Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Полностью консервативные разностные схемы газовой динамики в эйлеровых переменных

Диссертация: Полностью консервативные разностные схемы газовой динамики в эйлеровых переменных
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В данной диссертационной работе разработан новый метод построения многомерных эйлеровых полностью консервативных разностных схем как на прямоугольных, так и на произвольных криволинейных сетках в терминах операторов достаточно общего вида. Метод основан на так называемой «каскадной» форме аппроксимации временных и конвективных производных, позволяющей получить уравнения баланса кинетической… Читать ещё >

Содержание

  • Глава I. СБАЛАНСИРОВАННЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНОЙ СРЕЛД В ЭЙЛЕРОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
  • Г. Непрерывная модель сжимаемой среды и некоторые её свойства
    • 1. 1. Система уравнений газовой динамики
    • 1. 2. Каскадная форма записи уравнений
    • 1. 3. Криволинейные координаты
    • 2. Согласованная аппроксимация конвективных потоков
      • 2. 1. Дискретизация области и физических величин
      • 2. 2. Разностные аналоги основных дифференциальных операторов
      • 2. 3. Дифференциально-разностные/уравнения
      • 2. 4. Свойство полной консервативности
    • 3. Разностные схемы со сбалансированными конвективными потоками
      • 3. 1. Дискретизация по времени
      • 3. 2. Консервативные схемы
      • 3. 3. Полностью консервативные схемы
      • 3. 4. Двухэтапные алгоритмы
  • Глава II. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ С СОГЛАСОВАННОЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ КОНВЕКТИВНЫХ ПОТОКОВ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
    • I. Дискретизация и обозначения
    • 2. Описание методов
      • 2. 1. Полностью консервативная частично трехслойная схема (ПКС-1)
      • 2. 2. Трехслойная полностью консервативная схема второго порядка аппроксимации по времени
  • ПКС-П)
    • 2. 3. Двухслойная консервативная схема с согласованными потоками массы и импульса (KC-I)
    • 2. 4. Двухэталные методы
    • 2. 5. Коррекция потоков
    • 2. 6. О расчетах квазиодномерных задач
    • 2. 7. Полностью консервативный вариант метода FLIC
    • 2. 8. Исследование устойчивости разностных схем
    • 3. Тестовые расчеты
    • 3. 1. Постановка тестовых задач
    • 3. 2. Описание расчетов
  • Глава III. ДВУМЕРНЫЕ ПОЛНОСТЬЮ КОНСЕРВАТИВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
    • I. Полностью консервативные схемы на криволинейных сетках
      • 1. 1. Аппроксимация простейших операторов
      • 1. 2. Аппроксимация градиента и дивергенции
      • 1. 3. Дискретизация по времени
      • 1. 4. Разностная схема в потоковой форме
      • 1. 5. Об искусственной вязкости и граничных условиях
      • 1. 6. Вычисление переменного шага по времени
    • 2. Полностью консервативные разностные схемы с разнесенными скоростями
      • 2. 1. Основные уравнения и дискретизация физических величин
      • 2. 2. Аппроксимация уравнения неразрывности
      • 2. 3. Дискретный аналог диссипативной функции
      • 2. 4. Аппроксимация уравнения изменения внутренней энергии
      • 2. 5. Разностные динамические уравнения
      • 2. 6. Условия полной консервативности
      • 2. 7. Начальные и граничные условия
      • 2. 8. Искусственная вязкость. Анализ аппроксшлационной вязкости
    • 3. Результаты численного моделирования
      • 3. 1. Задачи обтекания
      • 3. 2. Дифракция ударных волн на тупых углах

Полностью консервативные разностные схемы газовой динамики в эйлеровых переменных (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Развитие современной науки и техники невозможно без применения численных методов. Задачи, которые ставит практика перед прикладной математикой, чрезвычайно сложны и отличаются, как правило, сильной нелинейностью [^1,2]. Достаточно указать такие области науки, как аэродинамика, физика плазмы, химическая кинетика, в которых вычислительный эксперимент [2] является фактически единственным средством решения возникающих проблем.

Широкий круг вопросов современной вычислительной математики связан с решением задач газовой динамики [4]. Течения сжимаемой среды зачастую изучаются в комплексе с процессами теплопроводности, излучения, химических реакций, гравитационными эффектами, наличием многокомпонентноети и т. д. [4−29}. Несмотря на разнообразие физической природы учитываемых явлений, основу подобных задач составляют классические уравнения газодинамики, аналитическое исследование которых, из-за нелинейности, возможно только в специальных случаях. Тем самым обуславливается необходимость разработки эффективных разностных алгоритмов решения этих уравнений.

Проблемы численного решения многомерных задач газовой динамики являются одними из наиболее актуальных и острых. Это связано, прежде всего, с особенностями самих моделируемых течений, характеризующихся большими скоростями сдвиговых деформаций и наличием сложных пространственных структур взаимодействующих между собой ударных волн и контактных разрывов. Разностные схемы, предназначенные для решения таких задач, должны обладать способностью передавать тонкие особенности течений, резко изменяющихся во времени и пространстве, на реальных, т. е. достаточно «грубых» сетках.

Практика расчета одномерных и двумерных процессов эволюции конечных масс газа в лагранжевых переменных показала, что отмеченным требованиям удовлетворяют полностью консервативные разностные схемы [" 3,4], отличительной чертой, которых является. дополнительное по отношению к основных законам сохранения соблюдение баланса между различными видами энергии. Однако, из-за быстрого развития в наиболее типичных задачах аэродинамики значительных сдвиговых деформаций, использование полностью консервативных схем в лагранжевых переменных оказывается здесь, по существу, невозможным.

При численном решении задач газовой динамики в переменных, отличных от лагранжевых, необходимо каким-либо образом аппроксимировать выражения, описывающие процессы конвективного переноса массы, импульса и полной энергии. Если в основу аппроксимации уравнений газодинамики кладется система законов сохранения [3l], то дискретные аналоги соответствующих конвективных членов оказываются дивергентными и однозначно определяют конвективный перенос тепла. Анализ широко используемых в практике разностных схем, таких как [31, 44, 52, 53 ] и других показывает, что следующие из них дискретные аналоги конвективных производных, описывающие перенос внутренней энергии, не являются консервативными. Это значит, что в указанных методах присутствуют дополнительные источники или стоки тепла, обусловленные несогласованностью аппроксимаций основных конвективных потоков.

Нарушение баланса кинетической и внутренней энергии может оказывать существенное влияние на получаемые результаты [4 J.

В работах [85−87,90j предложен ряд подходов к построению разностных схем газовой динамики в эйлеровых переменных с консервативной аппроксимацией конвективного переноса полной, внутренней и кинетической энергии, массы и импульса симметричными разностями второго порядка. Недостатком схем с симметричными разностями, без дополнительно вводимой искусственной вязкости, является их немонотонность [13] .

Цель настоящей работы — разработка общего метода построения полностью консервативных разностных схем в эйлеровых переменных для решения многомерных задач газовой динамики, а также апробация конкретных из этих схем на одномерных и двумерных тестовых расчетах.

Дифференциальные уравнения газовой динамики выражают основные законы сохранения: массы, импульса и полной энергии, выполнение которых естественно требовать и в дискретной модели, определяемой разностной схемой. Удовлетворяющие этому требованию схемы названы консервативными. Неконсервативность алгоритма может приводить к нефизическим результатам из-за нарушения условий Гюгонио при расчетах ударных волн [4] .

К настоящему времени разработано большое количество консервативных разностных схем в лагранжевых переменных. Лагран-жевы сетки двигаются вместе с частицами среды, и поэтому в указанных методах [16,21,24,30 ] отсуствуют члены, отвечающие конвективному переносу. Достоинством лагранжевых методов является малая аппроксимационная вязкость и высокая точность расчета контактных разрывов. В задачах, где невелики деформации течения, эти методы являются наиболее предпочтительными.

При численном интегрировании уравнений газодинамики часто бывает удобным использовать подвижные разностные сетки, перемещающиеся как относительно неподвижной системы координат, так и относительно материальных частиц среды. Такой подход называют смешанным эйлерово-лагранжевым [32−34]. В схемах [зз]и [34] узлы сетки могут двигаться с произвольно задаваемой скоростью, в частности, совпадающей со скоростью частиц среды, либо равной нулю в лабораторной системе отсчета, что отвечает соответственно лагранжеву либо эйлерову описанию. Эти методы более сложны и универсальны, чем эйлеровы или лахранжевы, и потому их реализация на ЭВМ связана с использованием больших вычислительных ресурсов.

Среди внедренных в вычислительную практику алгоритмов хорошо известны методы «частиц в ячейках» (PIG) [37−39], «частиц конечного размера» [ 40−41 ], «свободных точек» [42−43]. В методах типа PIC среда внутри разностных ячеек представляется частицами, каждая из которых несет фиксированную массу газа. В методе «свободных точек» в целях устранения сильного искривления ячеек сетки, присущего лагранжевым схемам, соседними в любой момент времени для каждого расчетного узла являются точки, геометрически наиболее близкие ему в этот момент.

Важным преимуществом перечисленных алгоритмов является точное отслеживание границ раздела сред. Однако все отмеченные методы предъявляют повышенные требования к быстродействию и особенно — к памяти ЭВМ для хранения координат частиц.

Консервативные разностные схемы в эйлеровых переменных получили активное развитие и распространение благодаря возможности расчета течений с сильными пространственными деформациями на фиксированных сетках. Эйлеровым методам посвящены многочисленные работы [31,44−71]. Различают схемы с выделением особенностей (ударных волн, контактных разрывов) [5,7,45,60] и схемы сквозного счета [5,12, 51−53,61−63,70]. Первые позволяют более точно рассчитывать скачки, однако в задачах с течением априорно неизвестной (даже качественно) конфигурации становятся весьма сложными и трудоемкими. Схемы сквозного счета «размазывают» скачки и волны разрежения, однако являются более простыми и экономичными. Они эффективны для многих практических задач, где не требуется очень высокая точность расчета особенностей, а достаточно знать их расположение с точностью до нескольких ячеек.

Одним из первых этапов численного решения двумерной задачи является выбор расчетной сетки. Сетка в области может быть криволинейной (согласованной с формой границы) [5−8,13 J, либо оставаться регулярной вплоть до приграничных узлов [9,51,53,62−63,65−66]. Так, в [65] предложен консервативный граничный алгоритм частичных ячеек для криволинейной и, возможно, движущейся границе, проходящей по прямоугольной неподвижной сетке. Определенные трудности для расчета на прямоугольных сетках с введением дробных ячеек у криволинейной границы представляют задачи о взаимодействии течений с тонкими телами.

Вычислительная практика показала, что наиболее хорошо себя зарекомендовали схемы первого порядка с направленными против потока разностями [13]. Они хорошо отражают физическую картину течения, обладают транспортивностью [13] и достаточной устойчивостью. Основным их недостатком является нелинейная ап-проксимационная диффузия, возрастающая с увеличением скорости переноса и влияющая на степень размазывания скачков. Схемы второго порядка значительно меньше размазывают разрывы, но, как правило, немонотонны. Дальнейшее повышение порядка увеличивает время счета и усложняет реализацию граничных условий, не подавляя, тем не менее, полностью нефизические осцилляции разностного решения. Для их подавления используются многочисленные монотонизаторы или методы коррекции потоков [100−108] .

Отметим ряд новых работ, посвященных разностным методам в эйлеровых переменных, появившихся в последние годы (I98I-I983). В [138, 139] построена консервативная схема уравнений газодинамики, в каждом из которых присутствуют диффузионные члены, полученные из рассмотрения кинетической модели Максвелла-Больцма-на. В [140] предложена неявная схема второго порядка точности для устойчивого расчета ударных волн со специальным выбором члена искусственной вязкости, зависящего от направления характеристик. В [141] построена монотонная схема второго порядка аппроксимации на пятиточечном шаблоне с введением искусственной вязкости из рассмотрения собственных векторов и собственных значений матрицы гиперболической системы уравнений газодинамики. Работа [142] посвящена построению алгоритмов, аналогичных схеме С. К. Годунова [44], основанных на задаче Римана о распаде разрыва'*.

Как дальнейшее развитие понятия консервативности, А. А. Самарским и Ю. П. Поповым был выдвинут принцип полной консервативности разностных схем [3, 4]. Для дискретных моделей, определяемых такими схемами, выполняются не только законы сохранения массы, импульса и полной энергии, но также и баланс отдельных ее слагаемых: кинетической, внутренней (а в схеме магнитной гидродинамики СМЕД) — и магнитной). Принцип нашел широкое применение при построении и реализации эффективных одномерных и многомерных схем газовой динамики и МЕД в лагранжевых переменных [4, 72−75]. В работах В. М. Головизнина, А*А.Самарского и А. П. Фаворского [76−78] был разработан вариационный подход к построению полностью консервативных разностных схем с помощью принципа наименьшего действия по Гамильтону. Результаты многочисленных расчетов практических задач по этим схемам подтверждают их эффективность [80−82] .

Задача построения полностью консервативных разностных схем в эйлеровых переменных, как было уже отмечено, существенно усложняется, по сравнению с лагранжевым случаем, из-за необходимости согласованно аппроксимировать потоки массы, импульса и кинетической энергии. В ?83, 89] аппроксимации аналогичного типа были построены для стационарных уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости.

Наряду с конвективными потоками, аппроксимации производных по времени от газодинамических функций в полностью консервативных разностных схемах для системы нестационарных уравнений сжимаемой среды также должны исключать появление дисбалансов, т. е. бы ть с оглас ованными.

В 1978 г. А. В. Кузьминым, В. Л. Макаровым и Г. В. Меладзе впервые построены [85−87] одномерные трехслойные полностью консервативные разностные схемы газовой динамики в эйлеровых переменных и доказана теорема о несуществовании двухслойных схем, обладающих этим свойством. Построенные схемы, имеющие второй порядок аппроксимации по пространству симметричными разностями, были использованы для расчета одномерных разрывных течений [88]. Формально методы обобщаются на многомерный случай, что при параллельном и независимом исследовании было сделано Х. Либерманом [93, 941 • Однако проверка их свойств ограничилась одномерными изотермическими тестовыми расчетами.

На основе операторного подхода А. А. Самарским, В. Ф. Тишкиным, А. П. Фаворским и М. Ю. Шашковым получены полностью консервативные схемы для многомерных уравнений газодинамики, дифференциальные по времени и разностные по пространству [90]. Предложенный авторами подход также приводит к симметричной аппроксимации конвективных произвольных. Кроме того, остается неразрешенным вопрос о согласованной дискретизации полученных схем по времени.

Таким образом, создание более общего и гибкого метода построения в эйлеровых переменных полностью консервативных разностных схем с монотонной аппроксимацией конвективных потоков является актуальной задачей. Кроме того, в условиях ограниченности оперативной памяти ЭВМ существует необходимость экономии на количестве требуемых массивов. Поэтому представляется важным получение согласованных аппроксимаций по времени, приводящих к частично трехслойным схемам, в которых число газодинамических функций, определенных на трех слоях, сведено к минимумуs.

В данной диссертационной работе разработан новый метод построения многомерных эйлеровых полностью консервативных разностных схем как на прямоугольных, так и на произвольных криволинейных сетках в терминах операторов достаточно общего вида. Метод основан на так называемой «каскадной» форме аппроксимации временных и конвективных производных, позволяющей получить уравнения баланса кинетической энергии и закона сохранения полной энергии как алгебраические следствия остальных уравнений газовой динамикинеразрывности, динамического и баланса внутренней энергии. Произвол в выборе временных разностных операторов позволяет получить как схемы трехслойные по всем газодинамическим параметрам, так и частично трехслойные: три слоя — по скорости, и два — по термодинамическим функциям (плотность, внутренняя энергия, давление). Эти схемы имеют соответственно второй и первый порядок аппроксимации по времени. Независимо от аппроксимации временных производных, предложенный метод допускает различный порядок аппроксимации конвективных членов. В частности, в одномерном случае построены трехслойные и частично трехслойные схемы с направленными против потока разностями первого порядка, полностью консервативный вариант метода-коррекции потоков [10б], двухэтапные алгоритмы, аналогичные методам типа [51, 53]. Указанные методы тестировались на серии расчетов модельных задач и показали преимущество перед многими известными схемами при моделировании волн разрежения, не уступая им в области контактных разрывов и ударных волн. В двумерном случае построены два варианта частично трехслойных полностью консервативных схем первого порядка аппроксимации по пространству «вверх по потоку»: на криволинейных сетках в области сложной формы и на прямоугольных сетках в ступенчатых областях. При необходимости обобщения на случай криволинейных границ к последнему варианту может быть применен, с соответствующими модификациями, граничный алгоритм [65]. По обеим схемам рассчитан ряд двумерных тестовых задач обтекания, а также дифракции ударных волн на тупых углах.

Перейдем к изложению содержания диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты работы докладывались:

— на УШ Всесоюзной школе молодых ученых «Численные методы решения задач математической физики» (г.Львов, 1983 г.);

— на семинаре ВЦ Красноярского госуниверситета (1983 г.);

— на конференции молодых ученых факультета ВМиК МГУ (1983 г.);

— 114.

— на Всесоюзной конференции «Современные вопросы физики и приложения», ВДНХ СССР, 1984 г.

Материалы диссертации опубликованы в f95,97−99]. ж х.

Диссертационная работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета ВМиК МГУ.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность научным руководителям А. А. Самарскому и В.М.Голо-визнину.

Автор благодарит В. А. Гасилова, Б. П. Герасимова, Т. Г. Елизарову, А. Б. Карагичева, И. Е. Краюшкина, С. А. Семушина, О.С.Сороковико-ву и С. Ю. Чернова за полезные обсуждения и помощь при проведении расчетов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А.Н., Самарский А. А. Об однородных разностных схемах. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1961, т.1, № I, с.5−63.
  2. А.А. Современная прикладная математика и вычислительный эксперимент. -Коммунист, 1983, If3 18, с.31−42.
  3. Ю.П., Самарский А. А. Полностью консервативные разностные схемы. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1969, т.9, № 4, с.953−958.
  4. А.А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. -М.: Наука, 1980, 352 с.
  5. Численные методы решения многомерных задач газовой динамики/ С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, Г. П. Проколов. -М.: Наука, 1976, 400 с.
  6. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики/ Под ред.К. И. Бабенко М.: Наука, 1979, 295 с.
  7. А.Н., Русанов В. В. Течения газа около тупых тел. -ч.1. Метод расчета и анализ течений. -М.: Наука, 1970, 283 с.
  8. А.Н., Русанов В. В. Течение газа около тупых тел. -ч.П. Таблицы газодинамических функций. -М.: Наука, 1970, 380 с.
  9. О.М., Давыдов 10.М. Метод «крупных частиц» в газовой динамике. -М.: Наука, 1982, 392 с.ю. CouzoLfbt udolcdoft Е., Нееъ М. On ike, iolulcOtii of nontirieoLX kypatSolic oLl f ftzen-tcal efyUCL-tiont951, v.5~, no. 3, p. 2t/3−2S?T.
  10. А.А. Теория разностных схем. -М.:Наука, 1977, 656 с.
  11. .Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.-М.:Наука, 1978, 698 с.
  12. П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980, 616 с.
  13. Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.
  14. А.А., Волосевич П. П., Волчинская М. И., Курдюмов С. П. Метод конечных разностей для решения одномерных нестационарных задач магнитной гидродинамики. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1968, т.8, № 5, с. I025−1038.
  15. В.Я., Ионкин Н. И., Калиткин Н. Н. Об энтропийной схеме расчета газодинамики. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1969, т.9, № 6, с. 1411.
  16. В.Я., Калиткин Н. Н., Левитан.Ю.Л., Рождественский Б. Л. Расчет двумерных течений с детонацией. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1972, т.12, № б, с. I606-I6II.
  17. К.В., Морозов А. И., Палейчик В. В. Расчет двумерных нестационарных течений плазмы в каналах. -В кн.: Плазменные ускорители. -М., Машиностроение, 1973, с.251−254.
  18. М.И., Четверушкин Б. Н., Методика решения двумерных нестационарных задач динамики излучающего газа: Препринт № 98. -М., в надзаг: ИПМ АН СССР, 1977.
  19. М.И., Четверушкин Б. Н., Чурбанова Н. Г. Решение двумерных нестационарных задач РГД с использованием эйлеровых переменных. -Препринт № 33. -М., 1981. -В надзаг: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР. 16 с.
  20. У.Д. Двумерные конечно-разностные гидродинамические уравнения в переменных Лагранжа. -В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967.
  21. .Л., Левитан Ю. Л., Моисеенко Б. Д. Численное решение уравнений гидродинамики в переменных Лагранжа: Препринт № 14. -М., 1971. -В надзаг: ИПМ АН СССР.- 117
  22. И.Д., Дмитриев Л. В., Малиновская Е. В. Методика расчета нестационарных двумерных задач газодинамики в переменных Лагранжа. -Препринт № 59. -М., 1976. -В надзаг.: ИПМ АН СССР.
  23. И.С., Попов ЮЛ. К расчету задач магнитной гидродинамики с учетом фазового перехода. -Журн.вычисл.матем.и матем. физ., 1977, № 17, № 5, с.1248−1255.
  24. О.М., Северинов Л. И. Консервативный метод потоков и расчет обтекания тела конечных размеров вязким теплопроводным газом. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1973, т.13, № 2, с.385−397.
  25. Ю.А., Попов Ю. П., Самарская Е. А. Об алгоритмах решения уравнений газодинамики с теплопроводностью. -Препринт21. -М., 1982. -В надзаг: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, 23 с.
  26. А.Д., Писарев В. Н. Неявный конечно-разностный метод «ромб» для численного решения уравнений газовой динамики с теплопроводностью. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1979, т.19, № 5, с.1288−1303.
  27. С.М., Глаголева Ю. П., Саминулин М. С., Фролов В. Д., Яненко Н. Н., Якилкин Ю. В. Расчет газодинамических течений на основе метода концентрации. -Доклд.АН СССР, 1981, т.257,3, с. 566.
  28. С.М., Жидков И. Г., Рогачев В. Т., Якилкин Ю. В. Численное исследование неустойчивости тангенциального разрыва скорости в сжимаемых газах. -Изв.АН СССР, Механика жидкости и газа, 1983, № 2, с.146−149.
  29. В.Ф., Тюрина Н. Н., Фаворский А. П. Разностные схемы для расчета гидродинамических течений в цилиндрических координатах. -Препринт № 23. -М., 1978. -В надзаг.:ИПМ АН СССР.
  30. Lax P. t)., Weticlzof-f В. Si6-ie.ni6 of cometvirtCon i (LWi.-~ Comm. Риге Appt Ma? k., 19 CO, v. 13, no. Z? p. 21 ?-23?.
  31. Нох В.Ф. СЭЛ совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач. -В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М., Мир, 1967, с.128−164.
  32. P.M., Лазарус Р. Б. Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа. Там же, с.55−75.
  33. Hizi СЖ, АгУ1бс/вп А.А., Cook J.L. AtSih
  34. EaittCOLfb computing fyi&tkod -fol &U -f.?ow &p-tecf&.— J. Cotnput. Pkyl., 19?4, v. /4, no. p. 127- 252.
  35. С.К., Прокопов Г. П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1972, т.12, № 2, с.429−440.
  36. Г. Б., Годунов С. К., Киреева И. Л., Плинер Л. А. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках. -М.: Наука, 1970.
  37. Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. -В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. -М.: Мир, 1967, с.316−342.
  38. Н.Н. Решение нестационарных задач газовой динамики методом «частиц в ячейках». -Препринт,№ 101. -М., 1976.-В надзаг.: ИПМ АН СССР.
  39. Cook J. L, ЪетиЬк. Я.В., Houziow FM. PIC caicu. laicc о/ mult у phase flow. — J. Compni. Pky.4., l9Si, v. 41, no. i, p. Si-6%.
  40. М.Д., Таран Т. В., Фаворский А. П. Алгоритм численного моделирования гидродинамических течений с помощью частиц конечного размера. -Препринт № 114. -М., 1979. -В надзаг.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, 35 с.
  41. М.Д. Метод частиц конечного размера для моделирования многообластных двумерных задач газовой динамики. -Препринт № 277. -М., 1979. В надзаг.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССРоп
  42. Дьяченко В. Ф .06 одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики.-Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1965, т.5, № 3, с.680−690.
  43. И.Ф. Некоторые вопросы расчета двумерных задач газодинамики на переменных сетках. -Препринт № 52:' -М., 1976.-В надзаг.: ИПМ АН СССР.
  44. С.К., Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. -Мат.сб., 1959, т.47, вып. З, с.271−306.
  45. С.К., Забродин А. В., Прокопов Г. П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. -Журн.вычисл.матем. и матем.физ., 1961, т.1, 1р 6, с.1020−1050.
  46. С.К., Забродин А. В. 0 разностных схемах второго порядка точности для многомерных задач. -Журн.вычисл.матем.и матем. физ., 1962, т.2, № 4, с.706−708.
  47. В.Я., Калиткин Н. Н., Шишова Т. В. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1965, т.5, с.938−944.
  48. В.В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями.-Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1961, т.1,№ 2, с.267−279.
  49. В.В. Пространственное обтекание затупленного тела сверхзвуковым потоком газа. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1968, № 3, т.8, с.616−633.
  50. В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного расчета разрывных течений. -Доюу-.АН СССР, 1968, т.180, № 6, с.1303−1305.
  51. G-ек-Ьгу fl. A., Maz-tCft Я-Е., Йсь^у В-Т. Ah, Eu.ieUa.ri oLcf-fezenccn,^, metkoo/ /ог а. п&'Ье.ас!^ с. опър1&ьи@1еow ргоНет.- J- Comj°u, t. Ptyi., 19?6, v.? , no. i, p.8?-Ш.- 120
  52. M&c-Cotmack ИЖ The. effect vf trUcosMy isi kyp&bveiocity. impact сго.-ЬегСп^.-A IAA P&pei, i9C9, 69-Z5S.
  53. O.M., Давыдов Ю. М. Нестационарный метод «крупных частиц» для газодинамических расчетов. -Журн.вычисл.матем. и матем.физ., 1971, т. II, № I, с.182−207.
  54. У.Г., Росляков Г. С. Течения газа в соплах. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. -351 с.
  55. Н.А., Киреев В. И., Пирумов У. Г. Методы установления и сквозного счета разрывных решений уравнений газовой динамики и их алгоритмы. -М., 1981. -В надзаг.: MBGC0 СССР, Моск.авиац.ин-т им. Серго Орджоникидзе. -37 с.
  56. К.М. Метод характеристик для численного расчета пространственных течений газа. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1966, т.6, № 2, с.313−352.
  57. К.М., Холодов А. С. 0 построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических отношений. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1969, т.9, № 2, с.273−286.
  58. В.И., Магомедов К. М. Дивергентная разностная схема для расчета сверхзвуковых установившихся течений сложной структуры. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1973, т.13, № 4, с.913−927.
  59. А.С. 0 построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1978, т.18, № 6, с.1478−1492.
  60. А.В., Черкашин В. А. Расчет течения в окрестности донного среза. -Препринт № 150. -М., 1982. -В надзаг.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР. 18 с.
  61. М.Я., Крайко А. И., Михайлов Н. В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений.- 121 -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1972, т.12, № 2, с.441−463.
  62. Ю.М., Расчет обтекания тел произвольной формы методом «крупных частиц». -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1971, т. II, № 4, с.1056−1063.
  63. Ю.М., Скотников В. П. Исследование дробных ячеек в методе «крупных частиц». -М.: ВЦ АН СССР, 1978, 72 с.
  64. И.В., Федоренко Р. П. Разностный метод расчета течений газа в канале произвольной формы. -Числ.методы мех. сплошной среды, 1974, т.5, № I, с.98−111.
  65. С.А. Консервативные граничные условия для метода «Крупных частиц». -Препринт № 61. -М., 1980. -В надзаг.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР. 18 с.
  66. С.А. Численное моделирование двумерного течения газав области с движущимися границами. -Препринт Jf° 37. -М., 1983. -В надзаг.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР. 26 с.
  67. .П., Семушин С. А. Расчет на неподвижной эйлеровой сетке обтекания тел изменяющейся формы. -Дифференц.уравнения. Минск, 1981, т. ХУП, с. I2I4-I22I.
  68. .П., Семушин С. А. Анализ некоторых численных методов газовой динамики на неподвижных эйлеровых сетках. -Препринт № 38. -М., 1983. -В надзаг.: ИПМ АН СССР. -26 с.
  69. Н.Н., Ковеня В. М. Разностная схема для решения многомерных уравнений газовой динамики. -Докл.АН СССР, 1977, т.232,6, с.1273−1276.
  70. А.И., Фурсенко А.А,.Об одной монотонной разностной схеме сквозного счета. Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1980, т.20, № 4.
  71. Л.В., Северинов Л. И. Стационарный вариант метода потоков для решения задач механики сплошной среды. -Журн.вычисл. матем. и матем.физ., 1976, т.16, № I, с.140−151.
  72. Ю.П., Самарский А. А. Полностью консервативные схемы для уравнений магнитной гидродинамики. -Журн.вычисл.матем. и матем.физ., 1970, т.10, № 4, с.990−998.
  73. А.А., Дородницын В. А., Курдюмов С. П., Попов Ю. П. Образование Т-слоев при торможении плазмы магнитным полем. -Докл.АН СССР, т.216, № 6: с.1254−1257.
  74. Н.В., Гущин И. С. Полностью консервативная разностная схема для расчета двумерных осесимметричных течений магнитной гидродинамики. В кн.: Разностные методы математической физики. -М.: Изд-во МГУ, 1981, с.59−68.
  75. О.С., Попов Ю. П. 0 полностью консервативных схемах для двумерных уравнений газовой динамики. -Дифференц.уравнения. Минск. 1979, т. ХУ, № 7, с.1318−1331.
  76. В.М., Самарский А. А., Фаворский А. П. Вариационный метод получения разностных схем для уравнений магнитной гидродинамики. -Препринт № 65. -М., 1976. -В надзаг.: ИПМ АН СССР, 62 с.
  77. В.М., Самарский А. А., Фаворский А. П. Об аппроксимации вариационно-разностных уравнений гидродинамики. -Препринт № 34. -М., 1977. -В надзаг.: ИПМ АН СССР.
  78. В.М., Самарский А. А., Фаворский А. П. Вариационный подход к построению конечно-разностных моделей в гидродинамике. -Докл.АН СССР, 1977, т.235, № 6, с.1285−1288.
  79. Фаворский' А.П. Вариационно-дискретные модели уравнений гидродинамики. -Дифференц.уравнения, Минск, 1980, т. ХУ1, № 7, с.1308−1321.
  80. В.М., Самарский А. А., Фаворский А. П., Коршия Т. К. Численное моделирование МГД задач на основе вариационного подхода. В кн.: У1 Международная конференция по численным методам в гидродинамике. Тбилиси, 1978, т. П, с.81−99.- 123
  81. В.М., Коршия Т. К. и др. Численное исследование разлета-шлазмн в магнитном поле. -Препринт № 61. -М., 1980. -В надзаг.: ИПМ АН СССР, 64 с.
  82. В.М., Коршунов В. К., Куртмуллаев Р. Х., Малютин А. И., Самарский А. А., Семенов В. Н. Численное исследование ударного нагрева плазмы в компактном тороиде. -Препринт3656/16. -М., 1982. -В надзаг.: ИАЭ им. И. В. Курчатова, 27с.
  83. Atdk (iwci A- Competing cie.6Lg.rL j-оъ iotbjL-'bewi. /utmer.ica.1 1пЬео, ъоЛСо1ь о/ Оъ&- e>(jjCLa, tUri of /iuUa пьо-Ьсоп: Two-dCmensi-otULt CncompzeuiSle f-iow. -J. CompLci. Phui.} 1966}v. i. noJ, р.119~
  84. Ю.П., Самарский А. А. Полностью консервативные разностные схемы для уравнений газодинамики в переменных Эйлера. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1970, т.10, Ш 3, с.773−779.
  85. А.В., Макаров В. Л., Меладзе Г. В. 0 полностью консервативных трехслойных разностных схемах для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. -Докл.сем.Института прикл.матем. Тбилис.гос.ун-та, 1978, т.12−13, с.37−89.
  86. А.В., Макаров В. Л., Меладзе Г. В. Об одной полностью консервативной разностной схеме для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1980, т.20, № I, с.171−181.
  87. А.В., Макаров В. Л. Об одном алгоритме построения полностью консервативных разностных схем. -Журн.вычисл.матем. и матем.физ., 1982, т.22, № I, с.123−132.
  88. А.В. Численное исследование одномерных неравновесных течений газа в ударных трубах. -Деп.ВИНИТИ № 2858−82 Деп./.
  89. .Д., Фрязинов И. В., Полностью нейтральная разностная схема для уравнений Навье-Стокса. -В кн.: Изучение гидродинамической неустойчивости численными методами. /Под ред. А. А. Самарского. -М.: 1980, с.186−209.- 124
  90. А.А., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П., Шашков М. Ю. Разностные аналоги основных дифференциальных операторов первого порядка. -Препринт № 8. -М., 1981. В надзаг.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, 29 с.
  91. В.М., Коршунов В. К., Таран М. Д. Об аппроксимации дифференциальных операторов на нерегулярных косоугольных расчетных сетках. -Препринт № 157. -М., 1981. -В надзаг.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, -33 с.
  92. Li-&e, rLnULn. h- Н. Ein, Lon, vezo^e.h.-be$ ?)lf/ete, n.byen.vret-faAzerL ?tit die G-leicLcc^efb aet Ну d го dynamic.— ffccme. rcske
  93. B-ek. von. Юс M.~L. Uncv. Иа? ёе~
  94. Lthtfrucnn И. Zur, Вегескип-р cnsidico^itez котръе? и{?еz Gcls-utid- F? iiSit^.ku6ssl'cdm.un^.efi: ?>Css. ftt. —fCa.ti-Ma.tx- Slo-d-l, Fak. fat Math, und A/cc, t., i981, /09s.
  95. B.M., Рязанов M.A., Сороковикова O.C. Полностью консервативные дифференциально-разностные схемы газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. -Препринт19. -М., 1982. -В надзаг.: ИПМ им. М. В. Кедцыша АН СССР. -18с.
  96. В.М., Рязанов М. Д., Сороковикова О. С. Одномерные полностью консервативные разностные схемы МГД в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. -Препринт № 3747/16. -М., 1983. -В надзаг.: ИАЭ им. И. В. Курчатова.
  97. В.М., Краюшкин И. Е., Рязанов М. А., Самарский А. А. — Двумерные полностью консервативные разностные схемы газовойдинамики с разнесенными скоростями. -Препринт № 105. -М., 1983. -В надзаг.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР. -35 с.
  98. В.М., Рязанов М. А., Самарский А. А., Сороковикова О. С. Полностью консервативная коррекция потоков в задачах газовой динамики. -Докл.АН СССР, 1984, т.274, № 3, с.553−560.
  99. В.М., Рязанов М. А., Самарский А. А., Сороковикова О. С. Разностные схемы газовой динамики со сбалансированными аппроксимациями конвективных потоков. -Препринт № 56. -М., 1984. -В надзаг.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР. -30 с.
  100. А.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики.,-Уч.зап.ЦАГИ, 1972, № 6,
  101. Ж. G-e/ievaCij&iio/i o-f tfa mebh.oct.-J.Compu.-L. Pkys. Л9*6~, v. 18, (го. 3, Р-2Ц8−2СЗ.
  102. Sozis J.P., Book 2). L- FliLK-cotteeieci -Ьгаи1?рог+. Ж. Mcninuid, wtois OL^obitkmi. J. Compctl. PL^s., /9 7g/ v.20-mo.3, p. 39?-431 .
  103. Дж.П., Бук Д.А. Решение уравнений непрерывности методом коррекции потоков. -В кн.: Управляемый термоядерный синтез. М., Мир, 1980, с.92−141.
  104. А.А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973.
  105. НО. Шокин Ю. И. Метод дифференциального приближения. -Новосибирск: Наука, 1979, 222 с.
  106. А.И. Об одном способе введения псевдовязкости и его применение к уточнению разностных решений уравнений. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1975, т. 15, № 2, с.523−527.
  107. В.М., Самарский А. А., Фаворский А. П. Об искусственной вязкости и устойчивости разностных схем гидродинамики. -Препринт № 70. -М., 1976. -В надзаг.: ИПМ АН СССР.
  108. А.И., Макаров В. Е., Тилляева Н. И. К численному построению фронтов ударных волн. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1980, т.20, № 3, с.716−723.
  109. В.М. Об одном способе введения искусственной диссипации в вариационно-разностные схемы магнитной гидродинамики. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1982, т.22, № I, с.144−150.
  110. Я.Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. -М.: Физматгиз, 1966, 632 с.
  111. Х.С., Рооляков Г. С., Чудов Л. А. Точечный взрыв. Методы расчета. Таблицы. -М.: Наука, 1974, 255 с.
  112. Л.И. Методы подобия и размерностей в механике. -М., Наука, 1972.
  113. Cotomioubh, Catol/iet J.H. SkocL wcure. ytofoa^diccfb in. ctn 1/i^om.o^e/teous meoLcum.Cn.de diffete.ttx.es. X Conybu,-6. Pky*., {976, iл 21, no. S, p-383 -395~.
  114. Czcuxiotb МсСго*^ Ц.Ь. A stmpie le-sorulfuj. -be.clbttiid. Ptys., <979, v. 33, no.3, f-432−440.
  115. В.М., Симачева О. Г. Об одном методе построения расчетных сеток в областях с криволинейными границами. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1983, т.23,1 5, с.1245−1249.
  116. С.М. Некоторые особенности сверхзвукового обтекания тел с угловой точкой. -В кн.: Труды ВША им. проф. Н. Е. Жуковского, вып.1137. -М.:ВВИА, 1966, с.69−76.
  117. А.А. Некоторые результаты применения теневого метода для определения плотности в осесимметричном сверхзвуковом потоке. -В кн.: Труды ВВИА им. проф.Н. Е. Жуковского, вып.1198. -М.: ВВИА, 1966, с.64−86.
  118. A.F. An evT^iu/vtcon. o-f seireta-i о/о^ггепесн.^, nvoMwcL -^ot. Crutri&cCcL -ficUct /¦&> ur jo4U) iiem. —X Compui. Phys., i9 €X> v. 2, n. o 3. 33 i.
  119. А.И. Набегание ударной волны на клин, движущийся со сверхзвуковой скоростью. -ПМиМ, 1964: т.28, вып.4,с.631−637.
  120. В.П. К задаче о дифракции ударной волны на клине," движущемся со сверхзвуковой скоростью. -Изв.АН СССР, Механика жидкости и газа, 1971, № 6, с.23−29.
  121. В.П., Менде Н. П., Жмакин А. И., Фурсенко А. А., Комиссарук В. А. О распространении ударных волн в плоских и осесимметричных каналах. -Препринт № 709. -Ленинград, 1981. -В надзаг.: Физ.тех.ин-т АН СССР им. А. Ф. Иоффе. 50 с.
  122. В., Кутлер П., Андерсон Д. Дифракция ударной волны тупым углом: П. Одинарное маховское отражение. -Ракетная техника и космонавтика, 1978, т.16, № I, с.7−9.
  123. Прикладная газовая динамика. /Под ред.С. А. Христиановича. -М.: ЦАГИ, 1948, 148 с.
  124. Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. -М.: Изд-во иностр.лит., 1950, 426 с.
  125. Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. -М.: Изд-во иностр.лит., 1961, 588 с.
  126. Д. Вычислительные методы в физике. -М.: Мир, 1975, 392 с.
  127. Л.Г. Механика жидкости и газа. -М.: Наука, 1978, 736 с.- 129
  128. ГЛ. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1980.
  129. А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1981.
  130. М.И., Павлов А. Н., Четверушкин Б. Н. Об одной схеме интегрирования уравнений газовой динамики. -Препринт № ИЗ. -М., 1983. -В надзаг.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР. 12 с.
  131. Т.Г., Павлов А. Н., Четверушкин В. Н. Использование кинетической модели для вывода уравнений описывающих газодинамические течения. -Препринт № 114. -М.: 1983. -В надзаг.: ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР. -12 с.
  132. Psutdlo-tobslzot-cly. 4с, к. елъе€ •f-o'c oLcscon, tcn-tous boluybions of ьЬ&сцЛу. iioute. г oa-e -oLcmefbsco/ta.6-SuCcl d^tLCtmits pzoStems. — J- Com put. Pky^s., ?981} v- ,
  133. Ha^i&n. A. Hi^k 'b&sotu.bCon schemesoz. kype-z-floicc tonsezmL-bCoti — J. Coen (>cui. Pk^s., t§ 83, s-V9, no. 3, p• -39 3
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?