Осреднение процессов в периодических средах

Во многих областях современной техники широко применяются материалы, имеющие периодическую структуру. Процессы, протекающие в таких материалах, как правило, описываются уравнениями с быстроосщшлирующими коэффициентами. Всвязи с этим численное решение возникающих задач чрезвычайно трудоемковозникает необходимость выбирать сетку с мелким шагом, чтобы на каждую ячейку периодичности (размера порядка? «I) попало хотя бы несколько узлов. Это приводит к системам уравнений с крайне большим числом неизвестных, решение которых на ЭВМ часто бывает практически невозможным.

Развитая в последнее время методика осреднения уравнений в частных производных с быстроосциллируищими коэффициентами (см., например, [1−4, 23−25]) позволяет получать осредненные уравнения с постоянными или слабо меняющимися коэффициентами. Однако в ряде случаев вопрос о близости решений исходной и осредненной задач остается открытым.

В диссертации выведены оценки близости указанных решений для уравнений Максвеллатакже получены уравнения, которым удовлетворяют главные члены асимптотических разложений по малому параметру? решений односкоростного стационарного уравнения переноса частиц. В случае периодической и краевой задач для уравнения переноса доказаны оценки близости найденной асимптотики и решения исходной задачи.

Полученные асимптотики дают возможность качественного исследования решений уравнения переноса в тех или иных случаях. Оценки близости, доказанные в работе, позволяют получить численное решение данной задачи электродинамики или задачи теории переноса частиц с быстроосциллирующими коэффициентами с требуемой степенью точности. При этом решаемая на ЭВМ задача существенно проще исходной (например, можно брать крупную сетку, в ряде случаев происходит изменение типа уравнения и т. д.).

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе рассмотрены различные вопросы, связанные с гомогенизацией (осреднением) неполной системы уравнений Максвелла, а также с обоснованием полученных осредненных уравнений для задачи Коши. Пусть Е и Н — трехмерные векторы напряженности электрического и магнитного поля. Рассмотрим следующие соотношения, связывающие указанные векторы:

Написанные уравнения дополняются обычно условием.

ЛУ/чН =0. <2).

Считая (2) выполненным в некоторый начальный момент времени ~Ь0, из второго уравнения (I) следует, что указанное соотношение справедливо при всех ~Ь>~Ь0, т. е. оно имеет характер начального условия. Всюду далее рассматриваются лишь уравнения (I), которые для кратности будем называть системой Максвелла. Предполагается, что коэффициенты ^ э I4 «& есть 1-периодические функции «быстрых» переменных^: ? «» & «где — ОС1 /?. (I. В начальный момент времени.

О считаем выполненными условия.

Е (О^) = е (х-), О, ^ = ¿-(х-) р причем функции? и /Сот переменных у не зависят и обладают достаточной гладкостью (например, принадлежат соболевскому пространству). Делая замену переменных = Ее., Н = И запишем получившуюся систему уравнений (черточку над и Н опускаем):

3) здесь.

Будет рассматриваться задача (3),(4) с правыми частями /-", ¿-г, не зависящими от переменных ^ что связано лишь с большей компактностью изложения. Все рассуждения переносятся на случай т,.

Г = Г^, г, = 2 Ы-Ь,*)^ ($),.

I* —1 = б-с^^у) =? % (ж), 7 где , — [[-периодические функции.

Осредненная система уравнений для (3), (4) в случае достаточно гладких коэффициентов? ,, б при & — О была получена в [25], при б' -ф О — в [26]. Ее особенностью (при ФО) является наличие интегрального члена, характеризующего «память» материала. Разрешимость полученной системы ин-тегродифференциальных уравнений доказана в [27]. В [26] также доказано, что Е Р Н^оУР (НоУ (обозначим так решение ос-редненной системы) при — слабо в пространстве и^СРЛ" э ' Более сильных результатов относительно близости решений исходной и осредненной систем Максвелла автору диссертации известно не было.

Следуя методике осреднения уравнений в частных производных с быстроосциллирующими коэффициентами, представим векторы Е и /7 асимптотическими рядами по степеням малого параметра? , причем, как обычно принято, члены разложения нулевого порядка считаем не зависящими от переменных ^ :

Е (-Ь, х) ~ Ее (Ь, X) +? Е1 (Ъ, х, 5 — 4- а Х^)+.,.

5).

Н Х)~ Но (6, +? И, (^Х, ?) +? ^ (?, X, ;

1-периодичны по 5″. Подставляя (5) в (3) и приравнивая коэффициенты при 8° нулю, получаем, что.

ТЯГ + - Ъ^Но ~ = г, гг>и (б) чЦ> + хоЬхЕ0.

Значок ОС или 5 указывает по каким переменным действует соответствующий оператор. Применив к (6) операцию взятия «среднего по У У = // /.

О О О имеем соотношения.

2> ^ + <?>Е0 -Ъ>?Н0= Г,.

7).

В общем случае было бы неверным, однако, считать уравнения (7) искомым осреднением системы (3). Действительно, применяемая методика осреднения предполагает возможным получение всех членов разложений (5). В данном случае, зная векторы Е0 «Но «не удается решить уравнений (7) относительно Еу, Н^. Чтобы проверить это, вычтем соотношения (7) из (6): ъъ.

Система уравнений (8) в общем случае неразрешима, поскольку, например, ??иГ^Го^Е^О, но = что не обязано равняться нулю (по повторяющимся индексам здесь и далее предполагается суммирование в пределах ¦/ 4 I ^ 3). Таким образом, недопустимо в разложениях (5) не учитывать зависимость Е0 и И0 от 5 •.

Параграфы 1−3 главы I диссертации служат для наглядности последующего изложения (в случае измеримых функций? , Д/, &). В § I приведены основные моменты осреднения системы уравнений (3) с гладкими коэффициентами^, /и, &. Для полученной осредненной системы.

— Ь о и (9) установлена симметрия матриц (Цу) «(У^О ») и положительность соответствующих им квадратичных форм.

В § 2 для осредненной системы (9) доказывается конечность скорости распространения возмущений.

Параграф 3 логически завершает два предшествующих. Основным его результатом является теорема 2, устанавливающая близость решений задачи Коши дня уравнений (3) с гладкими быстроосциллиру-ющими коэффициентами и оередненных уравнений (9). Справедливо неравенство.

Е-Е0\1 +\Н-Н0\^ ^ с (-Ь)&, (10) где а3.

Р^СЧ^) «(Ж) «» Решения некоторых «задач на ячейке периодичности» .

В параграфах 4−7 результаты §§ 1−3 переносятся на случай измеримых ограниченных сверху и снизу коэффициентов, , &. В § 7, завершающем главу, доказывается теорема 2″, аналогичная теореме 2 из § 3: в случае измеримых ограниченных сверху и снизу коэффициентов? , /Ч, справедлива оценка (10).

В главе П проводится формальное осреднение односкоростного стационарного уравнения переноса частиц, записываемого в виде.

Функции? , 21, ^ являются 1-периодическими по переменным, длина свободного пробега частиц X? ^ (здесь и далее значок означает, что величины одного порядка)., 21 являются величинами порядка I, В случае /С = ¦/, ф & осреднение (II) с помощью теоретико-вероятностного подхода было проведено в [28^. В [5] осреднение для случая, рассмотренного в ?283, проведено с помощью методики [ I ] - получено также математически обоснованное осредненное уравнение для (II) при К — О.

В § I главы П диссертации определяется класс рассматриваемых задач. Предполагается, что е ->о. &.

Асимптотики решения уравнения (II) строятся при следующих величинах Ь: п. и х £4/ь.

Ш. X? — О р Ф ^ ?< (множитель? ^ у правой части выбирается из тех соображений, чтобы получающиеся главные члены асимптотических разложений решений по малому параметру? имели неотрицательный порядок);

1У.? ^ (1С =?1), — у. (К- 4 X/.

Случай I (при ¡-С —О)9 как уже было сказано, исследован Н. С. Бахваловым в работе [5] - там же получены осредненные уравнения в случае Ш, С (см. ниже).

Для уравнения переноса (II), записанного для случаев П-У, разбираются следующие три возможности, различающиеся соотношением величин <о1 и где Л.

СО ОО и—о ь—о.

A. 6- -?Гос1(Г>0 — л.

B. во =0, -Jz.dcт>0 ;

Л Л л л л.

В § 2 доказана разрешимость некоторых встречающихся в § 3 типов уравнений. Здесь и далее ^ и 2 — измеримые ограниченные сверху и снизу функции.

В § 3 строятся асимптотики решения уравнения (II) в случаях П-У. Получены следующие главные члены разложений:

П, А. у7 ^ (я,.. I где является решением уравнения <бо>% ;

Ш, А. Л л.

Ш’Вв Ыист) = №сг)<�Ьг *№)'<) — л.

Ш, с.

— Г* = >

1У, А. л.

ХУ, В. f-eji&jr l (К.*/, 1,3) — Л.

Л. С. ^^jMsiL- ;

I <ь ~Jz^>

JL v J2. y, в. у «.

7, С.

JL.

— Q.

— h^dir^ -ai (ic л.

Глава Ш посвящена обоснованию полученных асимптотик, причем асимптотики Ш, С, 17, В, 7, С обоснованы лишь в случае линейно-анизотропного рассеяния, т. е. при.

Для уравнения (II) рассматривались две задачи:. задача с периодическими по ос условиямиjb. краевая задача с условиями на границе Т~ выпуклой области ?1: flr — О при. Если обозначить.

II и Ц = (JJ ^).

SI п г4 где /7 — либо область из? , либо область периодичности (из задачи с>С), то справедливы оценки:

П, А.

Ш, А.^сг2 (^се^ для краевой задачи) — ш, в. Цу-г^И ¿-се*-,.

Ш, С. ||у- %\ 4 СВ-,.

1у, А.

1у, В. \Y-mW ¿-се*" ,.

IV, с. Иу-уЛ у, а.

V, В. {¿-СЕ2'^ для краевой задачи) — У, С.

Ооновнне результаты диссертации опубликованы в работах [20−22] .

1. Бахвалов Н. С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами, ДА. Н СССР, 1975, т.221, № 3, 516−519.

2. Бахвалов Н. С. Осреднение нелинейных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. ДАН СССР, 1975; т.225, № 2, 249−252.

3. Бердичевский В. Л-. Пространственное осреднение периодических структур. ДА. Н СССР, 1975, т. 222, № 3, 565−567.

4. Олейник О. А'. О сходимости решений эллиптических и параболических уравнений при слабой сходимости коэффициентов. УМН, т. 30, вып. 4(184), 1975, 257−258.

5. Бахвалов Н. С. Осреднение уравнения переноса для периодической среды. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15 Вычисл. матем. и киберн.4, 1981, № I, 14−20.

6. Быховский Э. Б. Решение смешанной задачи для системы уравнений Максвелла в случае идеально проводящей границы. Вестн. Л1У, й 13(1957), 50−66.

7. Бахвалов Н. С. Осреднение уравнений с частными производнымис быстро осциллирующими коэффициентами-' В кн.: Проблемы мате-матич. физики и выч. математики. М.: Наука, 1977, 34−51.

8. Курант Р.' Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

9. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

10. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд-во ЛГУ, 1950.

11. Бахвалов Н. С. ,' Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

12. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Труды МИ/Ш СССР, т. 61, I96I.

13. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

14. Плешкевич В. Ю. Решение кинетических уравнений в периодических решетках. Ч. I. Препринт ИА. Э им. И. В. Курчатова. M., 1974.

15. Найфэ А. Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

16. Вишик М. И. Решение системы квазилинейных уравнений, имеющих дивергентную форму', при периодических граничных условиях. ЛАН СССР, 1961, т. 137, № 3, 502−505.

17. Ладыженская О. А., Уральцева Н. П. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

18. Гермогенова Т. А. Принцип максимума для уравнения переноса. IBM и МФ, 1962, т. 2, & I, 169−174.

19. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат," 1981.

20. Мозолин C.B. Об обосновании осреднения задач линейной вязко-упругости и электродинамики. УМН, т. 38, вып. 5 (233), 1983, 143.

21. Мозолин C.B. Гомогенизация уравнения переноса для периодической среды. Препринт ОВМ АН СССР, В 50, M., 1983.