Разностные и проекционно-разностные схемы для задачи движения вязкого слабосжимаемого баротропного газа

Задачи движения вязких сжимаемых сред относятся к важным задачам механики сплошных сред [39, 54]. Одной из таких задач является движение вязкого баротропного газа, математическую модель которого принято описывать следующей системой, записанной в переменных Эйлера. до &у (ри) — О,.

0.1) р (и, У) и Ур = Ьлх + дь р = р (р), где Ь есть линейный эллиптический оператор

Ьи = ++А)&уи).

Выше через ц и Л обозначены коэффициенты динамической и сдвиговой вязкости, которые считаются известными константами и удовлетворяют условиям л> 0, (I + Л > 0, Л < 0. Неизвестные функции: плотность р и вектор скорости и, являются функциями переменных Эйлера х) Е <Э = [0, Т] х П В уравнения входят еще две известные функции: вектор внешних сил ?, являющийся функцией переменных Эйлера и давление газа-р,-зависящее-от-плотности.

Дополним систему (0.1) начальными и граничными условия-' ми yO, u)|?=0 = (/00, Uo), XGfi,.

0.2) u (i, x) = O, (i, x) G [0,7] x dU. Здесь и далее через dQ обозначается граница области П.

В зависимости от размерности вектора пространственных переменных х задачи принято классифицировать на одно, дву и трехмерные.

Наиболее хорошо исследованными являются уравнения одномерного движения. Теория глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений баро-тропного и теплопроводного вязкого газа как в классическом, так и в обобщенном смысле исследовалась в работах В.А.Солон-никова, A.B. Кажихова, В. В. Шелухина, В. А. Вайганта, A. Tani [9, 14, 29, 30, 31, 59, 65, 108] A.A. Амосова и A.A. Злотника [1, 2, 8, 69]. Важные результаты были получены также Н. Beirao da Veiga [71], A. Matsumura и S. Yanagi [96], D. Hoff [79], D. Serre [106] и P.L. Lions [89, 90, 91].

Случай двух и трех пространственных переменных изучен более слабо. Следует отметить статью [80], где для задачи Коши доказано существование слабых решений в предположении малости начальных данных, но допускающих существование разрывов, и работу [95], где доказано глобальное существование решения для полной системы уравнений Навье-Стокса с начальными данными близкими к константе. Для смешанных краевых задач установлены только локальные теоремы существования произвольных по норме решений [59, 108] и существование глобальных решений близких к состоянию покоя [16]. В случае упрощенной записи уравнений Навье-Стокса (0.1),(0.2), т. е использования приближения Стокса [54] для второго уравнения, для потенциальных решений в [15] установлено существование обобщенных (слабых) решений при любом конечном числе пространственных переменных. В двумерном случае было показано, что при достаточно гладких данных обобщенное решение также обладает соответствующей гладкостью. Для непотенциальных течений в работе [40] доказана теорема существования «в целом «(по времени и данным) слабого решения.

В связи с тем, что сложность уравнений (0.1), (0.2) делает невозможным получение аналитических решений, не менее важным следует считать вопросы, связанные с построением и строгим обоснованием численных методов для решения данных систем уравнений. К настоящему времени накоплен большой опыт численного решения задач вязкого и невязкого газа и имеются достижения в теории численных методов [12, 13, 35, 36, 43, 50, 53, 67] и др. Однако обоснование корректности методов и получение для них оценок погрешности численного интегрирования в исходной нелинейной постановке представляет сложную математическую проблему.

В работах Н. В. Арделяна [10, 11] получены общие теоремы о сходимости нелинейных разностных схем, использующие схемы в виде одного операторного уравнения и теоремы существования решения операторного уравнения в окрестности известного элемента. Главным условием сходимости является равномерная по коэффициентам устойчивость линеаризованной схемы. Это позволяет использовать теорию устойчивости линейных разностных схем [52] при исследовании нелинейных схем. Однако применение этого подхода при обосновании конкретных разностных —методов встретило-значительные трудности.

В настоящее время наиболее полное исследование математических свойств разностных схем было проведено лишь для одномерных движений газа. В этом случае удобно изучать уравнения газовой динамики в лагранжевых массовых координатах, которые имеют относительно удобный для исследования вид. Вопросам обоснования построенных разностных схем для движения баротропного газа посвящены работы [51, 56, 57, 61]. Наиболее полно исследован этот подход в работах А. А. Амосова и A.A. Злотника, где рассмотрен широкий класс разностных схем [3, 4, 5, 6, 7, 19] (работа [19] выполнена A.A. Злотником совместно с В.В. Гилевой). В отмеченных работах узучены вопросы устойчивости разностных схем в нескольких нормах, в частности в равномерной норме. Получены разностные аналоги законов сохранения и выведены априорные оценки разностного решения «в целом» по времени. Прослежено усиление нормы оценки погрешности и увеличение порядка сходимости с ростом требований на данные.

Значительно менее подробно исследованы разностные схемы для одномерных уравнений движений вязких сред, записанных в эйлеровых координатах. Здесь можно отметить работы A.B. Попова, Д. Г. Слугина [47, 49], в которых для построенных авторами разностных схем доказаны оценки погрешности при условии существования гладкого решения дифференциальной задачи.

Для двумерных течений система уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа становится громоздкой, что не позволяет распространить утверждения, полученные в одномерном случае, на двумерный и трехмерный. Поэтому для многомерных уравнений динамики вязкого газа удобно использовать уравне—ниягзаписанные.в.перемедных^йлера. В этом направлении использовались различные численные методы для построения разностных схем. Отметим два подхода к построению численных решений для многомерных задач газовой динамики.

Хорошо известна важность условия полной консервативности разностных схем для задач газовой динамики [53]. Однако при численном решении этих задач в переменных, отличных от лагранжевых, необходимо каким-либо образом аппроксимировать выражения, описывающие процессы конвективного переноса массы, импульса и полной энергии. Построение полностью консервативных разностных схем в этом случае оказалось достаточно трудной задачей. Для уравнений невязкого газа такие схемы построены в [28].

Другой подход к решению задач газовой динамики основан на применении кинетически-согласованных схем, построенных на основе квазигазодинамических уравнений. Работа в этом направлении ведется давно и основные ее результаты можно найти в [20, 21, 63, 66].

Однако полное обоснование применения этих методов пока к сожалению отсутствует. В работах A.B. Попова [46, 98], Г. М. Кобелькова, А. Г. Соколова [82], В. Kellogg, В. Liu [85, 93] для баротропного газа и A.B. Попова [44, 48] и Ш. Смагулова [55] для теплопроводного газа, строятся различные разностные схемы, для которых получены соответствующие оценки сходимости. Но в этих работах рассуждения проведены при условии, что функция р = р{р) является гладкой функцией с производными ограниченными некоторой константой, значение которой невелико.

В ряде случаев требуется численное моделирование течений газа, при плотностях близких к некоторой величине р* такой, что — (/?*•)-в е л ико. — Э то — означает, что малые изменения плотно-dp ~ ~ «сти влекут за собой существенные изменения давления.

При условии, что р — р* < 5 <С 1, уравнение состояния можно приближенно записать в виде.

Р = Р (Р) «р* + к*(р-р»), (0.3) где р* = р (р*), а к* есть положительная константа равная ~(р*) up.

Константа к* характеризует сжимаемость газа при плотностях газа близких к р*. Такие течения газа называют слабосжима-емыми и упомянутые выше методы решений обладают неравномерной по к* скоростью сходимости.

Предположим, что существует решение задачи (0.1),(0.2) (/?, и) такое, что р — р* <8 во всех точках области Q. Через р обозначим разность между функцией р и величиной р*. Тогда можно считать с точностью приближения функции давления от плотности в виде (0.3), что функции р и и являются решением задачи др div ((/o* + p) u) = 0, du dt р* + Р) Р = к*р, dt (u, V) u Vp = Lu + (р* + р) f,.

5,и)= (Ро, и0), хеП, и (*, х) = 0, (*, х) е [0,7] х да.

При больших числах к* удобнее принять за искомые величины функции р и и и переписать систему, домножив первое уравнение на коэффициент к*, в виде dt к*р* div (u) + div (pu) = 0, ди Р к* dt (u, V) u Р Vp = Lu + (р* + ^ 1 f.

Упростим полученные уравнения, положив к = к*р* (далее Р будем считать, что к 1) и пренебрегая величинами —, а также опустим знак волны над функцией р. В результате получим следующую задачу для определения р и и др к Шу (и) + сИу (ри) = 0, dt du (и, V) u + Vp = Lu + f, т р, и)|4=0 = (Ро, и0), X е П, и (*, х) = О, (¿-, х) € [0,Т] х дп. При численном решении полученной задачи нужно учитывать ее промежуточное положение между сжимаемыми и несжимаемыми средами. В диссертации исследуется двумерная линейная система, полученная отбрасыванием нелинейных членов и члена + Л) Шуи), др dt du fcdivu = 0, + Vp = [?Au + f,.

0.4).

0.5) dt.

Pi u)|i=o = (Po, u0), xGfi, u (t, x) = 0, (t, x) G [0,T] x Ш. В дальнейшем будем дополнительно предполагать, что ц < 1.

К системе (0.4), (0.5) также приводит использование псевдо-сжимаемых или квази-сжимаемых методов, в результате которых уравнения Стокса для несжимаемой жидкости заменяются на уравнения эволюционного типа с малым параметром. Впервые это предложил в 1966 году H.H. Яненко [68]. При этом он исходил из естественного физического предположения'^ что при определенных условиях движения несжимаемой и слабосжимаемой среды должны быть близкими. Идея аппроксимации уравнений Стокса для несжимаемой жидкости уравнениями эволюционного типа была использована в [17], а потом развита Тешат Я. в [109]. На сегодняшний день некоторые итоги применения методов с так называемой искуственной сжимаемостью можно найти в [104, 105, 107]. В то же время применение этих методов для решения задач динамики несжимаемой жидкости весьма ограничено. Г. М. Кобельковым в [34] было показано, что решение систем с искусственной сжимаемостью при некоторых условиях обладают осциляциями, которых нет у решений уравнений Стокса для несжимаемой жидкости. В связи с этим применение этого метода с использованием системы (0.4), (0.5) сводится обычно только к поиску стационарных течений исходной системы уравнений для несжимаемой жидкости.

Опишем подробнее содержание диссертации и параллельно продолжим обзор литературы. В первой главе диссертации рассматривается обобщение системы (0.4) др.. к сЬуи = д, (0.6) аи ^ л V р = цАи + ?. оЬ.

Поскольку первое уравнение задачи (0.6) гиперболического типа, а второе параболического, то вся система уравнений не имеет определенного типа. Теория таких систем уравнений (систем составного типа) развита еще недостаточно. Задачи, аналогичные задаче (0.6), (0.5), рассматривались в работах [37, 72, 76, 86, 104]. В частности в монографии [104] рассматриваются оценки производных по времени для аналогичных задач. В работе [37]^ля^адачи" Стокса получена оценка пространственных производных в случае ограниченной области с гладкой границей. В статье [76] для аналогичной области полученны оценки для обобщенной задачи Стокса, т. е. в случае, когда сЦуи = д, а в статье [72] в случае, когда это уравнение заменено на Ар + с1г/и = д. Частичное обобщение этих результатов для области типа многоугольника, а именно Н2 регуляризация дана в [86]. Полное обобщение для области с углами сделано в [78]. Для системы (0.4), (0.5) в [45, 99] были получены оценки для ?2 норм функций давления и скорости.

В первом параграфе первой главы вводятся обозначения и приводятся используемые утверждения. Во втором параграфе первой главы для задачи (0.6), (0.5) доказывается теорема существования и единственности обобщенного решения, в третьем параграфе для области П с гладкой границей методом локализации производится разбиение. Далее методом спрямления границы задача сводится к системам уравнений в прямоугольнике, который является образом некоторой части области, полученной в результате ее разбиения: р + к (Цуи = киуфх + д, й1 + рх = ¡-¿-Аи1 + Руфх — 2ци1у + ?ш1ш (фх)2 + Д (0.7) й2 + ру = jj. Au2 — 2ци2ху + ^и2уу{фх)2 + /2, где точка над буквами обозначает производную по временной переменной, а буквы х и у в индексе — производные по пространственным переменным х и у соответственно, ф — функция, задающая границу области О в некоторой локальной системе координат.

В четвертом параграфе для системы (0.7), (0.5) для произ-вольной-области^кусютао^гпадкой границей исследованы зависимости ?2 норм функций скорости и давления, а так же их производных по времени от параметров задачи Аи да. При условии достаточной гладкости правых частей и решения задачи (0.7). (0.5) доказывается следующая оценка дпр

Ьоо^тмт дпи.

9пУи дЬ п дЬп ьоо (о, т, ь2т дп+1Уи дп+1 и дгп+1.

ЬаофРМШ дЬп+1.

Ь2{.Я) п = 0,1,2, где.

Я (к, щ, р0^, д) = А-||Уио||и^(п) + + (2(к, щ, р0, ^ д) = ку/к\Х7щ\щ (п) + + у/к (} + ¿-Ц.

Величины (т = 0,1,2,3,4,5) и константа С не зависят от величин к и ¡-л.

В пятом параграфе для системы (0.7) в прямоугольнике с начальными условиями (0.5), заданными на одной из сторон прямоугольника, получены оценки ?2 норм производных по пространственным переменным первого порядка для функции давления и второго порядка для функции скорости. В шестом параграфе для области с достаточно гладкой границей получена оценка зависимости ½ норм первых производных функции давления и вторых производных функции скорости от к и ?1. А именно, в предположении достаточной гладкости правых частей и решения задачи (0.6), (0.5) доказана оценка где дпр Ш дпр дё.

Мл/Д.

О.Г.ИЗФ)) ' у/к дпи дпи дЬ п ь2(0,тм (п)).

4- /1 дЬ п д),.

Я{к, ро, Ид, ?, д) = ку/к\Чщ\пип) + Щ чу/к§ + 01 и0, ^ д) = ^П^тлоПр^^) + кл/к (% + + +.

Величины (т = 0,1,2,3,4,5,6,7,8) и константа С не зависят от к и ¡-л.

Во второй главе диссертации построена новая экономичная разностная схема для задачи (0.4), (0.5). Задачи, аналогичные (0.4), (0.5), рассматривались во многих работах (см. например [24, 37, 45, 60, 68, 99, 104, 107]), где были построены различные разностные схемы и проведены оценки точности получаемых сеточных решений. В частности, в [37] для неявных разностных схем переменных направлений доказаны оценки погрешности для функции скорости. Однако оценка для функции давления в этой работе нормирована на коэффициент 1/к, что не дает возможности судить о точности расчетов давления при больших к.

В первом параграфе главы 2 вводятся обозначения и описываются используемые вспомогательные утверждения. Во втором параграфе строится неявная разностная схема, решение которой предлагается искать путем исключения функции скорости. Далее в этом параграфе выписывается оператор, который требуется обращать для получения сеточного решения в этом случае. Производится расщепление (факторизация) этого оператора на два легкообращаемых оператора.

В параграфе 3 для полученной в результате расщепления разностной схемы доказывается теорема существования и единственности сеточного решения. В четвертом параграфе для разностной схемы, построенной в параграфе 2, описывается алгоритм поиска точного решения. А в пятом параграфе для этой схемы в предположении гладкоста ^ё^нтёния дифференциальной задачи (0.4), (0.5) и ограниченности величины кг2 получена оценка max \рп ~ qn\b2h + V max ||un — vn||^i +.

— 4= max \p? — qfWbot + max lluf — v? IUo^ y/k П=1,.Д UFt 4t 11 2,/l n=l,., n 11 t t.

Здесь и ниже через р, и обозначены компоненты точного решения, а через q, v — компоненты приближенного решения, найденного по разностной схеме. Индекс п указывает на номер временного слоя, а через обозначена разность назад по временной переменной [52].

Однако использование техники обоснования точности конечно-разностной схемы предъявляет достаточно большие требования к гладкости точного решения дифференциальной задачи (0.4), (0.5). С целью снижения требований к гладкости точного решения в третьей главе строится и исследуется схема, построенная методом конечных элементов. В настоящее время этот метод широко применяется для задач динамики вязкого газа в основном благодаря возможности использования его в областях со сложной геометрией. В работах [70, 74, 75, 77, 81] предложены различные алгоритмы поиска приближенного решения для задачи движения вязкого газа на основе метода конечных элементов и экспериментально показана эффективность используемых методов. Однако несмотря на такую популярность этого метода, вопросам его обоснования уделено меньше внимания. Для линеаризованной задачи, описывающей стационарные сжимаемые вязкие течения (задача сжимаемого Стокса) R. Kellogg и В. Liu в [83] доказали сущ^твование~и" «единственность-приближенного решения, построенного методом конечных элементов, а также ими были получены оценки численной аппроксимации. Этими же авторами в [84] были получены аналогичные результаты для задачи сжимаемого Стокса с добавленным слагаемым ер в уравнение неразрывности. В нелинейном случае O. Pironneau и J. Rappaz [97], используя метод конечных элементов и регуляри-зирующую технику, построили численное решение для задачи сжимаемого Стокса и доказали его сходимость. Далее В. Liu в [92] были получины априорные оценки численной аппроксимации для сжимаемых уравнений Навье-Стокса (регуляризован-ных методом streamline diffusion), как для двумерного, так и для трехмерного случая. R. Kellogg и В. Liu в работах [85, 93] для двумерных сжимаемых уравнений Навье-Стокса, а в работе [94] для трехмерных уравнений было построено конечно-элементное численное решение, доказано его существование и единственность, а также получены априорные оценки ошибки численной аппроксимации. Результаты в этих работах получены в предположении условия т ^ hd/2, где d, (d = 2,3) размерность задачи, а т и h шаги сетки соответственно по временным и пространственным координатам. Однако в этих работах не рассматривается случай слабосжимаемого газа. Этому случаю, а также получению оценок для ошибки численной аппроксимации в зависимости не только от параметров дискретизации, но и от параметров к и ¡-л уделил внимание J. R. Kweon, но только для линеаризованной сжимаемой задачи Стокса. Эти результаты отражены в работах [87, 88].

В первом параграфе третьей главы вводятся обозначения, далее для задачи (0.4), (0.5) рассматриваются галеркинские приближения доказываетсяjixj^yjgec^^, а во втором параграфе доказываются оценки близости точного решения дифференциальной задачи и галеркинских приближе длх дй дЬ дь ь^тмт ний. А именно, в предположении гладкости точного решения дифференциальной задачи получена следующая оценка.

1 = 1Ь — Р\ьоо (о, тмт + м11и ~ йЦьоо^г,^^))^ 1 др др лД дг дь Ьоо^тмт.

У (и — и)||Ьоа^тмт ^ С1г.

Здесь через р и й обозначены галеркинские приближения соответственно для давления и скорости. Константа С зависит от к и ?1 через нормы точного решения задачи (0.4), (0.5). Используя результаты главы 1, в предположении гладкости точного решения дифференциальной задачи и границы области О, получена оценка полной зависимости погрешности галеркинского приближения от к и ?1.

1 ^ Скк2.

Цу/Ц' где константа С не зависит от к и ?1.

В третьем параграфе третьей главы в результате использования метода конечных разностей по временной переменной из галеркинских приближений получается система алгебраических уравнений для нахождения приближенного решения. Доказывается существование и единственность этого решения. В четвертом параграфе доказываются оценки численного интегрирования в предположении гладкости точного решения дифференциальной задачи (0.4), (0.5) ^ шах ||ип-уп|и2(^+.

ТЪ— 1.^. ^./V.

Яо = гпах II о' 1 тах др дь п п тах.

Ь2(П) 71=1,. ди ж п.

2(П).

У (и" «^ С (Т + ¦

При этом требования гладкости точного решения существенно меньше, чем требования гладкости к точному решению, накладываемые в главе 2. Здесь костанта С также зависит от к и /1 через нормы точного решения задачи (0.4), (0.5). Поэтому, используя результаты главы 1, в предположении гладкости точного решения задачи (0.4), (0.5) и границы области О, получена оценка где константа С не зависит от к и ц.

В приложении к диссертации на основе идей главы 2 для задачи (0.4), (0.5) построена еще одна конечно-разностная схема, которая является альтернативой схемы, рассмотренной в главе 2. Далее для задачи (0.6), (0.5) выписаны оценки ½ норм вторых и третьих пространственных производных функции давления и третьих и четвертых пространственных производных функции скорости. Также в приложении содержатся результаты численных расчетов, которые иллюстрируют теоретические оценки.

В каждой главе диссертации принята независимая двойная нумерация утверждений (теорем, лемм) и формул, причем первым указывается номер параграфа в главе, вторым — номер утверждения, либо формулы в параграфе. Если первой указана цифра нуль, то это означает, что данная формула из введения. При ссылке на параграф, утверждение, формулу другой главы дополнительно указывается номер соответствующей главы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22, 23, 24, 25, 26, 27, 100, 101, 102, 103].

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Исследована зависимость интегральных норм старших производных функций скорости и давления от параметров задачи (коэффициентов сжимаемости и вязкости газа).

2. Построена новая неявная экономичная (в смысле требуемого количества арифметических операций для нахождения неизвестных сеточных функций на верхнем временном слое) разностная схема. Экономичность схем достигнута за счет применения расщепляющегося оператора, что в свою очередь позволило предложить явный алгоритм поиска точного решения.

3. Получены оценки для погрешности разностного решения в зависимости от шагов сетки, параметров сжимаемости, вязкости газа и норм точного решения дифференциальной задачи.

4. Построена и исследована неявная проекционно-разностная схема и изучен вопрос точности ее решения в зависимости от параметров сжимаемости, вязкости газа и шагов сетки.

5. Получены новые априорные оценки, в которых норма функции давления не умножается на малую константу.

Заключение

.