Алгоритмы приближенного интегрирования, связанные с формулами С. Л. Соболева

Теория квадратурных формул ьг N f (x)dx&YsCbf (xk)> (!) а К-1 и их многомерных аналогов — кубатурных формул f N f (x)dx&J2ckf (xk), (2) I где x = (xi,., xn), (x,.xfy, к = 1,. ,.n = 1, n является развернутым разделом вычислительной математики и математического анализа. Изучение формул вида (1) и (2) и оценок их погрешностей продолжается длительное время. О важности данного научного направления может, в частности, свидетельствовать то, что в нем работали знаменитые математики: И. Ньютон, J1. Эйлер, Ш. Эрмит, К. Гаусс, П. JI. Чебышев, С. Н. Бернштейн, С. JI. Соболев, С. Н. Никольский и другие. Интерес к задачам теории квадратурных и кубатурных формул не спадает до настоящего времени и это доказывает большое число научных публикаций по данным вопросам, регулярное проведение научных конференций (семинаров-совещаний), посвященных этой теории. Данная научная тематика является актуальной. Методы исследований формул вида (1) и (2) разнообразны и связаны со следующими характеристиками формул. а) Точностью формул. Например, со степенями многочленов (алгебраических или тригонометрических), на которых рассматриваемые формулы точны. б) Теоретико-вероятностными оценками погрешностей интегрирования. в) Погрешностями на классах функций и в порожденных этими классами линейных нормированных пространствах.

Данная диссертация связана, прежде всего, с работами С. J1. Соболева, которые были посвящены оценкам погрешностей формул интегрирования в классах функций.

Идея исследований подобного рода состоит в следующем. Если на интегрируемых функциях задана норма линейного нормированного пространства В, а функционалы ошибок погрешностей формул (1) и (2) lN порождают функционалы из сопряженного к В пространства В*, кото

Если известны верхние оценки сомножителей из правой части неравенства (5), то оно дает гарантированную верхнюю оценку погрешностей интегрирования формул (1) и (2).

Неравенства типа (5) позволяют поставить и решить ряд задач, связанных с минимизацией верхних оценок погрешностей формул прибли

3) N

5) женного интегирования, в том числе и таких, в формулировках которых учавствуют последовательности квадратурных и кубатурных формул.

В теории приближенного интегрирования почетное место занимают работы С. JI. Соболева. Их основные результаты изложены в книгах [19, 21, 20]. Монография [21] содержит обширную автобиографию.

Приведем некоторые характерные черты работ Соболева по приближенному интегрированию. а) Погрешность интегрируемых функций оценивается через их нормы в пространствах Соболева типа L™. б) Введены новые классы кубатурных решетчатых, формул с регулярным пограничным слоем, предложены алгоритмы конструирования и оценок погрешностей таких формул. в) Поставлены и рассмотрены асимптотические задачи, связанные с оценками погрешностей решетчатых кубатурных формул при неограниченном убывании шагов решеток (сеток). г) Для решения поставленных задач Соболеву пришлось применить ряд результатов из других разделов математики, не относящихся непосредственно к теории приближенного интегрирования: геометрии чисел, теорий конечных разностей, аналитических функций, обощенных функкций и др. Многие из этих результатов являлись новыми и, как и некоторые их обобщения, полученные Соболевым, сами представляют научный интерес.

Квадратурными и кубатурными формулами в функциональных пространствах занимались при жизни Соболева и после его смерти многие математики, среди которых: В. Н. Белых, О. В. Бесов, И. В. Бойков,

Я. М. Жилейкин, М. В. Носков, Н. Н. Осипов, И. М. Собольученики и сотрудники Соболева: Н. С. Бахвалов, В. JI. Васкевич, В. И. Половинкин, М. Д. Рамазанов, Г. Н. Салихов, Ц. Б. Шойнжуров.

С результатами Соболева и его учеников по теории приближенного интегрирования можно ознакомиться в книгах [8] - [20], [17]. Монография [21] содержит обширную библиографию.

Ради удобства изложения, чаще будем вести речь в данной работе не в терминологии, связанной непосредственно с квадратурными формулами, а с их функционалами ошибок lN вида (3) и (4). Изложим кратко содержание диссертации.

Основные результаты диссертации таковы:

Рассмотрены квадратурные формулы с пограничным слоем и с регулярным пограничным слоем с сетками узлов, не содержащих концов промежутков интегрирования. Получены асимптотические выражения для функционалов ошибок таких квадратурных формул в пространствах, сопряженных к L™(a, b), p 6 (1,оо]. Показано, что при данных р существуют асимптотически оптимальные и асимптотически наилучшие последовательности квадратурных формул с пограничным слоем в Lpl{a, b).

При любом натуральном числе т доказано существование последовательностей типа Грегори с положительными коэффициентами, точных на многочленах степени ниже т.

Для весовых кубатурных формул выведены условия их представимости в виде декартовых произведений других формул.

Обобщена теорема C.JI. Соболева о представлении финитных обобщенных функций, равных 0 на многочленах степени ниже т.

Заключение