Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Построение алгоритмов структурного распознавания в предфрактальных моделях сетевых систем

Диссертация: Построение алгоритмов структурного распознавания в предфрактальных моделях сетевых систем
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Исследования. Теперь пришло время обратиться к структурному распознаванию сетевых систем. Термин «сеть» широко распространён в современной научной и экономической литературе. На слуху такие выражения, как «розничная сеть», «железнодорожная сеть», «торговая сеть», «компьютерная сеть», «сеть магазинов», «сетевой маркетинг», «потоки в сетях», «филиальная сеть», «сеть трубопроводов», «социальная… Читать ещё >

Содержание

  • ВВЕДЕНИЕ.'
  • 1. ПРЕДФРАКТАЛЬНЫЕ ГРАФЫ, ПОРОЖДЁННЫЕ С ЧЕРЕДОВАНИЕМ ЗАТРАВОК, И ИХ СВОЙСТВА
    • 1. 1. Фрактальные графы, порождённые множеством затравок с чередованием
    • 1. 2. Свойства предфрактального графа- порождённого множеством затравок с чередованием
      • 1. 2. 1. Число вершин предфрактального. графа, порождённого множеством затравок с чередованием.)
      • 1. 2. 2. Число рёбер предфрактального графа, порождённого с чередованием’затравок
  • 1. 3- ' Выводы-.- —г-:-- ¦
  • 2. РАСПОЗНАВАНИЕ ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ДЕРЕВЬЕВ, ПОРОЖДЁННЫХ С ЧЕРЕДОВАНИЕМ ЗАТРАВОК
    • 2. 1. Признаки предфрактальных графов, порождённых с чередованием затравок.'
    • 2. 2. Распознавание предфрактального графа, порождённого множеством затравок-звёзд с чередованием при сохранении смежности «старых» рёбер
    • 2. 3. Распознавание предфрактального графа, порождённого множеством затравок-звёзд с чередованием при непересекающихся «старых» рёбрах.'
    • 2. 4. Распознавание предфрактальных деревьев, порождённых парой затравок-цепей с чередованием
    • 2. 5. Выводы.'.'
  • 3. РАСПОЗНАВАНИЕ ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ГРАФОВ, ПОРОЖДЁННЫХ РЕГУЛЯРНЫМИ ЗАТРАВКАМИ С ЧЕРЕДОВАНИЕМ. У
    • 3. 1. Распознавание предфрактального графа, порояедённого множеством затравок-циклов с чередованием при сохранении смежности «старых» рёбер
    • 3. 2. Распознавание предфрактального графа, порождённого множеством регулярных затравок с чередованием при сохранении смежности «старых» рёбер
    • 3. 3. Распознавание предфрактального графа, порождённого парой полных затравок с чередованием при сохранении смежности «старых» рёбер
    • 3. 4. Выводы:-.1 і і .'. і-.-.-. л іуЛ'.-.Ч

Построение алгоритмов структурного распознавания в предфрактальных моделях сетевых систем (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Определим прежде всего модели структурно-сложньис систем и отображающую их структурную динамику. Представление структуры системы (технической, социально-экономической, управления и т. д.) в виде графа — общепризнанный подход-при визуальном и модельном представлении связей между элементами системы [91]. Структура системы в зависимости от моделируемого процесса или явления может оставаться стационарной или претерпевать определенные регулярные изменения. В первом случае речь идет о динамических системах [104], [101], [93], [92]. Для учёных, использующих в моделировании динамических систем1 методы теории графов, ключевыми являются работы [93], [92]- [94],' [120]- [45]. :Суть подхода, излагаемого в этих работах, заключается в следующемСтруктура системы, взаимодействие элементов при функционировании системы представляется в виде ориентированного графа [92]- [120] .Каждой вершине и каждому ребру или каждой дуге графа присваиваются некоторые параметры и функционалы, адекватно описывающие процессы функционированияисследуемой (моделируемой) системы. Начальное возмущение, приложенное к одной или группе вершин, распространяется по всему графу, изменяя параметры вершин. Меняется и величина самого импульса в соответствии с функционалами, присвоенными рёбрам или дугам графам Такой подход в моделировании динамических систем нашёл применение во многих областях.

Этот подход актуален и полезен в исследованиисоциально-экономических систем (рис. 1.0а) [93], [92], [94], [120]] Моделирование социально-экономических систем посредствомоператорных (функциональных) графов активно используется в научной школе профессора В-ВКульбы.

Вызывает определённый интерес то, что идея описанного подхода нашла приложение в моделировании и исследовании! медико-биологических систем. В отличии от работ, выполняемых в научной школе профессора В. В. Кульбы, в работах представителей научной школы профессора А. П. Фаворского на графе структуры медико-биологической системы (большой и малый круги кровообращения человека, система сосудов головного мозга человека) решаются системы уравнений гемодинамики (рис. 1.0б) [19], [20]. Фактически, граф системы стал одновременно источником как начальных, так и краевых условий системы дифференциальных уравнений. а б.

Рисунок 1.0 — Визуальное представление некоторых графовых моделей.

Описанные модели объединены одной важной ограничительной особенностью. Структура моделируемых систем, представленных в виде графов на рис. 1.0а и 1.06, жёстко фиксирована.

Структурный синтез и организационные иерархии сложных систем и отображающих их графов. В проектировании сложных систем и синтезе структур теория графов становится незаменимым инструментом. Применение методов и подходов теории графов показало свою результативность в различных областях — от медицины и биологии до экономики и менеджмента [41], [137], [23], [95], [124], [97], [91], [131], [127], [25], [43], [30], [113], [129], [31], [40], [106], [125], [126], [116], [21], [90], [117], [138], [108], [121], [118].

Особое внимание стоит обратить на использование методов и подходов теории графов и дискретной математики в моделировании сложных многоэлементных систем. Задачи, которые возникли при исследовании таких многоэлементных систем, как электроэнергетические, социальные и информационные сети, сети управления дали существенный толчок для нового развития и применения идей теории графов и фрактальных графов [16], [17], [4], [5], [1], [13], [14], [11], [3], [8], [9], [10], [12], [18], [2], [6], [15].

Интересные результаты были получены при моделировании сложных иерархических систем самоподобными или фрактальными графами [85], [81], [122], [65], [66], [67], [68], [69], [70], [71], [72], [73], [83], [84], [86], [7], [82], [87], [27], [22], [28], [44], [114], [115], [123], [89], [26], [48], [49], [50], [51], [52], [60], [53], [54], [55], [56], [57], [58], [59], [61], [62], [63], [64], [35], [36], [33], [34], [74], [75], [76], [77], [78], [79], [80], [133]. Своим рождением фрактальные (предфрактальные) графы обязаны синтезу идей синергетики [134], [42], [135], [29], [103], [46], [96], [39], и нелинейной динамики [119], [47], [102], [24], [105], фракталов [130], [32], [128], [139], [132], [107], [99] и теории графов [9], [11], [18], [20], [21], [23], [25], [30], [31], [40], [41], [43], [91], [92], [95], [97], [106], [108], [113], [116], [117], [118], [124], [125], [126], [127], [129], [131], [137], [138]., I ¦

Очевидно, что при исследовании сетевых систем, необходимо решать не только задачу распознавания структуры уже существующей сетевой системы, но и задачу распознавания самого процесса развития и изменения структуры сетевой системы. Задачу, объединяющую обе указанные, назовём задачей «структурного распознавания». В настоящей диссертации предлагаются алгоритмы структурного распознавания сетевых систем. Эти алгоритмы, во-первых, устанавливают, что 'процесс развития сетевых структур соответствует тем или иным правилам порождения предфрактальных графов, а, во-вторых, определяют, какие типы затравок и в каком порядке были использованы при порождении.

Актуальность темы

исследования. Теперь пришло время обратиться к структурному распознаванию сетевых систем. Термин «сеть» широко распространён в современной научной и экономической литературе. На слуху такие выражения, как «розничная сеть», «железнодорожная сеть», «торговая сеть», «компьютерная сеть», «сеть магазинов», «сетевой маркетинг», «потоки в сетях», «филиальная сеть», «сеть трубопроводов», «социальная сеть», «информационная сеть», «телефонная сеть», «сеть Интернет» и т. д. Нередко этот термин остаётся инвариантным при обозначении совершенно различных понятий. Математиками «сеть» понимается как разновидность графа, это множество элементов (вершин) системы, совокупность или множество отношений или связей (рёбер, дуг, задаваемых кортежами длины два) между элементами или вершинами системы, причём каждое ребро и/или каждая вершина могут быть отягощены некоторыми навешиваемыми, скалярными характеристиками. Это могут быть, например,' совокупности разных по интенсивности путей доставки товаровили услуг до конечного покупателя, длина ребра, время движения по ребру," пропускнаяспособность вершины, стоимость движения по ребру и [80], [97], [98],.

99], [100], [112], [124]/- - ¦¦>

Системой в общем виде принято считать совокупность абстрактных и/или материальных объектов (элементов системы) с их известными внутренними свойствами (характеристиками) и заданными межобъектными отношениями (связями), — образующими в известном смысле единой целое. Говорят, что это множество элементов, взаимосвязанных структурно и функционально, оно определено общей функцией, целью, назначением, входом и выходом. Системы, в—основе ¡-'функционирования которых лежат сетевые структуры, будемназывать! «се^вь^ [111], [112].

На протяжении^ длительного времени техническиеи экономические науки считали аксиомой стационарность структуры всякой сетевой системы. Структурой системы назовём совокупность устойчивых связей между частями объекта или системы, обеспечивающих его (её) целостность и тождественность самому (самой) себе, 1 сохранение основных характеристических свойств при внешних йвнутренних-воздействиях и изменениях. На этом понимании выросли научные школы в области теории графов, дискретной математики, комбинаторной оптимизации и теории систем. Не без основания все результаты деятельности научных школ имеют совершенно чётко очерченные области применения в практической деятельности.

Однако глобализация и либерализация общественной жизни и мировой экономики, усложнение межгосударственных экономических отношений и связей, развитие инфотелекоммуникационных технологий, ускорение мировых процессов, обогащение их новыми составляющими — всё это приводит к экзогенному и эндогенному возмущению структуры изучаемого сигнала, делая его вариативным, — стохастичным, циклическим, нестационарным, сети разрастаются пространственно,' а сетевые взаимодействия усложняются. Развивающаяся экономика итлобализационные процессы в ней вынуждают сетевые системы развивать', адаптировать, оптимизировать свою структуру под сильно изменяющуюся1 конкурентную среду, под новую геополитическую конъюнктуру. В такой ситуации в регулярных изменениях сетевых структур начинают прослеживаться новые закономерности.

Это заставляет необходимо изучать мировые сетевые конъюнктуры новыми подходами, научными, сложными, интеллектуально-ёмкими, математическими и инструментальными. В основании же сложности и противоречивости всех мировых 'процессов лежит существенная недетерминированность, присущая самой*природе,'сетевая структура с её перманентной изменчивостью. В такой ситуации в регулярных изменениях сетевых структур начинают прослеживаться закономерности. Сетевые структуры не только теряют свою стационарность (фиксированность), но и приобретают признаки динамических систем,'признаки и-свойства иерархических и масштабно-инвариантных структур. Процессы развития, изменения, особенностей поведение сетевых структур можно объединить общим понятием «структурная динамика». ' 1.

Исследования в области структурной динамики ведутся в научных школах профессора B.B. Кульбы [92], [93], [94], член-корреспондента РАН ДА. Новикова [111], [112], [37], [38], профессора A.M. Кочкарова [85], [81], [122], [65], [66], [67], [68], [69], [70], [71], [72], [73], [83], [84], [86], [7], [82], [87], [27], [22], [28], [44], [114], [115], [123], [89], [26], [48], [49], [50], [51], [52], [60], [53], [54], [55], [56], [57], [58], [59], [61], [62], [63], [64], [35], [36], [33], [34], [74], [75], [76], [77], [78],. [79], [80], [133] в таких научно-исследовательских институтах и ведущих вузах России, как Институт проблем управления имени В. А: Трапезникова РАН, Институт прикладной математики имени М. В. Келдыша РАН, Вычислительный центр имени A.A. Дородницына РАН, Северо-Кавказская государственная' гуманитарно-технологическая академия. ?Работы/членов школ профессора В-В: Кульбы и член-корреспондента РАН Д. А. Новикова посвящены в большей степени задачам взаимодействия между элементами сложных иерархических систем, нежели задачам изменчивости и динамики 'самих сетевых структурВ работах же школы профессора A.M. Кочкарова первичное внимание уделено именно задачам изменчивости? и динамики, поведенияи развития? самих сетевых структур. В качестве моделей' структурной динамики сетевых систем: в работах профессора A.M. Кочкарова предлагаются различные классы новых масштабно-инвариантных графов, называемых предфрактальными.

Очевидночто при исследовании, анализе и синтезе сетевых систем необходимо решать не только задачу распознавания структуры уже существующей сети, но и значительно усложнённую динамическую задачу распознавания самого процесса изменения структуры сетевой системы. Задачу, объединяющую две указанные, назовем задачей «структурного распознавания». В настоящей работе предлагаются алгоритмы структурного распознавания динамики сетевых систем. Эти алгоритмы. устанавливают, что, во-первых, процесс развития сетевых структур должен соответствовать тем или иным правилам порождения предфрактальных графов, а, во-вторых, они определяют, какие типы затравок при порождении были использованы;

Объектом исследования являются предфрактальные графы, порождаемые множеством затравок с их произвольным чередованием. Предметом исследования являются модели структур сложных сетевых систем, методология распознавания прёдфрактальных графов-, порождаемых процессом чередования затравок, архитектура программного комплекса, использующего предложенные модели, методы и алгоритмы распознавания. .

Целью диссертационного исследования является построение структурных моделей сетевых систем и выявление описательного соответствия процесса развития структур сетевых систем процессу порождения прёдфрактальных графов с чередованием: затравок. Сформулированная цель диссертационного исследования требует решения следующих задач:

• адаптации предфрактальньк графов к. задачам моделирования: сетевых структур с корректирЬвкой основного правила порождения предфрактальных графов, приводящего к лучшей идемпотентности’графа и модели;

• выявления новых значений числовых характеристик и новых качественных свойств, приспособленных для. моделирования сетевых структур прёдфрактальных графов- ' ' -'.

• проектирования взаимно интегрированных алгоритмов распознавания, адаптированных к моделированию сетевых структур прёдфрактальных графов- «'. ' ' ''-'» «'¦'.' ' ' '. .'. «¦ '» ¦¦ '.

• разработки, архитектуры и алгоритмов функционирования программного комплекса, использ^тощего предложенные алгоритмы и методики.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы основные синергетические концепции динамического хаоса и теории систем, применены методы и подходы теории графов, теории чисел, теории оптимизации и комбинаторики.

Научная новизна' диссертационного исследования состоит в следующем: ¦

1. Проведена адаптация (с изменением правил) процесса порождения • Гі і:'і.'і л 11 ?'і ч. і- ¦.'. предфрактальных графов к моделированию развивающихся сетевых структур, отличающаяся динамикой построений. Результатом адаптации стал новый класс предфрактальных графов, порождаемый множеством затравок с чередованием.:

2. Подсчитаны изменившиеся числовые характеристики и исследованы качественные свойства нового класса предфрактальных графов. Среди подсчитанных числовых характеристик находятся такие графовые ключевые характеристики, как число вершин и число рёбер предфрактальных графов с чередованием. Для ряда исследованных параметров (радиуса, диаметра, степеней вершин) адаптированных предфрактальных графов предложены достижимые количественные оценки. — •.

3. Спроектированы взаимно' инте1рированнь1е алгоритмы распознавания предфрактальных графов, порождённых множеством! затравок с чередованием. Алгоритмы объединёны в два блока. Первый блок состоит из алгоритмов распознавания предфрактальных деревьев^ порождённых различными типами затравок-деревьев с «чередованием и с вариациями условий! сохранения — смежности «старых" — рёберВторой блок состоит из алгоритмов распознавания предфрактальных графов,' также порождённых: различными типами регулярных затравок с чередованием и с различными вариациями условия сохранения смежности «старых» рёбер. Все описанные алгоритмы обоснованы и имеют полиномиальную сложность.' - «- ;

4. Разработана архитектура и алгоритмы функционирования программной системы, не имеющей аналогов, меняющей' свою функциональную структуру привариациях использования предложенныхмоделей и методов.

Практическая ценность и теоретическая значимость результатов исследования заключается в том, что предложенный подход в динамическом моделировании развивающихся сетевых систем в виде предфрактальных графов, порождаемых множеством разных затравок, с чередованием, позволяет отслеживать и прогнозировать. возможные структурные изменения в таких сетевых системах, как электроэнергетической, системах водои теплоснабжения, в системах трубопроводного транспорта, информационной, социальной, в системах управления торговыми сетями и т. п. системах. Методика позволяет проектировать изменения структур сетевых систем в случае объективных изменений внешней для систем среды. Результаты диссертационного исследования, связанные с подсчётом в динамике числовых характеристик и выявлением новых свойств предфрактальных графов с чередованием, имеют теоретическую значимость. Они мо1уг вызвать интерес у специалистов по теории графов и структурной динамике для дальнейшего использования в научных обобщениях.' • 1 > • 1.

Достоверность всех результатов диссертационного исследования подтверждается строгими и обоснованными логически последовательными умозаключениями’в, виде лемм и теорем с доказательствами. На защиту выносятся следующие положения:

1 Определено понятие новой структуры — фрактального (предфракталь-ного) графа, порождаемого множеством затравок с чередованием.

2 Произведён подсчёт некоторых числовых характеристик (числа вершин и числа рёбер) и даны оценки качественным показателям (радиусу, диаметру, степеням вершин) предфрактальных графов нового класса, порождаемых процессом чередования затравок.

3 Предложены, сконструированы и обоснованы полиномиальные алгоритмы распознавания предфрактальных графов с чередованием различных классов и типов затравок. ¦ 1.

4 Применённый программный комплекс позволил менять свою структуру при работе с разными задачами порождения и распознавания предфрактальных графов нового типа. '. '.

I ', , 1 I р ! ! I ! > < Л со.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ.

1 Рассмотрены структурные особенности сетевых систем, получающие всё больший диапазон применений в науке, технике, управлении. К этим особенностям в первую очередь следует отнести способность сетей развиваться и «размножаться» своими разномасштабными самоподобными или фракталоподобными фрагментами (затравками).

2 В математическом моделировании существенной новацией стало исследование самого процесса системного построения фрактальных, разномасштабных, но структурно самоподобных частей, что относит полученные результаты к области структурной динамики.

3 Решены динамические задачи распознавания процесса изменения структуры сетевой системы, т. е. решена задача структурного распознавания.

4 Для построения математических моделей сетей такого вида предложено использовать необычные или непривычные в классическом понимании математические объекты — фрактальные и предфрактальные графы.

5 Предфрактальные графы адаптированы к задачам моделирования сетевых структур, при этом скорректировано основное правило их порождения.

6 Выявлены новые количественные и качественные свойства сетевых структур через свойства предфрактальных графов и их обобщённых параметров. Подсчитаны изменившиеся графовые ключевые числовые характеристики (число вершин, число рёбер, радиус, диаметр, степени вершин графа).

7 Процесс порождения предфрактальных графов адаптирован для моделирования развивающихся динамических сетевых структур, что привело к появлению нового класса предфрактальных графов, порождаемых множеством затравок с чередованием. Определено понятие этой новой математичеСКОЙ КОНСТРУКЦИИ. «* ¦ 1 ' ': ' ''' у;

8 Спроектированы и исследованы алгоритмы распознавания предфрактальных графов, адаптированные под сетевые структуры. Предложены, сконструированы и обоснованы алгоритмы распознавания предфрактальных графов нового типа, порождённых множеством затравок с чередованием различных классов.

9 Найдена вычислительная трудоёмкость или «труднорешаемость» этих алгоритмов, во всех случаях она оказалась полиномиальной.

10 Разработана архитектура комплекса программ, состоящего из 23 блоков А-¥-, меняющего свой состав и функциональную структуру при вариациях в использовании алгоритмов функционирования программной системы в соответствии с предложенными в разных разделах диссертации моделями и методами. ¦ 1 .

Показать весь текст

Список литературы

  1. Albert R., BarabasiA. Statistical mechanics of complex networks // Reviews of Modern Physics. 2002. — № 74. — P. 47−97: .
  2. Barlow M. T. Diffusions on fractals / Lectures on probability theory and statistics.-Berlin: Springer Verlag, 1998/-121 p^ -.
  3. BolltE.M., ben-Avraham D. What is Special about Diffusion on Scale-Free Nets? // New Journal of Physics. 2005. — V. 7. — № 26. P. 1−21.4. Dorogovtsev S. N, Mendes J.F.F. Evolution of networks // Adv. Physics. —2002.-№ 51.-P. 1079−1187.
  4. DorogovtsevS.N.: Mendes J.F.F. Evolution of networks: From Biological Nets to the Internet and WWW. Oxford: Oxford University Press, 2003.
  5. Kigami J. Analysis on fractals / Volume l43 of Cambridge Tracts in Mathematics. — Cambridge: Cambridge University Press, 2001.
  6. Kochkarov A., Perepelitsa V. Fractal Graphs and Their Properties // Berlin:1 1GM 1998 — International Congress of"Mathematicians: Abstracts of Short Communications¦ and’Posters• -P. 347.. V, ' ' :
  7. KronB. Greenfunctions- on^seltsimilar gr^hsf^idiboimds for the spectrum of the Laplacian // Annales Institution Fourier (Grenoble). — 2002. 52(6). — P. 1875−1900. ' ¦li w'" ¦ • «
  8. Kron B. Growth of self-similar graphs // Journal of GraphTheory. 2004. -45(3) — P. 224−239: r v''
  9. Kron Bl, Teufl Ei 'Asymptoucs} of the» transition- probabilities of the simple random walk on self-similar graphs // Trato^tio^of^Ainerican- Mathematical Society. 2004-i- 356(1) — P- 393:-4l^^ -- - v ^
  10. Lib., AldersonD-, TanakaR., Doyle J.C., Willihger W. Towards a Theory of Scale-Free Graphs: Definition, Properties and Implications (Extended Version)//Technical ELeportCIT-CDS-04−006? Cal Tech- 2005.
  11. Malozemov L., Teplyaev A. Pure point spectrum of the Laplacians on fractalgraphs//Journal of Functional Analysis. 1995. — 129(2). — P. 390−405.
  12. RiehlJ., Hespanha J.P. Fractal graph optimization algorithms// Proceedings of the 44-th Conference on Decision and Control, 2005. P. 2188−2193.
  13. Schulman L.S., Gaveau B. Complex systems under stochastic dynamics // Att. Fond. G. Ronchi, 2003. Volume LVIII. — № 805.
  14. SongC., HavlinS., MakseH.A. Self-similarity of Complex Networks// Nature. 2005. — P. 433, 392−395.
  15. StrogatzS. Exploring complex networks// Nature. — 2001. № 410. — P. 268−276.
  16. Watts D.J. Small Worlds. — Princeton: Princeton University Press, 1999.
  17. Woess W. Random-wallcs-on-'infinite5graphs1 and groups/ Volume 138 of Cambridge Tracts in Mathematics. — Cambridge: Cambridge University Press, 2000. '
  18. M.B., Гаврипюк K.B., Есикова Н. Б., Кошелев В. Б., Лукшин А. В., Мухин С. И., Соснин Н. В., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П. Математическая" модель гемодинамики сердечно-сосудистой^ системы // Дифференциальные уравнения J 1997. — 33(7): — С. 892−898.
  19. М.В., Есикова Н. Б., Мухин С. И., Соснин Н. В., Тишкин В.Ф Фаворский А. П. Разностная схема решения задач гемодинамики на графе. Препринт. М.: Издательство Диалог-МГУ- 1998.
  20. Авондо-Бодино Дж. Применение в экономике теории графов. М.: Прогресс, 1966.
  21. М.О., Баранский В. А., Расин В. В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы. — Ижевск: Научно-исследовательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
  22. Т.С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. — М.: Наука, 1992.
  23. Р., Саати Т. Конечные графы и сети. — М.: Наука, 1974.
  24. ИЗ. Об одной многокритериальной задаче покрытия предфрак-тальных графов звёздами одного рангового типа // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. — 2002. Т. 8. — № 1. — С. 1—5.
  25. .П., Короновский A.A., Трубецков Д. И., Храмов А. Е. Путь в синергетику. Экскурс в десяти лекциях. М.: Издательство КомКнига, 2005. !1 1 1 '
  26. Л.Ю. Графы и их применение. М.: Просвещение, 1979.
  27. С.В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. — Ижевск: Научно-исследовательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
  28. Х.Ш., Кочкарова П.А, Казалиева Л. Х Теория упорядочения твёрдых растворов с учётом перколяционных факторов. М.: ВИНИТИ, 2003. Депонировано в ВИНИТИ 12.03.2003 г. — 11с.
  29. Х.Ш., Урусова П. А., Казалиева Л. Х. О предельной форме спектра масс в кинетической теории коагуляций: М.: ВИНИТИ, 2003. Депонировано в ВИНИТИ 12:03.2003г. — 6 с.
  30. Бурков В Н., Кузнецов H.A., Новиков Д. А: Механизмы управления в сетевых структурах // Автоматика и телемеханика. 2002. — № 12. — С. 96—115. '' уг.^лл
  31. A.A., Мишин С. П. Оптимальные иерархические структуры. М.: Институт проблем управления РАН, 2003. — 210 с.
  32. П., ПригоЫсин И. Термодинамическая теория: структуры устойчивости и флуктуаций. М.: Едиториал УРСС, 2003.
  33. Р. Теория графов. Новосибирск: Издательство Института математики СО РАН, 2002.
  34. В.А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. — М.: Наука, 1990.
  35. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999.
  36. A.A. Теория конечных графов. Том. 1. — Новосибирск: Наука, 1969.-.544с. '' ¦. ««', .
  37. Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы. М.: Мир, 1982. ¦ ¦ ¦ :.• ' :•"¦•/•
  38. E.H., Курдюмов С. П. Основания синергетики. Синергетическое мировидение. М.: Издательство КомКнига, 2005.
  39. Компьютеры и нелинейные явления. Ш: Наука^ 19 881
  40. Коркмазова 3.О., Кочкаров Al А- ¦ Эйлеровы предфрактальные графы // —. Таганрог: Известия -Таганрогского государственного радиотехнического унжерситетаСпеіщ^шШв™ '•
  41. Коркмазова 3.0. Многокритериальная задача разбиения на эйлеровые подграфы предфрактального графа. — Черкесск: Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, 2004. Депонировано в ВИНИТИ № 1729-В2004.-25 с. *
  42. Коркмазова 3.0. Параллельный алгоритм вычисления задачи Эйлера на предфрактальных графах. — Черкесск: Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, 2004. Депонировано в ВИНИТИ № 1730-В2004. 20 с.
  43. Коркмазова 3.0. Выделение максимальных эйлеровых подграфов на предфрактальном' графе. — Черкесск: Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, 2004. Депонировано в ВИНИТИ № 1731-В2004. -25 с.
  44. З.О., Кочкаров P.A. Многокритериальная задача покрытия предфрактального графа эйлеровыми подграфами. Препринт Специальной астрофизической обсерватории (CAO) РАН № 208. Нижний Ар-хыз: Издательство CAO РАН- 2005. — 15 с.
  45. З.О., Кочкаров P.A. Многокритериальная задача покрытия предфрактального графа эйлеровыми подграфами. Препринт Специальной астрофизической обсерватории (CAO) РАН № 209. Нижний Ар-хыз: Издательство CAO ФАН, 2005. — 27 с.
  46. A.A. Число’точек сочленения предфрактального графа // Материалы П-ой Международной конференции! «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». Нальчик: Издательство НИИ ПМиА КБНЦ РАН, 2001.
  47. Кочкаров, А А. Плоские и иланарные предфракталыiые графы // Материалы V-ro Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Кисловодск: Кисловодский институт экономики и права, 2002. G. 35.:. •.-.'.': .'.-'.¦
  48. A.A., Кочкаров Р! А. Предфрактальные графы в проектировании и анализе сложных структур. Препринт № 10: — М.: Издательство Института прикладной’математики имени МЛЗ. Келдыша РАН, 2003 .
  49. A.A., Кочкаров P.Ai О планарности и других топологических свойствах фрактальных графов. Препрйнт М 83- — М.: Издательство Института прикладной матёматики 'имени MiB- КелдышаРАН, 2003.
  50. Кочкаров A.A., XanaeeaJJ.X. Структурная организация сетевых систем: моделирование и методы исследования // Материалы Международной научной конференции «Проблемы регионального и муниципального управления». М.: РГТУ, 2009. — С. 237−239.
  51. A.A., Салпагарова А. Р., Хапаева JT.X. Стойкость технических систем: моделирование распространения внешних воздействий по структуре сложной системы // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2009. — № 5(94). — С. 228−234.
  52. A.A., Сомов Д. С., Хапаева JI.X. Исследование просачиваемо-сти сложных сетевых систем методами теории графов // Материалы Международной научной конференции «Проблемы регионального и муниципального управления». М.: РГТУ, 2010. — С. 29−32.
  53. A.M., Перепелица В. А., Сергеева JI.H. Фрактальные графы и их размерность. Черкесск: Карачаево-Черкесский государственный технологический институт, 1996. Депонировано в ВИНИТИ № 3284-В96. —34 с.
  54. A.M. Хроматическое число й хроматическийиндекс фрактальных графов // Материалы Республиганской конференции преподавателей и аспирантов КЧТИ- Черкесск: Издательство Карачаево-Черкесского технологического института, 1997. — С.56^
  55. A.M. Топологические характеристики теоретико-графовой модели крупномасштабной кластеризации . материи во Вселенной. Препринт Специальнойастрофизическойобсерватории (САО) РАН. Ниж-. ний Архыз: Издательство CAO РАН, 1998.- С. 1−6.
  56. A.M. Распознаваний фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз- Издательство Специальной астрофизической обсерватории (CAO) РАН, 1998. — 170 с. !. — :
  57. A.M., Перепелица BIA. Число внутренней устойчивости предфрак-тапьного и фрактального графа.1 Сборник статей. — Нижний Архыз: Издательство Специальной астрофизической обсерватории (CAO) РАН,' 1999.
  58. P.A., Салпагаров С. И. Полиномиальные быстрые алгоритмы нахождения остовного дерева минимального веса. — Черкесск: Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, 2002. Депонировано в ВИНИТИ, № 437-В2002. 75 с.
  59. P.A., Кочкарое A.A. Формализация целевых программ // Модели экономических' 'систем И' информационные технологии: Сборник научных трудов / Под редакцией О. В. Голосова. Выпуск ХП-ый. -М.: Финансовая академия, 2004.
  60. Н. Теория графов. Алгоритмический подход. — М.: Мир, 1978.-432 с.
  61. КулъбаВ.В., Назаретов В. М., ЧухровИ.П. Модифицированные функциональные графы как аппарат моделирования сложных динамических систем. Препринт ИПУ РАН. М.: Издательство Института проблем управления РАН, 1'995. '
  62. КулъбаВ.В., КононовД.А., Косяченко C.A., Шубин А. Н. Методы формирования сценариев развития социально-экономических систем. М.: СИНТЕГ, 2004. '
  63. КулъбаВ.В., Ковалевский С. С., Уткин В. А. и др. Управление и контроль реализации социально-экономических целевых программ. М.: Книжiный дом «Либриком», 2009.
  64. Л., Пламмер М. Прикладные задачи теории графов. Теория паро-сочетаний в математике, физике, химии. М.: Мир, 1998.1 V 1 5 «t ' ¦
  65. Лоскутов A JO., Михайлов A.C. Введение в синергетику. — М.: Наука, 1990: '
  66. Э. Алгоритмы оптимизации на графах и сетях. — М.: Мир, 1981.100 • Малашенко Ю. Е., Новикова II. М. Многокритериальный и максиминныйанализ многопродуктовых сетей. — М!: ВЦ АН СССР, 1988.
  67. МалинецкийГ.Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000.
  68. Г. Г., Курдюмов С. П. Нелинейная? динамика щ проблемы прогнозаУ/Вестник РАН- 2001. — Том 7К — № 3. — С. 210−224.
  69. Малинецкий Г. ГМатематические основы синёргетикш Хаос, структуры- вычислительный эксперимент. — М.: Издательство КомКнига, 2005:106? МстинецкийШ.Г., Потапов AlEi Нелинейная' динамиками хаос: Основные понятия- — М.: Шдательство КомКнига- 2006^
  70. Манделъброт Б. Фрактальная гёометрия природы.—М-: ИКИ- 2002.
  71. Мелихов А. И, Бернштейн Л. С., Курейчйк В. М. Применение графов для проектирования дйс^етных-устройств. М.: Наука, 1974. — 304 с.
  72. Дж. Иерархичёские фрактальные графы и блуждания на них // Фракталы в- физике/ Под редакцией Л Пъетронеро, Э: Тозатти. — М.:
  73. Млр, 1988. -с! 519523: — :'"'"'¦''¦. :v^V/ ^ /'
  74. .Г., Родин G.H: Графы и гены: — Mi: Наука- 1977.
  75. Новикова Н: М, Поспелова ШШ Многокритериальные задачи- принятия решений в условиях неопределённости.-. — М.: Вычислительный центр РАН, 2000-
  76. Д. А. Механизмы функционирования многоуровневых организационных систем. М.: Фонд «Проблемы управления», 1999. — 150 с.
  77. Д. А., Цветков A.B. Механизмы стимулирования в многоэлементных организационных системах. М.: Апостроф, 2000 — 184 с.
  78. ДА. Сетевые структуры и организационные системы. М.: Институт проблем управленияРАН, 2003. — 102 с.
  79. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968.
  80. ДА. Нахождение диаметральной простой цепи на фрактальном и предфрактальном графах // Материалы XVT-ой Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-16». Сборник трудов. СПб: Издательство СПбГТИ, 2004.
  81. Применение теории графов связи в технике / Под редакцией Д. Кернопа, Р. Розенберга. — М.: Мир, 1974.
  82. Применение теории графов в химии / Под редакцией Н. С. Зефирова, С. И. Кучанова. — Новосибирск: Наука, 1988.
  83. Райнике К, Ушаков H.A. Оценка надёжности систем с использованием графов. -М.: Радио и. связь, 1988.
  84. Режимы с обострением. Эволюция’идеи: законы коэволюции сложных структур. М.: Наука, 1998. '
  85. Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. — М.: Наука, 1986.
  86. A.B., Голендер А. Е. Логико-комбинаторные методы в конструировании лекарств. Рига: Зинатне, 1983.1
  87. С., Рид М.Б. Линейные графы и электрические цепи- М.: Высшая школа, 1971.. ! :129?
  88. Татт У Теория$графов1 — М!:^Мир--1988- - «'
  89. А. Ф., Працевйтый ШВ1. Фрактальные^ множества. Функции, «распределения. Киев: Наукова да «' -132' Уилсон Р: Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977. — 208 с.
  90. Е. Фракталы.'- М: Мир, 1991. •
  91. Фляйншнер У. Эйлеровыграфы и смежные вопросы, М.: Мир, 2002.
  92. Фракталы, в физике / Под редщлдеш Л Пъетро}1еро, Э. Тозатти. — М.: Мир, 1988.
  93. Хакен Г. Синергетика.—М: Мир- 1980? '
  94. Г. Информация и самоорганизация. М.: Мир, 1991.
  95. Г. Тайны приводы. Синергетика-.учение ©-¡-взаимодействии. Москва-Ижевск: Издательство Института компьютерных исследований, 2003.. '
  96. Таганрог: ИздательствомТаганрогского^ технологического института Южного федерального университета, 2011. С. 321−330.
  97. Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. — 302 с.143'. Химические приложения: топологии и теории ірафов / Под редакцией Р.
  98. Кинга.-М.: Мир, 1987.: • ' <�¦¦-.'¦•'
  99. АА ШредерМ. Фрактальц ха6с, -степенныё законь1. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: Научно-исследовательский центр «Регулярная и /хасїтинеская-данамш^
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?