Разностные методы решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации

Интенсивное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения численного моделирования для исследования различных физических, технологических и производственных процессов. При математическом моделировании большинства этих процессов возникают весьма сложные, часто нелинейные, задачи математической физики, решение которых возможно получить лишь с использованием численных методов. К числу таких задач относятся задачи фильтрационной консолидации.

Фильтрационной консолидацией называется процесс взаимодействия пористой среды (скелета) и насыщающей ее жидкости под действием внешних сил. При этом говорят о насыщенной фильтрационной консолидации, если поры среды оказываются полностью занятыми жидкостью, и о ненасыщенной фильтрационной консолидации — в противном случае. Теория фильтрационной консолидации охватывает задачи об осадке сооружений на насыщенных грунтах, задачи деформации пористого скелета под воздействием достаточно мощного фильтрационного потока и др.

Наиболее полно исследованы задачи насыщенной фильтрационной консолидации. Основы теории насыщенной фильтрационной консолидации заложены в работах К. Терцаги, Н. М. Герсеванова, Ю. К. Зарецкого, М. Био, В. Н. Николаевского ([53], [3], [18], [57], [37]) и других авторов. Ими построены математические модели фильтрационной консолидации, проведены исследования этих моделей с позиций механики сплошных сред. Строгий математический анализ задач насыщенной фильтрационной консолидации был проведен в работах А. В. Костерина, М. И. Дроботенко, Р. З. Даутова, А. Д. Ляшко ([9]-[13]). В этих работах введено понятие обобщенного решения, доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения, изучены его свойства, достаточно подробно исследованы методы численной реализации. Исследованию разностных схем решения некоторых задач насыщенной фильтрационной консолидации посвящены работы П. Н. Вабищевича, F.J. Gaspar, F.J. Lisbona ([59]—[60]).

Следует отметить, что при формулировке модели насыщенной филь-трационой консолидации предполагается, что давление в порах не опускается ниже некоторого порогового значения, обеспечивающего полное насыщение пор скелета. В то же время, экспериментальные исследования показывают, что при достаточно быстром расширении упругой среды (например, при резком снятии нагрузки на пласт) возникают зоны, в которых жидкость не успевает занять весь поровый объем, и его свободная часть заполняется парогазовой смесью, то есть образуются зоны неполного насыщения. Для описания этого процесса А. В. Костерин в работе [26] предложил модель насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации. Эта модель позволяет описывать процессы фильтрационной консолидации как при полном насыщении, так и в случае, когда в части области (или во всей области) поры скелета не полностью заняты жидкостью. Изучению данной модели посвящена настоящая диссертация.

С математической точки зрения модель насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации представляет собой систему уравнений в частных производных относительно перемещений упругой среды и давления жидкости. Причем уравнение относительно давления — вырождающееся, эллиптико-параболического типа, с нелинейностью и в «пространственном» операторе, и в «параболической» части. Такого типа задачи получили название «задачи с двойным вырождением». С 70-х годов прошлого столетия они привлекают внимание многих исследователей. Работы [14],.

63], [61], [39] посвящены исследованию вопросов существования решения параболических уравнений и неравенств с двойным вырождениемв работах [54], [55] доказаны теоремы существования решений для уравнений и вариационных неравенств эллиптико-параболического типа с двойным вырождением, в [62] доказана единственность решения для этих задач.

Исследование задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрации было впервые проведено в работах [40], [41]. В этих статьях доказано существование обобщенного решения одной начально-краевой задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации. Настоящая диссертационная работа продолжает эти исследования, а именно, здесь рассматриваются более сложные краевые условия, приводящие в обобщенной постановке к вариационному неравенству первого рода (относительно давления) с ограничением на решение на части границы области. Известно [54], что исследование вариационных неравенств с ограничением на границе имеет ряд существенных отличий по сравнению с исследованием уравнений, поскольку решения вариационного неравенства, как правило, обладают меньшей гладкостью.

Цель настоящей работы — исследование корректности и построение эффективных численных методов решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации, в случае, когда на части границы задано условие односторонней проницаемости.

В первой главе исследуется корректность рассматриваемой задачи. Здесь дается обобщенная постановка задачи, обсуждается связь между понятиями обобщенного и классического решений. С помощью метода полудискретизации со штрафом доказывается существование обобщенного решения. Для доказательства разрешимости полудискретной задачи используется метод Галеркина.

Вторая глава посвящена исследованию разностных методов решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации. Следует отметить, что для задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации предположение о гладкости решения не является неестественным, поскольку наиболее сложный объект в этой модели — уравнение относительно давления относится к классу уравнений с двойным вырождением, характерной особенностью которых является негладкость решения. В связи с этим использование методов общей теории разностных схем (см., например, [48], [51], [49], [1], [8], [16], [35], [6], [7], [8], [60]) оказывается невозможным. Исследование сходимости разностной задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации проводится при минимальных предположениях о гладкости решения и исходных данных задачи. При этом используется методика, разработанная О. А. Ладыженской [29], [30] при исследовании сходимости разностных схем для линейных уравнений математической физики. Среди близких по методике исслё^ования работ следует также отметить [36], [33], [34], [4], [5].

Третья глава диссертации посвящена построению итерационных методов решения, как для задачи, изучаемой в первых двух главах, так и для задачи насыщенной фильтрационной консолидации. Необходимость построения итерационного метода для задачи насыщенной фильтрационной консолидации продиктована тем, что в качестве начального условия для насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации естественно выбирать установившееся стационарное решение.

Остановимся подробнее на содержании диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, шестнадцати рисунков, девяти таблиц. Список используемой литературы содержит 63 наименования.

1. Вабищевич П. Н. Устойчивость проекционно-разностных схем для нестационарных задач математической физики / П. Н. Вабищевич, А. А. Самарский // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1995. -Т.35. — № 7. — С. 1011−1021.

2. Гаевский X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. -М.: Мир, 1978. 336 с.

3. Герсеванов Н. М. Основы динамики грунтовой массы / Н.М. Герсева-нов. М.: ОНТИ, 1937. — 336 с.

4. Глазырина JI.JI. Разностная схема решения задачи совместного движения грунтовых и поверхностных вод / J1. J1. Глазырина, М. Ф. Павлова // Изв. вузов. Математика. 1984. 9. — С. 72−75.

5. Гловински Р. Численное исследование вариационных неравенств / Р. Гловински, Ж.-Л. Лионе, Р. Тремольер. М.: Мир, 1979. — 574 с.

6. Годунов С. К. Разностные схемы / С. К. Годунов, B.C. Рябенький. -М.:Наука, 1973. 400 с.

7. Гулин А. В. О некоторых результатах и проблемах теории устойчивости разностных схем / А. В. Гулин, А. А. Самарский // Матем. сборник.- 1976. Т. 99. — С. 299−360.

8. Даутов Р. З. Исследование корректности обобщенного решения задачи фильтрационной консолидации / Р. З. Даутов, М. И. Дроботенко, А. Д. Ляшко // Дифференц. уравнения. 1997. — Т. 33. — № 4. -С. 515−521.

9. Дроботенко М. И. Исследование фильтрационной консолидации / М. И. Дроботенко, А. В. Костерин Препринт. — Казань. -1991. — 34 с.

10. Дроботенко М. И. Обобщенные решения задачи фильтрационной консолидации / М. И. Дроботенко, А. В. Костерин // ДАН России. 1996. Т. 350. № 5. — С. 619−624.

11. Дроботенко М. И. Регуляризация задачи фильтрационной консолидации упругой пористой среды / М. И. Дроботенко, А. В. Костерин // Изв. вузов. Математика. 1998. — № 4. — С. 18−22.

12. Дроботенко М. И. Приближенное решение задачи фильтрационной консолидации / М. И. Дроботенко, А. Д. Ляшко // Изв. вузов. Математика. 1992. — № 3. — С. 3−6.

13. Дубинский Ю. А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях / Ю. А. Дубинский // Матем. сборник. -1965. Т.67. — К0- 4. — С. 609−642.

14. Дюво Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе. -М.: Наука, 1980. 383 с.

15. Дьяконов Е. Г. Разностные методы решения краевых задач, вып. 2. Нестационарные задачи / Е. Г. Дьяконов. М.: Изд-во МГУ, 1972. -227 с.

16. Егоров А. Г. Консолидация и аккустические волны в насыщенных пористых средах / А. Г. Егоров, А. В. Костерин, Э. В. Скворцов. Казань: Издательство КГУ, 1990. — 102 с.

17. Зарецкий Ю. К. Теория консолидации грунтов / Ю. К. Зарецкий. -М.: Наука, 1967. 270 с.

18. Карчевский М. М. Экономичные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений / М. М. Карчевский, А. В. Лапин, А. Д. Ляшко // Изв. вузов. Математика. 1972. — № 3. — С. 23−31.

19. Карчевский М. М. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнеий. I / М. М. Карчевский, А. Д. Ляшко // Изв. вузов. Математика. 1972. — № 11. — С. 23−31.

20. Карчевский М. М. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. II / М. М. Карчевский, А. Д. Ляшко // Изв. вузов. Математика. 1973. — № 3. — С. 44−52.

21. Карчевский М. М., Ляшко А. Д. Разностные схемы для нелинейных уравнений математической физики / М. М. Карчевский, А. Д. Ляшко. Казань: Изд-во КГУ, 1976. — 158 с.

22. Киндерлерер Д.

Введение

в вариационные неравенства и их приложения / Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. М.: Мир, 1983. — 256 с.

23. Кобельков Г. М. Об эквивалентных нормировках подпространств L2 / Г. М. Кобельков // Analysis Mathematica. 1977. — Т. 3. — № 3. -С. 177−186.

24. Коллинз Р. Течения жидкостей через пористые материалы / Р. Коллинз. М.: Мир, 1964. — 350 с.

25. Костерин А. В. Насыщенно-ненасыщенные состояния деформируемых пористых сред / А. В. Костерин, Д. А. Березинский // ДАН России. -1998. Т. 356. — JV® 3. — С. 343−345.

26. Костерин А. В. Численное исследование фильтрационной консолидации / А. В. Костерин, М. Ф. Павлова, Е. В. Шемуранова (Е.В. Рунг) // Математическое моделирование. 2001. — Т. 13. — JV® 9. С. 63−70.

27. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения / О. А. Ладыженская. М.: Гос. изд-во тех.-теор. литературы, 1953. — 280 с.

28. Ладыженская О. А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными / О. А. Ладыженская // УМН. -1957. Т. 12. № 5. С. 123−149.

29. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. М.: Наука, 1970. — 288 с.

30. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. — 587 с.

31. Майорова М. Е. О сходимости неявной разностной схемы для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации / М. Е. Майорова, М. Ф. Павлова // Изв. вузов. Математика. 1994. — JV" 1. — С. 43−53.

32. Майорова М. Е., Павлова М. Ф. О сходимости явных разностных схем для одного вариационного неравенства теории нестационарной фильтрации / М. Е. Майорова, М. Ф. Павлова // Изв. вузов. Математика. -1997. X® 7. — С. 53−65.

33. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. -М.: Наука, 1977. 456 с.

34. Масловская JI.B. О сходимости разностных методов для некоторых вырождающихся квазилинейных уравнений параболического типа / JI.B. Масловская // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. — Т. 12. — № 6. — С. 1444−1455.

35. Николаевский В. Н. Механика пористых и трещиноватых сред / В. Н. Николаевский. М.: Недра, 1984. — 232 с.

36. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач / Ж-П. Обэн. М.: Мир, 1977. — 384 с.

37. Павлова М. Ф. Исследование уравнений нестационарной нелинейной фильтрации / М. Ф. Павлова // Дифференц. уравнения. 1987. -Т. 23 — JV® 8. — С. 1436−1446.

38. Павлова М. Ф. О разрешимости одной задачи фильтрационной консолидации при неполном насыщении /М.Ф. Павлова // Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования», Абрау-Дюрсо. 1997. — С. 110−114.

39. Павлова М. Ф. Исследование корректности задачи фильтрационной консолидации при неполном насыщении /М.Ф. Павлова // Дифферент уравнения. 1998. — Т. 34. № 7. — С. 1−11.

40. Павлова М. Ф. О разностном методе решения одной задачи насыщенной фильтрационной консолидации / М. Ф. Павлова, Е. В. Шемуранова (Е.В. Рунг) // Материалы Всероссийской молодежной научной школы-конференции по мат. моделированию, Казань 1999. — С. 250 255.

41. Павлова М. Ф. О существовании слабого решения одной задачи ненасыщенной фильтрационной консолидации / М. Ф. Павлова, Е. В. Шемуранова (Е.В. Рунг) // Изв. вузов. Математика. 2001. — JV® 10. -С. 58−68.

42. Самарский А. А.

Введение

в теорию разностных схем / А. А. Самарский. М.: Наука, 1971. — 552 с.

43. Самарский А. А. Устойчивость разностных схем / А. А. Самарский, А. В. Гулин. М.: Наука, 1973. — 315 с.

44. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений / А. А. Самарский, В. Б. Андреев. М.: Наука, 1976. — 352 с.

45. Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. М.: Наука, 1977. — 656 с.

46. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. М.: Мир, 1981. — 408 с.

47. Терцаги К. Строительная механика грунтов / Терцаги К. М.: Гос-стройиздат, 1953. — 400 с.

48. Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equation / H.W. Alt, S. Luckhaus // Math.Z. 1983. — Bd. 183. — № 8. P. 311−341.

49. Alt H.W., Luckhaus S., Visintin A. On nonstationary flow through porous media / H.W. Alt, S. Luckhaus, A. Visintin // Ann. Mat. Pura ed Appl.- 1984. V. 136. — P. 303−316.

50. Bercovier M., Pironneau О. Error estimates for finite element method solution of the Stokes problem in the primitive variables / M. Bercovier, O. Pironneau // Numer. Math. 1979. — V. 33. — P. 211−224.

51. Biot M.A. The mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media / M.A. Biot // J. Appl. Phys. 1962. — V. 33. — № 4-P. 1482−1498.

52. Ganzburger M. D. Finite element methods for viscous incompressible flows. A guide to thery, practice, and algorithms / M.D. Ganzburger. -Academic Press, Inc. 1989.

53. Gaspar F.J., Lisbona F.J., Vabishchevich P.N. Finite difference schemes for poro-elastic problems / F.J. Gaspar, F.J. Lisbona, P.N. Vabishchevich // J. Сотр. Methods in Applied Math. 2001. -V. 1. — № 1 — P. 1−9.

54. Gaspar F.J., Lisbona F.J., Vabishchevich P.N. A numerical model for the radical flow through porous and deformable shems / F.J. Gaspar, F.J. Lisbona, P.N. Vabishchevich // J. Сотр. Methods in Applied Math. 2004. — V. 4. — № 1 — P. 34−47.

55. Grange O., Mignot F. Sur la resolution d’une equation et d’une inequation paraboliques nonlineaires / O. Grange, F. Mignot // J. Funct. Anal. -1972. № 11. — P. 77−92.

56. Otto F. L-contraction and uniqueness for quasilinear elliptic-parabolic equation / F. Otto // Reprinted for journal of differential equation, all rights reserved by academic press. 1996. — V. 131. — № 1. — P.

57. Raviart P.A. Sur la resolution de certaines equations paraboliques non lineaires. / P.A. Raviart // J. Funct. Anal. 1970. — V. 5. — № 2. -P. 299−328.