Аппроксимационные свойства HNN-расширений групп и групп с одним определяющим соотношением

Понятие финитно аппроксимируемой группы, как свидетельствуют В. Чандлер и В. Магнус в историческом обзоре [25], впервые в явном виде появилось в работе А. И. Мальцева [13], где была установлена финитная аппроксимируемость конечно порожденных матричных групп и доказана хопфовость конечно порожденных финитно аппроксимируемых групп. Это понятие обобщалось затем в различных направленияхв частности, в статьях А. И. Мальцева [14] и [15] рассматривались свойства апроксимируемости группы и отделимости подгруппы в произвольном классе групп. В настоящее время в наиболее общей форме аппроксимируемость групп определяется следующим образом (см. [7]):

Пусть G — некоторая группа и р — отношение между элементами и (или) множествами элементов, определенное на группе G и всех ее гомоморфных образах. Пусть также К, — некоторый класс групп. Будем говорить, что группа G аппроксимируема группами из класса К (или, короче, К-аппроксимируема) относительно отношения р, если для любых элементов и множеств элементов из G, не находящихся в отношении р, существует гомоморфизм группы G на группу из класса /С, при котором образы этих элементов и множеств также не находятся в отношении р.

В работах по данному направлению чаще всего рассматривается аппроксимируемость относительно отношения равенства (и в этом случае мы будем говорить просто о /С-аппроксимируемости), отношения сопряженности элементов и отношения вхождения в подмножество (если группа G Каппроксимируема относительно вхождения в подмножество М, говорят, что подмножество М является К-отделимым в G). При этом, как правило, в качестве К выступает или класс Т всех конечных групп, или класс Tv всех конечных р-групп, или класс N всех нильпотентных групп.

Одним из заметных направлений в исследованиях по аппроксимируемости групп является изучение поведения того или иного аппроксимационного свойства относительно той или иной теоретико-групповой конструкции. Так, прямое или декартово произведение произвольного семейства /С-аппроксимируемых или /С-аппроксимируемых относительно сопряженности групп является, очевидно, группой, /С-аппроксимируемой или /С-аппроксимируемой относительно сопряженности соответственно. Вместе с тем, прямое произведение двух свободных групп ранга 2 содержит конечно порожденную подгруппу, не являющуюся^{-отделимой} (см., напр., [26]), тогда как в силу теоремы Холла — Бернса (см. [10, с. 34]) в любой свободной группе все все конечно порожденные подгруппы ^" -отделимы.

Аппроксимируемость свободного произведения групп рассматривалась К. Грюнбергом в работе [42]. В этой работе вводится понятие корневого класса групп и доказывается, что если класс групп К является корневым, то свободное произведение произвольного семейства /С-аппроксимируемых групп будет снова К-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда произвольная свободная группа /С-аппроксимируема. (Напомним, что класс групп /С, содержащий хотя бы одну неединичную группу, называется корневым, если он замкнут относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений и для любой последовательности С ^ В ^ А подгрупп группы, А такой, что С нормальна в В, В нормальна в, А и фактор-группы В/С и А/В принадлежат классу /С, в подгруппе С содержится некоторая нормальная подгруппа D группы А, такая, что A/D? К.) Недавно Д. Н. Азаров [2] заметил, что произвольный корневой класс содержит или все конечно порожденные нильпотентные группы, или все конечные р-группы, и потому каждая свободная группа является /С-аппроксимируемой для любого корневого класса 1С. С учетом этого замечания теорема Грюнберга утверждает, таким образом, что для любого корневого класса К класс /С-аппроксимируемых групп замкнут относительно свободных произведений. В частности, свободное произведение ^" -аппроксимируемых групп или^{-аппроксимируемых} групп является^{-аппроксимируемой} или J^-аппроксимируемой группой соответственно. Свободное произведение Л/*-аппроксимируемых групп далеко не всегда будет М-аппроксимируемой группой (простейшим примером может служить свободное произведение двух циклических групп порядков 2 и 3) — необходимые, а также достаточные условия Л/*-аппроксимируемости свободного произведения указаны А. И. Мальцевым [14]. Ранее ЛЛаппроксимируемость произвольной свободной группы была установлена В. Магнусом. В. Н. Ремесленников [20] показал, что свободное произведение произвольного семейства групп, .F-аппроксимируемых относительно сопряженности, является группой, ^" -аппроксимируемой относительно сопряженности, а в работе Н. С. Романовского [22] доказано, что в свободном произведении произвольного семейства групп все конечно порожденные подгруппы ^" -отделимы, если^{-отделимыми} являются все конечно порожденные подгруппы в каждой группе этого семейства.

Свободное произведение является исторически первой из так называемых свободных конструкций группдругими свободными конструкциями являются обобщенное свободное произведение, т. е. свободное произведение групп с объединенными подгруппами, и расширение Хигмана — Неймана — Нейман (iIiViV-расширение). Положение с аппроксимационными свойствами этих конструкций оказывается более сложным, чем для обычного свободного произведения: свободное произведение с объединенными подгруппами двух ^" -аппроксимируемых групп и ЯТУЖ-расширение^{-аппроксимируемой} группы далеко не всегда являются ^" -аппроксимируемыми группами.

По-видимому, первым примером обобщенного свободного произведения двух^{-аппроксимируемых} групп, не являющегося^{-аппроксимируемой} группой, является группа Хигмана а, 6, сЬ~хаЬ — а2, с-1ас = а2), предложенная им в работе [44] в качестве примера нехопфовой конечно определенной группы. Ввиду нехопфовости и в силу теоремы Мальцева эта группа не является ^" -аппроксимируемой. С другой стороны, она раскладывается в свободное произведение с объединенной циклической подгруппой групп а, 6- b~1ab = a2) и (а, сс1ас = а2), входящих в семейство так называемых групп Баумслага — Солит-эра, т. е. в семейство групп с одним определяющим соотношением вида H (l, m) = (a, bb~1alb = ат), где I и т ненулевые целые числа. Именно в этом классе групп Г. Баумслаг и Д. Солитэр в 1962 году обнаружили первые примеры групп с одним определяющим соотношением, не являющихся /-аппроксимируемыми: оказалось (см. [35] и [55]), что группа Н (1,т) /-аппроксимируема тогда и только тогда, когда или |/| = 1, или т — 1, или |/| = т. Мы видим, таким образом, что группа Хигмана действительно является обобщенным свободным произведением двух /" -аппроксимируемых групп. Кроме того, поскольку каждая группа Н (1, т) является ЯЛ^-расширением с проходной буквой b бесконечной циклической группы, порождаемой элементом а, среди групп Баумслага — Солитэра мы находим и примеры ЯЛТАТ-расширений /-аппроксимируемых групп, не являющихся /-аппроксимируемой группой.

Началом систематического изучения /" -аппроксимируемости свободного произведения G = (А* В Я = К, </?) двух групп, А и В с объединенными подгруппами Н и К следует, по-видимому, считать работу Г. Баумслага [33]. В этой работе доказано, что если группы, А и В конечны, то группа G является /" -аппроксимируемой, и на основе этого результата с использованием введенного там же понятия пары совместимых подгрупп из свободных множителей сформулировано весьма общее достаточное (а также и некоторое необходимое) условие /-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух произвольных групп. Тем самым в работе [33] была предложена определенная методика получения конкретных результатов об /" -аппроксимируемости обобщенных свободных произведений. Так, например, эта методика практически сразу приводит к /аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух /аппроксимируемых групп в случае, когда объединяемые подгруппы конечны, а также к Т-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечно порожденных абелевых групп. Подавляющее большинство известных результатов об J*7-аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп было получено с использованием этой методики.

Развитие исследований /" -аппроксимируемости .ffiViV-расшире-ний началось с работ [30] и [40], в которых практически одновременно и независимо было показано, что НNiV-расширение.

G* = (G, t] Г1 At = B, ip), базовая группа G которого конечна, является /" -аппроксимируемой группой. Более того, в работе [30] фактически было сформулировано понятие совместимой подгруппы, явившееся аналогом введенного Баумслагом вышеупомянутого понятия пары совместимых подгрупп, и на языке этого понятия указано достаточное условие /-аппроксимируемости HN^" -расширения с произвольной базовой группой, из которого легко вытекает, например,^{-аппроксимируемость} ЯА^-расширения, базовая группа которого^{-аппроксимируема,} а связанные подгруппы конечны. Некоторое уточнение формулировок из [30] приводит к методике, аналогичной той, которая была указана Баумслагом, и состоящей в том, что, как и в случае обобщенных свободных произведений, условия /-аппроксимируемости HNN-расширения могут быть выражены как определенные свойства семейства всех совместимых нормальных подгрупп конечного индекса базовой группы. А именно, необходимое условие /" -аппроксимируемости ЯЛ^-расширения состоит в том, что базовая группа его является не просто /" -аппроксимируемой, а аппроксимируемой факторгруппами по нормальным совместимым подгруппам конечного индекса, а достаточное условие /" -аппроксимируемости получается, если к этому добавить требование отделимости в классе таких фактор-групп каждой из связанных подгрупп (точные формулировки см. в § 1).

Несмотря на то, что указанное необходимое условие^{-аппроксимируемости} Я]УЛг-расширения в общем случае не является достаточным (соответствующие примеры можно найти среди HNN-расширений, базовая группа которых является бесконечной циклической, т. е. среди групп Баумслага — Солитэра), теорема 1.1 данной работы утверждает, что для достаточно широкого класса HNД^-расши-рений это условие является и достаточным для^{-аппроксимируемости.} Это так называемые нисходящие HNiV-расширения, т. е. HNN-расширения, в которых одна из связанных подгрупп совпадает с базовой группой. С использованием этого результата получено более конкретное достаточное условие^{-аппроксимируемости} нисходящего iIiViV-расширения (теорема 1.2), из которого, в свою очередь, следует, что нисходящее HNTV-расширение G* = (G, t-, t~1Gt = В, у) является ^" -аппроксимируемой группой в следующих случаях:

1) G — свободная группа конечного ранга, а ее подгруппа В имеет конечный индекс по модулю коммутанта G' группы С;

2) G — конечно порожденная свободная нильпотентная группа.

Эти результаты были опубликованы в 1992 году в работе [68].

В этой работе отмечался, как открытый, вопрос о том, будет ли произвольное нисходящее HNTV-расширение свободной группы Т-аппроксимируемой группой. Недавно А. Борисов и М. Сапир [37] с помощью методов, отличных от используемых здесь, доказали, что любое нисходящее HNN-расширение конечно порожденной свободной группы является^{-аппроксимируемой} группой. В работе [47] утверждение пункта 2) было распространено на произвольные почти полициклические группы.

Упомянутые выше условия ^" -аппроксимируемости HNN-расширения несмотря на их весьма общий характер и наличие существенного пробела между необходимым и достаточным условиями, в ряде случаев позволяют получать конкретные критерии JF-аппроксимируемости группы G* — (G, t t~lAt = В, if). Так, в случае, когда G является абелевой группой с конечным числом порождающих, соответствующий критерий указан в статье [27]. В теоремах 2.1 и 2.2 данной работы такие критерии (в других терминах) получены при более слабых предположениях, а именно: подгруппы, А и В являются конечно порожденными и лежат в центре группы G, Аф G и В ф G и все подгруппы, лежащие в подгруппе АВ, /" -отделимы в группе G.

Первый из этих критериев формулируется на языке последовательностей Uk и Vk подгрупп группы G, определяемых по правилу UQ = A, Vq = В и Uk+г = UkHVk, Vk+i = Uk+1(p, и утверждает, что (при указанных предположениях) группа G* = t~lAt = B, <�р) является /" -аппроксимируемой тогда и только тогда, когда для некоторого 7i ^ О имеет место равенство Un — Vn.

Второй критерий утверждает, что при тех же предположениях группа G* /" -аппроксимируема тогда и только тогда, когда в каждой нормальной подгруппе конечного индекса группы G содержится некоторая совместимая нормальная подгруппа, также имеющая конечный индекс в группе G. Отсюда в свою очередь следует, что если группа G является, к тому же, 7гс-группой, то группа G* является 7гс-группой тогда и только тогда, когда она /" -аппроксимируема. (Напомним, что группа G называется 7гс-группой, если все ее циклические подгруппы /-отделимы.) В частности, если группа G является конечным расширением полициклической группы и, А и В — собственные центральные подгруппы группы G, то группа.

G* = (G,*- t~1At = B, ip) является 7ГС — группой в точности тогда, когда она /-аппроксимируема.

Следует отметить, что в случае, когда G является конечно порожденной абелевой группой, последнее утверждение вытекает из результатов работ [27] и [63]. Отмечу также, что в доказательствах теорем 2.1 и 2.2 используют прием, который назван методом спуска и подъема совместимых подгрупп, и который состоит в установлении определенных связей между свойствами семейств совместимых подгрупп группы G и группы В (с подгруппами U = АП В и V = Utp).

Переходя к рассмотрению^{-аппроксимируемости} HNN-расширений, заметим, что при получении указанных выше необходимых и достаточных условий ^" -аппроксимируемости используется следующее свойство совместимых подгрупп: образы связанных подгрупп в фактор-группе базовой группы по нормальной совместимой подгруппе конечного индекса оказываются изоморфными, и соответствующее ЯЛ^ТУ-расширение этой фактор-группы является^{-аппроксимируемой} группой, как ЯЛ^-расширение конечной группы. Поскольку как обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп, так и Я]У]У-расширение конечной р-группы может не быть Тр-аппроксимируемой группой, для получения аналогов соответствующей методики необходимо располагать условиями^{-аппроксимируемости} обобщенного свободного произведение двух конечных р-групп и TV TV-расширения конечной ргруппы.

Для обобщенного свободного произведения соответствующий критерий указан Г. Хигманом [45], и на его основе в работе [11] был сформулирован аналог понятия совместимой пары подгрупп, с помощью которого был получен аналог методики Баумслага для изучения^{-аппроксимируемости} обобщенного свободного произведения.

Почти очевидный «внешний» критерий^{-аппроксимируемости} ЯЛ^-расширения G* = (G, tt~lAt = базовая группа G которого является конечной р-группой, состоящий в существовании гомоморфизма группы G* на некоторую конечную р-группу, инъек-тивного на базовой группе, для указанной цели не подходит, так же как не подходит и вариант «внутреннего» критерия, указанный в работе [61]. В данной работе будет получен другой критерий (теорема 3.1), формулируемый практически в тех же терминах, что и вышеупомянутый критерий Хигмана, и соответствующая модификация на его основе понятия совместимой подгруппы приводит к условиям Тр-аппроксимируемости Я TV/^-расширения, формулировка которых (см. предложение 3.6) практически дословно повторяет упоминавшиеся выше условия ^" -аппроксимируемости. Этот результат с использоваи нием упоминавшегося выше метода спуска и подъема совместимых подгрупп приводит к характеризации аппроксимируемых HNN-расширении G* = (G, tt-lAt = В, (р) при некоторых предположениях, включающих, в частности, требование центральности в группе G подгрупп, А и В (теоремы 3.2 и 3.3). Из этой характеризации следует, например, что если, А и В — конечные центральные подгруппы /^-аппроксимируемой группы G и АП В = 1, то группа G* = (G, t] t~lAt = В, (/?) является /^-аппроксимируемой.

Результаты, перечисленные выше, содержатся в первой главе работы. Во второй главе рассматриваются аппроксимационные и близкие к ним свойства групп, принадлежащих двум известным классам групп с одним определяющим соотношением. Это уже упоминавшийся класс групп Баумслага — Солитэра, т. е. групп вида.

Н (1,т) = {а, Ьb~1alb = arn), где тип — произвольные целые числа, отличные от 0, и класс некоторых iJiViV-расширений групп Н (1,т), состоящий из групп вида.

G (l, тк) = (a, t t~1a~ktalt~1akt = ат), где I, тик — произвольные целые числа, отличные от нуля. (То, что группа G (l, m-k) является ЯЛ^А^-расширением группы Н{1,т), становится очевидным после введения в ее представление нового образующего b вместе с определяющим соотношением b = t~lakt.) В обоих случаях мы можем без потери общности считать, что |/| ^ т > 0, а для групп G (l, mк) предполагать также, что к > 0.

Подробное изучение свойств групп G (l, m] к) впервые предпринял А. М. Бруннер в работе [38]. Следует, впрочем, заметить, что на группы этого класса еще в 1969 году обратил внимание Г. Ба-умслаг [31], доказав, что все конечные гомоморфные образы группы (7(2,1- 1) являются циклическими группами (и приведя тем самым наиболее впечатляющий пример группы с одним определяющим соотношением, не аппроксимируемой конечными группами). Тем не менее, здесь нам будет удобно называть группы вида G (l, mк) группами Бруннера.

Здесь показано, прежде всего, что упоминавшийся выше критерий /-аппроксимируемости групп групп Баумслага — Солитэра, сформулированный в работе [35], уточненный в [55] и утверждающий, что группа Н (1,т) (где l ^ т > 0) является /-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда или т = 1, или)/| = га, может быть получен как непосредственное следствие результатов главы I. Доказано также (теорема 5.3), что группа Бруннера G (l, m]k) (где к > 0 и 1 ^ т > 0) является /-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда |Z| = ттгнеобходимость условия отмечена без доказательства в [38].

С помощью результатов главы I получена и характеризация /р-аппроксимируемых групп Баумслага — Солитэра и Бруннера: группа Н (I, га) /^-аппроксимируема тогда и только тогда, когда или га = 1 и / = 1 (modp), или 1 = т — рг для некоторого г ^ 0, причем если I — —т, то р = 2 (теорема 5.2) — группа G (/, mк) является /р-аппроксимируемой тогда и только тогда, когда l = т = рг и к = ps для некоторых целых чисел г ^ 0 и s ^ 0, причем если I = — т, то р = 2 и s ^ г (теорема 5.4).

Дальнейшие результаты главы II относятся к свойствам групп Баумслага — Солитэра и Бруннера, связанным с понятием хопфово-сти.

Напомним, что группа G называется хопфовой, если она не может быть изоморфной никакой своей истинной фактор-группе, т. е. для любой нормальной подгруппы N группы G из G/N ~ G следует, что N = 1. В противном случае группа G называется нехопфовой.

Вопрос о существовании конечно порожденных нехопфовых групп был сформулирован Хопфом в 1932 году (см. [25]), и первым общим результатом по этому вопросу явилась теорема Мальцева [13], утверждающая хопфовость произвольной конечно порожденной /-аппроксимируемой группы. Первый пример конечно порожденной нехопфовой группы принадлежит Б. Нейману [57]- построенная им нехопфова группа имеет два порождающих, но требует бесконечного множества определяющих соотношений. Г. Хигманом [44] построен пример нехопфовой группы с тремя порождающими и двумя определяющими соотношениями. Минимальные в этом смысле примеры нехопфовых групп с двумя порождающими и одним определяющим соотношением были указаны в работе Г. Баумслага и Д. Солитэра [35] среди групп Н (1,т) (отсюда и общепринятое и обозначенное выше наименование групп этого класса). Было доказано, что группа Н (1,т) не является хопфовой тогда и только тогда, когда т > 1 и множество простых делителей числа I не совпадает с множеством простых делителей числа га. В той же работе были приведены примеры двух неизоморфных групп, гомоморфно отображающихся друг на друга, причем одна из них совпадает с некоторой группой Н (1, га), а другая, как удалось установить, не может быть определена одним соотношением. В связи с этим в 1969 году автором был сформулирован вопрос (см. [8, вопрос 3.33]), будут ли изоморфны две группы, каждая из которых задается одним определяющим соотношением и является гомоморфным образом другой? Здесь будет доказано (в теореме 6.3), что для групп Баумслага — Солитэра ответ на этот вопрос положителен, и, более того, будет дана классификация этих групп. Отрицательный ответ на этот вопрос на примерах, являющихся группами Бруннера, был анонсирован в работе [5]. Здесь при |/| > га будет дана классификация групп Бруннера, а также будут перечислены все пары неизоморфных групп Бруннера, гомоморфно отображающихся друг на друга (теорема 6.4). Оказалось, что среди групп G (l, гак) имеется бесконечно много пар, доставляющих контрпримеры к сформулированному выше вопросуминимальную такую пару составляют группы (7(18,2- 2) и G (18,2−6). В этом же параграфе доказана теорема 6.2, утверждающая, что группа G (l, mк) не является хопфовой тогда и только тогда, когда |/| > т > 1, число га является делителем чисел I и к и числа га и 1/т взаимно просты (достаточность этих условий установлена в работе [38]),.

В последнем параграфе второй главы рассматривается вопрос В. Магнуса, сформулированный в работе Р. Хиршона [46].

Для произвольной группы G через cr (G) будет обозначаться пересечение всех нормальных подгрупп конечного индекса группы G. Из хопфовости конечно порожденных .Т7-аппроксимируемых групп следует, что для любого сюръективного эндоморфизма ip конечно порожденной группы G имеет место включение Кег<�р С cr (G), а потому — и включение К (ср) С cr (G), где оо.

К (<�р) = IjKer^. i=1.

Спрашивается, какие нехопфовы группы с конечным числом порождающих обладают хотя бы одним сюръективным эндоморфизмом (р таким, что К ((р) = cr (G). В работе [46] такие эндоморфизмы были явно указаны для ряда известных конечно определенных нехопфо-вых групп и поставлен вопрос о существовании эндоморфизма с указанным свойством в произвольной конечно определенной нехопфовой группе. Нетрудно показать, тем не менее, что ответ на этот вопрос отрицателен. А именно, в теореме 7.1 указаны условия, при которых свободное произведение групп G = (А * В] Н) групп, А и В с объединенной подгруппой Н является нехопфовой группой, ни один сюръективный эндоморфизм кр которой не удовлетворяет равенству К (<�р) = cr (G). Конкретным контрпримером, полученным с помощью этого результата является группа.

G = (а, 6, сЬ~1а2Ъ = а3, Ъ = [Ъ, с~1Ьс]).

С другой стороны, один из результатов работы [46] утверждает, что группа Баумслага — Солитэра Н (1,т) в случае, когда числа I и т взаимно просты, таким сюръективным эндоморфизмом ip, что К{(р) = <�т (Н (1,т)), обладает. Основная часть этого параграфа направлена на получение исчерпывающей характеризации тех групп.

Я (?, га), которые обладают сюръективным эндоморфизмом с указанным свойством. Здесь доказана теорема 7.2, утверждающая, что если H (l, га) — произвольная группа Баумслага — Солитэра и если числа I и га, определяющие эту группу, записаны в виде I = 1р и га = raiq, где (р, га) = (g, l) = 1 и положительные числа li и rai имеют одни и те же простые делители, то группа Н (1,т) обладает сюръективным эндоморфизмом </? таким, что K (ip) = а (Н (1, га)), тогда и только тогда, когда rai = ni.

В третьей главе работы рассматривается свойство отделимости подгрупп, а также некоторые другие аппроксимационные свойства групп.

Напомним, что в соответствии с общим подходом к определению аппроксимационных свойств групп /С-отделимость подгруппы Н группы G (где К — некоторый класс групп) означает, что для любого элемента д группы (7, не принадлежащего подгруппе Н: существует такой гомоморфизм (р группы G на некоторую /С-группу, что gtp? Hip.

Говоря о группе, в которой /С-отделимы все подгруппы, или все конечно порожденные подгруппы, или все циклические подгруппы, обычно тем самым предполагают /С-отделимость и единичной подгруппы, т. е. /С-аппроксимируемость этой группы. Тем не менее, /С-отделимость подгрупп оказывается, как правило, более сильным свойством группы, чем /С-аппроксимируемость. Например, группа Баумслага — Солитэра H (l, 1) при |/| > 1 содержит циклическую подгруппу, не являющуюся /-отделимой. В статье [39] приводится пример группы, являющейся расширением свободной группы ранга два при помощи бесконечной циклической группы и содержащей не Т-отделимую 2-порожденную подгруппу. С другой стороны, по теореме 1 из [15] эта группа является /-аппроксимируемой, а по теореме 4 из [26] — 7гс-группой (т. е., напомним, группой, все циклические подгруппы которой /-отделимы).

Группы, упомянутые в предыдущем абзаце, являются нисходящими iifiVTV-расширениями некоторой группы, и первый результат третьей главы (теорема 8.1) содержит необходимое и достаточное условие принадлежности произвольного нисходящего HNN-расширения классу 7гс-групп. Это условие, формулируемое в тех же терминах, что и теорема 1.1, означает, что каждая циклическая подгруппа базовой группы ЯЛ^-расширения отделима ее фактор-группами по нормальным совместимым подгруппам конечного индекса.

Следующий результат относится к группам с одним определяющим соотношением, обладающих нетривиальным центром. Хорошо известно, что группы этого класса обладают рядом аппроксимацион-ных свойств. Они .Т7-аппроксимируемы и даже .F-аппроксимируемы относительно сопряженности (см., напр., [41]). Критерий^{-аппроксимируемости} таких групп получен в работах [52] и [54], причем установлено, что группа с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром Л/" -аппроксимируема тогда и только тогда, когда она является .^-аппроксимируемой для некоторого простого р. Теорема 8.2 данной работы утверждает, что в группе с одним определяющим соотношением, обладающей нетривиальным центром, все конечно порожденные подгруппы ^" -отделимы.

В силу общего замечания А. И. Мальцева [15] о связи ^" -аппроксимируемости конечно определенной группы относительно некоторого отношения и алгоритмической распознаваемости этого отношения следствием теоремы 8.2 является установленная В. Н. Безверхним [4] для групп с одним соотношением и нетривиальным центром разрешимость проблемы вхождения в конечно порожденные подгруппы.

Заметим, что предположение о конечной порожденности подгрупп является здесь существенным: каждая группа с одним соотношением и нетривиальным центром содержит неотделимую подгруппу, если, разумеется, она вообще содержит хотя бы одну подгруппу, не являющуюся конечно порожденной (т. е. не является циклической и не изоморфна (полициклической) группе Я (±-1,1)).

Следует также отметить, что теорема 8.2 была опубликована в < 1987 году в работе [65], а в опубликованной в том же году статье.

39] утверждение этой теоремы было доказано при дополнительном предположении нормальности подгрупп.

Рассмотрим теперь другой вид отделимости подгрупп, который получается заменой отношение принадлежности подмножеству отношением быть сопряженным с некоторым элементом этого подмножества. Более точно, назовем подмножество М группы G сопряженно /С-отделимым, если для любого элемента, а е G, не сопряженного ни с одним элементом из М, найдется такой гомоморфизм группы G на некоторую группу из класса /С, что элемент а<�р не сопряжен в группе G (f ни с одним элементом из подмножества Мер.

Этот вид отделимости подмножеств также представляет определенный интерес. Хорошо известно, например, что если класс К, гомоморфно замкнут, то для любой нормальной подгруппы N группы G г /С-аппроксимируемость фактор-группы G/N равносильна /С-отделимости подгруппы N. В работе [6] замечено, что если снова К, — гомоморфно замкнутый класс, то для любой группы G и произвольной ее нормальной подгруппы N фактор-группа G/N является /С-аппрокси-мируемой относительно сопряженности тогда и только тогда, когда каждый смежный класс группы G по подгруппе N сопряженно /С-отделим.

Как уже упоминалось, все конечно порожденные подгруппы свободной группы являются Т-отделимымиздесь доказывается (в теореме 8.3), что все они и сопряженно^{-отделимы.} В общем случае свойства J^-отделимымости и сопряженной ^" -отделимымости конечно порожденных подгрупп, как показывают примеры, являются независимыми.

В общую схему понятия аппроксимируемости группы относи-1 тельно некоторого отношения между элементами и множествами элементов этой группы укладывается еще одно естественное аппрок-симационное свойство групп. Будем говорить, что группа G Таппроксимируема относительно сопряженности (конечно порожденных) подгрупп, если для любых двух (конечно порожденных) подгрупп Н и К группы G, не сопряженных в ней, существует гомоморфизм </? группы G на конечную группу X такой, что образы Н (р и К^р подгрупп Н и К не сопряжены в группе X.

Это свойство групп рассматривалось в работе В. Н. Ремеслен-никова [21], где было доказано, что конечно порожденные нильпо-тентные группы .Т7-аппроксимируемы относительно сопряженности подгрупп. Впоследствии этот результат был распространен на класс полициклических групп в работе [43]. Теорема 9.1 данной работы утверждает, что произвольная свободная группа ^" -аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп. Следствием этой теоремы является алгоритмическая распознаваемость сопряженности конечно порожденных подгрупп свободной группыранее этот результат был получен другими методами в работе [17].

Интересной оказалась ситуация с ^-" -аппроксимируемостью относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп для групп Баумслага — Солитэра вида H (l, 1). Если I = ±1, группа H (l, 1) является полициклической, и потому^{-аппроксимируема} относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп в силу вышеупомянутого результата работы [43] (при I — 1 это просто очевидно). В оставшемся случае |/| > 1 группа Я (/, 1) ^" -аппроксимируема относительно сопряженности конечно порожденных подгрупп тогда и только тогда, когда I = для некоторого простого числа р (теорема 9.2).

Результаты последнего параграфа работы относятся к проблеме определяемости ^" -аппроксимируемой группы G семейством T{G) ее конечных гомоморфных образов.

Хорошо известно, что вопрос о том, будут ли ^" -аппроксимируемые группы G и Н обязательно изоморфны, если F{G) = ^(Я), в общем случае решается отрицательно. В. Н. Ремесленников [21] привел пример двух неизоморфных 2-порожденных 4-ступенно нильпотентных групп с одинаковыми конечными гомоморфными образами. В работе Г. Баумслага [32] указана серия пар неизоморфных метацик-лических групп, также имеющих одни и те же конечные гомоморфные образы. С другой стороны, имеется не так уж много результатов противоположного характера. Уместно напомнить, в частности, что до сих пор неизвестен ответ на вопрос В. Н. Ремесленникова, будут ли изоморфными две конечно порожденные финитно аппроксимируемые группы с одинаковыми семействами конечных гомоморфных образов, если одна из них — свободная или свободная разрешимая (см. [8], вопрос 5.48).

Сформулируем результаты, полученные здесь в этом направлении.

В теореме 10.1 утверждается, что для любой конечно порожденной /" -аппроксимируемой группы G и произвольной ее нормальной подгруппы N из равенства T{G) = /(G/iV) следует, что N = 1. Этот результат можно рассматривать как некоторое усиление теоремы А. И. Мальцева о хопфовости конечно порожденных /" -аппроксимируемых групп.

С помощью теоремы 10.1 можно получить следующий результат, представляющий, возможно, определенный интерес в связи с вышеупомянутым вопросом В. Н. Ремесленникова: если конечно порожденная группа G является конечным расширением свободной группы и если /(G) = /(Я) для некоторой свободной группы Я, то группы G и Я изоморфны.

Наконец, в двух последних результатах работы сравниваются конечные гомоморфные образы групп Баумслага — Солитэра вида Я (/, 1). Доказано (в теореме 10.3), что для любых ненулевых целых чисел к и I равенство Т (Н (к, 1)) = /" (Я (/, 1)) имеет место тогда и только тогда, когда к = I. Отсюда следует, в частности, однозначная определяемость группы Я (/, 1) семейством конечных гомоморфных в классе всех /-аппроксимируемых групп с одним определяющим соотношением.

Если же рассматривать лишь те конечные гомоморфные образы, которые являютсяр-группами (при фиксированном простому), утверждение теоремы 10.3 перестает быть справедливым. Соответствующая классификация групп вида H (l, 1) получена в теореме 10.4.

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных и Международных конференциях в Красноярске (1980, 1993), Ленинграде (1981), Минске (1983), Свердловске (1989), Новосибирске (1989), Барнауле (1991), Санкт-Петербурге (1997), Туле (2003), Москве (2004), на семинаре по теории групп МГУ и на алгебраическом семинаре Ивановского госуниверситета. Основные результаты опубликованы в работах [64]—[81].

1. Азаров Д. Н., Иванова Е. А. О финитной аппроксимируемости относительно сопряженности свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 5. Иваново. 2002. С. 3−5.

2. Азаров Д. Н., Тьеджо Д. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой корневым классом групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. Вып. 5. Иваново. 2002. С. 6−10.

3. Бардаков В. Г. К вопросу Д. И. Молдаванского о р-отделимости подгрупп свободной группы // Сиб. матем. ж. 2004. Т. 45. № 3. С. 505−509.

4. Безверхний В. Н. Решение проблемы вхождения в группах с одним определяющим соотношением с нетривиальным центром // Деп. в ВИНИТИ, № 3207−84. 1984.

5. Борщев А. В. О проблеме изоморфизма для одного класса групп с одним определяющим соотношением / / Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д. К. Фадде-ева. Тезисы докладов. Санкт-Петербург. 1997. С. 170−171.

6. Иванова Е. А., Молдаванский Д. И. Об апппроксимируемо-сти относительно сопряженности конечно порожденных ниль-потентных групп // Вестник Иван. гос. ун-та. 2004. Вып. 3. С. 125−130.

7. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

8. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд. 15-е. Новосибирск. 2002.

9. Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

10. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

11. Логинова Е. Д. Финитная аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами / / Сиб. мат. ж. 1999. Т. 40, N 2. С. 395−407.

12. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.

13. Мальцев А. И. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами // Матем. сб. 1940. Т. 8. С. 405−422.

14. Мальцев А. И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Матем. сб. 1949. Т. 25. № 3. С. 347−366.

15. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Учен. Зап. Ивановск. пед. ин-та. 1958. Т. 18. С. 49−60.

16. Молдаванский Д. И. Об одной теореме Магнуса // Математика. Уч. зап. ИГПИ. Иваново, 1969. Т. 44. С. 26−28.

17. Молдаванский Д. И. Сопряженность подгрупп свободной группы // Алгебра и логика. 1969. Т. 8, вып. 6. С. 691−694.

18. Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир, 1969.

19. Ремесленников В. Н. Сопряженность в полициклических группах // Алгебра и логика. 1969. Т. 8. С. 712−725.

20. Ремесленников В. Н. Финитная аппроксимируемость групп относительно сопряженности // Сиб. мат. ж. 1971. Т. 12, № 5. С. 1085−1099.

21. Ремесленников В. Н. Сопряженность подгрупп в нильпотент-ных группах. // Алгебра и Логика. Семинар. 1967. Т. 6. Вып. 2. С. 61−75.

22. Романовский Н. С. О финитной аппроксимируемости свободных произведений относительно вхождения // Известия АН СССР. Сер. мат. 1969. Т. 33, № 6. С. 1324−1329.

23. Фукс JI. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: Мир, 1974.

24. Холл Ф. Нильпотентные группы // Математика. Период, сб. переводов иностр. статей. 1968. Т. 12. № 1. С. 3−36.

25. Чандлер БМагнус В. Развитие комбинаторной теории групп М.: Мир, 1985.

26. Allenby R., Gregorac R. On locally extended residually finite groups // Lecture Notes Math. 1973. Vol. 319. P. 9−17.

27. Andreadakis S., Raptis E. and Varsos D. A characterization of residually finite HNN-extensions of finitely generated abelian groups // Arch. Math. 1988. Vol. 50. P. 495−501.

28. Anshel M. Non-hopfian groups with fully invariant kernels. Part 1 // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 170. P. 231−237.

29. Anshel M. Non-hopfian groups with fully invariant kernels. Part 2 11 J. Algebra. 1973. Vol. 24. P. 473−485.

30. Baumslag В., Tretkoff M. Residually finite HNN extensions // Communs in Algebra. 1978. Vol. 6. P. 179−194.

31. Baumslag G. A noncyclic one-relator group all of whose finite quotients are cyclic // J. Austral. Math. Soc. 1969. Vol. 10. № 3−4. P. 497−498.

32. Baumslag G. Residually finite groups with the same finite images // Compos. Math. 1974. Vol. 29. № 3 P. 249−252.

33. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 106. № 2. P. 193−209.

34. Baumslag G. Some problems on one-relator groups // Proc. second internat. conf. theory of groups. Canberra, 1973, P. 75−81.

35. Baumslag G.- Solitar D. Some two-generator one-relator non-Hop-fian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. Vol. 68. P. 199−201.

36. Baumslag G., Taylor T. The center of groups with one defining relator // Math. Ann. 1968. Vol. 175, P. 315−319.

37. Borisov A., Sapir M. Polinomial maps over finite fields and residual finiteness of mapping tori of groups endomorphisms // arXiv: math. GR/30 9121vl. 6 Sep. 2003.

38. Brunner A. M. On a class of one-relator groups// Can. J. Math. 1980. Vol. 50. P. 414−420.

39. Burns R., Karrass A., Solitar D. A note on groups with separable finitely generated subgroups // Bull. Austral. Math. Soc. 1987. Vol. 36. P. 153−160.

40. Cohen D. Residual finiteness and Britton’s lemma// J. London Math. Soc.(2). 1977. Vol. 16. P. 232−234.

41. Dyer J. Separating conjugates in amalgamating free products and HNN-extentions // J. Austral. Math. Soc. 1980. Vol. 29. № 1. P. 35−51.

42. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. (3) 1957. Vol. 7. P. 29−62.

43. Grunewald F., Segal D. Conjugacy in poly cyclic groups / / Com-muns. in Algebra. 1978. Vol. 6. P. 775−798.

44. Higman G. A finitely generated group with an isomorphic proper factor group // J. London Math. Soc. 1951. Vol. 26. P. 59−61.

45. Higman G. Amalgams of p-groups // J. of Algebra. 1964. Vol. 1. P. 301−305.

46. Hirshon R. The intersection of the subgroups of finite index in some finitely presented groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. Vol. 53, № 1. P. 32−36.

47. Hsu Т., Wise D. Ascending HNN extensions of polycyclic groups are residual finite // J. Pure Appl. Algebra. 2003. Vol. 182. P. 65−78.

48. Karrass A., Solitar D. The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup // Trans. Amer. Math. Soc. 1970. Vol. 150. P. 227−255.

49. Karrass A., Solitar D. Subgroups of HNN groups and groups with one defining relation// Can. J. Math. 1971. Vol. 28. P. 627−643.

50. Karrass A., Pietrowski A., Solitar D. Finite and infinite cyclic extensions of free groups // J. Austral. Math. Soc. 1973. Vol. 16. P. 458−466.

51. Kim G. Cyclic subgroup separability of HNN-extensions // Bull. Korean Math. Soc. 1993. Vol. 30. P. 285−293.

52. Kim G., McCarron J. On residually p-fmite one-relator groups // J. Algebra. 1994. Vol. 169. P. 817−826.

53. Magnus W. Uber diskontinuierliche gruppen mit einer definieren den relation (der Freiheitssatz) // J. reine angew. Math. 1930. Vol. 163. P. 141−165.

54. McCarron J. Residually nilpotent one-relator groups with non-trivial centre // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. Vol. 124. № 1. P. 1−5.

55. Meskin S. Nonresidually finite one-relator groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 164. P. 105−114.

56. Neumann В. H. An assay on free products of groups with amalgamations // Phil. Trans. Royal Soc. of London. 1954. Vol. 246. P. 503−554.

57. Neumann В. H. A two-generator group isomorphic to a proper factor group // J. London Math. Soc. 1950. Vol. 25. P. 247−248.

58. Neumann H. Generalized free products with amalgamated subgroups. 1// Amer. J. Math. 1948. Vol. 70. P. 590−625.

59. Neumann H. Generalized free products with amalgamated subgroups. II// Amer. J. Math. 1948. Vol. 71. P. 491−540.

60. Newman M., Sicher J. Free products of Hopf groups // Math. Z. 1973. Vol. 135, № 1. P. 69−72.

61. Raptis E., Varsos D. The residual nilpotence of HNN-extensions with base group a finite or a f.g. abelian group// J. of Pure Appl. Algebra 1991. Vol. 76. P. 167−178.

62. Segal D. Decidable properties of polycycle groups // Proc. London Math. Soc. 1990. Vol. 61. P. 497−528.

63. Wong P. C. and Tang С. K. Cyclic subgroup separability of certain HNN-extensions of finitely generated abelian groups // Rocky Mt. J. Math. 1999. Vol. 29. P. 347−356.Работы автора по теме диссертации.

64. Молдаванский Д. И. Пересечение подгрупп конечного индекса в нехопфовых группах с одним определяющим соотношением (реферат статьи, депонированной в ВИНИТИ 18.05.1986 за № 6671-В86, 27 е., Библиогр. 16) // Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28, № 5. С. 219.

65. Молдаванский Д. И., Тимофеева Л. В. Конечно порожденные подгруппы группы, определяемой одним соотношением и обладающей нетривиальным центром, финитно отделимы // Известия ВУЗов. Математика. 1987. Вып. 12. С. 58−59.

66. Кавуцкий М. А., Молдаванский Д. И. Об одном классе групп с одним определяющим соотношением // Алгебраические и дискретные системы. Межвузовский сборник научных трудов. Иваново. 1988. С. 35−48.

67. Молдаванский Д. И. Изоморфизм групп Баумслага Солитэра // Укр. матем. журн. 1991. Т. 43. № 12. С. 1684−1686.

68. Молдаванский Д. И. Финитная аппроксимируемость нисходящих HNN-расширений групп // Укр. матем. журн. 1992. Т. 44. № 6. С. 842−845.

69. Молдаванский Д. И. О финитной отделимости подгрупп // Иван. гос. ун-т. 20 лет. Юбил. сб. науч. статей. Часть 2. Иваново, 1993. С. 18−23.

70. Молдаванский Д. И. Об аппроксимируемости конечными р-груп-пами НTVjV-расширения конечной р-группы // Третья Международная конференция по алгебре памяти М. И. Каргаполова (23 28 августа 1993 г.). Сборник тезисов. Красноярск, 1993. С. 234 235.

71. Moldavanski D., Sibyakova N. On the finite images of some one-relator groups. // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. Vol. 123. P. 20 172 020.

72. Молдаванский Д. И., Якушев А. В. О конечных гомоморфных образах некоторых групп с одним определяющим соотношениемНауч. тр. Иван. гос. ун-та Сер. Математика. 1997. Вып. 1. С. 72−78.

73. Молдаванский Д. Я. Аппроксимируемость конечными^{-группами} ЯЛ^Ж-расширений // Вестник Иван. гос. ун-та. 2000. Вып. 3. С. 129−140.

74. Молдаванский Д. И. Об отделимости циклических подгрупп нисходящего ЯЛ^ЛЦэасширения групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 2000. Вып. 3. Иваново. С. 56−58.

75. Молдаванский Д. И. Два замечания о финитно аппроксимируемых группах с одинаковыми семействами конечных гомоморфных образов // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 2001. Вып. 4. Иваново. С. 83−86.

76. Молдаванский Д. И. Финитная аппроксимируемость некоторых HNN-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. 2002. Вып. 3. С. 123−133.

77. Алексеев Ю. Я. Молдаванский Д. И. О сопряженности конечно порожденных подгрупп свободной группы // Чебышевский сб. 2002. Т. 3. Вып. 1. Тула. С. 8−10.

78. Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными р-группами некоторых ЯА^А^-расширений групп // Вестник Иван. гос. ун-та. 2003. Вып. 3. С. 102−116.

79. Borschev А, V., Moldavanskii D. I. On the isomorphism of some one-relator groups // arXiv: math. GR/502 153. Feb. 08, 2005).

80. Борщев А. В., Молдаванский Д. И. Об изоморфизме некоторых групп с одним определяющим соотношением // Матем. заметки. 2006. Т. 79. Вып. 1. С. 34−44.