Оптимальные кубатурные формулы вычисления сингулярных интегралов

Актуальность темы

Сингулярные интегралы различных типов находят широкое применение в многочисленных областях естествознания и техники: в теории упругости, электродинамике, аэродинамике, теории автоматического управления, квантовой механике, ядерной физике. Но их вычисление в замкнутом виде возможно только в исключительных случаях. Поэтому возникает задача приближенного вычисления сингулярных интегралов.

Теория квадратурных и кубатурных формул является активно развивающимся направлением в современной математике. Построение пассивных алгоритмов восстановления функций и вычисления интегралов основано на концепции оптимальности, гарантирующей получение наилучших результатов при наихудшей на взятом классе исходной информации. Эта концепция положена в основу построения оптимальных по точности пассивных алгоритмов аппроксимации функций с особенностями у границы области, вычисления интегралов от функций с особенностями и вычисления сингулярных интегралов.

Цель работы. Работа посвящена построению асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку алгоритмов вычисления сингулярных интегралов и интегралов Адамара (одномерных и многомерных) на различных классах функцийпостроению оптимальных методов восстановления функций со степенным ростом производных.

Общая методика. При обосновании полученных результатов использовались методы теории приближения функций, теория квадратурных и кубатурных формул, методы оптимизации.

Научная новизна. Основные результаты диссертации следующие:

— построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классах функций На^р (1),.

— построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления интегралов Адамара с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классе функций Шгр (М),.

— построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированными особенностями на классе функций.

ЯЖМ),.

— построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов на классе функций ]?Г (?1,М),.

— построены оптимальные по порядку алгоритмы восстановления функций многих переменных, имеющих неограниченные производные в окрестностях точки, прямой и поверхности,.

— построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления многомерных интегралов в смысле Адамара с фиксированными особенностями нескольких типов.

Научная и практическая ценность работы. Научная ценность работы заключается в построении асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку алгоритмов вычисления сингулярных интегралов и интегралов Адамара с фиксированными и переменными особенностями на конечных и бесконечных контурах интегрирования.

Полученные результаты могут найти применение при построении оптимальных методов вычисления интегралов с различными сингуляр-ностями.

Практическая ценность работы обусловлена возможностью применения полученных результатов к численному решению прикладных задач гидрои аэродинамики, теории упругости, при решении которых необходимо вычисление сингулярных интегралов и интегралов Адамара.

По предложенным алгоритмам разработан пакет прикладных программ вычислений сингулярных интегралов и интегралов Адамара (одномерных и многомерных) на различных классах функций на языке Паскаль.

Защищяемые положения. По результатам исследований можно сделать следующие выводы:

— построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классах функций Д^Д!.),.

— построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления интегралов Адамара с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классе функций Й^(М),.

— построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированными особенностями на классе функций.

0,АГ),.

— построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов на классе функций.

— построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления многомерных интегралов в смысле Адамара с фиксированными особенностями нескольких типов,.

— построены оптимальные по порядку алгоритмы восстановления функций многих переменных на классах <2*^(0, М), (¡-)**у (0, М), <3***(0,М).

Краткое содержание работы. Работа посвящена оптимальным методам вычисления сингулярных интегралов.

В первой главе рассматриваются вопросы аппроксимации локальными сплайнами функций многих переменных, принадлежащих классу, состоящему из функций, производные которых неограниченно возрастают при приближении к границе области. Предлагается способ разбиения области на конечное число кубов и способ аппроксимации в каждом из кубов таков, что точность построенных сплайнов близка к оптимальной.

Во второй главе получены следующие результаты:

1) построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классах функций На}Р (1), Шгр (1),.

2) построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления интегралов Адамара с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классе функций.

3) построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированными особенностями на классе функций д*8 (о, м),.

В третьей главе получены следующие результаты: построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления многомерных интегралов в смысле Адамара с фиксированными особенностями нескольких типов.

В четвертой главе получены следующие результаты: построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов.

В приложении приводится пакет прикладных программ вычислений сингулярных интегралов и интегралов Адамара (одномерных и многомерных) на различных классах функций на языке Паскаль.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на итоговых научно-технических конференциях ПГУ (г.Пенза, 1996;1999г.) — на V Международном семинаре-совещании «Кубатурные формулы и их приложена» (г. Красноярск, 1999).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано б статей.

1. Бабенко К. И. Несколько замечаний о приближении функций многих переменных // Математический сборник.-1971.-Т.86,N4.-0.179−180.

2. Бабенко К. И. О некоторых задачах теории приближений и численного анализа // Успехи математических наук.-1985.-Т.40.Вып.1.-С.3−28.

3. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. Под редакцией К. И. Бабенко.-Москва: Наука, 1979.-296 с.

4. Бабенко К. И. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов весовых кубатурных формул // Математические заметки.-1976.-Т.20,N4.-0.589−595.

5. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. -Москва: Физматгиз, 1961.932 с.

6. Бахвалов Н. С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики / / Журнал вычислительной математики и математической физики.-1970. Т.10.N3.-0.555−568.

7. Бахвалов Н. С. Об оптимальности линейных методов приближения операторов на выпуклых классах функций // Журнал вычислительной математики и математической физики.-1971.-Т.П.N4,-С.1014−1018.

8. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. -Москва: Наука, 1985.-256 с.

9. Бисплингхофф Р., Эшли X., Халфмен Р. Аэроупругость.-Москва: Изд-во иностр.лит., 1958.-258 с.

10. Бойков И. В. О вычислении сингулярных интегралов, встречающихся в задачах гравиметрии// Методы обработки гравиметрической информации.-Москва: Институт физики Земли АН СССР.-1978.-С.71−90.

11. Бойков И. В., Руденко А. К. Об оптимальных квадратурных формулах для вычисления сингулярных интегралов / / Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях: Меж-вуз.сб.науч.тр. -Пенза:Пенз.политехн.ин-т, 1979.-ВыпЛ-С.21−30.

12. Бойков И. В. Об оптимальных алгоритмах вычисления одномерных и многомерных сингулярных интегралов// Методы измерений и обработка наблюдений в морской гравиметрии.-Москва:Институт физики Земли АН СССР.-1980.-С.125−155.

13. Бойков И. В. Оптимальные методы приближенного вычисления интегралов и приближенное решение интегральных уравнений.-Пенза:Пенз.политехн.ин-т, 1981.-106 с.

14. Бойков И. В. Асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов// Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях: Межвуз.сб.науч.тр.-Пенза:Пенз.политехн.ин-т, 1982.-Вып.4-С.3−10.

15. Бойков И. В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов.-Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1983.-210 с.

16. Бойков И. В. Асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов/ / Оптимальные методы вычислений и их применение: Межвуз.сб.науч.тр.-Пенза:Пенз.политехн.ин-т, 1983.-Вып.5-С.З-16.

17. Бойков И. В. Оптимальные по точности алгоритмы вычисления интегралов // Оптимальные методы вычислений и их применение: Межвуз.сб.науч.тр.Пенза: Пенз.политехн.ин-т, 1987.-Вып.8-С. 14−22.

18. Бойков И. В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 1 -Пенза: Издательство государственного технического университета, 1995.-214 с.

19. Бойков И. В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 2 -Пенза: Издательство государственного технического университета, 1995.-128 с.

20. Бойков И. В., Добрынина Н. Ф., Домнин Л. Н. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решенния гиперсингулярных интегральных уравнений-Пенза: Издательство Пензенского государственного технического университета, 1996.-187 с.

21. Бойков И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами // Журнал вычислительной математики и математической физики.-1998.-Т.38.Ш.-С.25−33.

22. Бойков И. В., Нагаева С. Я. Оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов// Математические методы решения физико-технических задач: Сборник научных статей. Пенза, ПАИИ, 1999.-117 с.

23. Исраилов М. И., Максудов Т. С. Кубатурные формулы для сингулярных интегралов с ядром Гильберта на классе функций // Доклады АН Y3CCP.-1974.-N8.-С.10−12.

24. Кашин Б. С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций // Известия АН СССР, Серия математическая, 1977.-Т.41 .-N1 .-С.334−351.

25. Крикунов Ю. М. Обобщенная краевая задача Римана и линейное сингулярное интегро-дифференциальное уравнение // Ученые записки Казанского университета, 1956. 116(4).-С.3−30.

26. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. Москва: Наука, 1967.-500 с.

27. Лебедев В. И., Бабурин О. В. О вычислении интегралов в смысле главного значения, весов и узлов квадратурных формул Гаусса // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1965.-Т.5.-Ш.-С.454−462.

28. Лифанов И. К. О методе дискретных вихрей// Прикладная математика и механика. -1979.Т.43-Ш-С.184−188.

29. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперемент. Москва: ТОО «Янус», 1995.-520 с.

30. Лифанов И. К. О методе дискретных вихрей для крыла бесконечного размаха и уравнении Прандтля для крыла конечного размаха// Известия вузов. Математика.-1980.-Ш-С.44−51.

31. Лифанов И. К., Полонский Я. Е. Обоснование численного метода дискретных вихрей решения сингулярных интегральных уравнений // Прикладная математика и механика. -1975.Т.39-К4-С.742−746.

32. Маковоз Ю. И. Об одном приеме оценки снизу поперечников множеств в банаховом пространстве // Математический сборник, 1972.-Т.87.-Ш.-С.136−142.

33. Маковоз Ю. И., Шешко М. А. Об оценке погрешности квадратурной формулы для сингулярного интеграла// Известия АН БССР.-Сер.физ.-мат.наук.-1977.-Ш.-С.36−41.

34. Майоров В. Е. Дискретизация задачи о поперечниках // Успехи математических наук, 1975.-Т.30.-N6.-0.179−180.

35. Нагаева С. Я. Аппроксимация сплйнами на классе В*^ функций многих переменных.-Пенза, 1999.-6 с. Рукопись представлена Пензенским государственным университетом. Деп. в ВИНИТИ 29 янв 1999 г., N294−699.

36. Назарчук З. Т. Численное исследование дифракций на цилиндрических структурах.- Киев: Наукова Думка, 1989. 256 с.

37. Некрасов А. И. Теория крыла в нестационарном потоке.-Москва: Изд-во АН СССР, 1947.-С.3−65.

38. Никольский С. М. Квадратурные формулы.-Москва: Наука, 1979.-224 с.

39. Никольский С. М. Курс математического анализа.- Москва: Наука, 1975.-Т.1.-432 с.

40. Прудников А. П., Брычков Я. А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. Москва: Наука, 1981.-800 с.

41. Стечкин С. Б. О наилучших приближениях заданных классов функций любыми полиномами // Успехи математических наук, 1954.-Т.9.-Ш.-С.133−134.

42. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной.- Москва: Наука, 1986.-111 с.

43. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория приближений // Успехи математических наук, 1960.-Т.15.-N13.-0.81−120.

44. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений.- Москва: Наука, 1975.-304 с.

45. Трауб Дж., Вожьняковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов. Москва: Мир, 1983.-382 с.

46. Hadamard J. Lectures on Cauchy’s problem in linear partial differential equations // Yale university press, 1923.

47. Ioakimidis N.I. Application of finite-part integrals to the singular integral equations of crack problems in plane and three-dimensional elasticity // Acta Mech., 1982.-V.45.-P. 31−47.

48. Ioakimidis N.I. On the Uniform Convergence of Gaussian Quadrature Rules for Canchy Principal Value Integrals and Their Derivatives // Math. comp., 1985.-V.44.-P.191−198.

49. Kaya A.C., Erdogan E. Om the solution of integral equations with strongly singular kernels // Quatery of applied mathematics, 1987.-V.45. N 1. P.105−122.

50. Kolmogoroff A. Uber die beste Annaherung von Funktionen einer gegebenen Funktionen klasse//Ann.Math., 1936.-V.37.-P.107−117.

51. Kutt H.R. The numerical evaluation of principal value integrals by finite-part integration // Numer.Math., 1975.-V.24.-P.205−210.

52. Kutt H.R. Quadrature formula for finite-part integrals // Special Report WISK, 178, Pretoria, National reseach institute for mathematical sciences, 1975.

53. Linkov A.M. and Mogilevskaya S.G. Complex hypersingular integrals and integral equations in plane elasticity // Acta Mechanica, 1994.-V.105.-P.189−205.

54. Lynees J.N. and Monegato G. Quadrature error functional expansions for the simplex when the integrand function has singularities at vertices // Mathematics of computation, 1980.-V.34(149).-P.213−225.

55. Lynees J.N. The Euler-Maclaurin expansion for the Cauchy principal value integral // Numer.Math., 1985.-V.46.-P.611−622.

56. Lynees J.N. Finite-part integrals and the Euler-Maclaurin expansion // International series of Numerical Mathematics, 1994. V.119. P.397−407.

57. Mangier K.W. Improper integrals in theoretical aerodynamics // Royal aireraft establishment, Famborough, Report N 2424.-1951.-106.

58. Monegato G. On the weights of certain quadratures for the numerical evaluation of Cauchy principal value integras and their derivatives // Numerical Mathematics, 1987.-V.50.-P.273−281.

59. Paget D.F. The numerical evaluation of Hadamard finite-part integrals // Numer. Math., 1981.-V.36.-P.447−453.

60. Winer K. Uber die losing der integralgleichung von Romanovski mit der Methode der lanfenden Funkstionalkorrekturen. Univ. Halle-Wittenberg. // Math. Nachrishten, 1969.-V.18.-N6.-j.787−789.

61. Winer K. Uber die losing nichtlineearer integralgleichungen mit Hadamard-integralen // Math.Nachr., 1968.-V.36. N5−6.-j.289−309.