Отношение аннулирования между элементами полугрупп

Актуальность темы

Изучение многообразий алгебраических систем с теми или иными условиями конечности является определяющим направлением в современных алгебраических исследованиях. Одним из таких условий конечности является финитная аппроксимируемость алгебраических систем относительно предикатов. Широкое применение аппроксимациоппых методов связано с именем академика Мальцева. В его работах середины прошлого века сформировалось общее понятие финитной аппроксимируемости алгебраических систем относительно предикатов и получен ряд основополагающих результатов.

Важность введённого А. И. Мальцевым понятия в значительной степени определяется связью с алгоритмическими проблемами, именно, как отметил А. И. Мальцев [16], финитная аппроксимируемость конечно порожденной алгебраической системы в многообразии, заданном конечным набором тождеств, относительно некоторого предиката, влечёт алгоритмическую разрешимость проблемы этого предиката в рассматриваемой системе. Например, из теоремы Холла [25] о финитной аппроксимируемости конечно порождённых метаболевых групп следует положительное решение проблемы равенства слов для метабелевых групп. Аппроксимациоппыми методами С. И. Кубла-иовекпм был положительно решён вопрос алгоритмической разрешимости проблемы делимости в целой серии многообразий полугрупп. М. В. Сапир установил эквивалентность для ряда многообразий полугрупп проблемы равенства и финитной аппроксимируемости конечно определённых полугрупп.

Выбор того или иного предиката обусловлен ролыо, которую он играет в теории определённых классов алгебраических систем. Так, например, в группах важнспшимп предикатами являются: предикат равенства, регулярной сопряжённости, предикат вхождения в подгруппу, в конечно порождённую подгруппу. В кольцах и алгебрах важную роль играют предикат равенства, нильпотентности, вхождения в подкольцо (подалгебру). В полугруппах исследовались предикаты делимости, отношения Грина, предикат равенства и вхождения в различного вида подсистемы (идеал, подполугруппа, подгруппа и т. п.). Указанные предикаты явились объектом многочисленных исследований и с точки зрения алгоритмической разрешимости проблем этих предикатов и с точки зрения аппроксимации. В полугруппах особо значимым является предикат делимости. На языке делимости определяются отношения Грина, простота, регулярность и её модификации, распознаваемость (в смысле Эйленберга [22]) и другие важные свойства полугрупп. Следует отмстить, что распознаваемость полугрупп систематически изучается целым рядом зарубежных авторов, таких, как Г. Лаллемап, Д. Перрен, К. Рейс, С. Рэпкин, Ж. Сакарович, Т. Тамура, Г. Тьерреп, С. Эйлснберг и др. в связи с потребностями теории кодирования. Одним из важных случаев отношения делимости является отношение аннулирования. На языке отношения аннулирования определяется фундаментальный порядок па множестве идем-по'юитов в кольцах и полугруппах. Это отношение естественным образом возникает при рассмотрении инверсных полугрупп, полуструктур групп и полуструктур ниль-полугруин.

Особый интерес представляет алгоритмический аспект. Если система задана некоторым набором определяющих соотношений и некоторым набором тождеств, то возникает вопрос: существует ли алгоритм, который для любых двух слов определяет, является ли одно слово нулём для другого. В общем случае ответ отрицательный. В частности это следует из результата Новикова П. С. [18].

Для алгоритмических вопросов важна элементарная аксиоматизируемость исследуемых классов. Как показывают исследования, в большинстве случаев условия финитной аппроксимируемости объектов относительно предикатов нельзя сформулировать на языке первой ступени. Одним из способов получения элементарных критериев является поиск необходимых и достаточных условий аппроксимируемости не отдельных алгебр, а различных производных классов от этих алгебр.

С конца 1960;х годов по настоящее время появилось большое количество работ, посвященных финитной аппроксимируемости многообразии различных классов. Интерес к этим вопросам нашёл отражение в работах как российских (А. Ю. Ольшанский, С. Г. Мамикопян, Э. А. Голубов, М. В. Са-пир, С. И. Кублаповский, Л. Н. Савина), так и зарубежных алгебраистов (С. Гроувз, Д. Герхард).

Отметим некоторые результаты по данной тематике.

В своей работе А. Ю. Ольшанский [19] получил описание многообразий финитно аппроксимируемых групп. Многообразия финитно аппроксимируемых коммутативных полугрупп были описаны С. Г. Мамиконяпом [17]- многообразия финитно аппроксимируемых идемиотептпых полугрупп описал Д. Герхард [23], [24]. Независимо друг от друга многообразия финитно аппроксимируемых полугрупп описали Э. А. Голубов и М. В. Саппр [1] и С. И. Кублаповский [9]. В работах [9], [10] С. И. Кублаповский дал описание на языке тождеств многообразия полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно целого ряда известных предикатов: делимости, Грина, вхождения в идеал, подполугруппу, подгруппу и т. п. В своей диссертации Л. Н. Савина [20] дала описание полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предикатов регулярности и идемпотентности.

В 2000;е годы появился целый ряд диссертаций, посвященный тематике финитной аппроксимации полугрупп.

Постановка задачи. Описать многообразия полугрупп, фппптпо аппроксимируемых относительно предикатов аннулирования первого и второго рода.

Цель работы. Цслыо данной работы является полное описание многообразий полугрупп на языке тождеств и индикаторных систем, фппптпо аппроксимируемых относительно предикатов аннулирования.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми.

Методы исследований. При описании многообразий полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предикатов аннулирования первого и второго рода, использованы теоретико-полугрупповые методы разложения полугрупп в коммутативные связки неразложимых компонент, а также общие структурные методы, связанные с описанием алгебраических систем.

Теоретическая и практическая ценность. Данная диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты исследования могут быть использованы для решения алгоритмических проблем равенства слов для ряда миообразпй полугрупп.

Апробация работы. Ряд результатов настоящей диссертации был освещен па Городском алгебраическом семинаре в ПОМИ РАН, Сапкт-Петер-бургском городском семинаре, но теории полугрупп в РГПУ им. А. И. Герце-па, а также па 60-х Герценовских чтениях в Санкт-Петербурге.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведён в конце диссертационной работы.

Объём и структура диссертации. Работа состоит из введения п двух глав, разделённых на три параграфа. Диссертация занимает 70 страниц машинописного текста и содержит 32 наименования литературы.

Заключение

.

При написании данной диссертационной работы ставились цели и задачи описания многообразий полугрупп, фппптно аппроксимируемых относительно предикатов аннулирования первого п второго рода, используя язык тождеств и индикаторных систем. При этом предполагалось затронуть алгоритмический аспект проблемы, выводы относительно которого представляли наибольший интерес.

Главным образом поставленные цели были достигнуты. Опишем полученные результаты с точки зрения их соотнесения с заявленными целями.

Исследование многообразий, финитно аппроксимируемых относительно предиката аннулирования первого рода, вылилось в двадцать шесть вспомогательных утверждений и имело итогом основную теорему первой главы, в которой указаны тождества, выполнение которых необходимо и достаточно для того, чтобы выполнялся данный вид финитной аппроксимируемости. Данные тождества были разбиты па три группы, каждая из которых гарантирует требуемое свойство многообразий.

Кроме того, в первой главе было установлено, что финитная аппроксимируемость многообразии полугрупп относительно предиката аннулирования равносильна финитной аппроксимируемости относительно предиката равенства, притом что сами данные предикаты не являются эквивалентными.

Во второй главе проводилось исследование многообразий полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предиката аннулирования второго рода, который на аппулпруемый элемент накладывал дополнительное условие идемпотентности. Данное условие существенным образом повлияло па свойства многообразий. Двадцать одна лемма, основна51 теорема и следствия, позволили нам заключить, что необходимым и достаточным условием финитной аппроксимируемости многообразий относительно предиката аннулирования второго рода, является выполнение в нём ряда тождеств. Также была установлена, эквивалентность условий финитной аппроксимируемости многообразий полугрупп относительно предикатов аннулпровапия и вхождения в максимальную подгруппу.

Алгоритмическая проблема, к решению которой пс удалось подойти в первой главе, была решена во второй главе для многообразий полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предиката аннулирования второго рода. Итогом стало нахождение нескольких индикаторных полугрупп, по наличию которых в многообразии можно судить о его финитной аппроксимируемости относительно данного предиката. Данный результат резюмирован в двух следствиях из основной теоремы.

Итак, полное описание многообразий полугрупп, финитно аппроксимируемых относительно предиката аннулирования первого рода было получено па языке тождеств. На языке тождеств и индикаторных полугрупп были описаны и многообразия, финитно аппроксимируемые относительно предиката аннулирования второго рода.

Данный результат полностью соответствует поставленным целям.