Метод конечных элементов в p-версии для краевой задачи с сингулярностью в решении
Диссертация
Анализ схем МКЭ для краевых задач с сильной сингулярностью решения, вызванной вырождением исходных данных, проводился в,. В работах, для первой и третьей краевых задач с согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек границы двумерной области строилась /i-версия МКЭ. В результате проведенных исследований были доказаны сходимости приближенных /^-обобщенных решений… Читать ещё >
Содержание
- Глава 1. Построение и исследование ортонормированной системы сингулярных полиномов
- 1. 1. Построение ортонормированной системы сингулярных полиномов {(pn, fi (x)}^L
- 1. 1. 1. Определение сингулярного полинома
- 1. 1. 2. Нахождение коэффициентов полиномов системы
- 1. 1. Построение ортонормированной системы сингулярных полиномов {(pn, fi (x)}^L
- 1. 2. Рекуррентная формула для трех соседних орто-нормированных сингулярных полиномов
- 1. 3. Аналог формулы Родрига
- 1. 4. Квазиортогональность производных (х)}^=
- 1. 5. Соотношения между ортонормированными сингулярными полиномами и их производными
- 1. 6. Дифференциальное уравнение для ж)
- 2. 1. Основные обозначения
- 2. 2. Постановка задачи. Определение Л^-обобщенного решения
- 2. 3. Существование и единственность-обобщенного решения
- 2. 4. Регулярность-обобщенного решения
- 2. 5. Схема метода конечных элементов
- 2. 6. Вспомогательные утверждения
- 2. 7. Оценка погрешности аппроксимации в норме пространства Щ &bdquo-+р/2. ^
- 3. 1. Постановка дифференциальной задачи
- 3. 2. Алгоритм численного метода
- 3. 3. Результаты численного эксперимента
- 3. 4. Выводы об аппроксимационных свойствах р-вер-сии метода конечных элементов для задач с сингулярностью
Список литературы
- Агмон С., Дуглис А., Ниренберг J1. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. — 3VL: ИЛ, 1962. — 208 с.
- Берестецкий В.Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1968. -— 480 с.
- Беспалов А.Ю., Рукавишников В. А. Экспоненциальная скорость сходимости метода конечных элементов для задачи Дирихле с сингулярностью решения // Доклады РАН. — 2000. — Т. 374, АГ 6. — С. 727−731.
- Деклу Ж. Метод конечных элементов. — М.: Мир, 1976. — 92 с.
- Катрахов В.В. Краевая задача для уравнения Пуассона с сингулярностью произвольного порядка в граничных точках // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений. — Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1990. — С. 109−123.
- Кашуба Е.В., Рукавишников В. А. Оценка погрешности р-вер-сии метода конечных элементов для краевой задачи с сингулярностью. Препринт Jf 58. Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, 2001. — 22 с.
- Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Труды Моск. Матем. об-ва. — 1967. — Т. 16. — С. 209−292.
- Кондратьев В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в кусочно-гладкой области // Дифференц. уравнения. — 1970. — Т. 6, Л' 10. С. 1831−1843.
- Кондратьев В.А., Олейник О. А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи матем. наук. — 1983. — Т. 38, вып. 2(230). — С. 3−77.
- Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. — JL: Изд. Ленингр. ун-та, 1977. — 206 с.
- Крылов В.И. К вопросу о сечении ионизации водородоподоб-ного атома быстрыми электронами в однородном электрическом поле // Краткие сообщения ФИАН. — 1995. — Вып. 8. — С. 90−94.
- Ладыженская О.А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973. — 576 с.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1974. — 752 с.
- Мазья В.Г. О задаче с косой производной в области типа полиэдра // Докл. АН СССР. — 1973. — Т. 211, Af 1. — С. 40−43.
- Мазья В.Г., Пламеневский Б. А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями // Докл. АН СССР. — 1973. — Т. 210, ЛГ 3. — С. 529−532.
- Мазья В.Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе // Докл. АН СССР. — 1974. — Т. 219, Af 2. — С. 286−290.
- Мазья В.Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи ребер //
- Докл. АН СССР. — 1976. — Т. 229, Я 1. — С. 33−36.
- Мазья В.Г., Пламеневский Б. А. Оценки функций Грина и ша-удеровские оценки решений эллиптических краевых задач в двугранном угле // Сибирский математический журнал. — 1978.1. Я 5. — С. 1065−1082.
- Мазья В.Г., Пламеневский Б. А. Шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами на границе // Труды семинара С. Л. Соболева. — 1978. — Я 2. — С. 69−102.
- Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Lp-оценки в асимптотике решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами // Труды Моск. Матем. об-ва. — 1978. — Т. 37. — С. 49−93.
- Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. — М.: Наука, 1981. — 416 с.
- Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. — М.: Мир, 1981. — 216 с.
- Назаров С.А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. — М.: Наука, 1991. — 336 с.
- Обэн Ж. Приближенное решение эллиптических краевых задач. — М.: Мир, 1977. — 360 с.
- Оганесян Л.А., Ривкинд В. Я., Руховец Л. А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. I. // Дифференциальные уравнения и их применения. — 1973. — Вып. 5. — 394 с.
- Оганесян Л.А., Ривкинд В. Я., Руховец Л. А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. II. //
- Дифференциальные уравнения и их применения. — 1974. Вып. 8. — 317 с.
- Рукавишников В.А. О дифференциальных свойствах Ru-обобщенного решения задачи Дирихле // Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 309, Я 6. — С. 1318−1320.
- Рукавишников В.А. О Rv- обобщенном решении задачи Дирихле в прямоугольнике. — Владивосток, 1989. — 35с. — (Препринт / АН СССР. Дальневосточное отделение. ВЦ- ВД 14 435).
- Рукавишников В.А. О Д^-обобщенном решении задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Вычислительные технологии. — Новосибирск, 1993. — Т. 2, N 4. — С. 105−111.
- Рукавишников В.А. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН. — 1994. — Т. 337, ЛГ 4. — С. 447−449.
- Рукавишников В.А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференциальные уравнения. — 1996. — Т. 32, ЛГ 3. — С. 402−408.
- Рукавишников В.А. О единственности-обобщенного решения для краевых задач с несогласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН. — 2001. — Т. 376, Я 4. -— С. 451−453.
- Рукавишников В.А., Кашуба Е. В. О новой орт ©-нормированной системе сингулярных полиномов, ее свойствах и особенностях. — Владивосток: Дальнаука, 1997. — 15 с. — (Препринт ЛГ 13 / Вычислительный центр ДВО РАН).
- Рукавишников В.А., Рукавишникова Е. И. О скорости сходимости метода конечных элементов для задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных // Методы численного анализа. — Владивосток: Дальнаука, 1993. — С. 22−48.
- Рукавишников В.А., Рукавишникова Е. И. Метод конечных элементов для первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН. — 1994. — Т. 338, ЛГ 6. — С. 731−733.
- Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979. — 832 с.
- Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977. — 349 с.
- Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1979. — 416 с.
- Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980. — 512 с.
- Argyris J.H. Energy theorems and structural analysis // Aircraft Engng. — 1955. — V. 27. — P. 125−154.
- Argyris J.H. Tetrahedra elements with, linearly varying strain // J. Royal Aeronaut. Soc. — 1965. — V. 69, No. 1. — P. 877−880.
- Babuska I. The p- and h-p versions of the finite element method. The state of the art j I In: Dwoyer D.L., Hussaini M.Y. and Voigt R.G. (eds.). Finite Elements. Theory and applications. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1988. — P. 199−239.
- Babuska I., Dorr M.R. Error estimates for the combined h and p versions of the finite element method // Numer. Math. — 1981. -V. 37. — P. 257−277.
- Babuska I., Elman H.S. Performance of the h-p version of the finite element method with various elements // Internat. J. Numer. Methods Engrg. — 1993. — V. 36, No. 15. — P. 2503−2523.
- Babuska I., Guo B.Q. Regularity of the solution of elliptic problems with piecewise analytic data. Part 1. Boundary value problems for linear elliptic equation of second order / / SI AM J. Math. Anal. — 1988. — V. 19, No. 1. — P. 172−203.
- Babuska I., Guo B.Q. The h-p version of the finite element method for domains with curved boundaries // SIAM J. Numer. Anal. — 1988. — V. 25, No. 4. — P. 837−861.
- Babuska I., Guo B.Q. The h-p version of the finite element method for problems with nonhomogeneous essential boundary conditions // Сотр. Meth. Appl. Mech. Engng. — 1989. — V. 74. — P. 1−28.
- Babuska I., Guo B.Q. Optimal estimates for lower and upper bounds of approximation errors in the p-version of the finite element method in two dimensions // Numer. Math. — 2000. — V. 85. — P. 219−255.
- Babuska I., Suri M. The optimal convergence rate of the p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. — 1987. — V. 24. — P. 750−776.
- Babuska I., Suri M. The treatment of nonhomogeneous Dirich-let boundary conditions by the-version of the finite element method // Technical Note BN-1063, Institute for Physical Science and Technology, Univ. of Maryland, College Park, MD. — 1987.
- Babuska I., Suri M. The-version of the finite element method for constraint boundary conditions // Technical Note BN-1064, Institute for Physical Science and Technology, Univ. of Maryland, College Park, MD. — 1987.
- Babuska I., Suri M. The p and h-p versions of the finite element method, basic principles and properties // SIAM Review. — 1994. — V. 36. — P. 578−632.
- Babuska I., Szabo B.A., Katz I.N. The p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. — 1981. — V. 18. — P. 515−545.
- Bazu P.K., Rossow M.P., Szabo B.A. Theoretical manual and user’s guide for COMET-X. — Center for Computational Mathematics, Washington Univ. — St. Louis, MO, 1977.
- Cai W., Lee H.C., Oh H. S. Coupling of spectral methods and the p-version of the finite element method for elliptic boundary value problems containing singularities // J. Comput. Phys. — 1993. — V. 108, No.2. — P. 314−326.
- Canale A., Caso L., Di Gironimo P. Variational second order elliptic equations with singular coefficients // Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. (5). — 1993. — V. 17. — P. 113−128.
- Dorr M.R. The approximation theory for the p-version of the finite element method // SI AM J. Numer. Anal. — 1984. — V. 21.1. P. 1181−1207.
- Dorr M.R. The approximation of solutions of elliptic boundary value problems via the p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. — 1986. — V. 23. — P. 58−77.
- Grisvard P. Alternative de Fredholm relative an probleme de Dirich-let dans un polygone ou un polyedre // Bull. U.M.I. — 1972. — P. 132−164.
- Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. — Boston-London-Melbourne: Pitman, 1985.
- Grisvard P. Singularities in boundary value problems. — Recher-ches en Mathematiques Appliquees, 22. Paris: Masson- Berlin: Springer-Verlag, 1992. — xiv+199 pp.
- Gui W., Babuska I. The h, p and h-p versions of the finite element method in 1 dimension. Part 1: The error analysis of the p-version // Numer. Math. — 1986. — V. 49. — P. 577−612.
- Gui W., Babuska I. The h, p and h-p versions of the finite element method in 1 dimension. Part 2: The error analysis of the h- and h-p versions // Numer. Math. — 1986. — V. 49. — P 613−657.
- Gui W., Babuska I. The h, p and h-p versions of the finite element method in 1 dimension. Part 3: The adaptive h-p version // Numer. Math. — 1986. — V. 49. — P. 659−683.
- Guo В., Babuska I. The h-p version of the finite element method. Part 1: The basic approximation results // Сотр. Mech. — 1986. — V. 1. — P. 21−41.
- Guo В., Babuska I. The h-p version of the finite element method. Part 2: General results and applications // Сотр. Mech. — 1986. — V. 1. — P. 203−220.
- Guo B.Q., Babuska I. On the regularity of the elasticity problems with piecewise analytic data // Adv. in Appl. Math. — 1993. — V. 14, No. 3. — P. 307−347.
- Guo B.Q., Oh H.S. The h-p version of the finite element method for problems with interfaces // Internat. J. Numer. Methods Engrg. — 1994. — V. 37, No. 10. — P. 1741−1762.
- Gutlyanskii V. Ya., Ryazanov V. I. Solutions with singularities of an equation in mathematical physics // Ukrainian Math. J. — 1992. — V. 44, No. 2. — P. 155−159.
- Lions J.L., Magenes Е. Non-homogeneous boundary value problems and applications. V. I. — New York: Springer-Verlag, 1972.
- Maz’ya V. G., Rossmann Ju. On a problem of Babuska (stableasymptotics of solution to the Dirichlet problem for elliptic equations of second order in domains with angular points) // Math. Nachr. — 1992. — V. 155. — P. 199−220.
- Orsina L. Solvability of linear and semilinear eigenvalue problems with L1 data // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. — 1993.1. V. 90. — P. 207−238.
- Rukavishnikov V.A., Kashuba E.V. On the properties of an or-thonormalized singular polynomials set // Siberian J. of Numer. Mathematics. / Sib. Branch of Russ. Acad, of Sci. — Novosibirsk, 1999. — V. 2, No. 2. — P. 171−183.
- Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova H.I. The Finite Element Method for the Third Boundary Value Problem with Strong Singularity of Solution // ENUMATH 1997. — Singapore: World Scientific Publishing Company, 1998. — P. 540−548.
- Schwab C., Xanthis L.S. The method of arbitrary lines an h-p error analysis for singular problems // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. — 1992. — V. 315, No. 13. — P. 1421−1426.98
- Szabo В.A. PROBE Theoretical manual release 1.0. — NOETIC Technologies Corp. — St. Louis, MO, 1985.
- Tornig W. Numerische Mathematik fur Ingenieure und Physiker. Band 2: Eigenwertprobleme und Numerische Methoden der Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 1979. — 350 p.
- Turner M.J., Clough R.J., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and deflection analysis of complex structures //J. Aeronaut. Sci. — 1956. — V. 23. — P. 805−823.
- Vogelius M. An analysis of the p-version of the finite element method for nearly incompressible materials. Uniformly valid optimal error estimates // Numer. Math. — 1983. — V. 41. — P. 39−53.