Распределения вероятностей в задаче регистрации стохастического излучения в квантовой оптике

Актуальность темы

Исследование, проведенное в настоящей работе, относится к той области математической физики, которая только в самое последнее время получила устоявшееся название — статистическая математическая физика [62],[63]. Задачи, изучаемые в рамках этого направления, объединяются, с одной стороны, тем, что их постановки естественным образом возникают в физических исследованиях, а, с другой стороны, их формулировка и методы решения основаны на теории случайных процессов. Следует, однако, указать на существенную разницу между постановкой задач в рамках направления, которому посвящена диссертация, и задачами, которые возникают в такой более традиционной области приложений методов теории вероятностей к физическим проблемам, как статистическая механика [74]. В последнем случае, теория вероятностей проявляется только терминологически, но, по сути, используемые методы исследования остаются «детерминистическими», в том смысле, что исследуемые математические модели сконструированы в виде детерминированных гамильтоновых динамических систем, и распределения вероятностей в этом случае возникают только лишь в связи с неопределённостью начальных данных. Более того, эти распределения (распределения Гиббса) конструируются на основе гамильтониана каждой из исследуемых систем. В той же области математической физики, которой посвящена диссертация, изучаются задачи, которые возникают в таких физических проблемах, в которых приходится учитывать существенное влияние различного рода случайных факторов на свойства физической системы. Однако, при вероятностном моделировании воздействия на систему этих случайных факторов, несмотря на то, что, как правило, имеется только довольно ограниченная априорная информация об их статистических свойствах, не используются модели наиболее общего вида, а, наоборот, стремятся применять простейшие случайные процессы. При этом обоснование применения той или иной вероятностной модели к изучению каждой такой физической проблемы лежит за пределами математики, а сами задачи представляют собой конкретные задачи математического анализа. В качестве примера описанного подхода мы приведём здесь задачу о т.н. чандлеровских колебаниях земной оси [58] или задачу о космических ливнях в атмосфере Земли [59]. В первом случае, для математического описания случайных колебаний используют конкретную модель стационарного случайного процесса с экспоненциально быстрым расцеплением корреляций — т.н. процесс Орнштейна-Уленбека, во втором, — специальную модель ветвящегося процесса. При решении конкретных прикладных задач в приведенных примерах и им подобных возникает ситуация, типичная как раз для математической физики. Здесь проявляется примерно такое же соотношение, какое имеется между подходами общей теории дифференциальных уравнений в частных производных или теории интегральных уравнений и теорией начально-краевых задач математической физики.

Задачи, изучению которых посвящена диссертация, возникают в квантовой оптике. Они связаны с проблемой регистрации электромагнитного излучения, которая в естественных условиях всегда осложняется наличием в нём стохастической составляющей. Для математического описания этой составляющей приходится использовать конкретные модели случайных процессов — т.н. элементарных гауссовских процессов [58], которые определяются решениями стохастических дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Последнее обстоятельство тесно связано с линейностью уравнений Максвелла, описывающих распространение электромагнитного излучения (см. разд.1.2). В простейшем случае, для моделирования случайной составляющей используется упомянутый выше процесс Орнштейна-Уленбека, и именно такого типа математические модели изучаются в диссертации.

Конкретные задачи, которым посвящена работа, связаны с изучением распределений вероятностей случайных значений аддитивных квадратичных функционалов от траекторий процесса Орнштейна-Уленбека. Интерес к такого рода распределениям, с точки зрения проблемы регистрации излучения, связан с тем, что сама регистрация, как физическое явление представляет собой поглощение приёмникбм энергии электромагнитного поля. Интенсивность поглощения в единицу времени является квадратичной функцией от напряжённостей электрической и магнитной составляющих поля, а поглощённая приёмником энергия есть интеграл по некоторому временному промежутку т от этой функции. Если в излучении присутствует стохастическая составляющая, то эта энергия как раз и представляет собой аддитивный квадратичный функционал от траекторий случайного процесса. Если для моделирования электромагнитного шума используется гауссовский процесс, в частности процесс Орнштейна-Уленбека, то задача вычисления характеристической функции для значений аддитивного квадратичного функционала от его траекторий принципиально решается либо на основе известного метода Каца-Фейнмана-Дынкина [26], либо методом решения соответствующей спектральной задачи для интегрального оператора, ядром которого является ковариационная функция процесса [25] (см. разд.1.1). На этом пути было вычислено большое число характеристических функций, интересных с точки зрения прикладных задач [44]. Подробный обзор развития направления математической физики, к которому относится тема диссертации дан в разд. 1.1.

Низкоинтенсивное оптическое излучение поглощается квантовым детектором отдельными порциями, которые называются фотоотсчётами. В квантовой оптике доказывается [65], что случайное число п фотоотсчётов за время т имеет следующее распределение вероятностей рт (п) = Рг{п = п} = Ье. (?(Г))П ехр[-](т)], называемое распределением Манделя (обоснование этого распределения см. разд. 1.2). Здесь 1{Т) — случайная величина, представляющая собой поглощённую за время регистрации т энергию электромагнитного поля, т т) = 115(5)|2⁵. о.

В том случае, который исследуется в диссертации, — случае полностью стохастического одномодового циклически поляризованного электромагнитного излучения, комплекснозначные функции 5(?), ¿-ЕМ являются случайными и, в совокупности, представляют комплекснозначный случайный процесс Орнштейна-Уленбека. Таким образом, случайная величина J{T) определяется как аддитивный квадратичный функционал от траекторий ?(?) процесса. Класс процессов Орнштейна-Уленбека параметризуется двумя координатами, т. е. фиксация значений двух параметров V > О и, а > 0 полностью определяет распределение вероятностей каждого из процессов. Характеристическая функция случайной величины 3(Т) для процесса Орнштейна-Уленбека была вычислена в работе А. Зигерта [85]. Она определяется формулой аги ехр (г/Г) (г + р)2 ехр (гТ) -{ги)2 ехр (-гТ) ' где г = /г/2 + 2Асг. Распределение вероятностей, соответствующее этой характеристической функции и, соответственно, распределение вероятностей составного распределения Пуассона, случайным показателем которого является величина 3{т), определяющая его неявно, оказываются очень сложными аналитически. В связи с этим, возникают задачи их явного приближённого, в математически точно определённом смысле, вычисления и качественного исследования.

Прежде всего, нам удалось исследовать распределение Манделя при большой величине параметра т. В этом случае доказана следующая локальная предельная теорема. При т —> оо имеет место асимптотическая формула.

Эта формула была ранее получена на физическом уровне строгости, посредством сравнения асимптотик моментов мп = Е (](т))п ~ 6П случайной величины 1{т) при т —> оо без оценок на их равномерность по п.

Далее, в диссертации доказана интегральная предельная теорема при повторном предельном переходе в = ат/у —> оо, а затем г = ит —> оо,.

ОДАг] для вероятности ^^ Рт{п) — В этом случае имеет место формула п: А<�п/®<�В, А г.

10(тг, г) = 1 + тг — 2л/2тгЩь)) [1 + яйу/тгЩ, гй = (1 + г~1)^/тг/2.

Исследуя распределение вероятностей Манделя в области малых значений параметра 71, нами доказано, что для Рт{п) при Т —> О имеет место асимптотическая формула которая также ранее была известна в физической литературе, но получалась посредством нестрогого математически приёма пересуммирования главных членов асимптотик каждого момента Мп ~ п!0п.

Далее, при малых временах Т регистрации оптического излучения построен алгоритм вычисления последовательных приближений распределения Манделя с гарантированной точностью. Для этого вероятность Рт (п) представлялась в виде разложения по моментам ятностей Манделя, каждое из которых определяет его с точностью до вттт-1, вводилась, как соответствующий конечный отрезок ряда п •.

Последовательность приближений т = 1,2,. распределения веро.

В этом случае доказано утверждение о том, что приближение Р^ порядка т аппроксимирует распределение Манделя с гарантированной точностью, определяемой неравенством.

1−2* при где.

2(7 V оо.

1о (в) =? а/2).

2 п.

С1 (г) п=0 ег («О2 '.

1+г + т и С — определённая константа.

При этом моменты Мп, п € N вычисляются точно. Они определяются следующим образом.

Мп = (—1)пп!

Компоненты определяются посредством операции свёртки о последовательности л/, п 1=1.

А компоненты последовательности л/ = {гитт Е выражается следующим образом посредством полиномов специального вида, ш т.

1П,,. /" т т + 1, , ч 2-V1 + т) + -г-^М+ е.

2 г.

1 ", ч Л ГП 771 + 1, Л.

1 + -) + М.

771 6 где полиномы вычисляются по рекуррентной формуле т.

1 М = ±.

— 1)'- при условии ш.

Д±(г) = 1.

В диссертации доказана безграничная делимость распределения Манделл при выполнении неравенства V2¡-а > 1 для параметров и, а, определяющих распределение вероятностей случайной величины ^(Т). Этот факт является следствием разложения распределения Манделя в бесконечную свёртку.

Рт (п) = о о. о о. пуассоновских законов распределения р®-, /? N с шагом I и с показателями.

I — 1)!

В этой формуле А&bdquo-, п Е N — полюса производящей функции.

Основная цель. В диссертации изучаются с качественной точки зрения распределения вероятностей, возникающие в простейшей физической постановке задачи регистрации низкоинтенсивного электромагнитного излучения и разрабатываются методы их приближённого вычисления с гарантированной точностью. В работе изучается математическая модель регистрации оптического излучения в отсутствие сигнала (неслучайной составляющей) и в том случае, если стохастическая составляющая имеет только одну «неслучайную» поляризацию и пространственную моду. Основной целью работы является вычисления распределений вероятностей дискретной случайной величины, распределённой согласно составному распределению Пуассона со случайным показателем, который представляется значениями указанного выше функционала. Эта величина физически соответствует числу фотоотсчётов низкоинтенсивного оптического стохастического излучения.

Задачи исследования. Исходя из вышеуказанной общей цели исследования в диссертации решались следующие задачи (точную математическую формулировку этих задач см. в гл.1):

1. Исследовать с качественной точки зрения свойства распределения Манделя для числа фотоотсчётов в случае полностью поляризованного одномодового шумового излучения.

2. Разработать алгоритм вычисления с гарантированной точностью распределения Манделя в указанном случае.

3. Разработать алгоритм вычисления плотности распределения значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий комп-лекснозначных процессов Орнштейна-Уленбека и Винера.

4. Вычислить характеристическую функцию и плотность распределения вероятностей для суммы квадратов значений указанных процессов в эквидистантно расположенных точках.

Научная новизна. В процессе исследования распределения вероятностей Манделя, которое в рамках представлений квантовой оптики определяет вероятности фотоотсчётов полностью стохастического поляризованного одномодового оптического излучения малой интенсивности, получены следующие новые научные результаты. Доказана локальная предельная теорема распределения Манделя при неограниченном возрастании времени регистрации. Для этого же случая доказана общая интегральная предельная теорема. Эта теорема устанавливает тип асимптотики распределения вероятностей при увеличении времени вне зависимости от пути предельного перехода. Дело в том, что в модели Манделя, кроме времени регистрации присутствуют ещё два параметра и" 1, а~2 размерности времени. В связи с этим, предел т —> со может осуществляться различными способами в плоскости соответствующих безразмерных параметров т = ит, 0 = ат/р. В более частном случае, когда осуществляется последовательный предельный переход — сначала 0 —> оо, а затем т —>¦ оо, получена формула для соответствующей повторной асимптотики распределения вероятностей Манделя. Строго доказана локальная предельная теорема при т —>• 0, которая была получена ранее эвристическими методом в физических работах. Разработан алгоритм последовательных приближений распределения Манделя с гарантированной точностью, оцениваемой в равномерной метрике на Построено мультипликативное разложение распределение Манделя по пуассоновским законам с изменяющимся шагом и с различными показателями при условии V1 /сг > 1, и, тем самым, доказана его безграничная делимость в этом случае. Разработан алгоритм вычисления плотности распределения значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий комплекснозначных процессов Орнштейна-Уленбека и Винера в виде разложений в сходящиеся равномерно на полуоси ряды. Эти ряды быстро сходятся при больших значениях временного параметра, определяющего функционалв рамках этого алгоритма, для процесса Орнштейна-Уленбека вычислено первое приближение и дана оценка его точностидля винеровского процесса вычислены все члены разложения ряда вместе с оценками точности каждого приближения. Вычислены характеристические функции для суммы квадратов значений процессов Винера и Орнштейна-Уленбека в эквидистантно расположенных точках.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертации методы представляют теоретическую ценность, так как на их основе, могут решаться различные задачи теории регистрации излучения. Кроме того, полученные в работе результаты могут иметь практическое приложение — использоваться при обработке статистической информации, касающейся искажения сигналов в лазерных устройствах, передающих информацию.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Доказательство интегральной предельной теоремы для распределения Манделя при Т —> оо. Формула для повторной асимптотики О —> оо, т —> оо.

2. Разработка алгоритма построения последовательных приближений распределения Манделя с гарантированной точностью в равномерной на Z+ метрике.

3. Доказательство теоремы о безграничной делимости распределения Манделя в случае достаточно малых значений дисперсии порождающего комплекснозначного процесса Орнштейна-Уленбека а/и2 < 1 и алгоритм мультипликативного разложения распределения Манделя по пуассоновским компонентам.

4. Построение равномерно сходящегося на полуоси разложения для плотности распределения значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий винеровского процесса.

Апробация работы. Материалы, включенные в диссертацию, опубликованы в 12 работах автора. Они вышли из печати на протяжении 20 032 005гг. и представлены (за исключением тезисов докладов на конференциях) в общем списке литературных источников, на которые имеются ссылки в диссертации. Материалы работы докладывались и обсуждались на:

1. VI международной конференции по математическому моделированию, г. Херсон, 9−14 сентября 2003 г.

2. Воронежской зимней математической школе, г. Воронеж, 23−28 января 2004 г.

3. XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, г. Москва, МГУ, 12−16 апреля 2004 г.

4. Десятой международной научной конференции им. акад. М. Кравчука, г. Киев (Украина), 13−15 мая 2004 г.

5. Международной конференции «Аналитические методы в теории чисел, теории вероятностей и математической статистике», посвященной 90-летию акад. Ю. В. Линника, г. Санкт-Петербург, 25−29 апреля 2005 г.

6. VII Международной конференции по математическому моделированию, г. Феодосия, 5−10 сентября 2005 г.

Кроме того, по материалам диссертации выпущено два электронных препринта в Лос-Аламосском архиве.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из настоящего введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, который содержит 85 наименований, и приложения. Каждая глава состоит из разделов, которые, в свою очередь, дробятся на подразделы.

В каждой главе и в каждом разделе принята своя нумерация формул. Таким образом нумерация их является тройной: первая цифра указывает на номер главы, вторая на номер раздела, третья на номер формулы (утверждения) в пределах главы и раздела, указанных первыми двумя цифрами. Однако при ссылках на формулы (утверждения) в пределах текущей главы первая цифра опускается, точно также как при ссылках в пределах текущего раздела опускаются две первых цифры.

Ссылки на литературу даны заключенными в квадратные скобки номерами соответствующих литературных источников в приложенном в конце диссертации списке. В этом списке указаны только те источники, на которые даются ссылки в тексте. Нумерация литературных ссылок построена в алфавитном порядке.

Мы придерживаемся в работе единой для всего текста системы обозначений. Принципы ее построения приводится в отдельном списке (см. ранее).

Для удобства чтения работы, формулировки всех основных результатов, а также даваемые по ходу изложения точные определения понятий выделены наклонным шрифтом. Согласно своему значению в тексте, их формулировки, соответственно, предваряются словами Теорема, Лемма, Определение, Следствие, Замечание. Нумерация этих структурных единиц текста сплошная на протяжении каждой главы диссертации. Начало каждого доказательства отмечается знаком ?, а конец — ¦.

Первая глава посвящена более подробному, чем данное выше, описанию научного направления, которому посвящена диссертация, постановке возникающих в рамках этого направления задач, используемых методов их решения и обзору литературы по этим вопросам. Описывается общая постановка задачи вычисления распределений вероятностей фотоотсчётов в квантовой оптике.

Во второй главе описывается техника интегрирования в функциональном пространстве по мерам, связанным с гауссовскими случайными процессами Винера и Орнштейна-Уленбека, необходимая для исследования распределения вероятностей фотоотсчётов. Анализируется задача вычисления распределения вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала, определённого на траекториях указанных комплекснознач-ных процессов.

В третьей главе разрабатываются формально алгебраические методы для изучения сходимости разложений сложных аналитических функций по степеням малого параметра с целью оценивания точности приближений распределения Манделя, моментов и кумулянтов распределения вероятностей значений аддитивного квадратичного функционала от траекторий процесса Орнштейна-Уленбека.

В четвертой главе изучается распределение Манделя для числа фотоотсчётов, регистрируемых квантовым счётчиком в случае одномодового, полностью поляризованного, чисто шумового низкоинтенсивного оптического излучения. Получены все основные результаты диссертации.

В заключении перечислены важные задачи, относящиеся к научному направлению диссертации, решение которых было бы желательно для дальнейшего его развития.

В приложении приведён несколько переработанный материал работы [14], на основной результат которой опирается доказательство в главе IV интегральной теоремы для случайного числа фотоотсчётов при большой величине времени регистрации.

I Математические задачи теории регистрации оптического излучения и методы их исследования.

Эта глава является введением в проблему, которая изучается в диссертации. Сначала, в первом разделе, мы даём общую математическую формулировку задач математической физики, которые возникают в теории регистрации оптических сигналов малой интенсивности и описываем методы их исследования. Далее, во втором разделе, даётся описание теоретических основ для решения физических задач, исследуемых в диссертации. Эти два раздела носят обзорный характер и, поэтому, мы в них не даём точных математических определений используемых понятий и, соответственно, не приводим точных доказательств. Точное математическое описание предмета и методов исследования даётся в следующих разделах.

Заключение

.

В заключение работы мы перечислим те задачи, которые остались ещё нерешёнными в рамках диссертации.

1. Теория приближений распределения вероятностей значений функционала J в случае процесса Орнштейна-Уленбека, даёт обозримое выражение для первого приближения (см.Приложение), однако, вычисление приближений более высокого порядка становится в данной схеме неудобным. Схему их вычисления необходимо упростить.

2. Важно получить также более точные формулы для вероятностей больших уклонений и малых значений случайной величины J (т.н. флук-туационная область в физической терминологии). Основное приближение оказывается неточным в этих областях при малых значениях временного параметра. В то же время, при вычислении вероятности ошибочного приёма сигнала (т.н. приёмник Котельникова), как раз указанные области изменения случайной величины оказываются самыми существенными.

3. Поправки на дискретность для распределения вероятностей значений сумм Jnx, полученные в разд.2.3, даются асимптотическими формулами, которые не позволяют получить оценки точности. В дальнейшем необходимо избавиться от этого недостатка.

4. В рамках разработанного метода аппроксимаций распределения Ман-деля получить более простые аналитические выражения для высших приближений.

5. С физической точки зрения, нет никаких причин, по которым бы распределение Манделя перестало быть безгранично делимым при произвольном соотношении между параметрами у и ст. По-видимому оно безгранично делимо во всей области изменения этих параметров.

6. Желательно решить вопрос о т.н. свойстве точной одновершинности распределения Манделя (см. [11], [12], [20]).