Численные методы решения обратных задач для некоторых моделей популяции

В настоящее время одной из наиболее важных сфер приложения математических методов является биология. Многообразие и сложность возникающих в биологии задач обуславливают необходимость использования численных методов и современных ЭВМ для их решения. Математическое моделирование используется при исследовании разнообразных биологических процессов. При этом, во многих случаях некоторые параметры математических моделей, являющиеся важными характеристиками изучаемого процесса, неизвестны и могут быть определены только на основе косвенных измерений. Это означает, что необходимо решать обратные задачи состоящие в определении параметров математических моделей по имеющейся дополнительной информации о решении соответствующих задач.

Теория обратных задач — одна из быстро развивающихся областей современной математики. Обратные задачи возникают при обработке и интерпретации результатов экспериментов, ставящих своей целью исследование различных свойств физических объектов и процессов, вызывающих затруднение для непосредственного наблюдения. Одна из основных сложностей, возникающая при решении обратных задач, состоит в том. что по большей части такие задачи являются некорректно поставленными. Решение обратных задач может не существовать, быть не единственным и быть неустойчивым по отношению к изменениям исходных данных. Это создает существенные трудности при решении обратных задач поскольку дополнительная информация известна не точно, а лишь приближенно. Поэтому построение устойчивых численных методов решения обратных задач имеет большое значение. Развитие теории и методов решения некорректных задач началось с фундаментальной работы А. Н. Тихонова [24]. в которой был предложен принцип устойчивого решения обратных задач. В дальнейшем теория обратных задач и методы их решения были развиты в работах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева. В. К. Иванова и целого ряда других авторов [2], [3], [6]. [8], [12], [13], [15], [19], [20], [23], [25], [27], [28], [29].

Важным направлением в математическом моделировании биологических процессов являются популяционные модели, основанные на дифференциальных уравнениях в частных производных. Модели популяции биологических объектов описывают поведение совокупности объектов, которая задается функцией плотности объектов. Плотность объектов популяции характеризуется параметром, которым объекты отличаются друг от друга, это может быть размер или возраст объекта, и временем. Итак, функция плотности объектов популяции — это плотность объектов определенного размера (возраста) в момент времени. Также моделями популяции описываются биологические процессы, которым подвержены объекты популяции, например, смертность объектов, их рождаемость, рост объектов во времени и многие другие. Количество коэффициентов описывающих поведение объектов модели может варьироваться от двух-трех до десятков. В настоящее время в этой области поставлено и исследовано большое количество моделей популяций биологических объектов.

Рассмотрим некоторые модели популяций. В работе [50] изучена одна из моделей популяций, в которой учитываются только две характеристики объектов — смертность и рождаемость. п (а, t) а + п (а, t) t = —/i (a)n (a, t). Aq < a < a. 0 < t, ai n (0.t) = J q (s)n (s, t) ds, 0 < t, a0 n (a, 0) = no (a), ao < a < a j, где n (a, t) — плотность объектов возраста, а в момент времени t, ji (a) — коэффициент скорости смертности объектов, Lp (a) — начальное распределение плотности объектов и g (a) — относительный коэффициент скорости рождения объектов. Следует заметить, что переменную, а можно трактовать и как возраст объектов популяции, и как размер объектов популяции, тогда при одинаковой математической записи можно получить две разные по смыслу описываемых физических процессов модели.

В работе [43] в вышеописанную модель добавляется характеристика д (х). описывающая скорость роста объектов популяции. и (х, t) f, + (д (х)и (х. t))x = -fi (x)u (x, t). О < х < 1, t > О, 1 p (0)u (0, t) = J q (s)u (s. t) ds, t > 0, о u{x, 0)=(p{x), 0.

В данном случае переменная х описывает размер объекта популяции.

В ряде математических моделей популяций учитывается вероятностный характер популяционных процессов, например, таких как вероятность соединения двух объектов популяции в один или вероятность разделения одного объекта на два меньших по размеру [32]. 36]. Некоторые другие модели популяций биологических объектов можно найти в [33], [34], [35], [40], [41], [42], [44].

Для моделей популяции биологических объектов ставятся обратные задачи, состоящие в определении неизвестных коэффициентов модели по дополнительной информации о решении краевой задачи. Не смотря на то, что широко применяются различные математические подходы и методы к решению популяционных задач, обратные задачи определения неизвестных коэффициентов для этих моделей исследованы в меньшей степени. Поэтому постановка и исследование таких обратных задач, а так же построение численных методов решения обратных задач для моделей популяций видятся актуальными для развития математических методов анализа биологических процессов.

В работе [32] и некоторых других ставятся обратные задачи определения неизвестных коэффициентов моделей популяции. Так в [32] обосновывается применение метода наименьших квадратов для определения скорости роста объектов, относительной скорости рождения объектов, вероятностей соединения и разделения объектов по дополнительной информации о структуре популяции в некоторые моменты времени.

Диссертационная работа посвящена исследованию и численному решению некоторых обратных задач для двух моделей популяции биологических объектов. Такие модели популяций возникают при исследовании свойств популяций фитопланктонов, являющихся одними из важных участников производственного процесса в мировом океане [35],[43]. 44],[50],[51]. Из-за увеличения содержания углекислого газа в земной атмосфере и его влияния на глобальное изменение климата, важно понимать поведение популяций фитопланктонов, участвующих в процессе переработки углерода в мировом океане, Поэтому изучение задач такого типа представляет несомненный интерес как с практической так и с теоретической точки зрения. Диссертация состоит из трех глав.

Первая глава посвящена обратным задачам для модели популяции биологических объектов с постоянной скоростью роста и разработке численных методов их решения.

В первом параграфе рассмотрена модель популяции биологических описываемая уравнением щ + их = -ф)и, 0<�х<1, 0 < t < 1, (1) краевым условием 1 u (0,t) = J q{s)u{s, t) d.s., 0 <1. (2) о и начальным условием ф, 0) = ф), 0<�х<1, (3) где u (x, t) — плотность объектов размера х в момент времени t, fi (x) — коэффициент скорости смертности объектов. <�р (х) — начальное распределение плотности объектов и q (x) — относительный коэффициент скорости рождения объектов. Для модели (1)-(3) рассмотрены две обратные задачи. Обратные задачи состоят в определении коэффициента скорости смертности объектов ц (х) или плотности начального распределения объектов (р (х) по дополнительной информации о плотности популяцииявляющейся функцией времени и имеющей вид u{x0.t) = c (t), 0<�х0<1, 0.

Во втором параграфе строится итерационный метод для численного определения коэффициента /л (х) по дополнительной информации (4). Для этого задача (Г)-(4) сводится к нелинейному интегральному уравнению для функции ji{x). На основании полученного уравнения строится итерационный метод и доказывается теорема о его сходимости при некоторых ограничениях на известные функции q (x) и (р (х) на классе непрерывных функций ц{х).

В третьем параграфе обосновывается применение метода регуляризации Тихонова для нахождения функции fi (x) для обратной задачи (1)-(4). Для этого получена оценка устойчивости решения и (х, t) задачи (1)-(3) по коэффициенту fi (x).

В четвертом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов решения обратной задачи нахождения коэффициента ц{х).

В пятом параграфе строится итерационный метод для численного определения коэффициента ip (x) по дополнительной информации (4). Для этого задача (1)-(4) сводится к интегральному уравнению Вольтер-ра 2-го рода для функции (р (х).

В шестом параграфе обосновывается применение метода регуляризации Тихонова для нахождения функции ip (x) для обратной задачи.

1)-(4).

В седьмом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов решения обратной задачи нахождения коэффициента ip (x).

Во второй главе изложены, методы численного решения обратной задачи одновременного определения двух коэффициентов для модели популяции с постоянной скоростью роста.

В первом параграфе поставлена обратная задача, состоящая в одновременном определении коэффициента скорости смертности объектов jj,{x) и плотности начального распределения объектов ip (x) по дополнительной информации о плотности популяции, имеющей вид и (0, t) = a{t), 0< t < 1, (5) где a (t) и b (t) известные положительные функции.

Во втором параграфе выводятся два итерационных метода для численного нахождения функции ц (х) для случая непрерывности решения задачи (1)-(3) и случая его разрыва на диагонали х = t Для обоих итерационных методов доказаны теоремы сходимости при определенных условиях, наложенных на известные функции. Показано, что неизвестная функция (р (х) может быть найдена из некоторого уравнения при подстановке в него полученной с помощью итерационных методов функции /л (х).

В третьем параграфе, таким же как и во втором параграфе образом, строятся два итерационных метода для численного нахождения функции <�р (х). Для обоих итерационных методов доказаны теоремы сходимости при определенных условиях, наложенных на известные функции.

В четвертом параграфе обосновывается применение метода регуляризации Тихонова для решения обратной задачи (1)-(3),(5). Для этого получена оценка устойчивости решения u (x, t) задачи (1)-(3) по коэффициентам ji{x) и <�р (х).

В пятом параграфе приведены результаты вычислительных экспериментов решения обратной задачи одновременного нахождения коэффициента <�р (х) и плотности <�р (х).

Третья глава посвящена обратной задаче для модели популяции биологических объектов с переменной скоростью роста.

В первом параграфе рассмотрена модель популяции биологических описываемая уравнением.

Щ + (ди)х = -/ли, 0 < х- < 1, t> 0, (6) краевым условием 1.

0)u (0, t) = f q{s)u{s, t) ds, t > 0. (7) о и начальным условием и{х, 0) = ф), 0 <�х < 1, (8) где u (x.t) — плотность объектов размера' х в момент времени t, д (х) — коэффициент скорости роста объектов, ф) — коэффициент скорости смертности объектов. <�р (х) — начальное распределение плотности объектов и q (x) — относительный коэффициент скорости рождения объектов. Обратная задача состоит в определении коэффициента скорости роста объектов д (х) по дополнительной информации о плотности популяции. являющейся функцией времени и имеющей вид и{х о, t) = c (t), 0 < х0 < 1, 0.

Во втором параграфе строятся итерационные метода для численного определения коэффициента д (х) по дополнительной информации (9). Метод решения основан на выводе нелинейного интегрального уравнения для функции д (х) сначала на отрезке [О.жо], а затем построении другого нелинейного интегрального уравнения для определения этой функции па отрезке [xq. 1]. На основе обоих нелинейных интегральных уравнений построены итерационные методы и доказаны теоремы устанавливающие условия сходимости итерационных методов при некоторых ограничениях наложенных на известные функции.

В третьем параграфе главы для определения неизвестной функции д (х) применяется метод регуляризации Тихонова.

Для всех рассмотренных численных методов решения обратных задач приведены результаты вычислительных экспериментов, показавшие эффективность разработанных численных методов.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9], [10], [11], [16], [17], [18].

5 Заключение.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Поставлены и исследованы обратные задачи для модели популяции с постоянной скоростью роста объектов, состоящие в определении скорости смертности объектов или плотности их начального распределения. Получены интегральные уравнения для неизвестных функций. Предложены, обоснованы и реализованы итерационные методы и метод регуляризации Тихонова для численного определения неизвестных коэффициентов.

2. Изучена обратная задача одновременного определения скорости смертности объектов и плотности их начального распределения для модели популяции с постоянной скоростью роста объектов. Исследованы и реализованы итерационные методы и метод регуляризации Тихонова для численного решения обратной задачи.

3. Поставлена и исследована обратная задача для математической модели популяции с переменной неизвестной скоростью роста биологических объектов, Выведены нелинейные интегральные уравнения для функции скорости роста, предложены, обоснованы и реализованы численные методы для решения обратной задачи.