Алгебраическая геометрия над абелевыми и нильпотентными группами

Настоящая диссертация посвящена созданию основ алгебраической геометрии над абелевыми и, более общо, над нильпотентными группами. Основной проблемой в классической алгебраической геометрии является проблема классификации алгебраических множеств над заданным полем к. Здесь под алгебраическим множеством понимается множество решений системы полиномиальных уравнений с коэффициентами из поля к.

Системы уравнений над группами изучались во многих работах по теории групп и к настоящему времени получено большое количество результатов о системах уравнений и множествах их решений. В работе [ВМИ] Г. Баумслаг, А. Мясников и В. Ремесленников перенесли основные понятия классической алгебраической геометрии на категорию всех групп. Были определены аналоги кольца многочленов, аффинного пространства, алгебраического множества, идеала, кольца регулярных функций, введена топология Зарисского, понятие неприводимого алгебраического множества. Также в [ВМ11] были изучены свойства этих понятий и взаимосвязи между ними. В указанной работе система понятий подобрана таким образом, чтобы она работала достаточно эффективно для групп, близких к свободным, например, для гиперболических групп. Так, основным понятием в ней является понятие О-области. Для развития алгебраической геометрии для многообразий групп, отличных от многообразия всех групп, большинство понятий, сформулированных в этой статье, пригодны, но им необходимо придать форму, более удобную для данного многообразия. Так обстоит дело, например, с понятием уравнения. Кроме того, многие понятия, например, С-область, не работают для разрешимых и нильпотентных групп, так как любая такая группа не является С-областью. Поэтому для развития алгебраической геометрии для нильпотентных и разрешимых групп потребовался дополнительный набор понятий и новые методы доказательства теорем.

В диссертации построены аналоги основных понятий алгебраической геометрии над абелевыми и нильпотентными группами, полностью классифицированы алгебраические множества над абелевыми группами и дано описание координатных групп для них. В случае нильпотентных групп ситуация оказалась существенно сложнее. Вряд ли удастся получить удовлетворительную классификацию всех алгебраических множеств над нильпотентными группами. Поэтому в диссертации выделены конкретные системы уравнений над нильпотентными группами, для которых классификация все же возможна.

Опишем содержание работы по главам. В первой главе специализируются понятия алгебраической геометрии над группами для многообразия абелевых групп, исследуются системы уравнений над абеле-выми группами и их множества решений.

Параграф 1 главы 1 содержит определения аналогов кольца многочленов, аффинного пространства, алгебраического множества, идеала, определение координатной группы.

Важным понятием в алгебраической геометрии над группами является категория (2-групп. В параграфе 2 дано определение С-группы, исследованы свободные конечно порожденные абелевы С-группы, определены категории С-дискриминируемых и (^-аппроксимируемых абелевых групп. Здесь же определяется характеристика ?((?) для произвольной абелевой группы (?, с помощью которой удается классифицировать координатные группы для алгебраических 'множеств над абе-левыми группами и описать все С-аппроксимируемые абелевы группы. Основным результатом является.

Теорема 3. Пусть С абелева группа и Н — конечно порожденная С-группа: Н = С? © Щ. Тогда Н аппроксимируется группой С если и только если <

В параграфе 3 изучаются системы уравнений над абелевыми группами. Вводятся определения матрицы над абелевой группой, определителя такой матрицы, элементарных преобразований над ней. Изучены свойства определителя и получен канонический вид матрицы над абелевой группой и канонический вид системы уравнений над абелевой группой. Доказан аналог теоремы Кронекера — Капелли для абелевых групп без кручения.

В параграфе 4 определяются морфизмы алгебраических множеств и классифицируются алгебраические множества над абелевой группой. Теорема 5. Пусть 7 С С — алгебраическое множество. Тогда с точностью до изоморфизма алгебраических множеств У имеет вид: <3[ег], С,., (?) где в{ Е М, ег-|вг+1, г = 1,., г — 1, г < п и — т-слой группы С.

Основным результатом параграфа 5 является теорема, дающая описание координатных групп над абелевой группой С:

Теорема 6. Конечно порожденная абелева С-группа Н является координатной группой некоторого множества У С С1 тогда и только тогда, когда £(Н) = ?((2).

Во второй главе диссертационной работы переписываются основные понятия алгебраической геометрии над группами для многообразия нильпотентных групп и изучаются множества решений систем уравнений над нильпотентными группами.

В параграфе 1 даны основные определения алгебраической геометрии над нильпотентными группами, введено определение матрицы системы уравнений, определение невырожденной, вырожденной, уни-модулярной, квазиунимодулярной систем уравнений.

В параграфе 2 исследуются системы уравнений от одной неизвестной над 2-ступенно нильпотентной группой О. В случае, когда группа С не имеет кручения, получена полная классификация решений систем уравнений от одной неизвестной над группой С.

В параграфе 3 главы 2, состоящем из 5 пунктов, исследуются невырожденные системы уравнений. В случае, когда группа С — делимая, структура множества решений невырожденной системы уравнений над группой (7 достаточно проста. В общем случае для описания множества решений мы используем две идеи: переход к системам уравнений над пополнением группы О и идею каскадной системы.

Основным результатом пункта 3.2 является Теорема 9. Пусть 5 — невырожденная система уравнений над конечно порожденной нильпотентной группой С без кручения, состоящая из г уравнений от п неизвест. ных и записанная в канонической форме. Тогда проекция множества решений системы 5 на последние п — г координат, отвечающим свободным переменным, содержит класс смежности по подгруппе конечного индекса группы Оп~г.

В пункте 3.3 приведены примеры нахождения множества решений невырожденной системы уравнений.

В пункте 3.4 приведено определение р-высоты элемента нильпотентной группы и изучены её основные свойства.

Основными результатами пункта 3.5 являются Теорема 11. Пусть — конечно порожденная нильпотентная группа без кручения и Б — невырожденная система уравнений над группой состоящая из г уравнений от п неизвестных и записанная в каноническом виде. Если Б совместна, то существует конечное число классов смежности по подгруппе } в = п — г, так, что если свободным переменным хг+,., хп придадим произвольные значения из этих классов смежности и подставим их в систему Б, то полученная система является совместной и имеет единственное решение.

И наоборот, любое решение системы 5 может быть получено таким образом.

Теорема 12. Существует алгоритм, распознающий совместность невырожденной системы уравнений над конечно порожденной нильпо-тентной группой без кручения.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в научных исследованиях, а также при чтении специальных курсов по теории групп.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Ф1, Ф2, ФЗ, Ф4, Ф5] и докладывались на международной конференции «Комбинаторные и вычислительные методы в математике» (Омск, 1998 г.).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору В. Н. Ремесленникову за постоянное внимание и поддержку в работе.