Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

1. Многочлены Лежандра

2. Многочлены Чебышева

3. Преобразование Лапласа

4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке

4.1 Постановка задачи

4.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра

4.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода.

Заключение

преобразование смещенный многочлен исчисление

Математический анализ — раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и поверхностями (интегральное исчисление). Для задач математического анализа характерно, что их решение связано с понятием предела.

Начало математическому анализу положил в 1665 И. Ньютон и (около 1675) независимо от него Г. Лейбниц, хотя важную подготовительную работу провели И. Кеплер (1571−1630), Ф. Кавальери (1598−1647), П. Ферма (1601−1665), Дж. Валлис (1616−1703) и И. Барроу (1630−1677).

Операционное исчисление — раздел математики, занимающийся главным образом алгебраическими операциями, производимыми над символами операции (или преобразования).

Во многих задачах математического анализа рассматриваются ситуации, в которых каждая точка одного пространства ставится в соответствие некоторой точке другого (или того же) пространства. Пространства могут быть абстрактными, в которых «точки» в действительности являются функциями. Соответствие между двумя точками устанавливается с помощью преобразования или оператора. В задачу теории операторов входит подробное описание и классификация различных видов преобразований и их свойств, а также разработка символических методов, позволяющих минимизировать и упростить вычисления. Обычно теорию операторов применяют к пространствам, в которых допускается сложение или умножение точек, т. е. линейным пространствам, группам, кольцам, полям и т. д.

Операционное исчисление позволяет осуществить абстрактные постановки задач и обобщить такие разделы математического анализа, как теория дифференциальных и интегральных уравнений. Мощным стимулом для развития теории операторов стали современные проблемы квантовой теории. Наиболее полные результаты получены для дистрибутивных операторов в т.н. гильбертовом пространстве. Интерес к этой области во многом связан с представлением таких операторов интегральными преобразованиями.

В середине XIX века появился ряд сочинений, посвящённых так называемому символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования.

.

Среди сочинений по символическому исчислению следует отметить вышедшую в 1862 году в Киеве обстоятельную монографию русского математика М. Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений». В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.

В 1892 году появились работы английского учёного О. Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах.

В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил обратный оператор однозначно, полагая и считая f(u) = 0 для u < 0. Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач.

Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа и оператором дифференцирования если существует производная, для которой

существует и f(0) = 0, то

.

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразования задаются формулой

(1)

где функции называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства, при этом функция называется ядром интегрального преобразования.

Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:

(2)

Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего.

преобразование смещенный многочлен исчисление

1. Многочлены Лежандра

Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама Ї Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

(3)

часто записываемой в виде:

(4)

Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:

если ;

если .

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:

Первые многочлены Лежандра равны:

2. Многочлены Чебышева

Многочлены Чебышева — две последовательности многочленов T_n(x) и U_n(x), названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.

Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

Многочлен Чебышева первого рода T_n(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2^{n — 1}, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [? 1,1]. Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.

Многочлены Чебышева первого рода T_n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Многочлены Чебышева первого рода могут быть также определены с помощью равенства:

или, что почти эквивалентно, Несколько первых многочленов Чебышева первого рода Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:

Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом для многочленов первого рода и для многочленов второго рода).

Среди всех многочленов, значения которых на отрезке [? 1,1] не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышева имеет: наибольший старший коэффициент наибольшее значение в любой точке за пределами [? 1,1] если, то, где t_k — коэффициент многочлена Чебышева первого рода, a_k — коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.

Нули полиномов Чебышева являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.

3.

4. Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Интеграл Лапласа имеет вид:

(5)

где интегрирование производится по некоторому контуру L_в плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f (z), определенной на L, аналитическую функцию F (p) комплексного переменного p=s+it. Многие интегралы вида (5) были рассмотрены П. Лапласом.

В узком смысле под преобразованием Лапласа подразумевают одностороннее преобразование Лапласа

(6)

называемое так в отличие от двустороннего преобразования Лапласа

(7)

Преобразование Лапласа — частный вид интегральных преобразований;. преобразования вида (6) или (7) тесно связаны с Фурье преобразованием. Двустороннее преобразование Лапласа (7) можно рассматривать как преобразование Фурье функции, одностороннее преобразование Лапласа (6) — как преобразование Фурье функции j (t) равной при 0 < t <? и равной нулю при -? < t < 0.

Подынтегральная комплексная локально суммируемая функция f (t) называется функцией-оригиналом, или просто оригиналом; в приложениях часто удобно трактовать переменное t как время. Функция F (p)=L[f], (р) называется также преобразованием Лапласа оригинала f (t) или изображением по Лапласу. Интеграл (6) понимается, вообще говоря, как условно сходящийся на бесконечности.

Априори возможны три случая:

1) существует действительное число такое, что интеграл (6) сходится при, а при — расходится; это число у_с называется абсциссой (условной) сходимости;

2) интеграл (6) сходится при всех р, в этом случае полагают ;

3) интеграл (6) расходится при всех р, в этом случае полагают

Если, то интеграл (6) представляет однозначную аналитическую функцию F (p) в полуплоскости сходимости. Обычно ограничиваются рассмотрением абсолютно сходящихся интегралов (6). Точная нижняя грань тех s, для которых существует интеграл, называется абсциссой абсолютной сходимости

Если, а — есть нижняя грань тех s, для которых число, а иногда называют показателем роста оригинала f (t).

При некоторых дополнительных условиях оригинал f (t) однозначно восстанавливается по своему F (p). Например, если f (t) имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t₀ или если f (t) кусочногладкая, то имеет место формула обращения преобразования Лапласа:

(8)

Формулы (6) и (8) позволяют получить ряд соотношений между операциями, производимыми над оригиналами и изображениями, а также таблицу изображений для часто встречающихся оригиналов. Все это составляет элементарную часть операционного исчисления.

В математической физике важные применения находит многомерное преобразование Лапласа:

(9)

где t = (t₁, …, t_n)

— точка re-мерного евклидова пространства

Rⁿ, p = (p₁, …, p_n) = у + iф = (у₁, …, у_n) + (ф₁, …, ф_n)

— точка комплексного пространства

Cⁿ, n?1, (p,t) = (у,t)+i(ф,t) = p₁t₁ + … +p_nt_n

— скалярное произведение, dt = dt₁…dt_n — элемент объема в Rⁿ. Комплексная функция f (t) в (9) определена и локально суммируема в области интегрирования

— положительном координатном угле пространства Rⁿ. Если функция f (t) ограничена в C^*, то интеграл (9) существует во всех точках удовлетворяющих условию Re(p,t)>0,, которое определяет снова положительный координатный угол Интеграл (9) определяет голоморфную функцию комплексных переменных p = (p₁ , — p_n) в трубчатой области пространства с основанием S. В более общем случае в качестве области интегрирования в (9) и основания Sтрубчатой области можно взять любую пару сопряженных замкнутых выпуклых острых конусов в пространстве с вершиной в начале координат. При n=1 формула (9) переходит в (6), причем — положительная полуось и — правая полуплоскость. Преобразование Лапласа (9) определено и голоморфно и для функций f (t) гораздо более широких классов. Элементарные свойства преобразования Лапласа с соответствующими изменениями остаются справедливыми и для многомерного случая.

Численное преобразование Лапласа — численное выполнение преобразования (6), переводящего оригинал f(t), 0<t в изображение F (p),, а также численное обращение преобразования Лапласа, т. е. численное нахождение f (t) из интегрального уравнения (6) либо по формуле обращения (8).

Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.

Проблема обращения преобразования Лапласа, как задача отыскания решения f (x) интегрального уравнения первого рода (6), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регуляризирующего алгоритма.

Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F (p) функции в(t)f(t):

где f (t) — искомая функция, а в (t) — неотрицательная, интегрируемая на [0,?) функция. Предполагается, что функция f (t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L₂(в (t), 0, ?).По изображению F (р).функции в (t), f (t), функция f (t) строится в виде ряда по смещенным многочленам Якоби, в частности по смещенным многочленам Лежандра, Чебышева первого и второго рода, коэффициенты которого a_k вычисляются по формуле.

где — коэффициенты смещенного многочлена Лежандра, Чебышева первого и второго рода соответственно, записанных в виде

Другим приемом численного обращения преобразования Лапласа является построение квадратурных формул для интеграла обращения (8).

4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке

4.1 Постановка задачи

Задачу преобразования Лапласа можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра и Якоби. Эта задача, которая в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работах многих авторов.

Рассмотрим постановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В. М. Амербаева и в книге В. А. Диткина и А. П. Прудникова.

Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции в(t)f(t):

(10)

Где f (t) - искомая функция, а в (t) — неотрицательная, абсолютно интегрируемая на [0,?) функция. Предположим, что функция f (t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L₂(в (t), 0, ?):

(11)

Требуется по изображению F (р) функции в (t)f (t), построить функцию f (t).

В интеграле (10) введем замену переменной x=e^-t; тогда он приведется к виду

(12)

где В силу условий, которые наложены на функции f (t) и в (t), интеграл (12) сходится всюду в плоскости Re p?, 0, поэтому переменной р можно придать значения 0, 1, 2, … и получить «взвешенные моменты» функции

(13)

После этого решаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию по ее «взвешенным моментам», или, что тоже самое, найти функцию f (t) по значениям изображения функции в (t)f (t) в целочисленных точках p = k (k = 0, 1, 2, …). В частном случае эту задачу можно упростить и по первым п + 1 «взвешенным моментам» искать многочлен, такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с заданными моментами функции, то есть чтобы выполнялись равенства

(14)

4.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра

Рассмотрим частный случай весовой функции

(15)

или .

Многочленами, ортогональными на отрезке [0,1] с весом, будут смещены многочлены Лежандра

Они задаются формулой

при

или же формулой

Величина r_n в этом случае равна и разложение функции f (t) по смещенным многочленам Лежандра имеет вид

(16)

Величины б_k вычисляются по формуле

(17)

в которой — коэффициенты смещенного многочлена Лежандра

4.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода.

Положим теперь Весовая функция имеет вид

и

Смещенные многочлены Чебышева первого рода являются ортогональной системой на [0,1] по весу

Многочлены Якоби отличаются от только численным множителем, а именно

где Многочлены имеют вид Значения r_n вычисляются по формулам

а разложение функции f (t) по смещенным многочленам Чебышева первого рода имеет вид

(18)

Коэффициенты a_k (k=0, 1, …) вычисляются по формуле (17), в которой — коэффициенты смещенного многочлена Чебышева первого рода .

В вычислениях удобнее пользоваться тригонометрической записью многочленов, а именно:

Сделав замену переменной 2x — 1 = cosи (0?и?р) и учитывая, что разложение (18) можно переписать в виде:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований.

Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики.

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

Интеграл Лапласа имеет вид:

где интегрирование производится по некоторому контуру L_в плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f (z), определенной на L, аналитическую функцию F (p) комплексного переменного p=s+it.

Численное преобразование Лапласа — численное выполнение преобразования

переводящего оригинал f(t), 0<t в изображение F (p),, а также численное обращение преобразования Лапласа.

Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.

Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F (p) функции в(t)f(t):

где f (t) — искомая функция, а в (t) — неотрицательная, интегрируемая на [0,?) функция.

1. Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.

2. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.

3. Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.

4. Крылов В. И., Скобля Н. С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1974. — 226 с.