1. Общая характеристика работы
1.1.
Актуальность темы
.
Формула многомерного логарифмического вычета хорошо известна в теории функций многих комплексных переменных (см., например, [2, 20, 21]). Она дает интегральное представление суммы значений голоморфной функции в нулях некоторой системы голоморфных функций, заданных в областях пространства С". Интеграл в этой формуле должен быть вычислен по циклам- (остовам аналитических полиэдров) действительнойiразмерности п. Для достаточно широкихклассов алгебраических отображений! известны формулы вычисления данного интеграла через коэффициенты полиномов, входящих в' систему (см., например, [2, 6, 20, 26, 27]). Но эти формулы настолько сложны, что практически (без разработки алгоритмов вычисления) их невозможно применить даже для простых систем. Тем более, что часто в системы входят параметры.
Первые попытки в создании таких алгоритмов — (и их компьютерная реализация) для ¦ систем — свыделенной главной^ частью, треугольных систем были даны в работах В: И. Быкова, А. М. Кытманова, М. З. Лазмана, Т. А. Осетровой [6, 5, 7, 17, 8, 26]. В данных работах были рассмотрены применение формулы многомерного логарифмического вычетак исключению неизвестных из систем алгебраических уравнений. Этот модифицированный метод исключения неизвестных, предложенный JLА. Айзенбергом в- [1], был затем развит в [626]. Но для невырожденных систем алгебраических уравнений (практически самых общих алгебраических систем) такие разработки отсутствовали.
Тематика диссертации также связана с активно развивающимся в последнее время новым направлением в математике — компьютерной алгеброй многочленов, лежащей на стыке алгебры, математического анализаи программирования. Многие нелинейные задачи в приложениях характеризуются множественностью стационарных состоянийЭти запросы инициируют 4 появление новых теоретических результатов в области анализа ¦ систем нелинейных алгебраических уравнений. Внедрение в практику научных исследований различных систем аналитических преобразований на ЭВМ сделало работоспособными достаточно сложные алгоритмы теории исключения.
Нелинейные системы алгебраических уравнений возникают в различных областях знания. В частности, в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений с полиномиальными. правыми частями, актуален вопрос об определении числа стационарных состояний в множествах определенного вида (и их локализации). Эта проблема приводит к задачам компьютерной алгебры многочленов: построения алгоритмов для определения числа корней заданной системы уравнений в разных множествах, определения самих корнейисключения части неизвестных из системы, построения систем треугольного вида, эквивалентных данной системе. Такие: вопросы, естественно, требуют развития методов работы с аналитическими выражениями на ЭВМ.
В частности в монографиях [6, 26] приведены многочисленные примерыиз химической кинетики, где работают алгоритмы вычисления многомерного логарифмического. вычета.
1.2. Цель диссертации.
Целью диссертации является: разработка алгоритмов исключения неизвестных из систем невырожденных алгебраических уравненийоснованных на формуле многомерного логарифмического вычетаполучение формул для вычисления степенных сумм для некоторых типов систем мероморфных функций с бесконечным множеством корней, разработка алгоритмов вычисления таких степенных суммприменение найденных формул к нахождению сумм некоторых, кратных рядовкомпьютерная реализация в системах компьютерной алгебры MAPLE и МАТЕМАТИКА полученных алгоритмов.
1. Айзенберг J1.А. Об одной формуле обобщенного многомерного логарифмического вычета и решении систем нелинейных уравнений/ Л. А. Айзенберг // Докл. АН СССР. -1977. — Т. 234. — № 3. — С. 505 — 508.
2. Айзенберг Л. А. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе / Л. А. Айзенберг, А. П. Южаков. Новосибирск: Наука, — 1979.
3. Артюхин Ю. П. Система МАТЕМАТИКА 4.0 и ее приложения в механике: Учебное пособие / Ю. П. Артюхин, Н. Г. Гурьянов, Л. М. Котляр. Изд-чо КамПИ. — 2002. — 415 с.
4. Вухбергер Б. БазисыГребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных. идеалов/ Б. Бухбергер // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Бухбергера В., Коллинза Дж., Jlooca Р. М.: Мир, — 1986.
5. Быков В. И. Компьютерная алгебра многочленов. Модифицированный метод исключения / В. И. Быков, А. М. Кытманов, Т. А. Осетрова // Докл. РАН. 1996. — Т. 350. — № 4. — С. 443−445.
6. Быков В. И. Методы исключения в компьютерной алгебре многочленов / В. И. Быков, А-М-Кытманов, — М.З.'Лазман. Новосибирск: Наука, — 1991.
7. Быков В. И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В. И. Быков, А. М. Кытманов, Т. А. Осетрова // Вычислительные технологии. Сб. научных трудов. Новосибирск. — 1995. — Т. 4. — № 10. — С. 79−88.
8. Быков В. И. Компьютерная алгебра многочленов. Методы и приложения / В. И. Быков, A.М.Кытманов, Т. А. Осетрова // Доклады РАН. 1996. — Т. 350. М 4. — С. 443−446.
9. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра / Б. Л. Ван дер Варден. М.: Наука, — 1976.
10. Ван дер Варден Б. Л. Современная алгебра / Б. Л. Ван дер Варден. М.-Л.: ОГИЗ, — 1947.
11. Ван Хюльзен Я. Системы компьютерной алгебры / Я. Ван Хюльзен, Ж. Калме // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Бухбергера Б., Коллинза Дж., Лооса Р. М.: Мир, — 1986.
12. Гердт В. П. Обзор: Алгоритмы, системы/и применения компьютерной алгебры /B.П.Гердт, Д. Ю. Григорьев // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Бухбергера Б., Коллинза Дж., Лооса Р. М.: Мир, — 1986.
13. Дэвенпорт Дж. Компьютерная алгебра / Дж. Дэвенпорт, И. Сирэ, Э.Турнье. М.: Мир, -1991.
14. Потехина М. В. Некоторые применения метода стандартного базиса / М. В. Потехина // Магистерская диссертация. Красноярск: КрасГУ. — 2002.
15. Прудников А. П. Интегралы и ряды. Элементарныефункции! / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. М.: Наука, 1981. — 800 е.20.?Цих А. К. Многомерные вычеты и их применения / А. К. Цих. Новосибирск: Наука, -1989. — 240 с.
16. Шабат Б. В.
Введение
в комплексный анализ / Б. В. Шабат. М: Наука, — 1979. — Т.2:
17. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии / И. Р. Шафаревич. М: Наука, -1979.
18. Adams. W. W— AnintroductiontoGroebner Bases- / W.W.Adams, P. Loustraunau- -American Mathematical Society. 1994.
19. Bajaj C. On the application of multi-equational resultants / C. Bajaj, T. Garrity, J. Warren // Tecnical Report CSD-TR-826, Departament of Computer Science. Purdue University.- 1988.
20. Bayer D.A. A system for computation in algebraic geometry ajid commutative algebra / D.A.Bayer, M. Stillman, M.Macaulay. User Manual. — 1991.
21. Bykov V.I. Elimination methods in polynomial computer algebra / V.I.Bykov, A.M.Kytmanov, M.Z.Lazman. Dodrecht-Boston-Basel: Kluwer Academic Publishers,-1998.
22. Cattani E. Computing Multidimensional Resides / E. Cattani, A. Dickenstein, B. Sturmfels .// Preprint University of Buenos Aires. 1994.
23. Char B. MapleV Library Reference Manual / B. Char, K. Geddes et all.-Springer Verlag: Berlin, New York. 1991.
24. Char В. MapleV Language Reference Manual / B. Char, K. Geddes et all. Springer Verlag: Berlin, New York. — 1991.
25. Macauley F.S. Algebraic theory of modular systems / F.S.Macauley. Cambridge. — 1916.
26. Manocha D. MultiPolynomial Resultant Algorithms / D. Manocha, J.F.Canny // J. Symbolic Computation. — 1993. — № 15. — P. 99−122.
27. Manocha D. Multipolynomial resultant algorithms. and linear algebra / D. Manocha, J.F.Canny // In Proceedings of International, Symposium on t Symbolic and Algebraic Computation. 1992. — P. 232−241.
28. Moller H.M. The construction of multivariate polynomialswith preassiqued zeros / H.M.Moller, B. Buchberger // Lect. Notes Comput. Sci. 1983. — V. 162. — P. 24−31.
29. Moses J. Solutionof Systems of Polynomial1 Equation by Elimination. / J. Moses // «Commun. of the ACM. 1966. — V. 9. — № 8. — P. 634−637.
30. Winkler F. An algorithm for constructing canonical bases of polynomial ideals / F. Winkler, B. Buchberger, F. Lichtenberger, H. Rolleeetschk // ACM Trans. Math. Software. 1985. -V. 11.-№ 1.-P. 66−78.
31. Wolfram S. Mathematica: A System for Doing Mathematics by Computer / S.Wolfram. -Addison-Wesley. Reading— MA.- 1991
32. Быков В. И. Применение систем компьютерной алгебры в модифицированном методе исключения неизвестных/ В. И. Быков, А. М. Кытманов, Т. А. Осетрова, З. Б. Потапова // Докл. РАН. 2000. — Т. 370. — № 4. — С. 439−442.
33. Мысливец С. Г. Формулы для нахождения сумм некоторых двойных рядов / С. Г. Мысливец, З. Б. Потапова // Межвузовский сборник «Вопросы математического анализа». Красноярск: КрасГТУ. — 2004. — Вып. 7. — С. 54−62.
