Монотонные бикомпактные схемы для уравнений гиперболического и параболического типов

Уравнения и системы уравнений гиперболического типа составляют значительную часть математических моделей, используемых для решения разнообразных прикладных задач [1]. Линейное уравнение переноса является одним из фундаментальных уравнений математической физики [40], которое активно используется для решения широкого круга задач о распространении электромагнитного излучения в различных средах. В их число входят задачи переноса излучения в атмосфере, задачи аэрокосмического мониторинга природной среды и дистанционного зондирования атмосферы планет [41], задача о зондировании биологической ткани лазерным импульсом [42], расчет полей нейтронов, порожденных активной зоной ядерного реактора [43]. Важнейшим свойством, которому должны удовлетворять разностные схемы сквозного счета для численного решения данного класса задач, является их монотонность [1]. Другое важнейшее требование к схемам сквозного счета — свойство консервативности [4]. Созданию высокоточных и экономичных разностных схем для уравнения переноса посвящено огромное число работ (см., например, обзоры [1,35, 44]).

Существует несколько способов повышения порядка аппроксимации схем по пространственным переменным. Эти способы можно условно классифицироватьследующим образом: использование многоточечных шаблоновиспользование дифференциальных следствий исходных уравненийприменение компактных аппроксимаций производных [5]- использование комбинаций сеточных функций, полученных на разных сетках, например метод Ричардсона [32, 33]. Существуют также подходы, в которых указанные способы объединены. Например, в хорошо известной среди газодинамиков-вычислителей работе [34] при построении схемы четвертого порядка аппроксимации на двухточечном шаблоне для скалярного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка 3 использовались как компактная аппроксимация четвертого порядка, так и дифференциальные следствия исходного уравнения.

В настоящее время среди схем высокого (выше первого) порядка аппроксимации большую популярность получили компактные схемы [5−8]. При построении таких схем используются дифференциальные следствия исходных уравнений, что позволяет при разностной аппроксимации производных использовать небольшое число точек шаблона (компактный шаблон). Порядок компактной аппроксимации больше или равен числу точек шаблона [5, 6].

В недавней' обзорной статье [45], посвященной проблеме, построения монотонных разностных схем для уравнений гиперболического типа, в частности, линейного уравнения переносаотмечено, что перспективным направлением разработки монотонных схем является их поиск среди схем, обладающих компактностью пространственного шаблона, а также среди схем, построенных для продолженной системы. При этом продолженная система состоит из основного уравнения? переноса для искомой функции и уравнения- (или уравнений) для пространственных производных от этой функции, которые рассматриваются как дополнительные искомые функции [46]'. Обычно, при построении компактных схем производные от искомых функций рассматриваются в качестве искомых переменных [9]. Этот прием позволяет легко сформулировать граничные условия с высокой точностью на компактном разностном шаблоне. Компактность шаблона обеспечивает экономичность неявных компактных схем: разностные уравнения решаются либо прогонкой [5, 6, 9], либо бегущим^ счетом' [10]. Компактные схемы обладают свойством консервативности [5, 6, 11].

Анализ литературы показывает, что [34], судя, по всему, является первой работой, в которой построена схема четвертого порядка точности на двухточечном шаблоне по пространственной переменной. Важно отметить, что для расчета областей течений с большими градиентами газодинамических переменных на основе гиперболических законов 4 сохранения [1, 35] двухточечные компактные схемы кажутся более перспективными по сравнению с трехточечными [5], поскольку в отличие от последних обладают следующими важными свойствами. Во-первых, схема с двухточечным шаблоном сохраняет порядок аппроксимации при переходе от равномерной сетки к неравномерной. Во-вторых, если узел сетки расположить в точке разрыва решения, то в компактной двухточечной схеме можно избежать интерполяции через разрыв.

В кратком изложении методика [34] состоит из следующих основных этапов: 1) введение производных в качестве дополнительных искомых функций с целью сведения уравнения высокого порядка к системе уравнений первого порядка- 2) использование интегро-интерполяционного метода и квадратурных формул Симпсона и Маклорена для построения разностной схемы- 3) использование формул четвертогопорядка точности, определяющих значения искомой* функции! и ее производных в полуцелых узлах сетки череззначения' функции и, ее производных в целых узлах, для того, чтобы исключить указанные величины в полуцелых узлах из разностной схемы. Заметим, что если на этапе 2 использовать квадратурную формулу трапеций вместо формул Симпсона и Маклорена, то получаются двухточечные схемы второго порядка точности.

Отметим, что в [36] схема второго порядка на двухточечном минимальном шаблоне для гиперболических уравнений была получена, как и в [34], путем введения производной от искомой функции в качестве дополнительного независимого неизвестного. В работе [9] этот же прием использован для построения схемы четвертого порядка для уравнения теплопроводности также на двухточечном шаблоне. В недавней работе [19] схемы повышенного порядка аппроксимации на двухточечном шаблоне были названы для краткости бикомпактными. В работе мы будем придерживаться этого, на наш взгляд, удачного названия.

В работе [37] бикомпактная схема [34] для скалярного дифференциального уравнения третьего порядка была модифицирована и 5 обобщена на случай решения системы нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Эта модифицированная схема была применена к решению внутренних и внешних задач динамики вязкого газа [38, 39].

В [20] построены бикомпактные разностные схемы для линейного уравнения переноса путем использования различных схем интегрирования по времени эволюционных систем-дифференциальных уравнений, полученных методом прямых. Однако свойства этих схем были исследованы лишь на гладких решениях.

В настоящее время широкое распространение получили двухслойные разностные схемы повышенной точности для сквозного расчета разрывных решений гиперболических систем законовсохранения [1, 35]. При построении таких схем основным принципом является известная теорема об ограничении порядка аппроксимации двухслойных монотонных линейных схем [22]. Схемы с нецентрированными пространственными аппроксимациями [5, 6], ориентированными против потока, являются устойчивыми и диссипативными при подходящей аппроксимации производных по времени. Однако, для точного воспроизведения структуры скачков искомых функций с помощью этих схем нечетного порядка аппроксимации по пространственным переменным приходится прибегать к монотонизаторам в виде ограничителей потоков [12, 13]. Для подавления осцилляции численных решений, полученных с помощью компактной схемы, вблизи скачков в схему добавляют искусственную1 вязкость [81, 82], однако этот способ полностью не устраняет немонотонность численного решения вблизи скачков. Другим подходом. для построения"неосциллирующих вблизи разрывов схем является применение процедур? N0 и «УЕ1ЧО для расчета потоков через границы разностных ячеек [7, 8]. Однако и этот подход также полностью не устраняет немонотонность численного решения. Кроме того, процедуры ЕЫО и VENO достаточно трудоемки.

В связи с этим актуальным является развитие подходов к построению монотонных высокоточных разностных схем сквозного счета, которые, с 6 одной стороны, являются экономичными, а, с другой стороны, не используют искусственную вязкость и какие-либо ограничители потоков. Иными словами, в настоящее время очень важным является построение монотонных схем, у которых собственная диссипация полностью подавляет внутреннюю дисперсию и порождаемые ею осцилляции в области сильных изменений решения.

В' диссертационной работе предложен оригинальный способ построения гибридных монотонных высокоточных экономичных разностных схем для уравнений гиперболического и параболического типов. Основные этапы этого способа: 1) построение двухслойной монотонной бикомпактной разностной схемы четвертого порядка аппроксимации! по пространственной координате и первого порядка аппроксимации по времени с помощью интегро-интерполяционного метода и метода прямых- 2) построение двухслойных диссипативных бикомпактных схем третьего порядка аппроксимации по времени на основе специальных диагонально-неявных трехстадийных методов Рунге-Кутгы- 3) оригинальный метод построения1 гибридных нелинейных монотонных бикомпактных схем повышенного порядка точности повремени на основе базовых разностных схем, полученных на первых двух этапах.

На основе предложенного подхода построены и исследованы новые двухточечные по пространственной переменной и двухслойные по времени разностные схемы. Предложенные схемы являются экономичными (решаются либо методом бегущего счета, либо двухточечной прогонкой), консервативными, монотонными в широкой области значений локального числа Куранта. Схемы не используют искусственную вязкость и ограничители потоков, не требуют вспомогательных начальных и граничных условий.

В первой главе работы предложен новый способ построения бикомпактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на минимальном (двухточечном) шаблоне для 7 уравнений и систем уравнений гиперболического типа. В отличие от известных в мировой литературе способов построения разностных схем с использованием продолженной системы [45], исходное уравнение для искомой функции дополнялось не уравнением для пространственных производных от этой функции, а уравнением для первообразной от функции. Преимущество предложенного подхода очевидно в случае построения разностных схем для сквозного расчета разрывных решений, поскольку первообразная от функции имеет на единицу большую гладкость, чем сама искомая функция. Описанный подход к построению схем повышенной точности распространен также на многомерные задачи. Бикомпактная схема для многомерного линейного уравнения переноса строится путем покоординатного расщепления многомерного дифференциального оператора на одномерные операторы.

В первой главе работы также предложен новый способ построения компактных разностных схем четвертого порядка аппроксимации по пространственной переменной на двухточечном шаблоне для квазилинейных уравнений* гиперболического типа. Суть данного способа состоит в получении двух независимых консервативных разностных уравнений на двухточечном пространственном шаблоне, используя дифференциальные следствия исходной системы уравнений. Из этих уравнений определяются значения искомой сеточной функции в целом рассчитываемом узле и полуцелом вспомогательном узле. В результате построенная разностная схема четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате по существу является бикомпактной схемой для определения искомой сеточной функции в целых узлах сетки и решается методом бегущего счета.

Во второй главе работы изложен оригинальный способ построения гибридных монотонных высокоточных экономичных разностных схем для уравнений параболического типа. Он проиллюстрирован примером начально-краевых задач для нестационарных одномерных линейных и квазилинейных уравнений теплопроводности. Построенные на его основе 8 двухслойные компактные схемы имеют четвертый порядок аппроксимации по пространственной координате на двухточечном шаблоне и третий порядок аппроксимации по времени на гладких решениях уравнений теплопроводности.

В третьей главе работы приведены примеры применения монотонных бикомпактных схем к решению известных нестационарных одномерных тестовых задач газовой динамики. Проведено сравнение расчётов по предложенным в работе бикомпактным схемам и известным существенно неосциллирующим схемам высокого порядка аппроксимации, среди которых имеются такие популярные схемы как PPM (the piecewise parabolic method) [27], и WEN05 [28]. Тестирование бикомпактных схем выполнено на системе одномерных тестовых задач газовой динамики, которая всесторонне отражает трудности, которые возникают при численном моделировании нестационарных течений газа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. Предложен новый подход к построению монотонных консервативных высокоточных схем, основанный на интегро-интерполяционном методе и методе прямых, для уравнений гиперболического и параболического типов.

2. На основе предложенного подхода построены и исследованы экономичные консервативные высокоточные компактные разностные схемы четвертого порядка аппроксимации по пространственной координате и третьего порядка аппроксимации по времени для линейного и квазилинейного уравнений переноса, для линейного и квазилинейного уравнений теплопроводности, а также для системы уравнений газовой динамики.

3. Разработанные схемы являются двухслойными по времени и двухточечными по пространственным переменным, абсолютно устойчивыми, консервативными, монотонными в широком диапазоне значений локального числа Куранта и могут быть использованы для решения жестких задач. Построенные разностные схемы сохраняют консервативность и порядок точности на неравномерной сетке.

4. В отличие от известных результатов, предложенные схемы являются экономичными (решаются методом бегущего счета), не используют искусственную вязкость и ограничители потоков, не требуют вспомогательных начальных и граничных условий.

5. Все теоретические оценки свойств (устойчивости, монотонности, консервативности) построенных разностных схем проверены с помощью численных экспериментов на представительной системе принятых в мировой литературе тестов.

Разработанные автором методы построения разностных схем высокого порядка аппроксимации с уникальным набором свойств (экономичность, монотонность, консервативность) могут служить основой для конструирования разностных схем для решения широкого класса прикладных задач, описываемых уравнениями и системами уравнений гиперболического и параболического типов. Благодаря свойству монотонности и консервативности, схемы могут быть использованы для решения нестационарных задач аэродинамики высоких скоростей, а благодаря хорошим дисперсионным свойствам — для решения задач аэроакустики. Экономичность построенных схем благоприятна для их использования при решении различных трудоемких нестационарных многомерных задач гиперболического и параболического типа.