Одномерные вариационные и полностью консервативные разностные схемы МГД в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных

Широкий круг вопросов современной науки и техники связан с решением задач газовой динамики (ГД) и магнитной гидродинамики (МГД).

В приближении сплошной среды задачи ГД и МГД сводятся к системам нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Однако дифференциальная модель для подавляющего большинства прикладных задач, вследствие отсутствия хорошо разработанного аналитического аппарата ее исследования, оказывается мало эффективной.

Модели среды, полностью определяемые конечными числами вычисляемых параметров, естественно назвать дискретными. Использование этих моделей и тщательно проведенные физические эксперименты позволяют получить достаточно полную информацию и определить необходимые характеристики полей течения в задачах ГД и МГД. Поэтому в настоящее время сильно возрос интерес к построению численных методик, реализация которых граничит с проведением численного эксперимента.

По сравнению с физическим численный эксперимент, проводимый на современных быстродействующих электронных вычислительных машинах, экономически существенно дешевле, а в ряде случаев (когда физический эксперимент трудно осуществим из-за сложных режимов течения) он является единственным инструментом исследования.

Остановимся на некоторых идеях, лежащих в основе большей части используемых в настоящее время численных методов.

При разработке численных алгоритмов первым шагом является выбор способа аппроксимации сплошной среды некоторым дискретным ее аналогом [l-з].

Пространственная сетка может быть эйлеровой, лагранжевой или смешанной эйлерово-лагранжевой (СЭЛ).

Эйлерова сетка неподвижна в лабораторной системе координат, лагранжева неподвижна в системе координат, связанной со средой. Для СЭЛ алгоритмов движение точек сетки и среды произвольно. Выбор типа разностного алгоритма определяет не только относительное движение точек сетки и среды, но и сложность разностных уравнений в соответствующих координатах (эйлеровых, лагранжевых или смешанных эйлерово-лагранжевых). Вопрос о выборе системы координат является очень важным при построении численных методик.

Эйлеровы сетки просты и во многих случаях экономичны [4-Ю]. Они неподвижны и их структура может быть выбрана так, чтобы упростить численную аппроксимацию пространственных производных. При использовании эйлеровых алгоритмов в случае необходимости вводятся некоторые вспомогательные линии, аппроксимирующие границу рассчитываемой области и жидкие поверхности. При этом могут образовываться нерегулярные (зависящие от времени) граничные ячейки, возникают внешние для рассматриваемой области узлы и т. д., что, вообще говоря, сказывается на точности расчетов по схемам, использующим эйлеров подход.

К недостаткам эйлеровых методов следует также отнести обычно сопутствующую им чрезмерно высокую аппроксимационную вязкость, затрудняющую расчеты при наличии контактных разрывов. Для преодоления этих недостатков используется метод коррекции потоков [IIJ и различные его модификации [12−14J. Так в [13 ] идея коррекции потоков реализована на основе сравнения схем первого и более высокого порядков аппроксимации.

Однако несомненным достоинством разностных схем в эйлеровых переменных помимо их экономичности является возможность сквозного расчета течений с сильными пространственными деформациями.

В одномерных нестационарных задачах газовой динамики с большим успехом применяются методы, основанные на использовании лагранжева подхода [38−4о] (аппроксимирующая сетка движется вместе с жидкостью).

В задачах, имеющих две пространственные переменные, использование лагранжевых координат встречает определенные трудности, связанные с искажением расчетной сетки там, где появляются сильные сдвиговые деформации. Для таких задач расчет по лагранжевым схемам становится практически невозможным.

Лагранжевы сетки при расчете двумерных задач состоят обычно из четырехугольных ячеек [15−17], поскольку такие ячейки связаны между собой простыми логическими связями. Однако лагранжевы сетки могут быть образованы и из ячеек произвольной формы. Использование треугольных ячеек [16,18,19], по сравнению с четырехугольными, имеет некоторое преимущество, потому что они всегда выпуклы. Построение разностных схем на лагран-жевой сетке не так просто, как для регулярной эйлеровой сетки [20 ]. Однако несомненным достоинством лагранжевых методов является их большая, по сравнению с эйлеровыми методами, точность расчета контактных границ, обусловленная отсутствием членов, соответствующих конвективному переносу.

Другими словами, в тех задачах, где пространственные деформации невелики или, как в одномерных случаях, вообще отсутствуют, использование лагранжевых разностных схем с хорошо подобранной искусственной вязкостью [21,22] является наиболее предпочтительным.

СЭЛ методы обладают большей гибкостью по сравнению с лаг-ранжевыми и эйлеровыми методами, что позволяет приспособить вычисления к конкретной задаче [23−30]. Использование СЭЛ подхода может давать большие преимущества. Во многих задачах можно исключить за счет выбора СЭЛ разностной сетки движение среды как целого и тем самым уменьшить конвективный перенос. При использовании подвижной разностной сетки могут быть легко выделены границы раздела, а в области, где требуется хорошее разрешение, узловые точки можно «сгустить». Благодаря своей гибкости, СЭЛ методы находят широкое применение.

Помимо методов, основанных на использовании эйлеровых, лагранжевых или СЭЛ сеток, существует довольно обширный класс алгоритмов, которые нельзя отнести ни к одному из рассмотренных выше типов. Это методы, основанные на представлении сплошной среды в виде «частиц» [31−34] или «свободных точек» [35−37] .

Описанная классификация численных алгоритмов проведена по принципу выбора способа движения разностной сетки. Однако чрезвычайно важную роль играют и другие особенности того или иного численного алгоритма.

Обычно разностные схемы строятся из соображений аппроксимации, устойчивости и некоторых дополнительных требований, таких, например, как однородность, консервативность fl-3,6] .

Требование консервативности следует считать одним из основных принципов построения разностных схем. К консервативным схемам относятся схемы, для которых справедливы разностные аналоги основных законов сохранения.

Существенный шаг в разработке эффективных разностных схем.

ГД и МГД в лагранжевых переменных, обеспечивающих достаточную точность даже на грубых сетках для задач с быстроменяющимися характеристиками течения, сделан в работах [38−43]. Он привел к формулировке принципа полной консервативности. Полностью консервативные схемы характеризуются тем, что для них выполняются не только разностные аналоги основных законов сохранения, но и дополнительные соотношения, выражающие балансы по отдельным видам энергии. Примеры многочисленных расчетов по полностью консервативным лагранжевым схемам показали их большую эффективность по сравнению с консервативными схемами [з, 44−5о] .

Построение полностью консервативных лагранжевых разностных схем ГД и МГД представляет собой самостоятельную серьезную математическую проблему, особенно для многомерных задач.

Для упрощения и формализации этой процедуры разработан достаточно гибкий вариационный подход, на основе которого были получены двумерные и трехмерные полностью консервативные разностные схемы, среди которых есть схемы в произвольных криволинейных системах координат [51−58], а также полностью консервативные разностные схемы на треугольных лагранжевых сетках [59−60]. Примеры численных расчетов сложных двумерных прикладных задач полностью подтвердили высокую эффективность полностью консервативных вариационно-разностных схем [б1−7з] .

Один из наиболее общих и фундаментальных подходов к изучению задач теоретической и математической физики основан на использовании вариационных принципов, среди которых следует упомянуть закон минимальности энергии для стационарных механических систем [74], закон наименьшего действия для динамических систем с конечным числом степеней свободы [75]. Известны вариационные формулировки уравнений электродинамики [7б], диссипа-тивных явлений [77] и уравнений ГД и МГД [78,79].

Вариационный подход к построению лагранжевых дискретных моделей основан на вариационном принципе, аналогичном принципу наименьшего действия по Гамильтону [7б]. Вид аппроксимации функционала действия и ряда условий, носящих характер связей, разностными по пространству выражениями полностью определяет модель среды.

Последующее применение вариационного формализма приводит к дифференциально-разностным уравнениям (дифференциальным по времени и разностным по пространству), аппроксимирующим динамическое уравнение в лагранжевых переменных.

При достаточно общих требованиях к виду аппроксимации функционала действия [52,56J, получающиеся на основе вариационного подхода дифференциально-разностные уравнения обладают свойством консервативности и, кроме того, аппроксимация различных уравнений оказывается в определенном смысле согласованной, что и позволяет с помощью сравнительно простой процедуры дискретизации по времени получать полностью консервативные разностные схемы.

При использовании эйлерова и СЭЛ подхода задача построения полностью консервативных разностных схем заметно усложняется даже для одномерных задач. Это связано с необходимостью согласованно аппроксимировать конвективные потоки массы, магнитного поля, импульса, кинетической и магнитной энергии, возникающие вследствие «проскальзывания» материальных частиц среды относительно расчетной сетки.

В работе [во] на основе операторного подхода построена полностью консервативная дифференциально-разностная схема (дифференциальная по времени и разностная по пространству), а в [81,82] на основе других принципов построена разностная полностью консервативная схема с такой же аппроксимацией по пространству конвективных потоков в эйлеровых переменных для задач ГД.

В последнем случае предлагается алгоритм формализации процесса построения полностью консервативных разностных схем для широкого класса нелинейных уравнений в частных производных, в том числе и для задач ГД и МГД. Этот алгоритм сводит проблему построения таких схем к задаче нахождения решения системы нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров искомых полностью консервативных схем. Как правило, получаемая система является весьма сложной и найти ее решение бывает достаточно трудно.

Для построения полностью консервативной одномерной схемы ГД в эйлеровых переменных рассматривалось 14-параметрическое семейство схем, аппроксимирующих на 9-точечном шаблоне систему дифференциальных уравнений ГД. Для нахождения искомых параметров потребовалось исследовать нелинейную систему относительно четырнадцати неизвестных.

Отметим однако, что полностью консервативная схема, построенная в перечисленных работах, симметрично аппроксимирует конвективные потоки. А известно, что такие схемы характеризуются образованием нефизических осцилляций в окрестностях разрывов.

Целью настоящей работы является: во-первых, распространение хорошо зарекомендовавшего себя для лагранжевых схем вариационного подхода к построению одномерных разностных моделей ГД и МГД на случай использования СЭЛ сетокво-вторых, формулировка достаточно простого формализованного подхода к построению широкого класса одномерных полностью консервативных разностных схем ГД и МГД в СЭЛ переменных, имеющих произвольный наперед заданный порядок аппроксимации по времени и пространству на достаточно гладких решенияхв третьих, выявление особенностей предложенных алгоритмов и сравнение результатов с аналогичными результатами, полученными по ряду известных методик.

Решению первой из поставленных задач посвящена глава I.

Глава состоит из пяти параграфов и приложения. Материал, содержащийся в этой части работы, опубликован в [83−85^). В главе I подробно изложен вариационный подход к построению разностных схем для задач ГД в СЭЛ переменных. Вариационные разностные модели для задач МГД в СЭЛ переменных описаны в приложении.

В § I обсуждается формулировка вариационного принципа получения дифференциальных уравнений ГД, которая легла в основу построения разностной модели.

Требование равенства нулю первой вариации функционала действия, аналогичного функционалу действия по Гамильтону для механических систем с конечным числом степеней свободы [75], приводит в отличии от лагранжева случая при использовании СЭЛ переменных к двум уравнениям. Варьирование проводится с учетом дифференциальных соотношений, представляющих собой обобщение на СЭЛ переменные закона сохранения массы, первого начала термодинамики и кинематического соотношения, описывающего процесс переноса лагранжевой координаты. Одно из полученных уравненийизвестное дифференциальное уравнение, описывающее изменение импульса. Второе уравнение определяет величину члена7″ Jjf «обусловленного наличием конвективного переноса энтропии в уравнении изменения внутренней энергии: через другие параметры течения: скорость, энтальпию и у — PJL, А ~ Vt.

Здесь % - функция, описывающая характер перемещения опорных л координат (СЭЛ координат) относительно эйлеровых— оператор дифференцирования по времени при постоянной | - опорной координате-? — удельная внутренняя энергияР — давление- 7″ - температура- 5 — энтропия.

Таким образом применение вариационного формализма приводит к уравнению изменения внутренней энергии в некотором специальном виде.

Аппроксимируя некоторым образом функционал действия и условия, носящие характер связей, можно полностью определять различные модели среды. Эти модели описываются дифференциально-разностными (дифференциальными по времени и разностными по пространству) уравнениями. При этом дифференциально-разностное уравнение изменения внутренней энергии аппроксимирует соответствующее дифференциальное уравнение, записанное в специальном виде, определяемом вариационным формализмом. Описание широкого класса таких моделей содержится в § 2.

В § 3 показана консервативность построенных вариационных дифференциально-разностных моделей, а в § 4 подробно рассмотрена одна из простейших схем рассматриваемого класса.

Материал, изложенный в § 5, посвящен вопросу дискретизации по времени предложенных схем. В соответствии с идеологией полной консервативности предложена процедура дискретизации по времени, не нарушающая ни консервативности, ни взаимосогласованности разностной модели, вследствие чего в уравнении изменения внутренней энергии не возникает дополнительных членов из-за временной аппроксимации. Таким образом, величина члена, обусловленного конвективным переносом энтропии, не изменяется из-за наличия дополнительных источников чисто разностного происхождения, связанных с аппроксимацией по времени.

В случае использования лагранжевых сеток, когда конвективный перенос энтропии отсутствует, вариационно-разностные схемы совпадают с широко известными полностью консервативными схемами.

Глава П настоящей работы содержит восемь параграфов и приложение.

В этой главе предложен формализованный подход к построению полностью консервативных одномерных схем ГД и МГД в случае плоской и осевой симметрии течения.

Случай аксиальной симметрии течения, когда H—(0,Hfi0) описан в приложении.

Предложенный метод основывается на специальном представлении, названном «каскадным», производных по времени и пространству соответствующей дифференциальной модели (§ I, § 3).

Опираясь на каскадную форму записи пространственных производных, в § 2 предложена согласованная аппроксимация конвективных потоков магнитного поля, массы, импульса и энергии, не нарушающая баланса по отдельным видам энергии. А в § 3, исходя из каскадного представления временных производных , — согласованная временная дискретизация.

Полученная взаимосогласованная аппроксимация конвективных потоков и временных производных позволяет построить широкий.

Более подробно рассмотрен случай, когда класс полностью консервативных схем ГД и МГД в СЭЛ переменных, имеющих произвольный наперед заданный порядок аппроксимации по времени и пространству на достаточно гладких решениях (§ 4), причем показано, что дискретные аналоги временных и пространственных производных могут выбираться совершенно независимо.

В § 5 рассмотрены два варианта полностью консервативной аппроксимации временных производных. Оба эти варианта приводят к трехслойным разностным схемам, что находится в полном соответствии с результатами, полученными в [81, 82].

Одна из этих схем трехслойна по всем переменным. Другая схема содержит скорость и величину напряженности магнитного поля на трех временных слоях, а по остальным переменным двухслойна .

В § 6 рассмотрено два варианта полностью консервативной аппроксимации конвективных потоков: симметричная аппроксимация и аппроксимация потоков массы и внутренней энергии «вверх по потоку» .

На основе этих двух вариантов аппроксимации конвективных членов предложен полностью консервативный вариант метода коррекции потоков (§ 7).

Основная идея коррекции потоков реализована аналогично [13] на основе сравнения схем первого порядка аппроксимации со схемами более высокого порядка.

Построенные схемы симметрично аппроксимируют потоки магнитного поля, что может приводить к появлению нефизических осцилляции в окрестностях разрывов. Для монотонизации решения при наличии разрывов в напряженности магнитного поля введена искусственная диффузия (§ 8).

Материал, изложенный в главе П, опубликован в работах [88−86].

Глава Ш содержит четыре параграфа.

В §§ I, 2 главы Ш рассмотрено акустическое приближение для построенных вариационных и полностью консервативных разностных схем и проведен анализ диссипативных свойств линеаризованных дифференциально-разностных уравнений (дифференциальных по времени и разностных по пространству) для простейших схем, рассмотренных в главах I и П.

Показано, что решение этих уравнений, так же как и для лагранжевых вариационных схем [90,9l], может быть представлено в виде суперпозиции стоячих волн и предложен алгоритм выбора коэффициента при искусственном диссипаторе из условия наибыстрейшего затухания самой высокочастотной компоненты.

В § 3 обсувдаются вопросы устойчивости.

§ 4 содержит описание расчетов тестовых задач, на которых были апробированы: простейшая вариационная схема, описанная в главе I, полностью консервативная схема с аппроксимацией конвективных членов в уравнениях изменения плотности и внутренней энергии «вверх по потоку», а также полностью консервативный вариант метода коррекции потоков (временная аппроксимация у всех схем двухслойна по всем переменным кроме скорости).

Вычислительные особенности этих схем рассматривались в сравнении с результатами расчетов по ряду других численных методик. Сравнение проводилось со схемой Годунова [92], схемой SHASTX Бориса-Бука с коррекцией потоков [12,II], схемой Мак—Кормака со сглаживанием (схема Жмакина-Фурсенко) [14] и некоторой консервативной схемой, построенной на основе интегро-интерполяционного подхода [2].

Анализ полученных результатов позволил сделать ряд выводов.

— Использование полностью консервативной схемы дает существенные преимущества при решении задач о распаде разрывов по сравнению с известными схемами: Годунова и Бориса-Бука с коррекцией потоков (SHASTA);

— В окрестностях ударных волн и контактных разрывов полностью консервативная схема не уступает по качеству схеме Жма-кина-Фурсенко, но с большей точностью передает веер волн разряжения;

— Полностью консервативная схема является экономичной по затратам машинного времени на один временной шаг и не требует предварительной процедуры «настройки параметров», характерной для ряда других схем (варьирование коэффициента диффузии в схеме Жмакина-Фурсенко);

— Полностью консервативная схема не приводит к возникновению нефизических осцилляций вычисляемых величин;

— Расчеты не выявили сколько-либо существенных различий между вариационными и полностью консервативными схемами для рассмотренных задач. Все же следует отметить, что из-за большого количества арифметических операций, проводимых при вычислении внутренней энергии на новом временном слое, расчеты по вариационной схеме требуют несколько больше машинного времени, чем по полностью консервативной;

— Хорошие результаты дает полностью консервативная схема с коррекцией потоков. Она хорошо передает контактные разрывы, однако ей присущи недостатки, характерные дал лагранжевых схем — наличие энтропийного следа, правда менее выраженного;

— Преимущества полностью консервативных лагранжевых схем перед консервативными выявляются при больших числах Куранта.

В случае же использования СЭЛ пространственных сеток дисбаланс в уравнении изменения внутренней энергии, возникающий из-за несогласованности аппроксимаций конвективных потоков массы, импульса и кинетической энергии, настолько важен для задач, где абсолютная скорость движения велика, что может оказывать существенное влияние на решение и при малых числах Куранта.

Результаты, вошедшие в главу Ш, опубликованы в работах [85−89].

ЗЕ? эе.

Таким образом в работе:

— Вариационный подход к построению дискретных лагранжевых моделей для задач ГД и МГД распространен на случай использования СЭЛ переменных (в том числе и эйлеровых). На основе предложенного подхода построен новый широкий класс одномерных разностных схем. Полученные вариационные схемы консервативны и, кроме того, для них справедливы некоторые дополнительные балансные соотношения между отдельными видами энергий.

— Предложен формализованный подход к построению одномерных полностью консервативных разностных схем в СЭЛ переменных (в том числе и эйлеровых) для задач ГД и МГД как в случае плоской, так и в случае осевой симметрии течения. Используя этот подход, построены разностные схемы, обладающие произвольным наперед заданным порядком аппроксимации по времени и пространству, среди которых есть схемы с аппроксимацией конвективных производных «вверх по потоку» .

— На основе сравнения полностью консервативных схем первого порядка аппроксимации со схемами более высокого порядка, предложен полностью консервативный вариант метода коррекции потоков в СЭЛ переменных.

— Принцип спектрального согласования, используемый при построении линейных искусственных диссипаторов для лагранжевых схем, распространен для ряда вариационных и полностью консервативных разностных алгоритмов на случай использования СЭЛ переменных.

— Вариационные и полностью консервативные разностные схемы опробованы на серии тестовых расчетов. Проведено сравнение результатов использования этих схем с аналогичными результатами, полученными по ряду других численных методик. Показано, что вариационные и полностью консервативные разностные схемы на некоторых классах задач дают определенные преимущества.

Материалы диссертационной работы докладывались:

— на семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМК МГУ под руководством академика А. А. Самарского;

— на научно-исследовательском семинаре отдела № 3 ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР под руководством академика А. А. Самарского и д.ф.-м.н. А. П. Фаворского;

— на семинаре ВЦ АН СССР под руководством д.ф.-м.н. Ю. Д. Шмыглевского;

— на Всесоюзной школе «Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики» (г.Рига, 1982 г.);

— на Всесоюзной школе «Численные методы решения задач математической физики» (г. Львов, 1983 г.). X.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [83−88].

Диссертационная работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова под руководством В.М. Головиз-нина, которому автор выражает благодарность и искреннюю признательность.

Автор также считает своим приятным долгом выразить благодарность академику А. А. Самарскому за постоянное внимание к работе и ряд ценных замечаний.

Заключение

.

Анализ полученных результатов позволяет сделать ряд выводов:

— Использование полностью консервативной разностной схемы дает существенные преимущества при решении поставленных задач по сравнению с известными схемами: Годунова и Бориса-Бука с коррекцией потоков (SHASTX),.

— В окрестностях ударных волн и контактных разрывов полностью консервативная схема не уступает по качеству схеме Жма-кина-Фурсенко, но с большей точностью передает веер волн разрежения.

— Полностью консервативная схема является экономичной по затратам машинного времени на один временной шаг и не требует предварительной процедуры «настройки параметров», характерной для ряда других схем (варьирование коэффициента диффузии в схеме Жмакина-Фурсенко).

— Полностью консервативная схема не приводит к возникновению нефизических осцилляций вычисляемых величин.

— Все сказанное о полностью консервативной схеме справедливо и для вариационной. Расчеты не выявили сколько-либо существенных различий между ними для рассмотренных задач.

— Хорошие результаты дает полностью консервативная схема с коррекцией потоков. Она хорошо воспроизводит контактный раз.

— v.

5) i V v.

Рис. 11 рыв, но для нее характерны недостатки, присуще лагранжевым схемам, а именно, наличие «энтропийного следа» [3], правда, более слабо выраженного.

— Применение подвижных смешанных эйлерово-лагранжевых сеток позволяет получить более точное решение поставленных задач.

— Преимущества полностью консервативных лагранжевых схем перед консервативными выявляются при больших числах Куранта.

В случае же использования СЭЛ пространственных сеток дисбаланс в уравнении изменения внутренней энергии, возникающий из-за несогласованности аппроксимаций конвективных потоков массы, импульса и кинетической энергии, настолько важен для задач, где абсолютная скорость движения велика, что может оказывать существенное влияние на решение и при малых числах Куранта.