится к обобщенному решению.
Основное содержание диссертации опубликовано в работах [12−15, 23−30], а именно: п. 1.1: [14,24,28,30]- п. 1.2: [14,23,26,28]- п. 1.3: [14,24,30]- п. 1.4: [12,13,25,27,29,30]- п. II.1: [14]- п. II.2: [12,13]- глава III: [30]- п. IV. 1: [26,28]- п. IV.2: [15,25]. и.
I. Композиция методов для операторных уравнений.
V.
Заключение
.
В диссертации получены следующие результаты.
Поставлена проблема поиска приближений к решению задачи (1) в линейном подпространстве банахова полуупорядоченного пространства.
Сформулирована и обоснована модификация обобщенного принципа сжимающих отображений с оценкой нормы итерации модулярной мажоранты и с аппроксимацией нелинейной операции.
Построена и исследована композиция методов линеаризации нелинейного операторного уравнения и аппроксимации линейных уравнений в алгоритме вычисления последовательности приближений. Установлены достаточные условия существования и единственности решения нелинейного уравнения, сходимости метода, дана оценка погрешности приближений.
Функциональные схемы конкретизированы в классах нелинейных интегральных уравнениий типа Гаммерштейна и вольтерровыхв начальной и граничной задачам для полулинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядкав задаче Коши для полулинейного уравнения в частных производных гиперболического типа.
Более подробно о схеме в терминах функционального анализа:
Установлены модификации обобщенного принципа сжимающих отображений в применении к задаче.
Dx = А (х), Nx = z (V.1) и, в частности, к уравнению х~А (х). (V.2).
В модификациях используются приближения Ат операции А, строится процесс поиска последовательных приближений:
Dxn+1 -Ат (н)Ы> Nxn+i=z (V.3) и, в частности, хп+1 = Лт (п)(хп), (V.4) стремящихся к решениям, соответственно, задачи (V.1) и уравнения (V.2).
Модификации осуществляются двумя способами. В первом способе операции Ат, указанные в алгоритме (V.3), определены на подмножестве КВ-линеала У. Во втором способе эти операции, указанные в алгоритме (V.4), определены в линейных подпространствах.
Ym С Ym+1 С У. (V.5).
Полученные модификации применяются для построения процесса приближений к решению задачи.
Dx = F (x), Nx = z (V.6) и уравнения.
— Ф (х), (V.7) эквивалентного задаче (V. 6).
Для этого вначале производится известное действие — линеаризация (усреднение) уравнения. Вводится линейный оператор
Г, Г (x-z)~F{x)-F (z) для задачи (V.6), а для уравнения (V.7).
Т{х-г)~Ф (х)-Ф{?).
В обычном методе очередная минус-поправка А&bdquo- = ипми+1 для уравнения (V.6) является решением линейной задачи.
D-r)An=Dxn-F (xn), NAn=0, (V.8) а для уравнения (V.7) — решением линейного уравнения.
— Г) ДЙ=*"-Ф (*Л). (V.9).
Такой процесс может быть назван также и модификацией метода касательных, но в нашем случае не требуется ни сильной, ни слабой дифференцируемое&tradeоперации F.
При каждом номере п здесь производится аппроксимация линейного уравнения (V.8) или (V.9).
В диссертации поиск минус-поправки 5хп = хп — ведется в задаче (V.6) посредством замены в задаче (V.8) обратного оператора (D — Г)-1 на приближенные, а для уравнения (V.7) — замены в уравнении (V.9) оператора / - Г и невязки хп — Ф (х") на приближенные. В последнем случае действие происходит в серии линейных подпространств (V.5).
Кроме установления теоретического факта сходимости метода, приводится практически важная оценка погрешности приближения при каждом номере.
В достаточных условиях сходимости и в оценке погрешности приближения вычислителю предоставлен выбор произвольного сходящегося ряда величин Ьп > 0, участвующих в этих условиях и оценке.
Чем меньше величины Ьп в п. 1.1 и 1.2, тем меньше переменные (рп (1.1.13) и, следовательно, меньше радиус шара S, определенный через шах (рп. По одному из условий, шар
S включен в область Е, на которой определены операции Л в п. 1.1 и операция F в п. 1.2. Это влечет возможность сужения области Е и, следовательно, ослабление требований к этим нелинейным операциям. Кроме того, улучшается оценка (1.1.16) погрешности приближения.
Однако, уменьшение величин Ьп приводит и к увеличению номера т (п), удовлетворяющего условию (1.1.17) и, следовательно, к усложнению вычислительного процесса.
Это замечание справедливо и по отношению к аналогичным фактам в пп. 1.3 и 1.4.
В диссертации постулирована полуупорядоченность пространства. Это позволяет использовать дополнительные свойства многих конкретных функциональных пространств. Так например, выполнение условий мажорирования вида (1.1.3,4) с привлечением модулей элементов легко проверяется для многих операций в функциональных пространствах, но эквивалент этих условий в терминах функционального анализа в пространствах без полуупорядочения — формулируется достаточно сложно, и их проверка в конкретных случаях затруднена.
Результаты главы I могут быть применены и в более широких классах квазилинейных дифференциальных уравнений в обыкновенных и в частных производных и их систем.
При аппроксимации задачи (V.8) и уравнения (V.9) могут быть использованы и другие методы: например, конечных разностей, сплайнов.
