Операции над функциями

Задача 1

Выполнить действия над множествами

A=(0, 8), B=(-1,1). Найти AB, BA,, ,

Решение.

Задача 2

Решить задачи, используя теорию множеств

В группе из 100 туристов 70 знают английский язык, 45 — французский, 23 — оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

Решение.

Обозначим:

А_а — количество туристов, знающих только английский язык;

А_ф — количество туристов, знающих только французский язык;

А_аф — количество туристов, знающих и английский, и французский язык;

А₀ — количество туристов, не знающих ни английского, ни французского языка;

Тогда:

А_а + А_ф + А_аф + А₀ = 100

А_а + А_аф = 70

А_ф + А_аф = 45

А_аф = 23

Изобразим множества на диаграмме Венна:

Имеем:

А_аф = 23

А_а = 70 — А_аф = 70 — 23 = 47

А_ф = 45 — А_аф = 45 — 23 = 22

А₀ = 100 — А_а — А_ф — А_аф = 100 — 47 — 22 — 23 = 8

Не знают ни одного языка 8 человек.

Задача 3

3. Найти область определения функции

Решение.

Данная функция определена при выполнении следующих условий:

1) первое подкоренное выражение больше, либо равно нулю;

2) знаменатель дроби не равен нулю;

3) дробь положительна;

4) второе подкоренное выражение больше, либо равно нулю;

Рассмотрим первое подкоренное выражение:

Разобьём числовую ось точками х₁=-2 и х₃=2 и проверим значение выражения в каждом из интервалов:

— выражение на этом интервале отрицательно;

— выражение на этом интервале положительно;

— выражение на этом интервале отрицательно.

Тогда область определения будет следующей:

Рассмотрим знаменатель дроби:

Тогда область определения функции:

Рассмотрим дробь (она должна быть положительна):

Тогда область определения функции:

Второе подкоренное выражение больше, либо равно нулю:

Разобьём числовую ось точками и и проверим значение выражения в каждом из интервалов:

— выражение на этом интервале положительно;

— выражение на этом интервале отрицательно;

— выражение на этом интервале положительно.

Тогда область определения функции окончательно будет следующей:

Задача 4

Найти участки возрастания и убывания функций, классифицировать точки экстремума

Решение.

Исследуем область определения функции:

Найдём точки экстремума. Для этого найдём производную функции и приравняем её к нулю:

Отсюда видно, что точек экстремума нет.

Производная в любой точке области определения (кроме точки х=2) будет положительна, т. е. функция постоянно возрастает. Максимальное значение функции будет в самой правой точке области определения:

Задача 5

Известно, что крокодил имеет 68 зубов. Сколько может существовать крокодилов с различным набором зубов?

Решение.

Вообще, набор зубов один и тот же. Но если бы можно было зубы переставлять, то тогда количество возможных вариантов было бы равно:

Задача 6

функция множество вероятность область

В ящике лежат 13 зеленых, 10 красных и 7 синих одинаковых на ощупь шаров. Наудачу вынимают 8 шаров. Чему равна вероятность того, что вынули:

а) 3 зеленых, 2 красных и 3 синих шара.

б) 1 зеленый, 5 красных и 2 синих шара?

Решение.

а) 3 зеленых, 2 красных и 3 синих шара:

Общее число элементарных исходов будет равно:

Число благоприятных исходов:

Тогда искомая вероятность:

б) 1 зеленый, 5 красных и 2 синих шара:

Общее число элементарных исходов будет равно:

Число благоприятных исходов:

Тогда искомая вероятность:

Задача 7

Контролер ОТК проверил срок службы 40 электрических ламп и получил следующие данные (в часах):

Найти средний срок службы лампы, дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, среднеквадратическое отклонение

Решение.

Средний срок службы лампы:

(476,4+477,2+443+526,1+558,5+599,1+499,6+406,7+403,3+

+498,8+456+485+468,1+556+449,6+584,9+541,5+473,4+515,8+453,4+460,9+

+515,2+461,9+410,9+500,1+488,1+421,5+545,3+503,6+486,4+642,7+733,1+

+558,3+594,2+509,2+564,7+574,6+427,9+554,2+574,1)/40=509,9825

Дисперсия:

(476,4²+477,2²+443²+526,1²+558,5²+599,1²+499,6²+

+406,7²+403,3²+498,8²+456²+485²+468,1²+556²+449,6²+584,9²+541,5²+473,4²+

+515,8²+453,4²+460,9²+515,2²+461,9²+410,9²+500,1²+488,1²+421,5²+545,3²+

+503,6²+486,4²+642,7²+733,1²+558,3²+594,2²+509,2²+564,7²+574,6²+427,9²+

+554,2²+574,1²)/40 — 509,9825² = 4584,34

Среднее квадратическое отклонение:

Исправленная дисперсия:

Среднее квадратическое (исправленное) отклонение:

s=68,57