Оценка характеристик, определяющих аппроксимативные свойства тригонометрических операторов Баскакова и некоторых других методов суммирования рядов Фурье

Актуальность темы

Традиционным направлением в теории приближений является эффективное построение и исследование аппроксимативных свойств линейных методов суммирования рядов Фурье.

В недавнее время В. А. Баскаков определил совокупность методов параметры, определяющие конкретный вид операторов (Баскаков В. А. Об операторах класса б^т > построенных на ядрах Фейера //Применение функционального анализа в теории прибл. — Тверь, 2001. — С. 5 — 11).

Эта совокупность обладает следующим свойством: для любого класса.

ЖгНа найдется аппроксимирующая последовательность, принадлежащая совокупности операторов Баскакова, которая приближает функции этого класса с наилучшим порядком.

Кроме того, результаты, связанные с приближением операторами Баскакова периодической функцией Хевисайда имеют практическое значение и могут быть использованы для проектирования цифровых фильтров [5].

В связи с этим становится актуальным изучение аппроксимативных свойств операторов Баскакова.

Если методы получения аппроксимативных оценок, содержащих константы, для классов «не слишком гладких» функций разработаны и хорошо известны, то получение таких оценок для функций, принадлежащих классам насыщения, в ряде случаев вызывает значительные трудности.

В диссертационной работе решается задача получения аппроксимационных оценок приближения операторами Баскакова функций, принадлежащих классам насыщения. Решение потребовало нетрадиционных подходов.

Цель работы. Работа посвящена изучению аппроксимативных свойств тригонометрических операторов Баскакова Мп, а также получению оценок приближения достаточно гладких функций операторами Баскакова и суммирования рядов Фурье — операторы операторами предложенными в работе Ершовой Е. М. (Ершова Е. М. Операторы классов З^/я и их аппроксимативные свойства: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук.-М., 2002.-17 е.).

Новизна научных результатов. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и снабжены доказательствами.

Предложен новый, подход получения оценок приближения функций, принадлежащих классам насыщения, которым можно применять в тех случаях, когда традиционные подходы не дают результатов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение и могут быть использованы как в дальнейших исследованиях по теории приближения, так и при чтении специальных курсов по математическому анализу. Кроме того могут быть использованы для проектирования цифровых фильтров.

Защищаемые положения. По результатам исследований можно сделать следующие выводы:

• получены оценки приближения операторами Баскакова достаточно гладких функций;

• получены линейные комбинации, коэффициенты которых не зависят от п, а сами комбинации имеют лучшие аппроксимативные свойства, чем у тех операторов Баскакова, с помощью которых они образованы;

• получены оценки приближения функций класса операторами, предложенными в работе Е. М. Ершовой [15] и функций класса операторами, предложенными тем же автором в работе [16]. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

— на семинарах кафедры ИВТ и ПМ Читинского государственного университета (2001;2005 г. г.);

— в Забайкальском государственном педагогическом университете, на семинаре кафедры математического анализа под руководство профессора С. Е. Холодовского (2002 г.);

— на научных семинарах Энергетического института ЧитГТУ, г. Чита, 2002 -2005 г. г.;

— на второй межрегиональной научно-практической конференции: «Энергетика в современном мире» ЧитГТУ, г. Чита, 2003 г.

— на ХХУ1У школе-семинаре им. Золотова, г. Владивосток, 2004 г.;

— на Всероссийской научно-практической конференции, Чита, ЗабГПУ 2004 г.;

Публикации. В процессе работы над диссертацией опубликовано 10 печатных работ, из которых одна в соавторстве с Ю. Г. Абакумовым. Одна работа находится в печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, и списка литературы. Работа изложена на 69 листах, содержит список литературы, включающий 40 наименований. Нумерация теорем, и предложений в диссертации двойная: первое число — номер главы, второе — номер теоремы, а нумерация следствий сквозная. Содержание диссертации. В первой главе устанавливается, что при г > т.

1. Абакумов Ю. Г. О методе В. А. Баскакова построения операторов класса Sim //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 13. — Чита, 1999. — 119 — 126.

2. Абакумов Ю. Г. Об одном методе суммирования рядов Фурье с порядком насыщения ОуГ^) //Вестник ЧитГТУ. — Чита, 2001. — Вып. 19. — 27 — 30.

3. Абакумов Ю. Г., Банин В. Г. Аппроксимативные свойства некоторых классов линейных операторов. — Чита: СО РАН: ЧГПИ, 1993. — 62 с.

4. Абакумов Ю. Г., Дубровина Т. В. К выводу основных характеристик тригонометрических операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ. Вып. 30. -Чита: ЧитГТУ, 2003. — 138 — 142.

5. Абакумов Ю. Г., Карымова Е. Ю., Долгов СВ. Проектирование цифровых фильтров нижних частот с линейной фазой, и задача аппроксимации функций Хевисайда //Вестник ЧитГТУ. Вып. 29. — Чита: ЧитГТУ, 2003. -С. 143 -149.

6. Абакумов Ю. Г., Карымова Е. Ю., Коган Е. С. Тригонометрические операторы Баскакова. Общие положения //Методы математического моделирования и информационные технологии. Труды ИПМИ КарНЦ РАН. — Петрозаводск, 2000. — Вып. 2. — 87 — 103.

7. Абакумов Ю. Г, Мацкевич СБ. Некоторые подходы к построению теории тригонометрических операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ.- Чита, 2001.-Вып. 17. -С 63−67.

8. Баскаков В. А. Линейные методы суммирования рядов Фурье и приближение непрерывных функций. Учеб. пос. — Калинин: КГУ, 1980. -79 с.

9. Боглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование. — М.: Высшая школа, 1990.

10. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. — М.: Мир, 1974.

11. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 2001, -382 с.

12. Ершова Е. М. Операторы классов 32 т и их аппроксимативные свойства: Автореф. дис… канд. физ.-мат. наук. — М., 2002. — 17 с.

13. Ершова Е. М. Операторы класса 5^ на основе обобш-енного ядра Джексона //Применение функционального анализа в теории прибл. -Тверь, 2001.-С. 46−50.

14. Забелина Н. А. Исследование аппроксимативных свойств линейных операторов. Метод разрывной мажоранты //Вестник ЧитГТУ. — Чита, 2001.-Вып. 21.-С. 156−162. (к к).

15. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т 2. — М.: Мир, 1965. — 538 с.

16. Коган Е. С. Некоторые свойства операторов М^^ «^'•' «» ^ //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 23. — Чита, 2002. — 147 — 155.

17. Коган Е. С. Об определении точных констант в оценке приближения функций класса Lipj^l тригонометрическими операторами Баскакова //Вестник ЧитГТУ. Выпуск 25 — Чита: ЧитГТУ, 2002. — 157 — 164.

18. Коган Е. Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые задачи, связанные с ними //Математика и ее приложения: Журн. Иванов, матем. об-ва. 2004. 1. 79 — 93.

19. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения — М.: Наука. Гл. Ред. Физ. — мат. Лит., 1987. — 424 с.

20. Коровкин П. П. Линейные операторы и теория приближений. — М.: Гос. издательство физ.-мат, литературы, 1959. — 211 с.

21. Коровкин П. П. Сходимость последовательности линейных операторов //УМЫ. — 1962. — Т. 17, № 4 (106). — 147 — 152.

22. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. — М.: Наука, 1967. — 500 с.

23. Мацкевич СБ. О некоторых свойствах оператора Баскакова класса S2m //Математический анализ и его приложение. Выпуск 4. — Чита: ЗабГПУ, 2000.-С. 76−79.

24. Садовничий В. А. Теория операторов: Учеб. для вузов. — 4-е изд., испр. и доп. — М.: Дрофа, 2001. — 3 84 с.

25. Теляковский А. О работах по теории приближений, выполненных в МИАНе //Труды Матем. Ин-та АН СССР. Т. 182, 1988. 128 — 180.

26. Харди Г. Х., Рогозинский В. В. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1959. — 156 с.

27. Дубровина Т. В. Оценка некоторых характеристик операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ. — Вып. 17. — Чита: Издательство ЧитГТУ, 2001.-С. 58 -61 .

28. Дубровина Т. В. Аппроксимация функций класса W Н операторами Баскакова //Математический анализ и его приложение: Сб. статей. Выпуск 5. — Чита: Издательство ЗабШУ, 2002. — 36 — 38.

29. Дубровина Т. В. Некоторые свойства тригонометрических операторов Баскакова //Вестник ЧитГТУ. — Вып. 28. — Чита: Издательство ЧитГТУ, 2001.-С. 154−157.

30. Дубровина Т. В. Оценка приближения операторами Баскакова функций класса W «^^ Н //Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова.- Владивосток: Издательство Дальневосточного университета, 2004. — 9 — 10.

31. Дубровина Т. В. Оценка приближения операторами Баскакова функций Т I 1 1 класса W Н //Электронный журнал Исследовано в России, 171, стр. 1836 — 1844, 2004. — http://zhumal.ape.relam.ru/articles/2004/l71 .pdf.

32. Дубровина Т. В. О некоторых аппроксимационных оценках /ЛУ межрегиональная научно-практическая конференция «Кулагинские чтения» (материалы конференции). — Чита: ЧитГУ, 2004. ч. П. — 15−17.