Стабильные элементы автоморфизмов свободной нильпотентной группы

Диссертация посвящена вопросам существования стабильных элементов относительно всех автоморфизмов нильпотентной группы ступени 12.

Стабильные элементы свободных нильпотентных групп относительно всех автоморфизмов группы тесно связаны с инвариантами Ли свободных колец Ли. Условия существования инвариантов Ли были найдены в работах Вефера (1949 г.) [19] и Барроу (1958 г.) [14, 15] (см. также [12]), это давало основание считать, что в свободных нильпотентных группах также могут существовать нетривиальные стабильные элементы при определенных условиях на ранг и ступень нильпотентности группы. Отметим, что вопрос о существовании таких элементов в группах был поставлен А. Мясниковым в проекте MAGNUS [17] (вопрос N1):

Пусть G — свободная нильпотентная группа конечного ранга г. Пусть элемент g? G неподвижен относительно всех автоморфизмов группы G. Верно ли, что g = 1 ?

Отрицательный ответ на этот вопрос был получен В.В. Блу-довым [1] в 1998 году, который привел примеры нетривиальных стабильных элементов свободной нильпотентных групп ранга 2. Например, элемент [a, b, a,[a, b, b],[a, b]] — стабилен относительно любого автоморфизма свободной нильпотентной группы ранга два и ступени восемь.

В 2001 году независимо друг от друга А. Папистас [18] и.

Е. Форманек [16], основываясь на работах [19, 14, 15], классифицировали все пары (г, с), при которых существуют нетривиальные стабильные элементы в свободных нильпотентных группах ранга г и ступени с. Доказана.

Теорема ([16], Теорема 5.) Пусть F (r, c) — свободная нильпо-тентная группа ранга г и ступени с. Нетривиальные стабильные элементы группы F (r, с) существуют тогда и только тогда, когда a) г — 2 или г = 3 и с = 2 кг, к > 2. b) г > 4 и с — 2 кг, к> 1.

Поэтому, для г — 3 наименьшая ступень нильпотентности, при которой существуют нетривиальные стабильные элементы равна 12. При этом конкретный вид стабильных элементов в работах [16, 18] не был указан, его нахождение представляет определенную техническую сложность. Первые примеры стабильных элементов в свободных нильпотентных группах ранга 3 получены в 2004 году и опубликованы в 2008 году в работе соискателя [5].

В представленной работе приведены классификационные теоремы (Теоремы 3.1, 4.1, 5.1, 5.2), описывающие строение стабильных элементов. На основании этих результатов получено полное описание (в терминах базисных коммутаторов) всех стабильных элементов с однородным вхождением образующих в свободных нильпотентных группах рангов 2 и 3, ступени 12.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 10 параграфов, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение

.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Получен метод нахождения стабильных элементов свободной нильпотентной группы.

2. Найдены условия на линейные комбинации базисных коммутаторов свободных нильпотентных групп ступени 12, рангов 2 и 3, при которых эти комбинации не являются стабильными элементами.

3. В свободных нильпотентных группах ступени 12, рангов 2 и 3, найдены подгруппы рангов 9 и 33 соответственно, любой элемент которых является стабильным.