Некоторые вопросы теории приближений и теоремы вложения

Работа посвящена Япреобразованиям функций из и теоремам вложения для симметричных пространств.

Первая основная задача, рассмотренная в работе, такова: найти необходимые или достаточные условия на последовательность f/f^JJTy задающую /? -преобразование исходной функции, и на те или иные характеристики функции из /j р такие, чтобы её /? -преобразование принадлежало /лр — получить оценки сверху и снизу для /? -преобразования функции и исследовать точность полученных оценок.

Интерес к /? -преобразованиям вызван тем, что исследование ряда вопросов теории функций-теорем вложения, мультипликаторов, сходимости тригонометрических рядов и других-часто сводится к изучению /? -преобразования функции. Изучением Япреобразований функций занимались многие авторы, например, Р. Салем [V], С. Б. Стечкин f50.В.Бесов [б], А. А. Конюшков [7] и другие.

В данной работе задача о Рпреобразовании изучена для функций из пространств /, р, где / <т р? оо. Полученные в ней результаты уточняют и обобщают результаты многих работ и содержат выводы ряда авторов, которые рассматривали задачу, аналогичную нашей. Отметим, чтопреобразование функций из bp для р-1 или р^оо и точность полученных оценок при -/4Р4<*>ъ литературе в общем виде ранее не рассматривались.

Вторая основная задача такова: найти необходимые и доста точные условия для вложения класса функций /т^уу"/ в класс функций * где-симметричное пространство, а.

U) -пространство Лоренца.

Первая теорема вложения была доказана в 1927 г. Г. Харди и Дж. Литтлвудом [8]. Начало общей теории вложения пространств функций многих переменных было положено С. Л. Соболевым [sj. Принципиально новый вклад в развитие этой теории был сделан С. М. Никольским [ю], создавшим теорию // -классов и применившим для её исследования теорию приближений. Другой подход к теоремам вложения был предложен П. Л. Ульяновым в работах [ll] и fl2j, в которых он для функций одного переменного выяснил условия-необходимые и достаточные-для вложения одного класса функций в другой. Ряд важных результатов в этой области был получен 0.В.Бесовым [l3]t М. К. Потаповым fl4-], В. А. Андриенко J, М. Мильманом [ie]9 С. В. Лапиным ?l7J и другими авторами.

В связи с тем, что в последние годы всё большее количество различных задач решается в симметричных пространствах, представляется важным дальнейшее развитие теории вложений в этих пространствах. К этим исследованиям примыкает вторая основная задача, рассмотренная в данной работе. В ней найдены необходимые и достаточные условия для вложения класса функций пум ^ л (Т' в класс функций которые обобщают результаты работ таких, например, как работы П. Л. Ульянова ?l2j, В. А. Андриенко [15].

Диссертация состоит из трёх глав, из которых первые две содержат по три параграфа, а третья-два параграфа. Нумерация утверждений, лемм и формул ведётся по параграфам. В первой главе решается первая задача для функций из при «/</><©-о. Во второй главе решается первая задача для функций из^лпри г.

Р=1 или р гоо. в третьей главе решается вторая задача.

Случаи /<�Р<�ъ° и р = I или р=о=> рассмотрены отдельно, так как различны методы, при помощи которых ведётся исследование в этих случаяхразличны и условия, налагаемые на последовательность во второй главе они более жёсткие, чем в первой). Кроме того, в случае У</О<�о" оценки рассмотрены лишь дляпреобразования функции f (vc), так как по теореме М. Рисса /V" «» ЗГ^Последнее соотношение неверно при р = I и /^гоо, поэтому при р =1 и с? приведены оценки как для Y^) «так и для • Отметим, что в работе получены оценки для / -преобразования функции для любых последовательностей действительных чисел f/j» Однако ввиду их громоздкости основные утверждения формулируются лишь при некоторых дополнительных ограничениях на последовательность (не исключающих случай = </).

Остановимся более подробно на содержании диссертации.

В § I и § 4 исследуется зависимость свойствпреобразования от поведения наилучших приближений исходной функции. Получены, в частности, для неубывающих последовательностей {/)п следующие оценки:

К-/7//.

0.4) а). Если /<�р<�с*> и Ях&bdquoто.

Эта же оценка справедлива при р =1 или Р — оо, если Л Я ^^Дг* и Д^-^нЪО или. б). Если 4<�р<�о° и, то.

OQ.

Если /Р =1 или />=гоо и Г Я/," ЛУд^Л то Лjf+j/p ь. в). Пусть =1 или. Если.

Д — ИЛИ 4 >< <2, то v^// * 2: ii. V-'F ш} (0−7).

I/—/ f / / *.

Если же Я^СЯ* > &Ч?ГнЬ0Ж.

Оо.

ТО eJlyO^SJf/r. (0.8).

Отметим, что при («?=0, I,.) из оценок (ОЛ).

0.8) следуют, например, неравенства, полученные ранее Д. Джексоном [18], С. Б. Стечкиным [l9], М. Ф. Тиманом f20j, Р. Таберским [21]. Отметим также, что при ^=1, 2,., /</°<оо оценки (ОЛ) и (0,5) точнее оценок, полученных ранее В. М. Кокилашвили в работе (^22j. В работе £22^оказана оценка сверху для jfaj типа (0.4), однако в ней в последней сумме вместо множителя стоит множитель г* f Г1.

Си+4). Леммы 1.4 и 1.5 показывают, что наша оценка точнее. В оценке же снизу для^^в работе ?22J отсутствует вторая сумма в (0.5).

В этих же параграфах рассмотрен вопрос о точности полученных оценок. Так, например, для последовательности Ф справедливы следующие соотношения: а) при /<: р <г оо.

Z^Epfet Уг" «^ (о.э).

Vе—.

V-i б) при P -1 И Р z: оо.

Ос ^^.

М^э ^(ftfajsrZ X twV (0.10).

Здесь, как и в других соотношениях^показывающих точность полученных оценок, предполагается конечность правых частей этих соотношений.

Оценка (0.9) справедлива при тех же условиях на последовательность {Яи}*^ что и °Ценка (O-'Oi, а оценка (0.10)-при тех же условиях, что и оценка (0.7).

При Я =1 и при {1., целых ^ из (0.9) и.

0.10) следуют результаты В. Э. Гейта [23].

В § 2 и § 5 исследуется зависимость свойствпреобразования от поведения частных сумм ряда Фурье и сумм Валле-Пуссена исходной функции. В частности, при 4<Р< 00 для последовательностей, удовлетворяющих условиям и Tin^frt+fr't fa &-получены следующие оценки: нн) т * оо.

Отметим, что при /f = / и целых ^ из оценки (О.II) следуют неравенства, полученные В. В. Жуком и Г. И. Натансоном в работе ?24]. Но в работе [24 j| нет оценок снизу, в то время как у нас они следуют из оценки (0.12).

В этих же параграфах рассмотрен вопрос о точности полученных оценок. Так, например, при /<�р<�с*> ия для последовательностей таких, что -^^Д^и lin+Jff+rifyfHtyi справедливы следующие соотношения:

В § 3 и § 6 исследуется зависимость свойств /) -преобразования от поведения модулей гладкости исходной функции. Из результатов этих параграфов следуют, в частности, оценки: а) при S^f^oc, r б) При оэ ,.

Отметим, что при <1 < и натуральных ^ неравенство (0.13) более точное, чем неравенство, полученное В.М.Ко-килашвили [22J, в котором содержится лишний по сравнению с (0.13) член. Кроме того, в работе [22 J нет оценок снизу для.

Qfj^i^L* в то БРемя как У нас они следуют из (0.14)..

В этих же параграфах получены и более общие результаты для неубывающих последовательностей. Например, пусть j.

У^Ыу^М' Чу&tradeV-/.

В этих же параграфах рассмотрен вопрос о точности полученных оценок. Так, например, при j< f><&o и для неубывающих последовательностей f/)h fj^ таких, что Q f/Tj-/) «^{ff справедливы следующие соотношения:.

У’М+4 схэ а^^/^^-Д" + z г?, у? •.

Полученные для одномерного случая результаты переносятся на многомерный случай. При этом вместо наилучших приближений рассматривается приближение «углом» — вместо модулей гладкости-смешанные модули гладкостивместо частных сумм и сумм Валле-Пуссена-частные суммы и суммы Валле-Пуссена в многомерном случае (определение см. в замечаниях 1.2, 2.4 и 5.3). Так, в частности, показана справедливость следующих оценок: а) при /</><©-о для последовательностей И удовлетворяющих условиям? и u /wv //7 ?<*>).

ZZfoXA if A* ^ / 4 * ' б) при /<:/><: oo, p4>0, A в) при, у О.

Отметим, что из результатов главы I при.

Bj вытекают как частные случаи результаты работ М. Г. Есмаганбетбва ?*25/, [2б], [*27], опубликованные одновременно с нашими работами [28], [29], [зо]..

В § 7 найдены необходимые и достаточные условия для вложения класса функций Mjff+f в пространство Лоренца /[ ..

В § 8 найдены необходимые и достаточные условия для вло / ^ / / ^ жения класса функций Пу/sf/ в класс функций «где.

Xff) -симметричное пространство, Aft*1)-пространство.

Лоренца..

Основным результатом третьей главы является следующее утверждение..

Пусть ъ.) -модули непрерывности, X/?)-некоторое симметричное пространство,, </у,>/, gj/y, >..

Тогда для справедливости вложения необходимо и достаточно, чтобы.

V/ ЧГ*! Ж У* Л f, г, fiI.

I { (' —J — § (0.16).

Отсюда при У^/:/^, (^ ^ Р < < ОО) то есть если ,-Z^) получаем результаты.

П.Л.Ульянова [12J и В. А. Андриенко [15]. Отсюда же получаем результат работы С. В. Лапина [l?], в которой доказана достаточность условия (0.16) для вложения (0.15) в случае, когда a Xfo/ -максимальное симметричное пространство. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах механико-математического факультета МГУ по теории ортогональных и тригонометрических рядов и по теории приближений, на научно-теоретических конференциях молодых учёных механико-математического факультета МГУ в 1981 г. и в 1983 г. и на 2-ой Саратовской зимней математической школе в 1984 г..

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах.

NМ.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору М. К. Потапову за постановку задачи, постоянную поддержку, внимание и помощь в работе..

1. А.Зигмунд. Тригонометрические ряды.-М.: Мир, 1965, т.1 -616 е., т.2 -538 с..

2. С. Г. Крейн, Ю. И. Петунин, Е. М. Семёнов. Интерполяция линейных операторов.-М.: Наука, 1978.-400 с..

3. R.ShatpSey. Spaces Л* and i/?te7ро Walton.-I Fund. К.

4. R. Safer*. Sui fes t^ocus^o^/Ttor^co^s c/es se? ces.

5. А. А. Конюшков. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье.-Матем. сб., 1958, т.46 (86), № I, с.53−84..

6. JM. Haidy }J.E. L U tfeafoOc/Avbeye/tee cute*см JotFoviieг senies.-McrU. 7., 6/29. С. Л. Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.-Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.-256 с..

7. С. М. Никольский. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных.-В кн.: Труды МИАН СССР.-М.: Наука, 1951, т.38, с.244−278..

8. П. Л. Ульянов. О вложении некоторых классов функций.-122Матем. заметки, 1967, т.1, № с.405−414..

9. М. К. Потапов. Исследование некоторых классов функций при помощи приближения «углом» .-В кн.: Труды МИАН СССР.-М.: Наука, 1972, т.117, с.256−291..

10. В. А. Андриенко. О необходимых условиях вложения классов функций .-Матем. сб., 1969, т.78 (120), № 2, с.280−300..

11. М*Mid/кал7. Еп>#ес/с/б'/1<�р о/ i/iza.

12. С. В. Лапин. Вопросы, связанные с вложением в некоторые пространства измеримых функций.-Канд. дисс.-М.: МГУ, 1980.130 с..

13. D. Jackson. Uhei c/ie Qe/i&ui^ketf c/esofftzena'tiOHa-fe FunktcOrierigeye&wv G^&c/es nomebztcfan gege&M? {/к/гм^-йт.rGotttye^m..

14. С. Б. Стечкин. 0 порядке наилучших приближений непрерывных функций.-Изв. АН СССР, сер. матем., 195I, т.15, Ш 3, с.219−242..

15. М. Ф. Тиман. Обратные теоремы конструктивной теории функций в пространствах <>о) .-Матем. сб., 1958, т.46 (88), № I, с.125−132..

16. R. Та Be zskiDif-fewnees^moo/ufi ало/of fraciiofiorf o^c/ets^Rocztb Ров. toc^f.r"crt} S977, set. к 19}a/z, p. звэ-400..

17. В. М. Кокилашвили. Об оценке наилучших приближений и модулей гладкости в различных лебеговских пространствах.-Сообщ. АН Груз. ССР, 1964, т.35, Ш I, с.3−8..

18. В. Э. Гейт. О точности некоторых неравенств в теории приближений. -Матем. заметки, 1971, т.10, № 5, с.571−582..

19. В. В. Жук, Г. И. Натансон. Свойства функций и рост производных, приближающих полиномов.-ДАН СССР, 1973, т.212, № I, с. 19..

20. М. Г. Есмаганбетов. О связях модулей гладкости производной с наилучшим приближением и коэффициентами Фурье функции в Lp°f^J .-рукопись деп. в ВИНИТИ 28.01.1982 г., № 380−82 Деп., 15 с..

21. М. Г. Есмаганбетов. Условия существования смешанных производных Вейля в Lp{r0}2?rj//<�р<�оо) и её структурные свойства.-Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.4.82 г., № 1675−82 Деп., 28 с..

22. Б. В. Симонов. О свойствах преобразованного ряда Фурье.-Рукопись деп. в ВИНИТИ 22.06.1981 г., № 3031−81 Деп., 45 с..

23. Б. В. Симонов. О принадлежности преобразованного ряда Фурье пространству .-Рукопись деп. в ВИНИТИ 30.10.1981;124г. № 4985−81 Деп., 16 с..

24. Б. В. Симонов. О некоторых свойствах преобразованных рядов Фурье.-Вестник МГУ, сер.1, математика, механика, 1983, № 2, с.58−61..

25. Б. В. Симонов. Оценки норм преобразованного ряда Фурье через частные суммы исходного.-В сб.: Некоторые вопросы математики и механики.-М.: Изд-во МГУ, 1983, с.46−47..

26. Преобразованные ряды Фурье функций из 27 Т.") .Рукопись деп. в ВИНИТИ 20.07.1983 г., № 4088−83 Деп., 15 с..

27. Б. В. Симонов. О преобразовании рядов Фурье из и С .В сб.: Функциональный анализ.-М.: Изд-во МГУ, 1984, с.90−95..

28. М. К. Потапов, М.Бериша. Модули гладкости и коэффициенты Фурье периодических функций одного переменного. Ри 6 •((с a icons de AW^VzW т.

29. В. Э. Гейт. Об условиях вложения классов п^д и г/^ R Матем. заметки, 1972, т.13, № 2, с.169−178..

30. С. М. Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.-М.: Наука, 1977.-455 с..

31. М. К. Потапов. К вопросу об эквивалентности условий сходимости рядов Фурье.-Матем. сб., 1965, т.68, № I, c. III-127..

32. В. М. Кокилашвили. О приближении периодических функций.-В сб.: Труды Тбилисского матем. института.-Тбилиси, 1968, т.34, с.51−81..

33. В. К. Дзядык.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами.-М.: Наука, 1977.-5II с..

34. С. Б. Стечкин. О наилучшем приближении сопряжённых функцийтригонометрическими долиномами.-Изв. АН СССР, сер. матем., 1956, т.20, вып. 2, с.197−206..

35. С. Б. Стечкин. Наилучшие приближения функций, представимых лакунарными тригонометрическими рядами.-ДАН СССР, 195I, т. ХХУ1, № I, с.33−36..

36. Н. К. Бари. Тригонометрические ряды.-М.: Физматгиз, 1961.936 с..

37. Н. К. Бари. О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух сопряжённых функций.-Изв. АН СССР, сер. матем., 1955, т.19, с.285−302..