Категории Фукаи, модели Ландау-Гинзбурга и гомологическая зеркальная симметрия

Гомологическая зеркальная симметрия — это гипотетическая категорная интерпретация зеркальной симметрии, предложенная М. Концевичем [Ко1]. Подход состоит в том, чтобы связать с симплектической и алгебраической стороной некоторые триангулированные категории (с А^ -оснащением), и затем доказать эквивалентность этих категорий.

Изначально, она была предложена Концевичем [Ко1] для многообразий Калаби-Яу. Пусть X — проективное алгебраическое многообразие Калаби-Яу, а X — зеркально симметричное симплектическое многообразие. Тогда с многообразием X можно связать производную категорию когерентных пучков Оь (Х). Замечательная конструкция К. Фукай р] связывает с симплектическим многообразием X (Ъ или Ъ/2)градуированную Лоокатегорию. Ее объекты — это Лагранжевы подмногообразия с некоторыми дополнительными структурами. В этом случае гипотеза утверждает эквивалентность.

Оь (Х) ^ Ож (Т (Х)), (0.1.1) где D~{!F (X)) — категория совершенных комплексов над Д" -категорией J-(X). В такой формулировке она была доказана в некоторых частных случаях [AS, PZ, Se3].

Вскоре, был предложен аналог этой гипотезы для многообразий Фано. В этом случае зеркалом является модель Ландау-Гинзбурга — гладкое алгебраическое многообразие с регулярной функцией. Частные случаи гипотезы были доказаны в работах [АК01], [АК02]. Более общо, ожидается, что можно также рассматривать многообразия с эффективным анти-каноническим дивизором [Аи].

Кацарков [Ka, ККР, KKOY] предложил обобщение гомологической зеркальной симметрии, которое включает некоторые многообразия общего типа. Зеркалом к такому многообразию является модель Ландау-Гинзбурга. Одно направление гипотезы Кацаркова было доказано Зайделем для кривой рода 2 [Sel].

Строго говоря, если М — это симплектическое многообразие, то JF (M) — это не настоящая А^- категория, так как пространства морфизмов определены только для трансверсальных пар лагранжевых подмногообразий, а высшие умножения определены только для трансверсальных последовательностей лагранжевых подмногообразий. На самом деле, Т (М) — это А-пред-категория в смысле Копцевича и Сойбельмана [KS]. Различные версии и аспекты А00- пред-категорий Фукай систематически изложены в книге [Se2].

Для того, чтобы доказать гипотезу о гомологической зеркальной симметрии в некоторых частных случаях, следует сначала заменить пред-категорию.

Фукай на квази-эквивалентную настоящую Лоокатегрию. Ясно, что каждая Aqoкатегория (со слабыми тождественными морфизмами) может рассматриваться также как А^- пред-категория. Концевич и Сойбельман [KS] сформулировали следующую естественную гипотезу.

Гипотеза 0.1.1. ([KS])Ilycmb к — градуированное коммутативное кольцо. Тогда классы квази-эквивалентности А^- пред-категорий над к находятся в биекции с классами квази-эквивалентности А^- категриий над к с сильными (или слабыми) тождественными морфизмами.

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом.

• Доказательство гипотезы Концевича и Сойбельмана о биекции между классами эквивалентности существенно малых A-бесконечность пред-категорий над полем, и классами квази-эквивалентности существенно малых А-бесконечность категорий со слабыми (или сильными) тождественными морфизмами.

• Построение А^- пред-категорий скрученных комплексов для Л", — пред-категорий. Доказательство инвариантности этой конструкции относительно квази-эквивалентностей.

• Доказательство гомологической зеркальной симметрии для кривых рода д > 3, рассматриваемых как симплектические многообразия.

• Доказательство теоремы о восстановлении для гиперповерхностных особенностей: формальный тип особенности (т.е. многочлен с точностью до формальной замены переменных) восстанавливается по классу квази-изоморфизма БС алгебры эндоморфизмов структурного пучка особой точки в триангулированной категории особенностей.

Теперь опишем содержание и структуру диссертации.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, кратко рассмотрена история задач и их современное состояние, сформулированы основные результаты и описано содержание работы.

В первой главе вводятся основные понятия и формулируются факты, которые будут использоваться в диссертации.

Первый параграф посвящен предварительным сведениям об А^ -(пред)-категориях. Мы определяем категории, сильные и слабые тождественные мор-физмы, квази-эквивалентности, и пред-категории, следуя [КБ].

Второй параграф посвящен теории Муавра-Картана. Мы напоминаем уравнение Муавра-Картана, про-нильпотентные БС алгебры Ли, действие калибровочной группы на решениях уравнения Муавра-Картана в про-нильпотентных Б О алгебрах Ли. Сформулирован важный результат об инвариантности множества классов эквивалентности решений уравнения Муавра-Картана относительно фильтрованных Ьооквази-изоморфизмов про-нильпотентных БС алгебр Ли. Также теория Муавра-Картана проиллюстрирована на примере описания минимальных А-структур на градуированной ассоциативной алгебре.

В третьем параграфе мы напоминаем теорему формальности Концевича в нужной нам формулировке. В частности, мы напоминаем Бв алгебры Ли поливекторных полей и коцепей Хохшильда.

Вторая глава посвящена доказательству гипотезы Концевича-Сойбельмана, а также конструкции скрученных комплексов для А^ -категорий.

В первом параграфе мы доказываем следующую теорему.

Теорема 0.1.2. Пусть к — поле. Тогда классы квази-эквивалентностпи существенно малых Дх, — пред-категорий над к находятся в биекции с классами квазиэквивалентности существенно малых А^, — категрий над к с сильными (или слабыми) тождественными морфизмами.

Мы ограничиваемся Аоо- (пред-)категориями над полем, так как нам потребуется переходить к минимальным А^- (пред-)категориям (т.е. с гп = 0). Далее, мы ограничиваемся существенно малыми Асо- (пред-) категориями по чисто теоретико-множественной причине: нам потребуется иметь дело с когомологиями Хохшильда градуированных (пред-)категорий.

Доказательство устроено следующим образом. Вначале мы переходим от существенно малых Лоо- (пред-)категорий к малым. Далее, мы переходим от малых к малым минимальным (пред-)категориям.

Затем, мы вводим когомологии Хохшильда для градуированных пред-категорий. Грубо говоря, препятствия к построению Д" — структур и А^- морфизмов лежат в этих пространствах когомологий.

Далее, мы формулируем и доказываем основную лемму (лемма 2.1.4) об инвариантности когомологий Хохшильда относительно квази-эквивалентностей градуированных категорий. Это утверждение нетривиально в отличие от случал обычных и А^- категорий, и является, фактически, ключевым местом в доказательстве теоремы 0.1.2. Здесь мы используем язык локальных систем на симплициальных множествах.

Затем, мы вводим множества классов эквивалентности минимальных А^- структур на градуированных пред-категориях, и развиваем простую теорию препятствий для поднятия А^- структур и А^- гомотопий. После этого мы применяем основную лемму, чтобы доказать инвариантность множества классов эквивалентности минимальных Аооструктур на градуированных пред-категориях. В итоге, мы доказываем теорему 0.1.2, используя результат об инвариантности.

Второй параграф посвящен конструкции пред-триангулированной оболочки для А0опред-категорий над произвольным градуированным коммутативным кольцом. Определение в целом аналогично случаю А^ -категорий. Мы проверяем, что эта конструкция корректно определена и инвариантна относительно квази-эквивалентностей. Для этого вводится группоид Муавра-Картана для нильпотент-ных Аооалгебр, строится теория препятствий, и доказывается теорема о его инвариантности относительно фильтрованныхквази-изоморфизмов. В случае обычных Леокатегорий, мы получаем стандартные пред-триангулированные оболочки, введенные в [ВК] для DG категорий, и обобщенные на случай А^ -категорий в [Ко1].

Вторая глава посвящена в основном доказательству гомологической зеркальной симметрии для кривых рода д > 3, рассматриваемых как симплектические многообразия. Также доказана теорема о восстановлении для гиперповерхностных изолированных особенностей.

Мы воспринимаем кривые рода д > 2 как симплектические многообразия, и связываем с ними категории Фукай. Далее, модели Ландау-Гинзбурга рассматриваются алгебро-геометрически. Ассоциированные с ними категории — это категории особенностей особых слоев [Ог1].

Пусть М — симплектическая компактная ориентированная поверхность рода д > 3. Зеркально симметричная модель Ландау-Гинзбурга (LG для краткости) W: X —у С имеет размерность три. Единственный особый слой Н := Xq С X является объединением (д + 1) неприводимых компонент, имеющих простые нормальные пересечения.

Мы обозначаем через F (M) А^ -категорию Фукай поверхности М, и через D~(F (M)) категорию совершенных комплексов над Т (М). Далее, пусть Dsg (H) — категория особенностей поверхности Н, и обозначим через Dsg (H) ее карубиеву оболочку. Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 0.1.3. Триангулированные категории Dn (F (M)) и D3g (H) эквивалентны.

Первый параграф посвящен техническому результату о решениях уравнения Муавра-Картана в (модифицированной) DG алгебре Ли поливекторных полей. Доказано, что если элемент Муавра-Картана удовлетворяет некоторому условию, то этим условием он определен однозначно с точностью до эквивалентности.

Второй параграф посвящен похожему техническому результату для БС алгебры Ли коцепей Хохшильда внешней алгебры. Здесь используется результат предыдущего параграфа и теорема формальности Концевича. Класс решений Муавра-Картана, о котором идет речь в этом параграфе, затем возникает из Л^ -структур на обеих сторонах зеркальной симметрии.

Третий параграф посвящен напоминанию теоремы Орлова об эквивалентности между гомотопической категорией матричных факторизаций и триангулированной категорией особенностей. Здесь также формулируется результат о порождении категории изолированной особенности структурным пучком особой точки, и, как следствие, описание карубиевой оболочки категории изолированной особенности как категории совершенных комплексов над соответствующей Б (Ж/2) -С алгеброй.

Четвертый параграф посвящен более детальному описанию Б (й/2) -С алгебры из предыдущего параграфа. Здесь мы описываем А^ -структуру на ее когомоло-гиях (которые отождествляются с внешней алгеброй) в терминах суммирований по деревьям, и доказываем, что в интересующем нас случае, мы получаем в точности ТУА-ооструктуру, о которой шла речь во втором параграфе.

Пятый параграф посвящен следующей теореме о восстановлении.

Теорема 0.1.4. Пусть к — поле характеристики 0, п > 1, и V = к". Пусть а.

ТУ = ]С ^ € к[Уу] — ненулевой многочлен, где У/г Е Бут1 (У4'). Тогда У мо-?=з жет быть восстановлен, с точностью до формальной. замены переменных, по классу квази-изоморфизма {Ъ/2)~ (? алгебры Ву/ = КНогпд, з (1у-1(о))(С?(ь Оо), т. е. Б (2/2) — С алгебры эндоморфизмов Оо в 2Эзэ (И¹(0)), вместе с отождествлением Н'(Ву) — Л (У). Кроме того, формальная замена переменных имеет вид.

Г- ^ г- + 0(22). (0.1.2).

В доказательстве используется теорема формальности Концевича и результат об инвариантности множества классов эквивалентности решений Муавра-Картана.

В шестом параграфе мы описываем две разные модели Ландау-Гинзбурга, которые обе являются зеркально симметричными к кривой рода д > 2, и получаем результат об эквивалентности ассоциированных категорий (как следствие производного соответствия Маккея). Это, вместе с результатами четвертого параграфа, дает описание (карубиевой оболочки) категории особенностей из теоремы 0.1.3.

Седьмой параграф посвящен целиком категориям Фукай кривых рода > 2. Сначала мы даем необходимые определения. Затем, мы формулируем достаточное условие для того, чтобы несколько объектов порождали другой объект, а также для того, чтобы они порождали всю категорию ?>7Г^Г (М). Затем, мы вводим дополнительные Zградуировки на Z/2 -градуированной Аоокатегории Т (М), так что высшие умножения имеют однородные компоненты только степеней определенного вида. Наконец, мы вводим А^ -алгебру эндоморфизмов вложенной кривой на факторе римановой поверхности по действию конечной группы. Этот формализм оказывается полезен при вычислении нужной нам А^ -структуры в А^ -категории Фукай кривой рода д> 2.

Восьмой параграф посвящен описанию категории Фукай кривой, которое получается в итоге точно таким же, как и для категории особенностей шестом параграфе. А именно, мы выбираем в качестве генератора в DTrJr (M) прямую сумму (2д + 1) объектов. Они лежат в одной орбите некоторого действия группы Z/(2д +1) на римановой поверхности. Вычисление сводится к фактор-орбиобразию с помощью формализма из предыдущего параграфа. Фактически, вычисление является комбинаторным, в стиле [АЬ]. В результате, мы получаем снова ту же самую Л", -структуру, что и в четвертом параграфе, а значит, и то же самое описание категории. Отсюда следует основная теорема второй главы.

В Аппендиксе доказывается технический результат, сформулированный в первой главе: фильтрованный L& -квази-изоморфизм про-нильпотентных DG алгебр Ли индуцирует биекцию на классах эквивалентности решений Муавра-Картана.