Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики
1 Функциональные ряды Членами являются функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х: U1(x)+U2(x)+…+Un (x)+… Придавая х какое-либо значение х0 из области определения функций Un (x), получим числовой ряд U1(x0)+ U2(x0)+…+ Un (x0)+… Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка х0 называется точкой сходимости функционального ряда. Если при х=х0 ряд расходится… Читать ещё >
Ответы на экзаменационные билеты по высшей математики (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
№ 1 Функциональные ряды Членами являются функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х: U1(x)+U2(x)+…+Un(x)+… Придавая х какое-либо значение х0 из области определения функций Un(x), получим числовой ряд U1(x0)+ U2(x0)+…+ Un(x0)+… Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка х0 называется точкой сходимости функционального ряда. Если при х=х0 ряд расходится, то точка х0 называется точкой расходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью его сходимости.
Функциональный ряд называется правильно сходящимся на сегменте [a, b], если существует такой знакоположительный сходящийся ряд b1+ b2 +…+ bn +…, что абсолютные величины членов данного ряда для любого значения х, принадлежащего сегменту [a, b], не превосходят соответствующих членов знакоположительного ряда, т. е. |Un(x)| ? bn (n=1, 2, …)
№ 2 Неопределенный интеграл и его свойства Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти F (x), зная ее производную f (x).
Функция F (x) называется первообразной, если выполняется равенство F'(x)=f (x).
Если F (x) одна из первообразных функции f (x), то любая первообразная функции f (x) на этом промежутке имеет вид F (x)+C, где С€R.
Множество всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом Свойства:
— неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности;
— постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
№ 3 Асимптоты Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к 0 при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.
Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.
Прямая х=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f (x), если lim f (x)=? ,
x>0±a
Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде y=Rx+b
R = lim (y/x); b = lim (y — Rx)
x>0 x>0
Если y = b, то это уравнение горизонтальной асимптоты.
№ 4 Экстремум функции (для одной переменной) Если функция f (x) дифференцируема на интервале (a;b) и f'(x)>0 (f'(x)<0), то f (x) возрастает (убывает) на этом промежутке. Точка х0 называется точкой максимума функции f (x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х, не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f (x) < f (х0), где х0 — точка максимума. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом.
Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция f (x) имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна 0.
Достаточное условие экстремума: если производная меняет знак на минус, то х0 — точка максимума; если с минуса на плюс, то точка х0 — точка минимума.
№ 5 Производная. Ее геометрический и физический смысл.
Физический: производной функции y=f (x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции? y в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента? х при произвольном стремлении? х к 0.
Геометрический: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 равен значению производной этой функции в точке х0.
№ 6 Замечательные пределы
lim (1+1/x)^x=e; lim (1+x)^1/x=e (e — экспонент)
x>? x>0
№ 7 Точки разрыва функции, классификация Точка х0 называется точкой разрыва функции y=f (x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности. В этом случае говорят, что при х = х0 функция разрывна. Это может произойти, если в точке х0 функция не определена, или не существует предел функции при х > х0, или, если предел функции существует, но не равен значению функции в точке х0: lim f (x)? f (х0). Точку х0 называют точкой разрыва первого рода,
x>x0
если существуют конечные односторонние пределы f (x0−0)=lim f (x) и f (x0+0)=lim f (x), но f (x0−0)?f (x0+0). x>x0-0 x>x0+0
Точку х0 называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов f (x0−0) и f (x0+0) не существует (в частности, бесконечен).
№ 8 Непрерывность функции на отрезке Функция y=f (x) называется непрерывной, если:
— функция определена в точке х0 и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;
— функция имеет предел при x>x0,
— предел функции при x>x0 равен значению функции в точке x0: lim f (x) = f (х0)
x>x0
Если в точке х0 функция непрерывна, то точка х0 называется точкой непрерывности данной функции. Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке х0 справа или слева (т.е. одностороннюю непрерывность). Пусть функция y=f (x) определена в точке х0. Если lim f (x) = f (х0), то говорят, что функция y=f (x) непрерывна в точке x0 справа; если lim f (x) = f (х0),
x>x0+0 x>x0-0
то функция называется непрерывной в точке x0 слева.
№ 9 Предел функции по Гейне Число, А называется пределом функции f (x) в точке x0 если для любой последовательности { xn} сходящейся к x0, последовательность F ({ xn}) соответствующих значений функции сходится к А:
lim f (x) =A
x>x0
№ 10 Предел функции по Коши Число, А называется пределом функции f (x) в точке x0 если для любого сколь угодно малого числа E>0 (эпселон больше 0) найдется такое число ?>0 (дельта больше 0), что для всех х таких, что | x-x0|< ?, x? x0 выполняется неравенство |f (x)-A|
№ 11 Предел числовой последовательности Число, а называется пределом последовательности xn, если для любого положительного E>0 найдется такое число n, где nn-a|n = a
n>?
Если последовательность имеет предел, равный а, то она сходится к а. Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Операции над пределами последовательностей:
Пусть lim xn = a; lim уn = b, тогда
n>? n>?
— lim (xn± уn) = a±b;
n>?
— lim (xn* уn) = a*b;
n>?
— lim (c* xn) = c*a;
n>?
— lim (xn)^R = (lim xn)^R=a^R;
n>?
— lim (xn)^1/R = a1/R;
n>?
— lim a = a.
n>?
Бесконечно большие последовательности:
— lim xn= ±?;
n>?
Правила вычисления пределов ЧП:
— lim xn= а; lim yn= ±?, тогда lim xn/ lim yn = а/±?=0;
n>? n>? n>? n>?
— lim xn= 0; lim yn= ±?, тогда lim yn=0, lim (xn/ yn)= ±?
n>0 n>? n>? n>?
№ 12 Общее уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Если точки М0 (x0; y0; z0), М1 (x1; y1; z1), М2 (x2; y2; z2) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением
x — x0 y — y0 z — z0
x1 — x0 y1 — y0 z1 — z0 = 0
x2 — x0 y2 — y0 z2 — z0
№ 14 Уравнение прямой в пространстве (общее и каноническое).
Прямая L, проходящая через точку М0 (x0; y0; z0) и имеющая направляющий вектор a {l,m,n}, представляется уравнениями x — x0 y — y0 z — z0
= = ,
l m n
выражающими коллинеарность векторов a {l,m,n} и М0М { x - x0 , y - y0 , z - z0 }. Они называются каноническими.
№ 15 Уравнение прямой на плоскости.
Ax + By + C = 0, где А, В, С — постоянные коэффициенты.
Заметим, что n (А; В) — нормальный вектор (n + прямой).
Частные случаи этого уравнения:
— Ах + By = 0 (C=0) — прямая проходит через начало координат;
— Ах + С = 0 (В=0) — прямая параллельна оси Оу;
— Ву + С = 0 (А=0) — прямая параллельна оси Ох;
— Ах = 0 — прямая совпадает с осью Оу;
— Ву = 0 — прямая совпадает с осью Ох.
№ 16 Векторы. Операции над векторами.
Вектор — направленный отрезок прямой.
I. Правила треугольника. Правила параллелограмма. II. Разность векторов. Параллелограмма.
а b, а b, а a c
а b a + b = c
a b b, а Равенство векторов:
Два (ненулевых) вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.
Сложение векторов:
Суммой векторов называется третий вектор Сумма нескольких векторов: Суммой векторов а1, а2, а3, …, аn называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а1 прибавляется вектор а2, к полученному прибавляется вектор а3 и т. д.
Коллинеарность векторов:
Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Скалярное произведение:
Скалярным произведением вектора, а на вектор b называется произведение их модулей на косинус угла между ними Угол между векторами:
cos (a^b)=(a*b)/(|a|*|b|)=(x1x2+y1y2+z1z2)/((x12+y12+z12)*(x22+y22+z22))^½
№ 17 Система линейных уравнений. Формулы Крамера.
x = ?1/?; x2 = ?2/?; … xn = ?n/?
№ 18 Система линейных уравнений. Метод Гауса.
Системой линейных уравнений, содержащей m-уравнений и n-неизвестных, называется система вида а11×1 + а12×2 + а13×3+…+аnxn = b1;
{ а21×1 + а22×2 + а23×3+…+аnxn = b2; }, где аij — коэффициенты системы, bi — свободные
am1x1 + am2x2 + am3x3+…+amnxn = bm члены
№ 19 Обратная матрица. Ранг матрицы.
Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А* А-1 = А-1*А = Е Всякая невырожденная матрица (т.е. ??0) имеет обратную.
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
1. вычисляем определитель, составленный по данной матрице;
2. находим матрицу АТ, транспонированную к А;
3. составляем союзную матрицу (А*);
4. вычисляем обратную матрицу по формуле А-1 = А*/?А = 1/?А* ()
Ранг м-цы:
Минором R-го порядка произвольной м-цы, А называется определитель, составленный из элементов м-цы, расположенных на пересечении каких-либо R-строк и R-столбцов.
Рангом м-цы, А называется наибольший из порядков ее миноров, неравных 0.
Базисным минором называется любое из миноров м-цы А, порядок которого равен рангу А.
При элементарных преобразованиях ранг м-цы не изменяется.
Ранг ступенчатой м-цы равен количеству ее не нулевых строк.
Свойства:
— при транспонировании м-цы ее ранг не меняется;
— если вычеркнуть из м-цы нулевой ряд, то ранг не изменится.
№ 20 Матрицы. Операции над матрицами.
Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк и n-столбцов. Числа, составляющие м-цу, называются элементами м-цы.
Две м-цы, А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно.
Виды: м-ца-строка; м-ца-столбец.
М-ца называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.
Квадратная м-ца, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0, называется диагональной.
Если у диагональной м-цы n-го порядка все элеметы главной диагонали равны 1, то м-ца называется единичной n-го порядка и обозначается Е.
Если все элементы м-цы равны 0, то она называется нулевой.
Операции над матрицами:
Умножение м-цы на число. Произведением м-цы, А на число? называется матрица В= ?*А, элементы которой bij = ?* aij (i=1,…, m, j=1,…, n)
Сложение м-ц. Суммой двух м-ц, А и В одинакового размера m на n называется м-ца С=А+В, элементы которой Сij=aij+bij.
Аналогично находится разность.
Умножение м-ц. Умножение м-цы, А на м-цу В возможно когда число столбцов первой м-цы равно числу строк второй. Тогда произведением м-цы, А и В называется м-ца С, каждый элемент которой находится по формуле
Сij=ai1*b1j+ai2*b2j+…+aiR*bR = ?ais*bsj
Возведение в степень.
А2=A*A
Транспонирование м-цы — переход от м-цы, А к м-це АТ, в которой строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка.
№ 21 Определители n-го порядка. Свойства определителей.
Квадратной м-це, А порядка n можно сопоставить число дельта А (|А|, ?), которое называется определителем, если:
— n=1, A=(a1), ?A=a1;
— n=2, A=, ?= =a11a22-a12a21;
— n=3, A=; ?A=
Свойства определителей:
1. Если у определителя какая-л строка (столбец) состоит только из нулей, то ?=0;
2. Если какие-л две строки (столбца) определителя пропорциональны, то ?=0;
3. Если какую-л строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определитель умножится на это число;
4. Если две строки (столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак;
5. Если к какой-л строке (столбцу) определителя прибавить какую-л другую строку (столбец), умноженное на произвольное число, то определитель не изменится;
6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
№ 22 Признаки сравнения положительных рядов.
Для исследования сходимости данного положительного ряда U0+U1+U2+… его часто сравнивают с другим положительным рядом V0+V1+V2+…, о котором известно, что он сходится или расходится.
Если ряд 2 сходится и сумма его равна V, а члены данного ряда не превосходят соответствующих членов ряда 2, то данный ряд сходится, и сумма его не превосходит V. При этом остаток данного ряда не превосходит остатка ряда 2.
Если ряд 2 расходится, а члены данного ряда не меньше соответствующих членов ряда 2, то данный ряд расходится.
№ 23 Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда Признак Даламбера:
Пусть в положительном ряде U1+U2+…+Un+… отношение Un+1/Un последующего члена к предыдущему при n>? имеет предел q. Возможны три случая:
q<1 -ряд сходится; q>1 — ряд расходится; q=1 — ряд может сходиться, а может и расходиться.
№ 24 Производные обратных тригонометрических функций.
I. d arcsin x = dx/(1-x2)^½, d/dx arcsin x = 1/(1-x2)^½
II. d arccos x = - dx/(1-x2)^½, d/dx arccos x= - 1/(1-x2)^½
III. d arctg x = dx/(1+x2), d/dx arctg x = 1/(1+x2)
IV. d arcctg x = - dx/(1+x2), d/dx arcctg x = - 1/(1+x2)
№ 25 Дифференцирование функций, заданных неявно.
Пусть уравнение, связывающее x и y и удовлетворяющееся значениями x=x0 и y=y0, определяет y как неявную функцию от x. Для разыскания производной dy/dx в точке x=x0, y=y0 нет нужды искать явное выражение функции. Достаточно приравнять дифференциалы обеих частей уравнения и из полученного равенства найти отношение dy к dx.
№ 26 Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Предположим, что функция y от х задана параметрически уравнениями x=x (t), y=y (t), причем в некоторой области изменения параметра t функции x (t) и y (t) дифференцируемы и x'(t)?0.
Найдем производную у'x. Как мы знаем у'x = dy/dx. Так как dx = x'(t)dt, dy = y'(t)dt, то
y'x = dy/dx = y'(t)dt/x'(t)dt = y'(t)/x'(t) = y’t/x't.
Таким образом, dy/dx = y’t/x't. Эта формула позволяет находить производную функции, заданной параметрически.
№ 28 Дифференциал функции.
Пусть приращение функции y=f (x) разбито на сумму двух членов: ?y = A? x+?, где, А не зависит от? x (т.е. постоянно при данном значении аргумента x) и? имеет высший порядок относительно? x (при ?x > 0).
Тогда первый член, пропорциональный? x, называется дифференциалом функции f (x) и обозначается dy или df (x).
№ 29 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнение вида X1Y1dx +X2Y2dy = 0, где функции X1 и X2 зависят только от x (одна из них или обе могут быть постоянными; то же для функций Y1, Y2), а функции Y1, Y2 — только от y, приводится к виду ydx — xdy = 0 делением на Y1X2. Процесс произведения называется разделением переменных.
№ 30 Площадь криволинейной трапеции.
Фигура, ограниченная прямыми y=P; x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на [a, b] функции f (x), называется криволинейной трапецией. Площадь криволинейной трапеции
равна
?f (x)dx; ?f (x)dx — ?g (x)dx
№ 31 Дифференциальные однородные уравнения первого порядка.
ДУ первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде y' = g (y/x).
Однородное ДУ преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены z=y/x; y=z*x, то y'=z'x+z, поэтому уравнение y'=g (y/x) преобразуем к виду z’x+z=g (z); dz*x/dx=g (z)-z; dz (g (z)-z)=dx/x.
Найдя его общее решение следует заметить в нем z на y/x.
Однородное ДУ часто задается в дифференциальной форме: P (x;y)dx+Q (x;y)dy=0.
ДУ будет однородным, если P (x;y) и Q (x;y) — однородные функции одинакового порядка.
Переписав уравнение в виде dy/dx=-P (x;y)/Q (x;y) и переменив в правой части рассмотренное выше преобразование получим уравнение y'=g (y/x).
При интегрировании уравнения P (x;y)dx+Q (x;y)dy=0 нет необходимости предварительно приводить их к виду y'=g (y/x): подстановка z=y/x сразу преобразует уравнение P (x;y)dx+Q (x;y)dy=0 в уравнение с разделяющимися переменными.
№ 32 Степенные ряды Степенным рядом называется ряд вида а0+а1х+а2х2+…+anxn+…, а также ряд более общего вида а0+а1(х-х0)+а2(х-х0)2+…+an(x-х0)n+…, где х0 — постоянная величина. О первом ряде говорят, что он расположен по степеням х, во втором — что он расположен по степеням х-х0.
Постоянные а0, а1, …, аn, … называются коэффициентами степенного ряда.
Степенной ряд всегда сходится при х=0.
№ 33 Кривые второго порядка на плоскости (эллипс, гипербола, парабола).
Линии, определяемые уравнениями второй степени относительно переменных x и y, т. е. уравнениям вида Ах2+2Вху+Су2+2Вх+2Еу+F=0 (А2+В2+С2?0), называются кривыми 2-го порядка.
Эллипс.
х2/а2+у2/b2=1
Гипербола.
х2/а2-у2/b2=1
Парабола.
y2=2px, где p>0
№ 34 Дифференциальные уравнения, приводимые к уравнениям однородной функции.
№ 35 Эллипсоид (уравнение и чертеж).
x2/a2+y2/b2+z2/c2=1
№ 36 Гиперболоид (уравнение, чертеж).
x2/a2+y2/b2-z2/c2=1
№ 37 Параболоид эллиптический (уравнение, чертеж)
x2/a2+y2/b2=2pz
№ 38 Параболоид гиперболический (уравнение, чертеж)
x2/a2-y2/b2=2pz
№ 39 Уравнение в полных дифференциалах Если коэффициенты P (x, y), Q (x, y) в уравнении
P (x, y) dx+Q (x, y) dy=0 (1)удовлетворяют условию
?P/?y=?Q/?x, то левая часть (1) есть полный дифференциал
некоторой функции F (x, y). Общий интеграл уравнения (1)
будет: F (x, y) = C.