Кубатурные формулы для приближенного интегрирования по поверхности тора

0.1. Постановка задач численного интегрирования и методы построения формул высокой алгебраической точности.

Широкие возможности применения вычислительной техники в практике вычислений способствуют интенсивному развитию теории приближенного интегрирования. Интегрирование является одной из самых распространенных математических операций. В самых различных областях часто приходится вычислять определенные интегралы, для которых невозможно получить точное значение, поэтому задача о приближенном вычислении определенного интеграла является одной из актуальных задач вычислительной математики. Формулы приближенного интегрирования п-кратного интеграла имеют вид приближенных равенств, в левой части которых стоит вычисляемый интеграл, а в правой — обобщение суммы Римана: линейная комбинация с постоянными коэффициентами значений подынтегральной функции в точках области интегрирования, называемых узлами. При п = 1 такие формулы приближенного интегрирования называют квадратурными, а при п > 2 — кубатурными.

Квадратурные формулы применяются со времен Ньютона. В настоящее время теория квадратурных формул разработана достаточно полно. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса, Гаусса, Чебышева и другие широко используются в различных областях науки и техники.

Разработка теории кубатурных формул началась сравнительно недавно. В общей постановке задачу можно сформулировать следующим образом: для кубатурной формулы = !ш{х)}{х)(т = Jш (xu., хп)/(хи., хп) с1П ~ п п.

N N $>/(*•¦) = Х>/(*}>.-. ,<) = (ол).

1 г=1 где С К", ., хп) — весовая функция, подобрать узлы Х{ и коэффициенты сг-, г = 1,., А^, таким образом, чтобы формула (0.1) удовлетворяла некоторым заданным условиям. В соответствии с этими заданными условиями используются различные постановки задачи приближенного интегрирования и различные методы построения кубатурных формул.

Например, пусть В — некоторое банахово пространство функций, вложенное в пространство непрерывных функций С, тогда погрешность кубатурной формулы (0.1) п/] = дл — т является линейным ограниченным функционалом в сопряженном пространстве В*.

Относительно нормы функционала I в В* можно поставить задачу минимизации (оптимальности) при заданном числе узлов или задачу асимптотической минимизации при неограниченном росте числа узлов. Эти задачи относятся к функциональному подходу к численному интегрированию или, другими словами, к теории кубатурных формул в классах функций.

Теория кубатурных формул в классах функций развивалась в работах С. Л. Соболева /26/, С. Н. Никольского /15/, Н. С. Бахвалова /1/,.

М. Д. Рамазанова /24/, В. И. Половинкина /19−21/, Ц. Б. Шойнжурова /30/ и других авторов.

Другой подход к приближенному вычислению интегралов использует вероятностно-статистические методы (в частности, метод Монте-Карло). Этим методам посвящены исследования С. М. Ермакова /3, 4/, Г. А. Михайлова /4/, И. М. Соболя /29/ и других.

Одним из основных разделов теории численного интегрирования является исследования вопросов, связанных с построением кубатурных формул, основанное на их алгебраической точности.

Этот алгебраический подход к проблеме приближенного вычисления интеграла имеет более длинную историю. Его суть состоит в том, чтобы при заданном числе узлов формула была точна (обращалась в точное равенство) на многочленах степени не выше й при возможно большем й. При п = 1 задача построения таких квадратурных формул решена полностью, причем в частном случае весовой функции и (х), тождественно равной 1, ее решил К. Гаусс. Подобная задача минимизации числа узлов ставится и для кубатурных формул. Однако известно, что одной из дополнительных, по отношению к одномерному случаю, сложностей в теории приближенного вычисления кратных интегралов является многообразие областей интегрирования. Поэтому алгебраический подход в ' приближенном интегрировании при п > 1 реализуется, как правило, на «стандартных» областях интегрирования: куб, симплекс, сфера и шар в Кп, либо все пространство Мп. Формулы, построенные при таком под-ходе, называются кубатурными формулами повышенной алгебраической точности или формулами гауссова типа.

В настоящее время интенсивно развиваются два направления теории кубатурных формул, обладающих ¿—свойством. Напомним, что формула (0.1) обладает ¿—свойством или является формулой алгебраической точности d, если она обращается в точное равенство на многочленах степени I не выше d из кольца полиномов P[rci,. ,?"] и в. , я&bdquo-] найдется хотя бы один полином степени d + 1 для которого она не точна.

Первое направление связано с обобщением на кубатурные формулы основного свойства квадратурных формул гауссова типа: в квадратурной формуле гауссова типа число узлов не больше, чем в любой другой квадратурной формуле той же алгебраической степени точности. Вопрос об уменьшении числа узлов при сохранении алгебраической степени точности становится еще более актуальным при вычислении кратных интегралов с помощью кубатурных формул. Минимизация числа узлов приводит к сокращению объема вычислений и, следовательно, к уменьшению машинной погрешности округлений. Необходимо отметить, что задача сокращения объема вычислений была и остается одной из самых актуальных в вычислительной математике.

Систематическое изучение кубатурных формул гауссова типа началось с результата Радона о кубатурной формуле пятой степени точности с семью узлами для плоских областей интегрирования /42/. В качестве узлов такой формулы выбирались общие корни ортогональных для данной области многочленов. Метод общих корней ортогональных многочленов для построения кубатурных формул был в дальнейшем развит И. П. Мысовских /12, 13/, Н. J. Schmid /44/ и Y. Хи /45/.

Другой метод, метод воспроизводящего ядра, в некотором смысле, близкий к методу общих корней ортогональных многочленов, был разработан также И. П. Мысовских /12/.

С помощью этих методов было построено много кубатурных формул для «стандартных» областей интегрирования (см. например, таблицу кубатурных формул из /12/). Как один из теоретических результатов полученных с их помощью можно указать значение нижней границы числа узлов кубатурных формул алгебраической точности (или степени) <1. Исследуя линейные пространства сужений полиномов степени не выше й на О вначале И. П. Мысовских для шара и сферы, а затем Н. М. МёИег /40/ для произвольной центрально-симметричной области интегрирования, принадлежащей некоторому алгебраическому многообразию, определили нижнюю границу числа узлов N кубатурной формулы алгебраической степени точности (I = 2к + 1. Отметим, что эта граница которую мы будем далее называть границей Мёллера, как правило, достигается только у формул низкой точности. Так например для сферы из К4 такая нижняя граница при й = Ь уже не достигается /12/.

Формулы, у которых число узлов достигает границы Мёллера, называются минимальными. Описанные выше два метода построения формул гауссова типа лучше всего работают при построении минимальных формул. Однако, в связи с тем, что минимальные формулы при больших (I обычно не существуют, для построения формул высокой алгебраической точности используют другой подход.

Этот второй подход к построению кубатурных формул с ¿—свойством связан с методом неопределенных параметров. В 1962 году С. Л. Соболев в /28/ ввел понятие инвариантной кубатурной формулы, доказал теорему, которая дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы инвариантная кубатурная формула обладала ¿—свойством, и построил инвариантные кубатурные формулы для трехмерной сферы. Эта работа позволила использовать результаты теории групп в вычислительной практике и тем самым расширить область применения метода неопределенных параметров.

Метод инвариантных формул успешно развивался усилиями советских математиков, прежде всего И. П. Мысовских и его учениками /13, 14/. И. П. Мысовских указал на важность использования теории инвариантов, в частности, теоремы Шевалле, которая заменила теорию представления групп при построении инвариантных кубатурных формул. Отметим также работы ташкентских математиков, в первую очередь, Г. Н. Салихова /25/ Исследования, проведенные Г. Н. Салиховым, были посвящены теории групп вращений правильных многогранников и построению инвариантных кубатурных формул для вычисления интегралов по поверхности многомерных сфер.

Значительное продвижение в построении кубатурных формул для сферы в ¡-К3 получил В. И. Лебедев /9, 10/. Он построил кубатурные формулы типа Гаусса — Маркова, т. е. кубатурные формулы, большая часть узлов которых не фиксируется, а определяется из системы нелинейных алгебраических уравнений. В. И. Лебедев предложил также замену переменных, при которой упрощаются полученные нелинейные системы, возникающие при построении инвариантных кубатурных формул для вычисления интегралов по сфере в трехмерном пространстве. Этот метод развивался в работах С. И. Коняева /6−8/, А. Haegemann /39/ и других авторов.

Для других областей интегрирования результаты применения метода инвариантных формул не так эффективны. Тем не менее, этот метод и здесь позволяет получить неплохие результаты /5/.

В настоящей диссертации при построении кубатурных формул для поверхности тора применяются метод воспроизводящего ядра и метод инвариантных кубатурных формул.

0.2. О содержании диссертации.

В данной диссертации рассматривается вопрос построения формул гауссова типа для поверхности тора в R3.

X2 + Y2 + Z2 — R2 — а2)2 + 4R2Z2 — AR2a2 = 0.

Есть несколько причин, по которым построение таких формул кажется интересным. Во-первых, в известной монографии А. X. Stroud /43/ имеются формулы для тора 5, 7 степеней точности (имеется в виду не поверхность, а тело). Формулы для приближенного интеграла по поверхности тора здесь не приведены. Отметим, что интегралы по поверхности тора или по некоторым его частям широко используются в механике (см., например /2/). Отдельные работы по построению формул гауссова типа для тора посвящены только формулам третьей степени точности. Причем, в /17/ при использовании некоторой подгруппы группы преобразований тора в себя построена формула с 8 узлами (при границе Мёллера равной шести). В /41/ построена минимальная формула степени 3 с помощью метода корней ортогональных полиномов.

Интересно то, что существование построенных формул зависит от соотношения параметров, а и R. Таким образом, тор является таким алгебраическим многообразием, которое является удобной моделью для исследования свойств кубатурных формул на двупараметрических многообразиях. Добавим, что в отличии от сферы или алгебраического тора в К", обладающих одинаковой кривизной, поверхность тора не обладает таким свойством.

Таким образом, построение и исследование кубатурных формул для тора является актуальной задачей теории кубатурных формул гауссова типа.

Цель данной диссертации заключатеся в построении формул гауссова типа для поверхности тора в М3 алгебраической степени точности (I с минимальным или наименьшим возможным числом узлов.

Все результаты диссертации являются новыми. В настоящей работе описаны все минимальные кубатурные формулы для поверхности тора третьей степени точности, построены минимальные формулы второй степени точности. Исследуются и строятся инвариантные кубатурные формулы для тора 4, 5, б, 7, 9, 11, 13 степеней точности.

При проведении исследований использовались методы математического анализа, вычислительной математики, в частности, теории кубатурных формул.

Перейдем теперь к краткому описанию диссертации.

Первая глава посвящена построению минимальных кубатурных формул для тора в М3 второй и третьей степеней точности и состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе даются предварительные сведения необходимые для дальнейшего построения мйЪимальных кубатурных формул: определение и свойства воспроизводящего ядра, связь между минимальными формулами и воспроизводящим ядром, а так же приводится нижняя граница числа узлов для тора.

Во втором параграфе проводятся исследования и строятся минимальные кубатурные формулы для поверхности тора второй степени точности методом воспроизводящего ядра. Данные кубатурные формулы существуют только для 1 < г < где г = В конце параграфа приводятся примеры, в которых строятся кубатурные формулы для конкретных радиусов г.

В третьем параграфе дается описание всех минимальных кубатурных формул для поверхности тора третьей степени точности. Отдельно рассматриваются два случая, когда г = 1 (вырожденный тор) и г > 1. Для г = 1 получено однопараметрическое семейство кубатурных формул степени 3. Для г > 1 получено семь типов однопараметрических кубатурных формул степени 3. В конце каждого случая приведены примеры полученных кубатурных формул.

В четвертом параграфе приводится анализ полученных результатов.

Во второй главе (содержащей три параграфа) исследуются инвариантные кубатурные формулы для тора.

В первом параграфе приводятся предварительные сведения об инвариантных кубатурных формулах и рассматриваются преобразования тора в себя и их инварианты.

Второй параграф состоит из примеров, в которых строятся кубатурные формулы для тора различных степеней точности инвариантные относительно преобразований группы <7.

Группа С, порожденная отражениями, переводящими тор в себя, есть прямое произведение подгруппы, порожденной отражениями от плоскости хОу и подгруппы С?2, порожденной отражениями плоскости хОу: С = (?1 х в2.

В качестве группы Ог рассматриваются Д- - группа преобразований правильного треугольников себя, — группа преобразований квадрата в себя, ?>12 — группа преобразований правильного шестиугольника в себя.

В отдельных примерах приводятся аналитические выражения для коэффициентов и узлов полученных кубатурных формул, исследуется вопрос о том, для каких радиусов существуют полученные кубатурные формулы. В конце каждого примера приведены таблицы полученных кубатурных формул для конкретных радиусов.

В третьем параграфе приводится анализ полученных результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в /31−38/. Они докладывались на II сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996 г.), на IV семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (Улан-Удэ, 1997 г.), на V международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (Красноярск, 1999 г.), на VI международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (Уфа, 2001 г.), на VII международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложения» (Красноярск, 2003 г.), на семинарах в Красноярском государственном техническом университете.

0.3. Основные обозначения и определения.

Пусть К — множество вещественных чиселЕ* - М {0}- - гг-мерное вещественное пространствоП С М" - некоторое множествоС К71' -наименьшее алгебраическое многообразие, содержащее Пк — целое неотрицательное число. Введем следующие обозначения:

Р — линейное подпространство многочленов от п переменных с коэффициентами из М;

Рк — подпространство Р, состоящее из многочленов степени < к;

Ьи — подпространство Рь, состоящее из четных многочленов при четном к и нечетных многочленов при нечетном к подпространство состоящее из многочленов с нулевым свободным коэффициентом;

V, Рк, С, С — линейные пространства сужений на П функций из Р, Рк, 1/ь VI соответственно. т — канонический эпиморфизм Р на V, т (/) = //?} (/ 6 Р).

Пусть: V —> М — некоторый линейный функционал. Введем в V скалярное произведение следующей формулой.

Композиция Д) = о г: Р —> М. является линейным функционаломмы будем рассматривать приближенные представления этого функционала, имеющие вид N х*е ^ е м, 7 = 1,., д^. (0.2).

Определение 0.1. Представление (0.2) называется ¿—точным ((1 6 Л/*), если /"(/) = любого /? Р, ь.

Определение 0.2. Симметричным случаем называется выполнение следующего условия: /а (/) = 0 для любого нечетного многочлена /.

Положим для четного d G Л/*, d = 2к,.

Nd = dim П;

0.3) для нечетного d 6 Л/", с? = 2к + 1, пусть.

Nd = 2dmCknNS =.

2 dim Ck + 1, к — нечетно, 2 dim + 1, к — четно.

0.4).

Определение 0.3. Пусть d 6 Jf четно. Будем называть d-тпочнос представление (0.2) минимальным, если N = Nj.

Определение 0.4. Пусть d N нечетно. Будем называть d-точное представление (0.2) минимальным, если N = N, i.

Определение 0.5. Приближенное представление (0.2) соответствующего функционала Iq будем называть кубатурной формулой, а параметры х], cj этого представления — соответственно набором узлов и набором коэффициентов (весов) кубатурной формулы.

1. Бахвалов, Н. С. Численные методы, т. 1./ Н. С. Бахвалов. — М.: Наука, 1975. — 632 с.

2. Бояршинов, С. В. Основы строительной механики машин / С. В. Бо-яршинов. М.: Машиностроение, 1973. — 456 с.

3. Ермаков, С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы / С. М. Ермаков. М.: Наука, 1975.

4. Ермаков, С. М., Статистическое моделирование / С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов. М.: Наука, 1982.

5. Коняев, С. И. Квадратурные формулы на сфере, инвариантные относительно группы икосаэдра: Препринт ИАЭ — 2516 / С. И. Коняев. М., 1975.

6. Коняев, С. И. Инвариантные формулы интегрирования на сфере: Препринт ИАЭ 2553 / С. И. Коняев. — М., 1975.

7. Лебедев, В. И. Квадратурные формулы для сферы 25−29-го порядка точности / В. И. Лебедев // Сиб. матем. журнал. 1977. — Т. 18-N 1- С. 132−142.

8. Лебедев, В. И. О квадратурах на сфере / В. И. Лебедев // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ 1976. — Т. 16. — N 2 — С. 293−306.

9. Мысовских, И. П. Интерполяционные кубатурные формулы / И. П. Мысовских. М.: Наука, 1981. — 336 с.

10. Мысовских, И. П. О вычислении интегралов по поверхности сферы / И. П. Мысовских // ДАН СССР. 1977. — Т. 235. — N 2. — С. 269−272.

11. Мысовских, И. П. О кубатурных формулах, инвариантных относительно групп преобразований / И. П. Мысовских // Методы вычислений. Вып. И. Л.: Из-во Ленингр. ун-та, 1978. — С. 3−21.

12. Никольский, С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. -М.: Наука, 1974. 224 с.

13. Носков, М. В. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования периодических функций / М. В. Носков // Методы вычислений. Вып. 14. Л.: Из-во Ленингр. ун-та, 1985. — С.15−23.

14. Носков, М. В. О приближенном интегрировании по поверхности тора / М. В. Носков // Вест. СПбГУ, Вып. 3. Санкт-Петербург, 1992. -N 15. — Сер. 1. — С. 100−102.

15. Половинкин, В. И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетных т / В. И. Половинкин // Сиб. мат. журн. 1975. — Т. 16. — N 2. -С. 328−335.

16. Половинкин, В. И. Некоторые свойства одного функционального уравнения теории квадратурных формул / В. И. Половинкин // Кубатурные формулы и их приложения: Сборник статей семинара-совещания. Красноярск, 1994. С. 79−89.

17. Пономаренко, А. К. Три инвариантные кубатурные формулы девятой степени для гипероктаэдра / А. К. Пономаренко // Кубатурные формулы и их приложения: Материалы V международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 2000. — С. 150−158.

18. Рамазанов, М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования / М. Д. Рамазанов. Уфа: Из-во Башк. ГУ, 1973. — 176 с.

19. Салихов, Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер / Г. Н. Салихов. Ташкент: Фан, 1985. — 104 с.

20. Соболев, С. JI.

Введение

в теорию кубатурных формул / С. JI. Соболев. М.: Наука, 1974. — 808 с.

21. Соболев, С. JI. Кубатурные формулы / С. JI. Соболев, В. JI. Васке-вич. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. — 484 с.

22. Соболев, С. JI. О формулах механических кубатур на поверхности сферы / С. JI. Соболев // Сиб. матем. журнал. 1962. — Т. 3. — N 5. — С. 769−791.

23. Соболь, И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Ха-ара / И. М. Соболь. М.: Наука, 1969.

24. Шойнжуров, Ц. Б. Норма функционала погрешности кубатурных в пространствах W™. / Ц. Б. Шойнжуров // Материалы конференции ВСТИ, 1971. С. 5−8.

25. Носков, М. В. Метод воспроизводящего ядра для тора. / М. В. Носков, И. М. Федотова // Второй сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов. Новосибирск, 1996. — С. 78−79.

26. Носков, М. В. Об инвариантных кубатурных формулах для тора в К3 / М. В. Носков, И. М. Федотова // Журнал выч. математики и мат. физики. 2003. — Т. 23. — N 9. — С. 1323−1329.

27. Федотова, И. М. Кубатурные формулы 3 степени точности для тора / И. М. Федотова // Кубатурные формулы и их приложения: Сборник трудов IV семинара-совещания. Улан-Удэ: ВСГТУ, 1997. -С. 115−123.

28. Федотова, И. М. Минимальные кубатурные формулы для тора второй степени точности / И. М. Федотова // Кубатурные формулы и их приложения: Тезисы докладов V международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 1999. — С. 37−38.

29. Федотова, И. М. Кубатурные формулы для тора второй степени с минимальным числом узлов / И. М. Федотова // Кубатурные формулы и их приложения: Материалы V международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 2000. — С. 201−206.

30. Федотова, И. М. Инвариантные кубатурные формулы для тора / И. М. Федотова // Кубатурные формулы и их приложения: Материалы VI международного семинара-совещания. Уфа: ИМВЦ УфНЦ РАН, БУПУ, 2001. — С. 132−136.

31. Федотова, И. М. Инвариантные кубатурные формулы для тора четвертой степени / И. М. Федотова // Кубатурные формулы и их приложения: Материалы VII международного семинара-совещания.- Красноярск: КГТУ, 2003. С. 172−174.

32. Haegemans, A. Construction of cubature formulas of degree eleven for symmetric planar regions, using orthogonal polynomial / A. Haegemans, R. Piessens // Numer. Math. 1976. — N 25. — P. 139−148.

33. МёПег, H. M. Lower bounds for the number of nodes in cubature formulae / H. M. МёНег // in: Numerische Integration / Herausgegeben von. G. Hammerlin, ISNM 45. Basel: Birkhauser Verlag, 1979. — P. 221 230.

34. Noskov, M. V. Minimal Cubature Formulae of Degree 3 for Integrals over the Surface of the Torus / M. V. Noskov, H. J. Schmid // Computing.-1996.-V. 57.-P. 213−223.

35. Radon, J. Zur mechanischen Kubatur / J. Radon // Monatsh. Math. -1948. Vol. 52. — N 4. — P. 286−300.

36. Stroud, A. H. Approximate calculation of multiple integrals. / A. H. Stroud.- Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1974.

37. Schmid, H. J. Interpolatorische Kubaturformeln. Diss. Math. CCXX / H. J. Schmid. 1983. — 122 p.

38. Xu, Y. Orthogonal polynomials of several variables / Y. Xu, C. F. Dunkl // Cambgidge Univ. Press. 2001.