Сингулярные интегральные уравнения в задачах дифракции на неоднородных телах

Задачи дифракции электромагнитных волн на рассеивателях с конечной проводимостью имеют широкий диапазон применений в радиолокации, антенной технике, физике плазмы и в других областях. В качестве примера можно привести задачи проектирования диэлектрических антенн, обладающих специальными диаграммами рассеяния. Задача дифракции на неоднородном теле произвольной формы имеет прямое применение при изучении влияния электромагнитного излучения на биологические объекты. Решения задач дифракции на неоднородных анизотропных объектах могут быть использованы при исследовании характеристик атмосферных плазменных образований. В связи с этим важное значение приобретает разработка математических моделей задач дифракции и эффективных численных методов их решения.

Точное решение задачи, представляющее рассеянное поле во всем пространстве в аналитическом виде, удается получить только для весьма узкого класса объектов. Один из первых результатов представлен в работе [1], где рассматривается двумерная задача возбуждения диэлектрического цилиндра круглого сечения плоской волной. Решение находится методом разделения переменных и представляет собой ряд по тригонометрическим и цилиндрическим функциям (ряд Рэлея), который сходится при всех значениях к ()И, где к0 = 2ж/Лволновое число, X — длина падающей волны, Я — радиус цилиндра. Если к0Я «1, то ряд сходится достаточно быстро. При к ()К"1 сходимость ряда может быть улучшена при помощи преобразования Ватсона [2]. В резонансном случае (т.е. для цилиндров с диаметром порядка длины волны) ряд Рэлея сходится плохо, и для его суммирования необходимо применять специальные методы [3]. Методом разделения переменных получено решение для диэлектрического шара [4] и некоторых других тел простой формы. В отдельных случаях этим методом можно получить точные решения и для более сложных конфигураций рассеивателя.

Для большинства задач дифракции получить решение в аналитическом виде не удается, и требуется применение численных методов. Диапазон частот, в котором рассматривается задача, определяет выбор численного метода для ее решения. В задачах, где характерные размеры много больше длины падающей волны (коротковолновый диапазон), находят успешное применение асимптотические методы [5]. Для резонансного и квазистатического диапазонов длин волн разработан ряд методов, учитывающих специфику решаемых задач (поведение параметров среды, геометрия тела) и допускающих эффективную численную реализацию. Наиболее характерными для решения задач дифракции рассматриваемого диапазона длин волн являются проекционные методы и методы интегральных уравнений.

Проекционные методы типа метода Галеркина находят применение для численного решения как трехмерных, так и двумерных задач дифракции на локально-неоднородных телах [6,7,8]. В отличие от интегральных уравнений, при использовании проекционных методов приходится предпринимать специальные меры к тому, чтобы обеспечить выполнение приближенным решением условий излучения, которые могут быть сформулированы в виде требования отсутствия волн, приходящих из бесконечности. Обычно эти условия формулируются в парциальной форме [9]: решение вне сферы, заключающей в себе неоднородность, представляется в виде суперпозиции расходящихся сферических волн с неизвестными коэффициентами.

Достаточно эффективным оказался неполный метод Галеркина, в котором исходная задача сводится к краевой задаче для конечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [6]. Будем считать для простоты, что область неоднородности <2 представляет собой шар радиуса г0. В этом случае парциальные условия излучения задаются на поверхности сферы, а областью решения задачи является шаровой слой, заключенный между концентрическими сферами радиусов г и. При каждом значении г () <г < Я0 решение представляется в виде конечной линейной комбинации по полной системе функций, зависящих от координат вир: N (г, в,<�р) = 2 2к (г)хк (о, <р) к= где Zk® — подлежащие определению коэффициенты. Для их нахождения используются проекционные соотношения ортогональности.

КК⁰″ = 0, к = ,., Ы, где у/к (в,<�р) — некоторая полная на 8 Г система функций, называемая внешней системой. Часто в качестве внешней системы берут функции, сопряженные к Хк ¦ Подставляя выражения для % в проекционные соотношения ортогональности, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов 2к (г). При этом требования удовлетворения в интегральном смысле краевым условиям на 8 и парциальному условию излучения на ЕКо обеспечивают краевые условия для указанной системы дифференциальных уравнений. Обычно при решении векторных задач в качестве полной системы функций выбирают систему поперечных составляющих нормальных сферических волн [6]: к К/: & <р к, (о, <р)!}.

В двумерном случае общая схема метода остается прежней. Выделяется цилиндрический слой, вне которого среда является однородной, и решаются уравнения Максвелла с переменными коэффициентами внутри (в двумерном случае представляет собой, очевидно, цилиндрическую поверхность). На внешней границе слоя ставится парциальное условие излучения в интегральной форме, а на внутренней — соответствующие задаче граничные условия или условия сопряжения. В [8] для решения задачи дифракции на неоднородном цилиндрическом диэлектрике предложен численный алгоритм, базирующийся не на аппроксимации решения тригонометрическими функциями, а на аппроксимации специально выбранными конечными элементами (угловыми В-сплайнами при каждом значении радиальной переменной). Такой подход позволил заметно сократить вычислительные затраты проекционного метода и позволил продвинуться по электрическим параметрам в резонансную область частот с приемлемой точностью.

Интегральные уравнения широко используются и для теоретического исследования задач дифракции, и при построении численных методов. По сравнению с дифференциальными уравнениями, где для выделения единственного решения требуется ставить дополнительные условия на бесконечности, поведение решений интегральных уравнений определяется свойствами ядер этих уравнений. Переход от дифференциальных уравнений к интегральным осуществляется обычно введением токов поляризации с использованием функций Грина или при помощи методов теории потенциала. В последнем случае часто удается понизить размерность исходной задачи, что очень важно с точки зрения численной реализации. Тем не менее, к недостаткам численных методов, основанных на интегральных уравнениях, следует отнести большую размерность и часто слабую обусловленность алгебраических систем, получающихся при дискретизации интегральных операторов. Большая размерность систем приводит, в свою очередь, к необходимости использования итерационных методов.

Геометрия рассеивателя и распределение параметров среды определяют выбор интегрального уравнения, используемого для решения задачи. Лемма Лоренца и принцип эквивалентности [10] позволяют получить для векторных задач рассеяния поля заданных источников однородным магнитодиэлектрическим телом, помещенным в однородную неограниченную среду, интегральное уравнение по поверхности магнитодиэлектрика [11]:

Здесь 0е, От — электрическая и магнитные тензорные функции Грина [12], уравнение записано относительно эквивалентных токов Л" ^ и на поверхности объекта. Уравнение допускает простую физическую интерпретацию: результирующее поле представлено в виде суперпозиция электрических и магнитных полей, созданных электрическими диполями, и тех же полей, созданных магнитными диполями. Поскольку в подынтегральных выражениях содержатся разности функций Грина, интегральный оператор является компактным, а оператор всего уравнения — фредгольмовым. Уравнение допускает обобщение на случай, когда сторонние токи расположены не только снаружи, но и внутри рассеивателя. Для векторной задачи дифракции на многослойном теле с непересекающимися границами однородных слоев, можно получить на основе уравнения (1) систему интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода по границам слоев [13]. В случае, когда рассеиватель представляет собой тело вращения (однородное или многослойное), уравнение (1) можно свести к одномерным интегральным уравнениям, которые эффективно решаются [12]. Однако для тел, состоящих из большого числа слоев, указанные уравнения становятся громоздкими, и с ростом числа слоев их решение сильно усложняется.

Для двумерных задач часто удается понизить размерность области интегрирования, перейдя от двумерных интегральных уравнений к уравнениям по границе сечения. Если в уравнении (1), записанного для однородного цилиндра (произвольного поперечного сечения с достаточно гладким контуром границы), разложить искомые токи в интегралы Фурье по продольной координате, то можно свести задачу к системе одномерных интегральных уравнений относительно Фурье-преобразований поверхностных токов. Этот подход применен в [14] для численного решения задачи о возбуждении диэлектрического цилиндра наклонно падающей плоской волной. Дискретизация системы интегральных уравнений может быть проведена методом коллокации. Благодаря низкой размерности получающейся системы, для ее решения можно использовать прямые методы.

Чтобы понизить размерность области интегрирования, возможен и другой подход [15]. Задача дифракции Нили Е-поляризованной волны описывается однородным скалярным уравнением Гельмгольца (с соответствующими дополнительными условиями). Затем, выражая поле по третьей формуле Грина внутри и снаружи сечения, используя условия сопряжения и свойства потенциала простого слоя, можно получить систему одномерных интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода относительно предельных значений поля и его нормальной производной на границе сечения.

Если рассеиватель представляет собой неоднородность достаточно общего вида, то область применения интегральных уравнений типа Фредгольма сужается. Двумерные задачи сводятся к уравнениям Фредгольма 2-го рода по сечению цилиндра в тех случаях, когда задачу можно описать скалярным уравнением Гельмгольца, т. е. в случае Нполяризации в диэлектрически-однородной среде и в случае Е-поляризации в магнитно-однородной среде [16,17]: и (х) = |{к2(у)-к20)&(к0г)и (у)с1у + и (°>(х х = (х, х2) е 0. е.

Здесь О (к0г)=^Н^к0г) — фундаментальное решение уравнения Гельмгольца, г = |х — у, и1'0'1 (х) — вертикальная компонента падающего поля.

В остальных случаях скалярные интегральные уравнения получаются нагруженными [12] и неудобными для численного решения. Для трехмерных задач уравнения Фредгольма можно, в принципе, получить по аналогии с (1), если известно фундаментальное решение векторной задачи, в которой функции проницаемости аналитически продолжены на все пространство. Построить соответствующие тензорные функции Грина в явном виде удается только для небольшого числа частных законов изменения параметров среды. В общем случае, для вычисления этих функций приходится применять численные методы, из-за чего процедура решения всей задачи становится очень сложной.

До недавнего времени для задач дифракции резонансного и квазистатического диапазонов не существовало универсального метода решения всех перечисленных выше задач, приемлемого с точки зрения вычислительных ресурсов, а для решения более общих задач приходилось вносить в их постановку различные упрощения, например, считать рассеиватель телом вращения или заменять непрерывное распределение параметров среды кусочно-постоянным. В работах [18,19] были приведены объемные сингулярные интегральные уравнения относительно вектора электрического поля, описывающие трехмерные задачи дифракции на неоднородных диэлектрических рассеивателях. К достоинствам этих уравнений следует отнести простоту и универсальность учета неоднородности любого типа, в т. ч. анизотропии.

В работах [20,21] эти уравнения получили подробное исследование при различных ограничениях на свойства среды. Был построен численный метод [22,23], позволяющий решать за приемлемое время трехмерные задачи дифракции на неоднородных диэлектрических телах с характерными размерами до нескольких длин волн даже с использованием персональных компьютеров. Опишем кратко основные результаты, полученные в этих работах.

Рассмотрим следующий класс задач. Пусть область (2 <-Е3, ограниченная поверхностью? характеризуется произвольно распределенной тензор-функцией ¿-?(х), обращающейся вне области () в скалярную константу ?0 свободного пространства. Магнитная проницаемость во всем пространстве предполагается постоянной. Требуется определить электромагнитное поле, возбуждаемое в данной среде внешним монохроматическим полем, представляющим собой либо плоскую волну, либо поле заданного стороннего тока. Вводя электрический ток поляризации, применяя известные формулы векторного потенциала и теорему о дифференцируемости интегралов со слабой особенностью [24], для рассматриваемой задачи получено [20] следующее векторное интегральное уравнение относительно электрического поля:

8 (2) + - ФМ) § гас^х 0(г1у в где (?(?*)= ехр (й0г)/(4яг) — фундаментальное решение трехмерного уравнения Гельмгольца в свободном пространстве, соответствующее временной зависимости ехр (- ¿-со/). При достаточно общих предположениях о компонентах тензора проницаемости, оператор уравнения является ограниченным в пространстве интегрируемых с квадратом вектор-функций Ь2(0), и в [21] получена оценка для его нормы.

Уравнения системы (2) не являются фредгольмовыми, а относятся к классу многомерных сингулярных интегральных уравнений, общая теория которых построена в [24]. Основные результаты этой теории получены для уравнений на многообразиях без края, поэтому для того, чтобы применить их к (2), необходимо предварительно определить продолжение оператора уравнения в пространство Ь2(е3). В [20] такое продолжение построено, исследована его взаимосвязь с исходным оператором, и в явном виде выписан матричный символ продолженного оператора. Установлен следующий критерий нетеровости оператора (2).

Теорема В.1. Пусть компоненты тензора диэлектрической проницаемости непрерывны во всем пространстве. Тогда для того, чтобы оператор уравнения (2) был нетеров в Ь2(<2), необходимо и достаточно выполнения условия.

Отметим, что требование непрерывности компонент тензора диэлектрической проницаемости во всем пространстве является принципиальным при использовании теории многомерных сингулярных интегральных уравнений, поскольку эти функции входят в выражения для символа оператора (2). С использованием теоремы В.1 и факта эквивалентности исходной дифференциальной задачи и системы (2), в [20] получена следующая теорема существования и единственности решения задачи дифракции на неоднородном диэлектрике.

Теорема В.2. Пусть декартовые составляющие исходного поля и компоненты тензора диэлектрической проницаемости непрерывны по Гелъдеру во всем пространстве, выполняется условие (3), а тензор^т (е (х)-е*(х)) положительно определен почти всюду в (). Тогда решение системы (2) существует, единственно в Ь2(<2) и является классическим решением задачи дифракции, т. е. удовлетворяет поточечно уравнениям Максвелла и условиям излучения.

Отметим, что условие имеет физический смысл присутствия поглощения в области неоднородности.

3) где аг {в, (р) — декартовы координаты точек единичной сферы, еу (х) компоненты тензора ё (х) в декартовой системе координат.

Для изотропной среды требование непрерывности диэлектрической проницаемости во всем пространстве удается снять. В [21] для системы (2) в явном виде построен регуляризирующий оператор, и теорема существования и единственности решения задачи дифракции доказана при несколько более строгом условии, чем наличие поглощения в, а именно, при выполнения неравенства.

1шг (х)> 1 т ?0. (4).

В [21] также проведено исследование системы (2) при минимальном требовании ограниченности компонент тензора диэлектрической проницаемости.

При условии (е (х) -£*(х) — 2/ 1 т е0})/(2г) > 0, х е <2, обобщающем (4) на анизотропный случай, доказана теорема существования и единственности решения.

2) в ь2(е).

В настоящей работе рассматриваются двумерные и трехмерные задачи дифракции на неоднородных телах, для которых как диэлектрическая, так и магнитная проницаемость являются переменными тензор-функциями координат. Векторные сингулярные интегральные уравнения, описывающие этот класс задач, содержат в качестве неизвестных электрическое и магнитное поле, причем, в общем случае, все компоненты полей оказываются зависимыми друг от друга. В двумерных задачах при разделении поляризаций сингулярные уравнения описывают задачу дифракции Н-поляризованной волны на магнитооднородном теле и Е-поляризованной волны на диэлектрически-однородном теле. Для двумерных задач, в которых параметры среды не допускают разделения поляризаций, можно получить систему из трех скалярных интегральных уравнений, из которых два будут сингулярными, а третье — уравнением с компактным оператором. Целью настоящей работы является распространение основных результатов, полученных в [20−23,26], на перечисленные классы задач и построение численного метода их решения.

Сингулярные интегральные уравнения описывают достаточно широкий класс неоднородных сред и представляют собой основу интегральных формулировок соответствующих задач дифракции. Поэтому изучение операторов этих уравнений представляется важным с точки зрения исследования вопросов существования и единственности решения соответствующих дифракционных задач. В ряде случаев, когда исходная задача дифракции сводится к интегральным уравнениям Фредгольма 2 рода, удается получить условия существования решения. Это можно сделать, если рассматриваются задачи дифракции на однородном теле [12], кусочно-однородном слоистом теле [12], если диэлектрическая проницаемость является непрерывно дифференцируемой скалярной функцией [11] и в некоторых других случаях. Для задач в общей постановке, когда параметры среды являются достаточно произвольными функциями координат, особенно при наличии анизотропии диэлектрической или магнитной проницаемости, условия существования решений задач дифракции совпадают с условиями разрешимости операторов рассматриваемых сингулярных уравнений.

Работа содержит следующие основные результаты:

1. Для задач дифракции на неоднородном магнитодиэлектрическом теле получено объемное векторное интегральное уравнение и установлена эквивалентность исходной дифференциальной и интегральной формулировок. Рассмотрены как трехмерные, так и двумерные задачи. Для двумерных задач рассмотрены случаи Н поляризации, Е поляризации и случай смешанной поляризации.

2. Для векторного сингулярного уравнения установлен критерий нормальной разрешимости в пространстве суммируемых с квадратом вектор-функций. На основе этого критерия доказана теорема существования и единственности классического решения задачи дифракции на неоднородном анизотропном магнитодиэлектрике.

3. Предложен эффективный численный метод, пригодный для решения задач как резонансного, так и квазистатического диапазонов длин волн. Проведена серия вычислительных экспериментов с целью определения границ применимости численного метода. С помощью предложенного метода получен ряд новых численных результатов.

Работа разделена на три главы. В первой главе рассмотрены дифференциальная и интегральная формулировки задачи. Во второй главе проводится исследование оператора сингулярного интегрального уравнения и исследуется вопрос о существовании и единственности решения задач дифракции рассматриваемых классов. Третья глава посвящена численному методу решения задачи, тестированию метода и исследованию границ его применимости. Внутри каждой главы принята собственная нумерация формул. При ссылке на формулу из другой главы к номеру формулы добавляется номер главы.

В первой главе задача дифракции сформулирована в дифференциальной и интегральной форме и установлена эквивалентность этих формулировок. В первом параграфе получено интегро-дифференциальное уравнение относительно векторов электрического и магнитного полей и исследованы свойства его решений.

Сформулировано уточненное определение классического решения, позволяющее выделить максимально широкий класс решений, для которых уравнения Максвелла выполняются поточечно. Получены достаточные условия, при которых любое решение интегро-дифференциального уравнения является классическим решением задачи дифракции в дифференциальной формулировке.

В § 2 из интегро-дифференциального уравнения получена основная система объемных сингулярных интегральных уравнений, описывающая двумерные и трехмерные задачи дифракции на ограниченном неоднородном анизотропном магнитодиэлектрическом теле. При тех же условиях, что ив § 1, показано, что любое решение системы сингулярных уравнений поточечно удовлетворяет уравнениям Максвелла, условиям сопряжения и условиям излучения.

В § 3 рассматриваются классы двумерных задач, описываемые векторными сингулярными интегральными уравнениями. В случае смешанных поляризаций получена система интегральных уравнений, содержащая как сингулярные уравнения, так и уравнение с компактным оператором. Рассмотрены также задачи дифракции на бесконечных периодических двумерных и трехмерных структурах, для которых получены сингулярные уравнения по ограниченной области. В § 4 устанавливается полная эквивалентность дифференциальной и интегральной формулировок на множестве классических решений задачи.

Вторая глава посвящена исследованию сингулярного уравнения в пространстве Ь2(<2). В первом параграфе показано, что оператор уравнения является ограниченным и получена оценка его нормы. Построено продолжение оператора в пространство Ь2(?" г) (где ?/ = 2,3 — размерность задачи) и доказано, что уравнения с исходным оператором и продолженным эквивалентны в смысле нормальной разрешимости.

В § 2 в явном виде получено выражение для матричного символа оператора основной системы и установлен критерий нормальной разрешимости сингулярного оператора. Доказана теорема существования и единственности классического решения задачи дифракции. В формулировках теорем [24], устанавливающих нормальную разрешимость и фредгольмовость сингулярных операторов, присутствует условие непрерывности символа во всем пространстве. Поскольку в выражение для матричного символа входят компоненты тензоров проницаемости, последние предполагаются непрерывными функциями координат во всем пространстве.

В третьей главе описан численный метод решения задач дифракции на основе сингулярных интегральных уравнений. § 1 содержит описание дискретизации векторного интегрального уравнения при помощи метода коллокации. Рассмотрены двумерные и трехмерные задачи. Исследовано влияние точности вычисления коэффициентов матрицы с.л.а.у. на приближенные решения. В § 2 описан итерационный метод, используемый для решения системы. Приведена модифицированная схема многошагового метода минимальных невязок, устойчивая к ошибкам округления при вычислении итерационных параметров. Описан алгоритм Фурье умножения матрицы с.л.а.у. на произвольный вектор, позволяющий существенно сократить количество арифметических операций на одну итерацию. Приведены оценки требуемого объема памяти, количества арифметических операций. Экспериментально исследована зависимость скорости сходимости итераций от параметров численного метода и задачи. В § 3 проведена серия расчетов с целью проверки численного метода и оценки границ его применимости. Приведены результаты сравнения с точным решением задачи дифракции плоской волны на однородном круговом цилиндре, с решением задачи на однородном диэлектрике методом поверхностных интегральных уравнений. Проверено выполнение приближенным решением условий сопряжения на границе раздела сред. Исследовано поведение алгоритма в зависимости от значений волновых параметров и характерных размеров тела, проверена поточечная сходимость приближенных решений внутри области неоднородности с увеличением числа узлов коллокации.

1. Lord Rayleigh //Ph.Mag., Sc. Papers, v.36, 1918.

2. Хенл, Мауэ, Вестпфаль Теория дифракции М.: Мир, 1964.

3. Воронцов А. А., Мировицкая С. Д. Специальные функции задач теории рассеяния. -М.: Радио и связь, 1991.

4. Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами. М.: И.Л., 1961.

5. Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред. -М. :Наука, 1980.

6. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Математические модели электродинамики. -М.: Высшая школа, 1991.

7. Ильинский А. С., Некрасов JI.M. Дифракция плоской электромагнитной волны на неоднородном диэлектрическом цилиндре // Радиотехника и электроника, т.35, № 12, 1995.

8. Ильинский А. С., Павлов А. Л., Свешников А. Г. Исследование некоторых задач дифракции в неоднородных средах численными методами. -М.: МГУ, 1972.

9. Свешников А. Г. Дифракция на ограниченном теле // ДАН СССР, Т. 184, № 1, 1969.

10. Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.-Л.: Энергия, 1967.

11. MuIIer С. Foundation of the mathematical theory of electromagnetic waves. Berlin: Springer-Verlag, 1969.

12. Васильев E.H. Возбуждение тел вращения. M.: Радио и связь, 1987.

13. Васильев Е. Н., Материкова Л. Б. Возбуждение многослойного диэлектрического тела вращения произвольной формы. //Изв. Вузов СССР. Сер. Радиофизика, 1973, т. 16, № 1.

14. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

15. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. -М.: МГУ, 1987.

16. Купрадзе В. Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

17. Richmond I.H. Scattering by a dielectric cylinder of arbitrary cross-section shape. -IEEE Trans., V. AP-13, № 3, 1965.

18. Livesay P.E., Chen K. Electromagnetic fields induced inside arbitrarily shaped biological bodies // IEEE Trans., v. MTT-22, № 12, 1974.

19. Yaghjian A.D. Electric dyadic Green’s functions in the source region // Proc. IEEE, v.68, № 2, 1980.

20. Самохин А. Б. Исследование задач дифракции электромагнитных волн в локально-неоднородных средах // ЖВММФ, т.30, № 1, 1990.

21. Самохин А. Б. Дифракция электромагнитных волн на локально-неоднородном уравнении и сингулярные интегральные уравнения // ЖВММФ, т.32, № 5, 1992.

22. Самохин А. Б. Итерационный метод для интегральных уравнений задач рассеяния на трехмерном прозрачном теле // Дифф. уравнения, т. ЗО, № 12, 1994.

23. Самохин А. Б. Метод коллокации для интегральных уравнений с диссипативным уравнением // Дифф. уравнения, т.31, № 9, 1995.

24. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. -М.: Физматгиз, 1962.

25. Самохин А. Б. Многошаговый метод минимальных невязок для решения линейных уравнений // ЖВММФ, т.31, № 2, 1991.

26. Самохин А. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М.: Радио и связь, 1998.

27. Ильинский А. С., Капустин Ю. Ю., Самохин А. Б. Математическая модель задачи дифракции на неоднородном цилиндрическом теле // ЖВММФ т.38, № 9, 1998.

28. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. -М.: Наука, 1978.

29. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1997.

30. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. -М.: Радио и связь, 1988.

31. Васильев Е. Н., Солодухов В. В. Дифракция наклонно падающей электромагнитной волны на диэлектрическом цилиндре произвольного поперечного сечения.// Вычислит, методы и программирование, Вып. XX, 1973.

32. Ильинский А. С., Самохин А. Б., Капустин Ю. Ю. Метод сингулярного интегрального уравнения для решения задачи дифракции на неоднородном теле. // Межв. сб. «Дифракция и распространение радиоволн», М.: МФТИ, 1998.

33. Dinski A.S., Kapustin U.U. The integral equation method for solving diffration problem on a dielectric cylinder. // Proc. of the 1995 International Symposium on Electromagnetic Theory, St. Petersburg, May 23−26, 1995.

34. Oinski A.S., Samokhin A.B., Kapustin U.U. Singular integral equation for modeling diffraction by a local inhomogeneous cylinder. // Proc. of the Progress in Electromagnetic Research Symposium, Hong-Kong, January 6−9, 1997.

35. Oinski A.S., Samokhin A.B., Kapustin U.U. Method based on singular integral equations for solving nonhomogeneous diffraction problem. // Proc. of the Progress in Electromagnetic Research Symposium, Nantes, July 12−17, 1998.