Численные методы решения одного класса оптимизационных задач размещения источников физических полей

В настоящее время в связи с потребностями практики высокими темпами развивается теория оптимальных систем, основывающаяся на новейших достижениях математики и техники. Среди проблем, решаемых на основе этой теории, важное место занимает задача оптимального размещения источников физических полей с заданными геометрическими и физическими характеристиками. Так, например, в настоящее время в микроэлектронной аппаратуре существует и развивается новое поколение конструкций. Одной из проблем, возникающих при компоновке МЭА, является проблема обеспечения теплового режима. Это задача создания максимальной равномерности температуры на поверхности подложки, задача обеспечения минимального перегрева элементов схемы за счет наиболее нагретых элементов и др. Такие же задачи возникают при проектировании механических конструкций, подвергающихся воздействию силовых источников, сосредоточенных в некоторых областях, и в других отраслях техники.

Постановке указанной задачи, исследованию методов решения ее в случае неподвижных источников с заданной интенсивностью, а также исследованию некоторых свойств полей этих источников, описываемых уравнениями в частных производных эллиптического и параболического типов, и решению конкретных задач посвящена данная работа.

Рассматриваемая здесь задача, как будет показано во второй главе, является задачей оптимального управления. В качестве управлений выступают параметры размещения источников. Исследованию задач оптимального управления посвящено очень много работ. В этом направлении получено большое количество важных результатов. Важнейшими из них являются принцип максимума Понтрягина [б, 52 ], представляющий основное необходимое условие сильного относительного минимума, и метод динамического программирования Беллмана [5].

Следует отметить, что и принцип максимума Понтрягина, и принцип оптимальности Беллмана, лежащий в основе динамического программирования, получены для систем с сосредоточенными параметрами. Однако на практике в большинстве случаев приходится иметь дело с системами с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных. Это связано с тем, что во многих приложениях модели с сосредоточенными параметрами описывают процесс слишком упрощенно, в результате чего оказываются неиспользованными заложенные в оптимизируемой системе дополнительные возможности управления. Более адекватно эти системы описываются уравнениями в частных производных. Исследованию оптимальных процессов в системах с распределенными параметрами посвящены работы [il, 12, 25, 26, 34, 35, 50]. Интересна работа [б4] по оптимальному управлению процессами в ядерном реакторе. В ней принцип максимума Понтрягина применяется для оптимального управления стационарными системами.

Бутковский А.Г. и другие [ю] решают задачу об экономически оптимальных режимах нагрева металла под дальнейшую обработку давлением. Показано, что не во всех случаях скоростной нагрев дает минимальное окисление, указаны случаи оптимальности скоростного нагрева. При решении задач используется упрощенное описание процесса нагрева, применяются методы вариационного исчисления и принцип максимума.

Представляет интерес также работа [ 87J, в которой развивается метод динамического программирования для оптимизации систем с распределенными параметрами.

Можно выделить группу работ, посвященных изучению проблем оптимального управления системами с распределенными параметрами посредством задания соответствующих параметров подвижного источника [9, 32, 95, 96]. Число источников в этих задачах обычно невелико, движение их может быть как одноразовым, так и периодическим, с постоянной или изменяемой траекторией. Классификация типов подвижного управления с указанием особенностей соответствукхцих задач управления дана в статье [9 ] .

Управления в указанных задачах принципиально отличаются от управлений, рассматриваемых в данной работе. В главе I сделан вывод, что в силу специфических особенностей управлений рассматриваемой задачи применить к ее решению методы, основанные на принципе максимума и принципе оптимальности Беллмана, не представляется возможным.

Как показано в монографии [77], поставленную в данной диссертации задачу можно классифицировать как задачу оптимизации систем многосвязного управления. Вопросам оптимизации таких систем посвящены работы [41, 42 ]. Однако методы, разработанные в них, не применимы в рассматриваемом случае. Это связано с тем, что в методе Sматриц [4l] предполагается, что местоположения и коэффициенты взаимовлияния источников заданы, тогда как в задаче размещения источников местоположение отыскивается, а коэффициенты взаимовлияния зависят от него.

Во многих работах, относящихся к затрагиваемой тематике, решаются задачи оптимального размещения элементов электронных устройств с учетом тепловой и электромагнитной совместимости, а также проводится анализ и расчет температурных режимов устройств.

21, 22, 23, 47, 48, 49, 63, 70 ]. При этом рассматриваются приближенные модели или используются опытно-эвристические методы.

Изучение общих закономерностей теплопередачи в радиоэлектронной аппаратуре, а также некоторых вопросов теплового расчета интегральных схем проводится в работах [l05, 106 ]. На основе приближенного теплового расчета предлагаются рекомендации для улучшения теплового режима радиоэлектронной аппаратуры.

Довольно сложными по структуре являются электромагнитные поля электронных устройств, создаваемые источниками разной геометрической формы и интенсивности. Изучению электромагнитной совместимости и учету ее при поиске конструктивной топологии элементов радиоэлектронной аппаратуры посвящена работа [46]. В работах [i, 14, 16, 30] даются практические рекомендации по учету электромагнитной совместимости.

Вопросам оптимального размещения в задачах механики посвящены работы [38, 53, 74, 90, 103 ]. В работах [7, 18, 62, 99] проводится исследование рационального (по некоторому критерию) размещения нефтяных скважин. Функциями цели в этих задачах могут быть, например, время разработки месторождения нефти [7], число скважин [99]. Работа [l8] интересна тем, что в ней задача размещения на данном участке месторождения подземных вод системы скважин, обеспечивающей минимальные затраты на добычу заданного количества воды, решается методом динамического программирования.

Линским B.C. [зз] предложен достаточно общий метод размещения объектов, обладающих притягивающей или отталкивающей связью. Но в этом методе игнорируется геометрическая форма объектов (объекты считаются материальными точками). Кроме того, очень трудоемким является подбор коэффициентов для силовых связей.

По математической постановке и методам решения рассматриваемые в данной работе задачи оптимального размещения источников физических полей имеют много общего с задачами размещения геометрических объектов. Первым разработал и систематизировал методы размещения геометрических объектов сложной формы Рвачев B. J1. [59]. Затем им же был предложен структурный метод решения краевых задач математической физики для областей сложной формы |б0]. Введенные Стояном Ю. Г. [71, 78] функции плотного размещения и годограф вектор-функции плотного размещения позволили довести решение задачи о размещении геометрических объектов в заданной области до работающих программ на ЭВМ. При этом использовались методы последовательно-одиночного размещения и сужающихся окрестностей [79] .

С использованием аппарата Rфункций и функции плотного размещения были успешно решены многие задачи оптимального размещения источников физических полей. Так, например, на применении функции плотного размещения и ее годографа основано решение задач нерегулярного размещения тепловых источников в ограниченной области для случая краевой задачи Дирихле [76, 80]. Метод последовательно-одиночного размещения тепловых источников, базирующийся на годографе функции плотного размещения и его свойствах, использован также при решении задач регулярного размещения тепловых источников в ограниченных и неограниченных областях [54, 75]. С использованием указанного метода решены задачи оптимального по критерию основной частоты размещения нагрузок на тонких плитах [38, 73, 74]. Таким же методом решена задача рационального периодического размещения колонн под равномерно нагруженной бесконечной пластиной с учетом ограничений на прогибы, решение которой сводится к вццелению области возможных местоположений колонн Метод последовательно-одиночного размещения использован в работе посвященной вопросам математической постановки и методам решения задач такого размещения разнотипных статических нагрузок, действующих на прямоугольную пластину, при котором максимальный прогиб пластины был бы наименьшим.

Следует отметить, что наиболее близкими по постановке задачи к рассматриваемой работе являются работы [38, 53, 55, 73, 74, 75, 76, 80, 103 1. Сделаны общая и математическая постановки задачи. Установлено, что задача является многоэкстремальной с конечным числом экстремумов, область изменения оптимизируемого параметра в общем случае невыпукла и несвязна. Теоретическое исследование указанной задачи не проводилось. С использованием аппарата Rфункций численно решались задачи регулярного размещения источников стационарных физических полей для случая первой краевой задачи. Область, содержащая источники, рассматривалась только прямоугольной формы. Для решения применялся метод последовательно-одиночного размещения. Однако этот метод не обязательно приводит к локальному экстремуму. Поэтому возникла идея применения к решению рассматриваемой задачи градиентных методов.

Градиентные методы обычно применяются при оптимизации непрерывной функции цели, имеющей непрерывный градиент. Однако многие задачи, возникающие в науке и технике, приводят к отысканию экстремумов функций, не являющихся гладкими. В связи с этим в последние годы особенно возрос интерес к" недифференцируемой оптимизации" [19 ]. Оптимизации недифференцируемых функций посвящены работы Пшеничного Б. Н. [56, 57, 58}, Шора Н. З. [l02], Демьянова В. Ф., Васильева JI.B. [l9], Кларка Е. [l04] и др. При этом рассматриваются специальные классы недифференцируемых функций. Выбираются они так, чтобы для функций этих классов можно было бы достаточно разумно ввести понятие обобщенного градиента с целью построения процессов градиентного типа нахождения экстремума.

В работе [80] была доказана непрерывность функции цели по группам переменных в задачах рационального размещения тепловых источников, что, как известно, не означает непрерывности функции цели в ее области определения, которая доказана в данной работе.

Вопрос о непрерывности функции цели оптимизационной задачи размещения источников физического поля при тех вариантах функции цели, которые имеют место в рассматриваемой работе, непосредственно связан с вопросом непрерывности физического поля по параметрам размещения его источников. Последний же является частным случаем проблемы устойчивости решения дифференциального уравнения в частных производных по правой части. Для уравнений эллиптического и параболического типов эта проблема рассматривается в очень многих работах [l5, 43, 44, 61, 68, 69, 8б, 91]. 0днако шем случае в связи с чрезвычайной узостью рассматриваемого класса задач (поставленная в данной диссертации задача не удовлетворяет рассматривают настолько широкий класс, что показать с применением заказанных в них свойств устойчивость в интересующем нас смысле не представляется возможным.

Настоящая диссертационная работа продолжает исследования, проводимые в Институте проблем машиностроения АН УССР под руководством профессора Стояна Ю. Г., и посвящена вопросам оптимального размещения источников физических полей. Целью ее является:

1. Теоретическое исследование задачи оптимального размещения источников физического поля с заданными геометрическими и физическими характеристиками для случая, когда поле описывается дифференциальными уравнениями эллиптического или параболического типов.

2. Обоснование возможности применения используемых методов.

3. Численное решение указанной задачи оптимизации с применением соответствующих методов вычислительной математики. одни работы оказываются неприменимыми в напредъявляемым требованиям), другие.

В первой главе излагается неформальная постановка ряда практических задач, характерной особенностью которых является то, что они сводятся к задачам размещения в некоторой области источников физических полей. Даются необходимые в дальнейшем понятия и определения, строится математическая модель задачи размещения источников в ограниченной области, осуществляется анализ особенностей рассматриваемой задачи. Исследуются методы ее решения.

Показывается, что задача размещения источников физического поля принадлежит классу задач оптимального управления. Анализируются управления, оптимизируемые в данной задаче. На основании этого анализа показывается, что в связи с особенностями, присущими рассматриваемым управлениям, к решению поставленной задачи управления не применимы принцип максимума Понтрягина и метод динамического программирования, основанный на принципе оптимальности Беллмана. Также обосновывается и иллюстрируется примером тот факт, что данная задача является задачей отыскания в некоторой области наименьшего (или наибольшего) значения функции одной или нескольких переменных. Делается вывод о необходимости решать задачу методами нелинейного программирования.

Для применения методов нелинейного программирования к оптимизации функции цели необходимо иметь сведения о свойствах этой функции цели. Но в рассматриваемых задачах функция цели непосредственно связана с функцией, описывающей физическое поле, создаваемое источниками и режимом на границе области, в начальный момент времени. Поэтому необходимо получить сведения о соответствующих свойствах функции, описывающей физическое поле.

Во второй главе исследуется зависимость поведения поля от параметров размещения источников. Причем сначала доказываются вспомогательные предложения, применяемые в дальнейшем. Затем проводится доказательство непрерывной (в пространстве обобщенных функций) зависимости от параметров размещения источников следующих функций: решения обобщенной задачи Коши для уравнения параболического типа, фундаментального решения уравнения эллиптического типа. И, наконец, с использованием вспомогательных предположений доказывается принадлежность пространству решений краевых задач для уравнений как параболического, так и эллиптического типов (- область изменения параметров размещения источников).

В третьей главе исследуется основная оптимизационная задача, предлагается метод ее решения, доказывается сходимость предложенного метода. Решаются конкретные оптимизационные задачи. Это оптимизация нерегулярного размещения взаимно ориентированных источников различной интенсивности в областях, имеющих форму прямоугольника или пятиугольника, когда физическое поле описывается уравнением эллиптического типа. А также рассматривается оптимизационная задача для случая нестационарных граничных условий. Поле при этом описывается дифференциальным уравнением в частных производных параболического типа. Функции цели в решаемых задачах представляют собой:

1) значение поля в фиксированной точке области;

2) наибольшее значение поля в области;

3) наибольшее из значений поля в центрах размещаемых источников.

Решение задач проводится с использованием градиентных методов. Показывается сходимость применяемых методов.

Содержание работы доложено на: а) конференции молодых ученых Института проблем машиностроения АН УССР (г.Харьков, 1980, 1982 гг.) — б) второй Республиканской научно-технической конференции.

Моделирование и автоматизация процессов проектирования, изготовления и эксплуатации систем" (г. Одесса, май 1983 г.) — в) Республиканской научно-технической конференции молодых ученых (г. Харьков, ноябрь 1983 г.) — г) городском семинаре «Прикладные методы математики и кабер-нетики» (г. Харьков, январь 1982 г.) — д) общемосковском семинаре ИПУ АН СССР «Проблемы управления распределенными системами с подвижным воздействием» (г.Москва, май 1982 г., май 1983 г.) — е) семинаре Киевского государственного университета «Теоретические и прикладные проблемы численных методов» (г.Киев, май 1983 г.) — ж) семинаре СКВ Института кибернетики АН УССР (г.Киев, апрель 1983 г.).

Основные положения работы, выносящиеся на защиту: а) постановка задачи оптимального управления размещением дискретных источников физического поляб) анализ возможностей применения к решению поставленной задачи классических методов оптимального управленияв) доказательство непрерывности в пространстве обобщенных функций решения обобщенной задачи Коши по параметрам размещения источниковг) доказательство непрерывности по параметрам размещения источников решений краевых задач для уравнений параболического и эллиптического типовд) результаты численного решения указанных задач градиентными методами.

Основной материал диссертационной работы опубликован в работах 81, 82, 97,98 .

— 14.

Работа выполнена в период с 1979 по 1983 гг. на кафедре прикладной математики Харьковского института радиоэлектроники в соответствии с тематическими планами: а) госбюджетной темой «Создание комплекса программ аналитического описания геометрических объектов для программирующих программ «Поле» (№ ГР 78 001 292) — б) хоздоговорных тем: «Разработка комплекса программ математического обеспечения автоматизированной системы проектирования радиоэлектронной аппаратуры» (№ ГР 80 000 478), «Система автоматизированного проектирования плат с неоднотипными элементами под комбинированный монтаж» (№ ГР 0I8290I0753), а также с договором о научно-техническом сотрудничестве, заключенном Харьковским ордена Трудового Красного Знамени институтом радиоэлектроники с Институтом проблем машиностроения АН УССР.

— 15.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ:

— предложен метод решения задачи оптимального размещения источников физического поля для случая, когда область и источники имеют форцу многоугольников;

— показана сходимость последовательности точек, вырабатываемой предложенным методом, к стационарной точке;

— построен алгоритм минимизации значения стационарного физического поля в фиксированной точке и приведены результаты численной реализации этого алгоритма для случаев: а) первой краевой задачи, когда область и источники имеют форму прямоугольникаб) второй краевой задачи, когда область и источники имеют форму квадратав) второй краевой задачи, когда область имеет форму пятиугольника, а источники — форму квадратов;

— предложен метод решения задачи минимизации наибольшего из значений физического поля в центрах источников;

— приведены результаты численного решения задачи размещения источников, минимизирующего наибольшее из значений поля в центрах источников;

— приведено решение первой краевой задачи для уравнения параболического типа в прямоугольной области с дискретными источниками прямоугольной формы;

— предложен метод решения задачи оптимизации размещения источников нестационарного поля с целью минимизации максимального в заданном промежутке времени значения поля в фиксированной точке и задачи оптимизации размещения источников с целью минимизации максимума нестационарного поля в заданной области в фиксированном промежутке времени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. В работе поставлена задача оптимального управления размещением дискретных источников физических полей, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического и параболического типов.

2. В результате анализа управлений рассматриваемой задачи сделан вывод о неприменимости к ее решению классических методов оптимального управления и обоснована необходимость использования численных методов нелинейного программирования.

3. Доказана непрерывная зависимость физических полей, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического и параболического типов, от параметров размещения источников, необходимая для применения к решению поставленных задач численных методов, используемых в данной работе.

4. Обоснована возможность применения к решению поставленной задачи метода проекции градиента.

5. С применением градиентных методов решены следующие задачи:

— размещение источников, минимизирующее наибольшее из значений поля в полюсах источников, для случая прямоугольной области и первой краевой задачи;

— размещение источников, минимизирующее значение поля в фиксированной точке области для случаев: а) прямоугольной области, первой краевой задачиб) прямоугольной области, второй краевой задачив) пятиугольной области, второй краевой задачи.