Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Конечномерные редукции интегрируемых дискретных систем

Диссертация: Конечномерные редукции интегрируемых дискретных систем
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Развитие аналитических методов исследования интегрируемых дискретных систем существенно отстает от аналогичной теории дифференциальных уравнений. Применение разностных уравнений чаще всего ограничивается рамками численного анализа дифференциальных уравнений и изучением хаоса и фракталов. Между тем, дискретные уравнения, в некотором смысле, можно рассматривать как обобщение дифференциальных… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Граничные условия, совместимые с уравнением нулевой кривизны
  • Глава 2. Конечномерные дискретные системы, интегрируемые в квадратурах
    • 2. 1. Конечномерные редукции и интегралы движения
    • 2. 2. Дифференциально-разностные симметрии
    • 2. 3. Мастер-симметрии и уравнение нулевой кривизны
    • 2. 4. Теорема об интегрировании конечномерных дискретных систем
  • Глава 3. Дискретные уравнения Пенлеве

Конечномерные редукции интегрируемых дискретных систем (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

В современной теории динамических систем важную роль играют интегрируемые дискретные системы, т. е. системы временная динамика которых описывается разностными или дифференциально-разностными уравнениями, допускающими точные методы решения. Дискретные уравнения имеют многочисленные приложения в различных областях науки. Они возникают при описании нелинейных феноменов различной природы (физической, химической, биологической, социальной, экономической и т. д.), а также как разностные приближения дифференциальных уравнений и как последовательности преобразований Бэклунда.

Развитие аналитических методов исследования интегрируемых дискретных систем существенно отстает от аналогичной теории дифференциальных уравнений. Применение разностных уравнений чаще всего ограничивается рамками численного анализа дифференциальных уравнений и изучением хаоса и фракталов. Между тем, дискретные уравнения, в некотором смысле, можно рассматривать как обобщение дифференциальных. Следует отметить, что в последнее десятилетие ситуация несколько изменилась. Значительно расширились сфера применения и методы исследования дискретных систем. Появилось большое количество работ посвященных изучению симметрии и законов сохранения дискретных систем [32, 46, 65, 77], дискретных аналогов преобразований Дарбу [82, 83, 93] и инвариантов Лапласа [2], дискретных уравнений типа Пенлеве [58, 89, 91, 92], клеточных автоматов [56, 98], дискретной геометрии [8, 50, 71], применения дискретных систем в статистической и квантовой физике [19, 73, 87, 45, 55], математической биологии [39] и т. д. Отдельной строкой можно выделить серию работ, в которых рассматриваются проблемы поиска интегрируемых разностных аналогов солитонных уравнений и классификации дискретных систем.

Примеры дифференциально-разностных цепочек появились еще в конце XIX века в работах Г. Дарбу [48]. В современном контексте интегрируемая модель на решетке впервые была рассмотрена в работе М. Тоды [95]. Цепочка Тоды.

Яп, хх = еЯп+1~9п — е9″ -^-1 (0.1) описывает ангармонические колебания одномерной кристаллической решетки. Полная интегрируемость системы (0.1) в случае п частиц доказана С. В. Манаковым [24] и Г. Флашкой [53, 54], которые для построения точного решения применили метод обратной задачи. Обобщенные цепочки Тоды, связанные с системами корней произвольной простой алгебры Ли, были введены в [42] О. И. Богоявленским. После этого с помощью методов теории групп уравнения движения для непериодического случая были проинтегрированы М. А. Олыпанецким, A.M. Переломовым [86] и Б. Костантом [72]. Уравнения движения периодичекой цепочки Тоды были сведены к квадратурам в работе М. Каца и П. ван Мербеке [68] и проинтегрированы в тета-функциях методами алгебраической геометрии И. М. Кричевером [20]. Метод, основанный на применении обратной спектральной задачи для классических якоби-евых матриц, предложен Ю. М. Березанским для интегрирования полубесконечных систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений [6]. Этот метод был применен также при изучении неабелева аналога цепочки Тоды [7]. Ранее уравнения неабелевой цепочки Тоды исследовались в [21], где были найдены явные формулы для периодических решений, и в [44], где применялась обратная задача рассеяния. А. Н. Лезновым и М. В. Савельевым были получены явные решения для двумеризованной цепочки Тоды.

Q — рЯп-~Чп еЯп~Яп+1 в терминах теории представлений алгебр и групп Ли [23]. Следует сказать, что альтернативный способ интегрирования серий Ап, Вп и Сп предложен еще в работах Г. Дарбу [48]. Отметим также несколько более поздних работ, посвященных исследованию цепочки Тоды [35, 22, 75, 74, 69].

Задача построения дискретных аналогов солитонных уравнений, сохраняющих свойство интегрируемости, возникла и развивалась одновременно с теорией солитонов. Современная теория солитонов насчитывает более тридцати лет. За это время в ее рамках выделились различные течения и направления, каждое из которых имеет определенный практический интерес. В соответствии с ними возникали различные подходы к дискретизации интегрируемых систем и к изучению дискретных уравнений.

Одним из признаков интегрируемости системы является существование ее представления в виде условия совместности двух линейных уравнений (условия нулевой кривизны). Переформулировка условия нулевой кривизны для решеточных моделей была осуществлена М. Абловицем и Дж. Ладиком в работе [33]. Ими предложено дискретизировать одно или оба из линейных уравнений, при этом дискретизация может быть проведена различными способами (например, таким образом получено несколько разностных аналогов нелинейного уравнения Шредингера и уравнения sine-Gordon [14, 67, 33. 34]). При построении дискретных моделей авторами [28] использовалась также г-матрица соответствующего непрерывного уравнения.

Наиболее универсальный метод, разработанный Р. Хиротой [63]., основан на билинейном представлении интегрируемой системы. В рамках данного метода получено большое количество дискретных уравнений [47]. Наиболее интересным результатом этого подхода является билинейное уравнение Хи-роты [64, 84].

0.2).

Дискретные аналоги многих солитонных уравнений (например, таких как уравнений Кортевега-де Фриза и Кадомцева-Петвиашвилли, двумеризован-ной цепочки Тоды, уравнения sine-Gordon) могут быть получены из уравнения Хироты при соответствующем выборе замены переменных [13].

В работе Веселова А. П. и Мозера Ю. М. [85] была показана важная роль, которую при построении дискретных аналогов интегрируемой системы классической механики играет факторизация матричных многочленов. Это позволило, в частности, с единой точки зрения рассмотреть дискретные аналоги задачи Неймана о движении точки на сфере и задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде, а также их многомерных обобщений. Анализ метода факторизации с точки зрения групп петель предложен в [49]. С помощью данного метода найдены многочисленные примеры интегрируемых лагран-жевых систем с дискретным временем [11, 27, 88, 96].

Дискретизация дифференциальных уравнений, сохраняющая точечные симметрии Ли, рассмотрена В. А. Дородницыным и др. [12, 46, 51, 52]. Изучение точечных симметрий разностных уравнений было начато в работах С. Маеды [80, 81]. Симметриям Ли дискретных моделей посвящены и более поздние работы [78, 76, 90].

В соответствии с различными трактовками понятия интегрируемости существуют и различные подходы к классификации дискретных уравнений [36, 37, 40, 99]. Один из них был предложен А. Б. Шабатом и В. Э. Адлером в [3] при изучении интегрируемых дифференциально-разностных уравнений вида d2qn, dqn dqn±-и dt* dt> dt ' и затем применен в чисто дискретном случае [1] для систем типа релятивистской цепочки Тоды.

Тт — 1)/(<7т, п — Ят-1,п) + (Тп — 1) д (Ят, п ~ qm, n-l) + ^ ^.

TmTn — 1) h (qmin — gmi, ni) = 0. Здесь qmtJl является дискретной функцией размерности 1+1, т. е. функция gm>n зависит от одной пространственной и одной временной переменной, а Тт и Тп — сдвиги по первому и по второму индексам соответственно, а именно, Tmqm, n =' qm+i, n и Tnqm: n = qm, n+iПрисутствие слагаемого {ТтТп -1)h (qm, nqm-i, n-i) в уравнении (0.3) позволяет определить пару преобразований Ле-жандра.

Т+: {Qm^n ~~ Qm-l, mQm-l, n ~ Qm-l, n—l) = ~ .

TL. '. (Qm)Tli Qm— l, n—1? Qm, n Qm, n— l) —l, n 4m, niQm, n 4m, n—l)i где отображение T: (x, y) —> (X, У) задается формулами.

X = g (y) + h (x + y) t Y = —f (x) — h (x + у).

Инвариантность интегрируемых цепочек вида (0.3) относительно указанных преобразований позволила авторам [1, 3] ввести следующее определение.

Определение 0.1. [1] Уравнение (0.3) интегрируемо, если обобщенные преобразования Лежандра Т+ обратимы и переводят, его в уравнение того же вида.

В [1] представлен исчерпывающий список уравнений (0.3), интегрируемых в смысле определения 0.1. Кроме того, в [36] показано, что итерации преобразований Бэклунда 7} = TllT+ для цепочек (0.3) описываются нерелятивистскими цепочками типа цепочки Тоды.

Чт)¦ (0−4).

Список цепочек вида (0.4), представленный в [36], состоит из восьми уравнений, не переводимых друг в друга точечными преобразованиями,.

Тт — 1)—-= СТп — 1)—-, (0.5).

Tm — l) eqm'n~qm-^n = (Tn — (0.6).

Тт — 1)—-г = (Тп — 1)—-г, (0.7).

Тт — 1) In (дщп — qm-iyn) = (Тп — 1) In (qm, n ~ qm, n-i), (0.8).

Тт — 1) In (1——) = (Тп — 1) In (l — —1-) (0.9) Qm, n Чт—1,п/ Цт, п Чт, п-1 /.

Тт — 1) Це9″ «„-®-“ -1'» — 1) = (Тп — 1) 1п (е9т'" 9 т, п1 — 1), (0.10).

Тт ~ 1)(«*»," - Ят-1,п) = (Тп — 1) + 1), (0.11).

Тт-1)п{, t М=(Г"-1)1пГ s П. (0.12) e^m.n—Qm-l, n j v V Чт, n-1 — Jl /.

Он содержит в себе дискретные аналоги известных уравнений, таких как модель Гейзенберга и цепочка Тоды (подробности см. в [36, 94]). Возможно, данный список является полным (ср. [25, 27, 63, 94]).

Основной целью настоящей работы является построение условий обрыва цепочек (0.5)~(0.12), сохраняющих свойство интегрируемости, и изучение полученных конечномерных систем.

В работе используются основные методы симметрийного подхода к исследованию интегрируемых систем: построение симметрий и законов сохранения, поиск интегрируемых условий обрыва. Привлекаются методы теории уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений.

Полученные теоретические и прикладные результаты являются новыми.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на шесть параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение

.

Сформулируем основные результаты диссертации.

• разработан удобный и эффективный метод построения интегрируемых граничных условий для дискретных цепочек, обладающих парой Даксапроведена некоторая классификация граничных условий, совместимых с уравнением нулевой кривизны, для дискретных нерелятивистских цепочек типа цепочки Тоды;

• доказана теорема об интегрировании в квадратурах конечномерной дискретной системы: найдена производящая функция интегралов движения конечномерной системыдоказано утверждение о сохранении коммутирования потоков после обрыва с помощью интегрируемого граничного условияпредложен метод построения иерархии дифференциально-разностных симметрий конечномерной системы с помощью специально выбранной мастер-симметриипостроены частные решения дискретных аналогов цепочки Тоды;

• показано, что дискретные аналоги третьего, пятого и шестого уравнений Пенлеве могут быть получены как конечномерные редукции дискретной цепочки Тоды.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.Э. Преобразования Лежандра на треугольной решетке // Ф. анализ и прил. 2000. — Т. 34, № 1. — С. 1−11.
  2. В.Э., Старцев С. Я. О дискретных аналогах уравнения Лиувилля // ТМФ. 1999. — Т. 121, № 2. — С. 271−284.
  3. В.Э., Шабат А. Б. Обобщенные преобразования Лежандра // ТМФ. 1997. — Т. 112, № 2. — С. 179−194.
  4. В.Э., Шабат А. Б. Первые интегралы обобщенных цепочек Тоды // ТМФ. 1998. — Т. 115, № 3. — С. 349−357.
  5. В.Э., Шабат А. Б., Ямилов Р. И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости // ТМФ. 2000. — Т. 125, № 3. — С. 355 424.
  6. Ю.М. Интегрирование нелинейных разностных уравнений методом обратной спектральной задачи // ДАН СССР. 1985. — Т. 281, № 1. — С. 16−19.
  7. Ю.М., Гехтман М. И., Шмойш М. Е. Интегрирование методом обратной спектральной задачи некоторых цепочек нелинейных разностных уравнений // Укр. мат. журн. 1986. — Т. 38, № 1. — С. 8489.
  8. А.И. Поверхности постоянной средней кривизны и интегрируемые уравнения // УМН. 1991. — Т. 46, № 4. — С. 342.
  9. В.Л. Интегрируемая краевая задача для цепочки Вольтерра на полуоси // Мат. заметки. принято в печать.
  10. А.П. Интегрируемые отображения // УМН. 1991. — Т. 46, № 5(281). — С. 1−45.
  11. А.П. Интегрируемые лагранжевы соответствия. и факторизация матричных многочленов // Функц. анализ и его прил. 1991. — Т. 25, № 2. — С. 38−49.
  12. В.А. Группы преобразований в пространстве разностных переменных. М.: ВИНИТИ, 1989 / Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения». — Т. 34.- С. 149−190.
  13. А.В. Разностные уравнения Хироты // ТМФ. 1997. — Т. 113, № 2. — С. 179−230.
  14. А.Г., Корепин В. Е. Решеточная модель, связанная с нелинейным уравнением Шредингера // ДАН СССР. 1981. — Т. 259, № 26. — С. 76−79.
  15. Т.Г. Граничные условия для дискретных систем, совместимые со свойством интегрируемости // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Сборник трудов. Уфа: БГУ, 2001. — Т. 1. — С. 72−80.
  16. Т.Г. Конечномерные редукции интегрируемых дискретных систем // Ученые записки: Сб. научн. тр. Уфа: БГПУ, 2002. — Вып. 4.- С. 107−117.
  17. Т.Г. Конечномерные редукции дискретной цепочки Тоды // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Сборник трудов. Уфа: БГУ, 2003. — Т. 1. — С. 82−88.
  18. Т.Г. Конечномерные редукции дискретных систем, интегрируемые в квадратурах // ТМФ. 2004. — Т. 138, № 3. -С. 422−436.
  19. И. Г. Интегрируемые системы в дискретном пространстве-времени и неоднородные модели двумерной статистической физики // Дисс. д. ф.-м. н. 1995. — Санкт-Петербург.
  20. И.М. Алгебраические кривые и нелинейные разностные уравнения // УМН. 1978. — Т. 33, № 4. — С. 215−216.
  21. И.М. Периодическая неабелева цепочка Тоды и ее двумерное обобщение // УМН. 1981. — Т. 36, № 2. — С. 72−80.
  22. A.M. Градуированные алгебры Ли, теория представлений, интегрируемые отображения и интегрируемые системы // ТМФ. -- 2000.- Т. 122, № 2. С. 251−271.
  23. A.M., Савельев М. В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит., 1985 — 280 с.
  24. С.В. О полной интегрируемости и стохатизации в дискретных динамических системах // ЖЭТФ. 1974. — Т. 67, № 2. — С. 543−555.
  25. В.Г., Шабат А. Б. Интегрируемые решетки // ТМФ. 1999.- Т. 118, № 2. С. 217−228.
  26. Е.К. Граничные условия для интегрируемых систем // Ф. анализ и его прил. 1987. — Т. 212. — С. 86−87.
  27. Ю.В. Обобщенные цепочки Тоды в дискретном времени // Алгебра и анализ. 1990. — Т. 2, № 2. — С. 141−157.
  28. Л.А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986. — 528 с.
  29. М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука., 1985. — 447 с.
  30. И. Т., Гудкова Е. В. Краевые условия для многомерных интегрируемых уравнений // Функ. анализ и его приложения. 2004. -т. 38, № 2. — С. 71−83.
  31. А.Б., Ямилов Р. И. Симметрии нелинейных цепочек ]) Алгебра и анализ. 1990. — Т. 2, № 2. — С. 377−400.
  32. Р.Э., Леей Д., Винтерниц П. Симметрии дискретного нелинейного уравнения Шредингера // ТМФ. 2001. — Т. 127, № 3.- С. 379−387.
  33. Ablowitz М., Ladik J. Nonlinear differential-defference equations and Fourier analisis // J. Math. Phys. 1976. — V. 17, № 6. — P. 1011−1018.
  34. Ablowitz M., Ladik J. A nonlinear difference sheme and inverse scattering // Stud. Appl. Math. 1976. — V. 55, № 3. — P. 213−229.
  35. Adler M., van Moerbeke P. Integrals over classical groups, random permutations, Toda and Toeplitz lattices // Commun. Pure Appl. Math. 2001.- V. 54, № 2. P. 153−205.
  36. Adler V.E. On the structure of the Backlund transformations for the re-lativistic lattices // J. of Nonlinear Math. Phys. 2000. — V. 7, .V 1. -P. 34−56.
  37. Adler V.E. Discrete equations on planar graphs //J. Phys. A: Math. and Gen. 2001. — V. 34. — P.10 453−10 462.
  38. Adler V.E., Habibullin I.Т. Integrable boundary conditions for the Tod a lattice // J. Phys. A. 1995. — V. 28. — P. 6717−6729.
  39. Alber M.S., Kiskowski A. On aggregation in CA models in biology // Phys. A: Math, and Gen. 2001. — V. 34. — P. 10 707−10 714.
  40. Bobenko A J., Suris Yu.B. Integrable systems on quad graphs // Int. Math. Res. Notices. 2002. — № 11. — P. 573−611.
  41. Bogdanov L.V., Konopelchenko B.G., Moro A. Symmetry constraints for real dispersionless Veselov-Novikov equation // preprint. arX-iv:nlin.SI/406 023. — 2004.
  42. Bogoyavlensky O.I. On perturbations on the the periodic Toda lattice. // Comm. Math. Phys. 1976. — V. 51., № 3 — P. 201−209.
  43. Brezinski C. Dynamical systems and sequence transformations // J. Phys. A: Math, and Gen. 2001. — V. 34. — P. 10 659−10 669.
  44. Brushi M., Manakov S. V., Ragnisco O., Levi D. The non-abelian Toda lattice (discrete analogue of the matrix Schroedinger spectral problem // J. Math. Phys. 1980. — V. 21. — P. 2749−2759.
  45. Bullough R.K., Bogoliubov N.M., Rybin A.V., Varzugin G.G., Timonen J. Solitons of q-deformed quantum lattices and the quantum soliton // J. Phys. A: Math, and Gen. 2001. — V. 34. — P. 10 463−10 475.
  46. Budd C., Dorodnitsyn V. Symmetry-adapted moving mesh schemes for the Schrodinger equation //J. Phys. A: Math, and Gen. 2001. — V. 34. -P. 10 387−10 400.
  47. Date F., limbo M., Miwa T. Method for generating discrete soliton equations. I-IV // J. Phys. Soc. Japan. 1982. — V. 51. — P. 4116−4124., 41 254 131. — 1983. — V. 52. — P. 761−765, 766−771.
  48. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Paris: Gautier-Villars, 1915.
  49. Deift P., Li L.C., Tomei C. Loop groups, discrete versions of classical in-tegrable systems and rank 2 extensions j j Mem. Amer. Math. Soc. 1992.- V. 479. 101 p.
  50. Doliwa A., Santitni P.M. Integrable dynamics of a discrete curve and the Ablowitz-Ladik hierarchy // J. Math. Phys. 1995. — V. 36. — P. 1259−1273.
  51. Dorodnitsyn V. f Kozlov R.- Winternitz R. Lie group classification of second order difference equations // J. Math. Phys. 2000. -V. 41. — P. 480−509.
  52. Dorodnitsyn V., Winternitz R. Lie point symmetry preserving discretizations for variable coefficient Korteweg-de Vries equations // Nonl. Dynamics. 2000. -V. 22. — P. 49−59.
  53. Flaschka H. The Toda lattice. II. Existence of integrals // Phys. Rev. -1974. V. B9., № 4 — P. 1924−1925.
  54. Flaschka H. On the Toda lattice. II. Inverse transform solution // Progr. Theor. Phys. 1974. — V. 51., № 3 — P. 703−716.
  55. Fokas A.S., Its A.R., Kitaev A.V. Discrete Painleve equations and their appearence in quantum gravity // Commun. Math. Phys. 1991. — V. 2, № 2. — P. 313−344.
  56. Fokas A.S., Papodopoulou E., Saridakis Y.G., Ablowitz M.J. Interaction of simple particles in soliton cellular automata // Stud. Appl. Math. 1989.- V. 81. P. 153−180.
  57. Fuchssteiner B. Master symmetries, higher order time-dependent symmetries and conserved densities of nonlinear evolution equations / / Prog, Theor. Phys. 1983. — V. 70, № 6. — P. 1508−1522.
  58. Grammaticos В., Ramani A. The hunting for the discrete Painleve VI equation is over // Regul. Chaotic Dyn. 2000. — V. 5, № 1. — P. 53−60.
  59. Gurel В., Giirses M., Habibullin I.T. Boundary value problem, compatible with symmetries // Phys. Lett. A. 1994. — V. 190. — P. 231−237.
  60. Habibullin I.T. Boundary conditions for integrable chains // Phys. Lett. A.- 1995. V. 207. — P. 263−268.
  61. I. Т., Kazakova T.G. Boundary conditions for integrable discrete chains // J. Phys. A: Math, and Gen. 2001. — V. 34. — P. 10 369−10 376.
  62. I. Т., ViVdanov A.N. Boundary conditions consistent with L-A pairs // Proceedings of the Int. conference «MOGRAN 2000: Modern Group Analysis for the New Millennium». Ufa: USATU, 2001. — P. 80−82.
  63. Hirota R. Nonlinear partial difference equations. I-V. //J. Phys. Soc. Japan.- 1977. V. 43. — P. 1423−1433, 2074−2078, 2079−2086. — 1978. — V. 45. -P. 321−332. — V. 46. — P. 312−319.
  64. Hirota jR. Discrete analogue of generalized Toda equation //J. Phys. Soc. Japan. 1981. — V. 50. — P. 3785−3791.
  65. Hirota R., Kimura K., Yahagi H. How to find the conserved quantities of nonlinear discrete equations //J. Phys. A: Math, and Gen. 2001. — V. 34.- P.10 377−10 386.
  66. Ince E.L. Ordinary differential equations. Dover, New York., 1956 — p.
  67. Izergin A.G., Korepin V.E. The lattice quantum sine-Gordon model // Lett. Math. Phys. 1981. — V. 5, № 3. — P. 199−205.
  68. Kac M, van Moerbeke P. On an explicity soluble system of nonlinear differential equations related to certain Toda lattices // Adv. Math. 1975. -V. 16. — P. 160−169.
  69. Kajiwara К., Masuda Т., Noumi M., Ohta Y., Yamada Y. Determinant formulas for the Toda and discrete Toda equations // Funkcial. Ekvac. -2001. V. 44. — P. 291−307.
  70. Kazakova T. G. Finite-dimensional reductions of the discrete Toda chain // J. Phys. A: Math, and Gen. 2004. — V. 37. — P. 8089−8112.
  71. Konopelchenko B.G., Schief W.K. Reciprocal figures, graphical statics and inverse geometry og the Schwarzian BKP hierarchy // Stud. Appl. Math.- 2002. V. 109, № 2. — P. 89−124.
  72. Kostant B. The solution to a generalized Toda lattice and representation theory // Adv. Math. — 1979. — V. 34. — P.195−338.
  73. Krichever I., Lipan O., Wiegmann 0., Zabrodin A. Quantum integrable models and discrete classical Hirota equations // Common. Math. Phys. -1997. V. 188. — P. 267−304.
  74. Kuznetsov V.B. Separation of variables for the Dn-type periodic Toda lattice // J. Phys. A: Math, and Gen. 1997. — V. 30, № 6. — P. 2127−2138.
  75. Kuznetsov V.B., Sklyanin E.K. Backlund transformations for many-body systems // J. Phys. A: Math, and Gen. 1998. — V. 31, № 9. — P. 22 412 251.
  76. Lafortune S., L. Martina, Winternitz P. Point symmetries of generalized Toda field theories // J. Phys. A. 2000. — V. 33. — P.2419−2435.
  77. Levi D., Martina L. Integrable hierarchies of nonlinear difference-difference equations and symmetries //J. Phys. A: Math, and Gen. 2001. — V. 34.- P.10 357−10 368.
  78. Levi D., Winternitz P. Continuous symmetries of discrete equations // Phys. Lett. A. 1991. — V. 152. — P.335−338.
  79. Ma W.X., Fuchssteiner В. Algbraic structure of discrete zero curvature equations and master symmetries of discrete evolution equations //J. Math. Phys. 1999. — v. 40, № 5. — P. 2400−2418.
  80. Maeda S. Canonical structure and symmetries for discrete systems // Math. Japan. 1980. — V. 25. — P. 405−420.
  81. Maeda S. The similarity method for difference equations // J. Appl. Math.- 1987. V. 38, № 129. — P. 129−134.
  82. Matveev V.B. Darboux transformation and explicit solutions of differential-difference and difference-difference evolution equations. I. // Lett. Math. Phys. 1979. — V. 3. — P. 217−222.
  83. Matveev V.B., Salle M.A. Differential-difference evolution equations II. (Darboux transformation for the Toda lattice) // Lett. Math. Phys. 1979.- V. 3. P. 425−429.
  84. Miwa T. On Hirota’s difference equation // Proc. Japan Acad. Ser. A. -1982. V. 58. — P. 9−12.
  85. Moser J.} Veselov A.P. Discrete version of some classical integrable systems and factorizations of matrix polynomials If Commun. Math. Phys. 1991.- V. 139. P. 217−243.
  86. Olshanetsky M.A., Perelomov A.M. Explicit solutions of classical generalized Toda models // Invent. Math. 1979. — V. 54. — P. 261−269.
  87. Pakuliak S., Sergeev S. Quantum relativistic Toda chain of root of unity: isospectrality, modified Q-operator, and functional Bethe ansatz // Int. J. Math. Sci. 2002. — V. 31, № 9. — P. 513−553.
  88. Papageorgiou V.G., Nijhoff F.W., Capel H.W. Integrable mappings and nonlinear integrable lattice equations // Phys. Lett. A. 1990. — V. 147. -P.106−144.
  89. Fokas A.S., Grammaticos B.} Ramani A, Prom continuous to discrete Painleve equations // J. Math. Anal. Appl. 1993. — V. 180, № 2. — P. 342 360.
  90. Quispel G.R.W., Capel H.W., Sahadevan R. Continuos symmetries of difference equations- the Kac-van Moerbeke equation and Painleve reduction // Phys. Lett. A. 1992. — V. 170. — P. 379−383.
  91. Ramani A, Grammaticos В., Hietarinta J. Discrete versions of the Painleve equations // Phys. Rev. Let. 1991. — V. 67, № 14. — P. 1829−1832.
  92. Ramani A., Grammaticos B. Discrete Painleve equations: coalescences, limits and degeneracies// Phys. A. 1996. — v. 228, № 1−4. — P. 160−171.
  93. Spiridonov V., Zhedanov A. Discrete Darboux transformations, discrete time Toda lattice, and the Askey-Wilson polynomials. Montreal: Preprint CRM-1829, 1993 — p.
  94. Suris Yu.B. On some integrable systems related to the Toda lattice //J. Phys. A: Math, and Gen. 1997. — V. 30. — P. 2235−2249.
  95. Toda M. Waves in nonlinear lattice // Proc. Theor. Phys. Suppl. 1970. -№ 45. — P. 174−200.
  96. Veselov A.P. Confocal quadrics and integrable billiards on the sphere and in the Lobachevsky space //J. Geometry and Physics. 1990. — V. 7, № 1. — P. 81−107.
  97. Ward R. Discrete Toda field equations // Phys. Let. A. 1995. — V. 199. -P. 45−48.
  98. Wolfram S. Theory and application of cellular automata. Singapore: World Sci., 1986 — 287 p.
  99. Yamilov R.I. Classification of Toda type scalar lattices // Proc. NEEDS'93. World Scientific Publ., Singapore, 1993. — P. 423−431.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?