Проекционные и итерационные методы решения обратных задач для гиперболических уравнений
Диссертация
Метод обращения разностной схемы целесообразно применять в случае, когда дополнительная информация известна достаточно точно и восстанавливаемое решение достаточно гладкое. При нарушении одного из этих условий метод обращения разностной схемы становится неустойчивым. Метод граничного управления и метод Гельфанда-Левитана лучше применять, когда решение не нужно восстанавливать во всей области… Читать ещё >
Содержание
- Введение. Постановка задачи
- 1. Прямые задачи
- 1. 1. Введение. Постановка прямых и обратных задач
- 1. 2. Начально-краевая задача для уравнения акустики
- 1. 3. Задача Коши для уравнения колебаний
- 1. 4. Численные методы решения прямой задачи
- 1. 4. 1. Конечно-разностные методы
- 1. 4. 2. Метод Галеркина
- 1. 4. 3. Суммирование рядов Фурье
- 2. 1. Введение
- 2. 2. Постановка задачи
- 2. 3. Линеаризация
- 2. 4. Изучение структуры решения одномерной прямой задачи
- 2. 5. Теорема существования решения прямой задачи
- 2. 6. Единственность решения обратной задачи и регуляризация
- 3. 1. Введение
- 3. 2. Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения г% = AXjVu — q (x, у) и
- 3. 2. 1. Постановка задачи
- 3. 2. 2. Сведение к интегральному уравнению
- 3. 2. 3. Теорема единственности и оценка скорости сходимости проекционного метода
- 3. 3. Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения акустики utt = &х, уи — Vx, y In p (:r, y) Vx, yu
- 4. 1. Введение
- 4. 2. Общая схема метода Ландвебера
- 4. 3. Метод итераций Ландвебера определения коэффициентов уравнения ии — Дх, уи ~ Я.{х→ У) ' и
- 4. 3. 1. Свойства оператора обратной задачи С
- 4. 3. 2. Оценка скорости сходимости итераций
- 5. 1. Введение
- 5. 2. Метод обращения разностной схемы
- 5. 3. Метод Гельфанда-Левитана
- 5. 4. Метод граничного управления
- 6. 1. Введение
- 6. 2. Линеаризация
- 6. 3. Проекционный метод
- 6. 4. Метод Гельфанда-Левитана
- 6. 5. Метод граничного управления
- 6. 6. Сравнение методов граничного управления и Гельфанда-Левитана в одномерном случае
- 6. 7. Численные расчеты
Список литературы
- Алексеев А. С. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. — 1967. М.: Наука, — С. 9−84.
- Алексеев А. С., Добринский В. И. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики // Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. — вып. 6, ч. 2. — С. 7−53.
- Баранов В., Кюнетц Г. Синтетические сейсмограммы с многократными отражениями // Проблемы сейсмической разведки. М.: Гостоптехиз-дат, 1962. — С. 179−188.
- Белишев М. И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения // ДАН СССР. 1987. — Т. 297. — № 3. — С. 524−527.
- Белишев М. И., Благовещенский А. С. Многомерные аналоги уравнений типа Гельфанда-Левитана-Крейна в обратной задаче для волнового уравнения // Условно-корректные задачи математической физики и анализа. 1992. — Новосибирск, Наука. — С. 50−63.
- Белишев М.И., Шеронова Т. Л. Методы теории граничного управления в нестационарной обратной задачие для неоднородной струны // Записки научных семинаров ЛОМИ. Математические вопросы распространения волн, 20. 1990. — Т. 186. — С. 37−49.
- Благовещенский А. С. Об одной обратной задаче теории распространения сейсмических волн // Проблемы математической физики. Ленинград: ЛГУ, 1966. — вып. 1. С. 68−81.
- Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. Москва, 1956. — 346 с.
- Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. Москва: Наука, 1981. — 400 с.
- Владимиров B.C. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1988. — 512 с.
- Воеводин В. В. Линейная алгебра. Москва, 1980.
- Гаевский X. и др. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. Москва, 1978. — 336 с.
- Гельфанд И.М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР. Сер. мат. 1951. — Т. 15. — 4. — С. 309−360.
- Кабанихин С. И. Конечно-разностная регуляризация обратной задачи для уравнения колебаний // Вопросы корректности задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977. — С. 57−69.
- Кабанихин С. И. Проекционный метод решения многомерных обратных задач для гиперболических уравнений // Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984. — С. 55−59.
- Кабанихин С. И. О разрешимости обратной динамической задачи сей-смики // Условно-корректные математические задачи и проблемы геофизики / Сборник научных трудов. Новосибирск, Вычислительный Центр, 1979. — С. 43−57.
- Кабанихин С. И. Линейная регуляризация многомерных обратных задач для гиперболических уравнений. Новосибирск, ИМ, 1988. — (Препринт ИМ СО РАН: 27).
- Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1988. — 168 с.
- Кабанихин С. И. Методы решения обратных динамических задач для гиперболических уравнений // Условно-корректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1992. — С. 109−123.
- Кабанихин С. И. О линейной регуляризации многомерных обратных задач для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1989. — Т. 309. — 4. — С. 791−795.
- Кабанихин С. И., Абдиев К. С. Проекционно-разностный метод решения трехмерной обратной задачи геоэлектрики // Вопросы корректности задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. — С. 61−72.
- Кабанихин С.И., Ахметов Ж. А. Конечно-разностная регуляризация обратной задачи для гиперболической системы первого порядка // Методы решения обратных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. С. 65−74.
- Кабанихин С. И., Аяпбергенова А. Т. Метод итераций Ландвебера в обратной задаче акустики // Обратные задачи и информационные технологии. 2002. — Т. 1. — 1. С. 7−48.
- Кабанихин С. И., Баканов Г. Б. Дискретный аналог метода Гельфанда-Левитана в двумерной обратной задаче для гиперболического уравнения // Сиб. мат. журн. 1999. — Т. 40. — 2. — С. 307−324.
- Кабанихин С. И., Баканов Г. Б., Шишленин М. А. Сравнительный анализ методов обращения разностной схемы, Ньютона-Канторовича и Ландвебера в обратной задаче для гиперболического уравнения. Новосибирск: НГУ, 2001.- 40 с. (Препринт НГУ: 12).
- Кабанихин С.И., Бобоев К. Конечно-разностный метод определения сечений в Pi-приближении нестационарного кинетического уравнения переноса // Методы решения некорректных задач и их приложения. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982. С. 213−217.
- Кабанихин С. И., Искаков К. Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. Новосибирск, НГУ, 2001.
- Кабанихин С. И., Мартаков С. В. Исследование проекционно-разност-ного метода решения прямой и обратной задачи геоэлектрики. Новосибирск, 1988. — 51 с. (Препринт ИМ СО АН СССР: 13).
- Кабанихин С. И., Сатыбаев А. Д. Конечно-разностный алгоритм решения смешаной задачи для двумерного волнового уравнения // Математический анализ и дифференциальные уравнения. Новосибирск: НГУ, 1987. — С. 45−51.
- Кабанихин С. И., Сатыбаев А. Д. Конечно-разностная регуляризация линеаризованной обратной задачи для двумерного волнового уравнения // Условно-корректные задачи. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1988. — С. 39−57.
- Кабанихин С. И., Шишленин М. А. Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения акустики // Труды XII Байкальской международной конференции. Иркутск, Байкал, 24 июня 1 июля, 2001. — Иркутск, 2001. — 4. — С. 120−125.
- Кабанихин С. И., Шишленин М. А. Сравнительный анализ численных методов решения обратной задачи для волнового уравнения // Обратные задачи и информационные технологии. 2002. — Т. 1. — 1. — С. 49−72.
- Кабанихин С. И., Шишленин М. А. Линеаризованная многомерная обратная задача для волнового уравнения // Обратные задачи и информационные технологии. 2002. — Т. 1. — 2. — С. 83−114.
- Канторович Л. В. Акилов Г. П. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1984. — 752 с.
- Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // ДАН СССР. 1954. — Т. 94. — 6. — С. 767−770.
- Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. — 92 с.
- Лаврентьев М. М. Об обратной задаче для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1964. — Т. 157. — 3. — С. 520−521.
- Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973.
- Лаврентьев М. М. Некорректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1981. — 74 с.
- Лаврентьев М.М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1966. -Т. 171. — 6. — С. 1279−1281.
- Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1969. 67 с.
- Лаврентьев М.М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа / М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский М.: Наука, 1980. — 286 с.
- Лаврентьев М.М., Савельев Л. Я. Линейные операторы и некорректные задачи. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1991.
- Лаврентьев М.М., Савельев Л. Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: ИМ, Сиб. отд-ние, 1999. — 704 с.
- Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. Москва: Наука, 1973. — 408 с.
- Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.
- Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наук, думка, 1978. — 332 с.
- Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. Москва: Наука, 1983. — 424 с.
- Овсянников Л. В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств // Доклады Академии наук СССР. 1965. — Т. 163. — 4.
- Парийский Б. С. Обратная задача для волнового уравнения с воздействием на глубине // Некоторые прямые и обратные задачи сейсмики.- М.: Наука, 1968. С. 25−40.
- Парийский Б. С. Экономичные методы численного решения уравнений в свертках и систем алгебраических уравнений с теплицевыми матрицами. М.: ВЦ АН СССР, 1977. — 75 с.
- Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972. — 164 с.
- Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. -Новосибирск: НГУ, 1973. 252 с.
- Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Обратная кинематическая задача сейсмики. Новосибирск: НГУ, 1978.- 88 с.
- Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. Москва: Наука, 1984. — 264 с.
- Романов В. Г. О локальной разрешимости некоторых многомерных обратных задач для уравнений гиперболического типа // Дифференциальные уравнения. 1989. — Т. 25. — 2. — С. 275−283.
- Романов В. Г. О локальной разрешимости обратных задач для гиперболических уравнений в классе функций, аналитических по части переменных // Докл. АН СССР. 1989. — Т. 304. — 4. — С. 807−811.
- Романов В. Г. О численном методе решения одной обратной задачи для гиперболического уравнения // Сибирский математический журнал. -1996. Т. 37. — 3. — С. 633−655.
- Романов В. Г. Локальный вариант численного метода решения обратной задачи // Сибирский математический журнал. 1996. — Т. 37. — 4.- С. 904−918.
- Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геоэлектрики (численные методы решения). Новосибирск, 1989. — (Препринт СО АН СССР. Ин-т математики: 32).
- Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геоэлектрики. М.: Наука, 1991. — 304 с.
- Романов В. Г. Обратные задачи электродинамики / В. Г. Романов, С. И. Кабанихин, Т. П. Пухначева. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984.- 201 с.
- Сатыбаев А. Д. Конечно-разностное регуляризованное решение обратных задач гиперболического типа. Ош, Кыргызстан, 2001.
- Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных // Ученые записки ЛГПИ имени А. И. Герцена. -1958. Т. 197. — С. 54−112.
- Тихонов А. Н. Об устойчивых методах суммирования рядов Фурье // ДАН СССР. 1964. Т. 156. — 1.
- Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. -Москва, Наука, 1979.
- Azamatov J. S. and Kabanikhin S.I. Nonlinear Volterra operator equations. Z/2 ~ theory // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1959. -Vol.7(6). — Pp. 487−510.
- Belishev M.I. Wave basises in multidimensional inverse problems // Math. USSR Sb. 1990. — 67. — No. 1. — Pp. 23−42.
- Belishev M.I. How to see the waves under the Earth surface (the Boundary-Control method for geophysicists) // Ill-Posed and Inverse Problems. Kabanikhin and Romanov (Editors). VSP, The Netherlands, 2002.
- Bimuratov S. Sh. and Kabanikhin S.I. The solution of one-dimensional inverse problems of electrodynamics by the Newton-Kantorovich method // Comput. Maths Math. Phys. 1992. — Vol.32. — No.12. — Pp. 1729−1743.
- Engl H.W., Hanke M. and Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1996.
- Eremin 1.1. Theory of Linear Optimization. VSP, The Netherlands, 2002. 248 pages.
- Hanke M., Neubauer A. and Scherzer O. A convergence analysis of the Landweber iteration for nonlinear ill-posed problems // Numer. Math. -1995. 72. — Pp. 21−37.
- He S. and Kabanikhin S.I. An optimization approach to a three-dimensional acoustic inverse problemin the time domain //J. Math. Phys. -1995. 36. — No. 8. Pp. 4028−4043.
- Ikehata M. and Nakamura G. Inverse boundary value problem. 15 years since Calderon raised the problem // Sugaku Expositions, Am. Math. Society. 1999. — 12. — No. 1. Pp. 57−84.
- Kabanikhin S. I. Numerical analysis of inverse problems // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1995. — 3. — No. 4. — Pp. 278−304.
- Kabanikhin S. I., Iskakov К. T. and Yamamoto M. Hi- conditional stability with explicit Lipshitz constant for a one-dimensional inverse acoustic problem // University of Tokyo, Graduate school of mathematical sciences, Tokyo, Japan.
- Kabanikhin S.I., Kowar R., Scherzer O. and Vasin V. V. Numerical comparison of iterative regularization methods for a parameter estimation problem in a hyperbolic PDE // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2001. — Vol.9. — No.6.
- Kabanikhin S.I. and Lorenzi A. Identification Problems of wave Phenomena (Theory and numerics). Utrecht, The Netherlands, VSP, 1999.
- Kabanikhin S. I., Scherzer 0. and Shishlenin M. A. Iteration methods for a solving a two-dimensional inverse problem for hyperbolic equation by the iteration method // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2003. -Vol.11. — 1. — Pp. 1−23.
- Kunetz G. Essai d’analyse de traces sismiques // Geophysical Prospecting.- 1961. 9. — Pp. 317−341.
- Lavrenti’ev M. M., Romanov V. G. and Shishatskii S. P. Ill-posed Problems of Mathematical Physics and Analysis. Providence: AMS, 1986.
- Maksimov V. I. Dynamical Inverse Problems of Distributed Systems. VSP, The Netherlands, 2002. 270 pages.
- Pestov L.N. On reconstruction of the speed of sound from a part of boundary // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. — 7. — No.5. Pp. 481−486.
- Rakesh. An inverse problem for the wave equation in the half plane // Inverse Problems. 1993. — 9. Pp. 433−441.
- Rakesh and Symes W. W. Uniquiness for an inverse problem for the wave equation // Commun. Part. Different. Equat. 1988. — 13. — No. 15. — Pp. 87−96.
- Romanov V. G. and Kabanikhin S. I. Inverse Problems for Maxwell’s Equations. VSP Science Press, Utrecht, The Netherlands, 1984.
- Vasin V. V. and Ageev A. L. Ill-Posed Problems with A Priori Information.- VSP Science Press, Utrecht, The Netherlands, 1995.