Локальная параметрическая идентифицируемость систем, аппроксимирующих сложные объекты

Основными моделями сложных динамических процессов в естествознании являются нелинейные дифференциальные уравнения, поэтому, как с теоретической, так и с практической точки зрения важно изучение различных свойств этих уравнений. Одним из таких свойств является свойство параметрической идентифицируемости.

При проведении различных практических экспериментов и при моделировании изучаемая система обычно зависит от некоторого количества параметров. В большинстве случаев набор параметров можно представить в виде вектора некоторой размерности, поэтому далее будем вести речь об одном параметре.

Под параметрической индентифицируемостыо модельной системы подразумевается возможность различить два разных значения параметра системы по поведению ее траекторий при этих значениях параметра.

Пусть Л — множество всех возможных параметров системы. Предположим, что в Л введена некоторая метрика р.

Для большинства классов модельных систем глобальная параметрическая идентифицируемость невозможна, т. е. невозможно различить два любых параметра Ai, Л2 (Ai ф Л2), лежащих в множестве Л, поэтому большую практическую ценность представляет локальная параметрическая идентифицируемость.

Под локальной параметрической идентифицируемостью (локальной идентифицируемостью) модельной системы при значении параметра Ai 6 Л подразумевается существование такого числа е > 0, что по наблюдению траекторий модельной системы возможно различить параметры Ai, А2 при А2 е Л, Ai ф А2 и p (Ai, А2) < е.

Сразу заметим, что для нелинейного дифференциального уравнения нахождение решения в явном виде возможно только в исключительных случаях, поэтому для исследования данных систем используются численные методы. Намеченную выше задачу также целесообразнее рассматривать как для исходной модельной системы, так и для ее аппроксимации.

Выше намеренно не приводились строгие определения, так как четкая формулировка указанных свойств возможна только для каждой конкретной постановки задачи.

Основные условия локальной параметрической идентифицируемости для различных классов уравнений даны, например, в работе [3j.

В главе 1 изучается свойство, близкое к индентифицируемости, — различимость.

Рассмотрим гладкое n-мерное многообразие X класса гладкости С°° и систему дифференциальных уравнений х = F (x), хеХ. (1).

Пусть F € > 1, где — пространство всех векторных нолей класса Сг, определенных на X. Пусть Я € ^(ХД*), где r (X, Rk) — пространство всех отображений класса Сг из X в к > 1.

С практической точки зрения объекты, введенные выше, имеют следующий смысл: система (1) моделирует некоторый сложный процесс, а отображение Н является моделью некоего измеряющего устройства.

Введем в R*) сильную Сг-топологию Уитии.

Через.

Пусть dist — риманова метрика на многообразии X.

Определение 1.3. Будем называть семейством численных методов класса Ст и степени р семейство отображений.

Ф (Л, •): Х->Х, h > О, класса Ст по х (т > 1, р > 0), аппроксимирующее решения <р системы (1) в следующем смысле: для любого ограниченного подмножества Y С X существует такая константа C (Y), что dist (Ф (h, x), ip (h, x)) < C (Y)hp+l для всех h > О и х Е Y.

Представителя введенного выше семейства будем называть численным методом с шагом h.

Подчеркнем, что мы не предполагаем какой-либо (даже непрерывной) зависимости Ф (/г, х) от шага h. Как обычно, будем обозначать.

Ф'(М = Ф (Л, Ф (Л,.Ф (М ¦¦•)), (2) где справа в формуле (2) функциональный знак Ф повторяется I раз. Будем полагать Ф°(/г, х) = х для всех h их. Фиксируем некоторое натуральное число N.

Определение 1.4. Назовем пару (F, Н) различимой на множестве Y с X по численному методу Ф с шагом h за N шагов, если для любой пары точек (х, у), х ^ у, х, у eY, существует такое натуральное число г < N, что.

Н (Ф%х))^Н (Ф%у)).

Рассмотрим систему (1) в Мп. Пусть К0 — такое открытое ограниченное множество в R", что Kq положительно инвариантно относительно системы (1), т. е. p{t, x)? Kq при х 6 Kq, t> 0.

Подобные множества часто рассматривают, например, при изучении аттракторов автономных систем [13].

Кроме того, предположим, что.

F (x) ф 0 при хеК = К~0. (3).

Основной результат главы 1, опубликованный автором в работе [19], — следующее утверждение.

Теорема 1.2. Для фиксированного векторного поля F класса гладкости С2, обладающего свойством (3), Сг-гладкого (г > 1) семейства численных методов Ф (Д,•) степени 1 и числа N = [у] + 1, где [•] — целая часть числа, существует такое число ho > 0, что множество таких функций Н € f< ho за N шагов на компакте К, является множеством второй категории по Бэру в.

Иными словами, свойство функций Н быть различимыми в паре с F по численному методу Ф с шагом h < ho за N шагов на компакте К при описанных выше условиях является типичным в пространстве.

Отметим, что теорема 1.2 является обобщением аналогичного утверждения для точных решений из работы [8[ на многомерный случай.

В главе 2 изучается задача о локальной параметрической идентифицируемости для конечномерных динамических систем, порожденных дискретизациями параболических уравнений.

Первые результаты по локальной параметрической идентифицируемости для параболического уравнения формулировались в терминах дискретизаций точных решений (см. теорему 2.1). Однако, как уже указывалось ранее, для нелинейных уравнений построение явных решений практически невозможно, поэтому, как при их компьютерном моделировании, так и при качественном исследовании, важную роль играют конечномерные динамические системы, порождаемые различными схемами дискретизаций. Изучение таких систем, в котором важную роль сыграла работа О. А. Ладыженской [5], превратилось в отдельную область динамических систем, в которой получено много важных результатов.

Рассмотрим общую постановку задачи.

Рассмотрим параболическое уравнение вида f) n В 11.

— = — + G (u, X), х € (0,1), t > 0, А? R,.

4) где G — достаточно гладкая скалярная функция. Введем краевые условия Дирихле w (0, t) = u (, t) = 0 и начальное условие и (х, 0) = где щ — достаточно гладкая скалярная функция, удовлетворяющая краевым условиям, т. е. щ (0) = щ{1) = 0. Рассмотрим аппроскимацию решений данной задачи с помощью иолунеявной схемы Эйлера.

Фиксируем натуральное число М, параметр Л и число h > 0 и положим d = 1.

М + 1'.

Будем аппроксимировать значения u (md, nh) решений уравнения (4) с п > 0, т € {0,1,., М + 1} числами v™, определяемыми следующим уравнением.

П+1 ., 71 Avn+[ + G (vn,), (5) h где &bdquo-п V V vm ьМ и G (vn,) = ешм,.

G (vnM, А)) v? = uo (id) г = 1,., M, а матрица Л соответствует стандартной аппроксимации второй производной на сетке с шагом d:

ЛА^'-у*-1. t = 1,., м, и краевым условием = fju+i = 0. Ясно, что если значение h столь мало, что матрица J = Ем — hA обратима, где Ем — единичная матрица размера М х М, то схема (5) порождает такое отображение (р: RM —" Мм, что vn+1 = а ip (v) = J~1(v + hG (v,)). (6).

Перейдем к формулировкам конкретных задач, изучаемых в главе 2. В разделе 2.2 рассматривается дискретизация уравнения типа Чэфи-Инфанте [9] с нелинейностью, линейно зависящей от параметра, т. е. рассматривается параболическое уравнение вида (4) с нелинейностью вида.

G (u, A) = A/(u), где Л > 0, а функция /: R —> R класса С2 и удовлетворяет следующим условиям:

1. ДО) = 0, /'(0) = 1;

2. НпНоо^ < 0;

3. uf" (u) < 0 при и ф 0.

Уравнение (4) с нелинейностью f (u), удовлетворяющей условиям 1−3, было впервые изучено Чэфи и Инфанте [9]- соответствующую задачу часто называют задачей Чэфи-Инфанте. Отметим, что условиям 1−3 удовлетворяет, например, функция f (u) = и —и3.

Уравнение (4) с указанной выше нелинейностью G имеет вид.

Пусть u (x, t) G C2xj — решение уравнения (7) с указанной правой частью, удовлетворяющее начальному условию их (х, 0) = и0(х), где «о (я) € (8) и граничному условию.

0,0 = «(1,0 = 0- (9).

Будем рассматривать полунеявную дискретизацию уравнения (7) но схеме (5). Отображения (6) иримут следующий вид: ipx (v) = J-l (v + hl (v)), (10) где J = ЕмhAn h\A\ < 1.

Если / € С1 (это условие выполнено, так как изначально / € С2), u)| < L и hL < 1, (11) то (р является диффеоморфизмом класса С1 (показано в работе [12]). Далее будем считать, что условия (И) выполнены.

Определение 2.2. Будем называть траекторией дискретизации уравнения (7) с начальным данным wq Е Мм последовательность wn =.

0.

Поставим следующую задачу локальной идентифицируемости. Фиксируем начальное данное Wq Е и рассмотрим соответствующую ему траекторию дискретизации wn.

Определение 2.3. Будем говорить, что уравнение (7) локально идентифицируемо при параметре Ао по наблюдению траектории дискретизации wn с начальным данным Wo, если существует такое число 5 > 0, что для любого параметра А, 0<|А — Ао| щ аЫ Ф <Рх оМ- (12).

Обозначим через В множество пар (А, /), где, А > 0, а функция / G С2 и удовлетворяет перечисленным выше условиям 1−3 и (11).

Из условия 1 и формулы (10) следует, что 0 — неподвижная точка диффеоморфизма (р при любом, А > 0.

Основным результатом раздела 2.2 является следующая теорема, опубликованная в работе автора [15].

Теорема 2.2. Пусть пара (Ао,/) Е В и обладает следующими свойствами:

1. все неподвижные точки диффеоморфизма ipQ гиперболические;

2, неподвижная точка v = 0 диффеоморфизма ср неустойчива.

Тогда для открытого и плотного в множества начальных данных wq уравнение (7) локально идентифицируемо при Ао по наблюдению траектории дискретизации wn с начальным данным ijuq.

В разделе 2.3 изучается некий общий класс конечномерных отображений, порождаемых кусочно-линейными функциями фазовой переменной и параметра. Класс таких отображений включает в себя отображения, порожденные полуиеявной схемой Эйлера, и поэтому такая постановка задачи естественно примыкает к задаче, изученной в разделе 2.2. и.

Предположение о кусочной линейности функции, порождающей изучаемое отображение, соответствует наиболее распространенному методу аппроксимаций нелинейных функций их значениями на сетках.

Рассмотрим семейство положительно определенных, симметричных матриц В (К) размера М х М, М Е N, зависящих от параметра h > 0. Фиксируем непрерывную скалярную функцию д, зависящую от параметра Л? R и рассмотрим отображение.

Iм Мм, задаваемое формулой p9ix (v) = B (h)(v + hg{v, А)),.

13) где г- = VM ьм и Л) =.

0(*>1,А).

9 м.

Очевидно, что отображение (6), полученное с помощью полунеявной схемы Эйлера, является частным случаем отображений (13), поэтому результаты, полученные для отображения (13), справедливы и для дискретизации параболического уравнения.

Отметим, что при компьютерном моделировании и тому подобных расчетах все используемые функции вычисляются лишь на некотором дискретном множестве значений, поэтому вполне естественно можно заменить функцию g (v, А) некоторой ее аппроксимацией. В качестве такой аппроксимации мы будем брать кусочно-линейную функцию, совпадающую с исходной на некоторой прямоугольной сетке.

Рассмотрим плоскость х, А (х G R, А 6 R) и введем на ней прямоугольную сетку, симметричную относительно начала координат, т. е. фиксируем натуральное число N, и числа hx, h > 0, пусть Г = {—N,., N} — множество индексов узлов, а 7jj = (ihx, jh), i, j Е Г, — узлы сетки.

Положим.

X = l-Nhx, Nhx], Л = [-Nhx, Nhx].

Фиксируем набор чисел дц — g (%j), i, j 6 А, и построим по этому набору кусочно-линейную функцию / таким образом, что f (%j) = дц-Положим в треугольниках 7у, 7i+1j, 7i+i, j+b hj G {-N, • • N — 1}, ж, A) = + te+ij+i — ffi+i, j) A 1/'^ + x-(i + l) hx gi+i, j — gij) hx, а в треугольниках 7fj, y+ij+h %j+h hJ € ¦ ¦ ¦, N — 1}, ж, A) — &J+1 + tej+1 — -^-+ x — ihx.

H9i+l, j+l ~ ffij+1)—д-, т. е. в каждом из треугольников разбиения функция / задается уравнением плоскости. Следовательно, эта функция определена и непрерывна в прямоугольнике X х Л.

Продолжим функцию / непрерывно на все пространство R2 так, чтобы при любом фиксированном, А Е Л функция / обладала глобальной константой Липшица L (/, А) но х на всей вещественной оси.

Обозначим через? множество всех кусочно-линейных функций, построенных по описанной схеме на фиксированной сетке. Для множества С введем метрику p (!uh) = max fi{%j) ~ f2{%j).

Обозначим полученное пространство через Т. Пусть для любого, А € А выполнено неравенство.

2/iL (/, A).

Из (14) следует, что отображение является гомеоморфизмом Жм —> Жм (см. лемму 2.1).

Предположим, что для фиксированного параметра Л € Л существует такое число Р > 0, что из неравенств.

РА, г = 1,., Л/ следует, что.

WI < А, (15) где vn+1 = (pfl (vn), v° € Mm, n € N.

Иными словами, предположим, что для фиксированного Л все положительные полутраектории отображения у^д, начинающиеся в М-мерном гиперкубе е=[-РХ1Рх]х.х[-Рх, Рх], остаются в этом гиперкубе.

Данным свойством обладают, например, диссипативные системы. Будем считать, что возможно выбрать такое значение hx, что для всех, А? Л выполнено неравенство.

Р < Nhx.

Будем, кроме того, предполагать, что неподвижные точки отображения (р/д принадлежат множеству.

Xм = X х. х X.

Основным результатом раздела 2.3, опубликованным в работе автора [21], является следующая теорема.

Теорема 2.3. Существует такое открытое и плотное подмножество Т' пространства Т, что если / € Т', а, А е Л, то существует такое число е > 0 (зависящее от f и X), что для любых точек? Мм и параметра Ло с 0 < |А — Ао| <? существует такое натуральное число щ, что vn ф wn при п > щ, где vl+l = ipf,(vl) и wl+1 = (pf, x (wl).

Иными словами, при сформулированных условиях в типичном случае параметр, А € Л локально идентифицируем по наблюдению траекторий отображений (р с любыми начальными данными.

В разделе 2.4 показывается, что свойство гиперболичности неподвижных точек является типичным свойством для дискретизаций параболических уравнений с параметром. Этот результат говорит о том, что условие 1 теоремы 2.2 из раздела 2.2 не является существенным ограничением на множество идентифицируемых значений параметра А.

Рассмотрим параболическое уравнение вида (4) с нелинейностью вида.

G (u, X) = Xf (u), где, А > 0, с начальными данными и (х, 0) = щ{х) и граничными условиями и (0, t) = и (1, t) = 0.

Будем рассматривать полунеявную дискретизацию уравнения (4) но схеме (5). Отображения (6) примут следующий вид: tp (u) = J-1(u + hl{u))i (16) где J = ЕмНА и h\A\ < 1. Как уже упоминалось ранее, если feC f'(u)< 1, (17) то if является диффеоморфизмом класса С1 (показано в работе [12]). Далее будем считать, что условия (17) выполнены.

За основу дальнейших рассуждений, взята методика из работы [10] (в которой рассматривается соответствующая задача для нелииейностей, не зависящих от параметра).

Рассмотрим пространство пар (Л, /), где Л > 0, / € СР (Ш). Обозначим его через РСР.

Для пар? = (а,/), 7] = (b, g) G РСР, натурального числа р > 1 и множества Л Cl определим v г=0 2:671.

Введем в PC1' топологию равномерной PC7-сходимости. Пространство РСР с введенной топологией обозначим через Тр. Фиксируем компактное множество К С Мм.

Основным результатом раздела 2.4 является следующая теорема, опубликованная в работе автора [16].

Теорема 2.4. Для р> 1 множество.

ТС1'(К) = { (Л, /) € J7? | неподвижные точки диффеоморфизма (р в К гиперболические} является множеством второй категории по Бэру в Tv.

В главе 3 постановка задачи идентифицируемости для системы дифференциальных уравнений i = f (t, x,), (19) где Л — параметр, следует работе [11].

Как правило, точные решения нелинейной системы (19) неизвестны, поэтому в большинстве случаев применяют численные методы, чтобы построить приближенные решения. В этом случае особый интерес представляют условия на характеристики применяемого численного метода (например, на его порядок) и на шаг метода по времени, при которых возможно идентифицировать параметр системы с заданной точностью (в этом задача близка к Вопросу II во введении работы [14]). дг f дга щм-црм.

18).

В главе 3 рассматривается описанная выше задача в случае, когда система (19) является^{-периодической} по t и имеет гиперболически устойчивое^{-периодическое} решение при Л = Ао.

Рассмотрим систему (19), где х Е RN, A Е Жт, и f (t + ш, х, А) = f (t, х, А) для всех t, х: А и некоторого и > 0.

Предполагается, что функция / достаточно гладкая по х и А. Обозначим через x (t, to, xо, А) решение задачи Коши x (to) = хо системы (19). Если решение x (t, Q, xo, А) определено на отрезке [0,и>, то отображение Пуанкаре Т определено в точке xq следующим образом:

Т (х0) = х (и, 0, х0,Х).

Пусть ip —^{-периодическое} решение системы (19) и пусть р (Ао) =^Ао (О) — ег0 начальное значение при t = 0.

Определение 3.1. Будем называть периодическое решение ip (t) гиперболически устойчивым, если собственные числа /ij матрицы Якоби DT{p{Ао)) удовлетворяют неравенствам м<1, j — 1,., iV. (20).

Наше основное предположение заключается в следующем: для, А = Ао, система (19) имеет ы-периодическое решение (px0(t), и это решение гиперболически устойчиво.

Легко показывается, что при, А близких к Ао, система (19) имеет такие^{-периодические} решения tp (t), что их начальные значения р (X) = <£>л (0) удовлетворяют соотношению р (А) —> р (Ло), А —> Ао.

Сами решения <-p{t) гиперболически устойчивы, так как DT (p (X)) непрерывно зависит от Л, а, следовательно, собственные числа матриц Якоби DTx (p ()) удовлетворяют неравенствам (20) при Л, близких к Ао.

Не умаляя общности, предположим, что период системы (19) ш равен 1. Рассмотрим численный метод Фд^ для системы (19) с шагом по времени h — где v — натуральное число. Предположим, что метод имеет порядок q, т. е. оценка погрешности метода на одном шаге: x (t0 + h, to, x0l А) — Фд^о, х0) < Chq+l, (21) где С — единая константа для всех начальных значений xq из компактного подмножества множества RN, для всех h > 0, и для всех Л, принадлежащих ограниченному подмножеству множества Rm. Фиксируем шаг по времени 0 < h < 1.

Процедура идентификации основана на рассмотрении векторов тх (п, хо) = П^хо1 (22) которые аппроксимируют значения х (п, 0, хо, А) = Т?(хо) итераций отображения Пуакаре.

Основным результатом главы 3 является следующая теорема, опубликованная автором в работе [22].

Теорема 3.1. Предположим, что существуют такие положительные числа ао, А и I, что.

Ь (А)-р (Ао)|>Л|А-Ло|' (23) при |А — Aq| < ао. Ihjcmb R — компактное подмножество области притяжения В притягивающей неподвижной точки р (Хо) отобраэ/сения ТАо. Тогда существует такое число > 0, что система (19) локально идентифицируема по наблюдению значений (22) в следующем смысле: для любого числа А, 0 < |А — Ао| < а, существуют такие числа ho и щ, что earn h < ho и х, у? R, то т (%х) ф т (п, у) (24) при п > щ.

1. Бодунов, Н. А.

Введение

в теорию локальной параметрической идентифицируемости Текст] / Н. А. Бодунов— СПб.: Изд. С.Петербург. ун-та, 2006. — 144 с.

2. Бодунов, Н. А. Условия локальной идентифицируемости нелинейных систем при дискретных наблюдениях Текст] / Н. А. Бодунов, Е. В. Постников // Известия высших учебных заведений. Математика.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1992. № П. С. 8−11. ISSN 0021−3443.

3. Голубицкий, М. Устойчивые отображения и их особенности Текст]: [пер. с англ.] / М. Голубицкий, В. Гийемин— М.: Мир, 1997.-296 с.

4. Ладыженская, О. А. Глобально устойчивые разностные схемы и их аттракторы Текст] / О. А. Ладыженская— 1991.— Препринт ЛОМИ Р-5−91.

5. Малец, М. Н. Типичная динамика некоторых отображений, определяемых кусочно-линейными функциями Текст] / М. Н. Малец, С. Ю. Пилюгин // Дифференциальные уравнения.— М.: Наука/Интерпериодика, 2005. Т. 41, № 2, — С. 1−8. ISSN 0374−0641.

6. Abraham, R. Transversal mappings and flows Текст] / R. Abraham, J. W. RobbinNew York: Benjamin W. A., 1967. 161 p.

7. Aeyels, D. Generic observability of differentiable systems Текст] / D. Aeyels // SIAM J. Control and optimization.— 1981.— Vol. 19, N 5. P. 595−603. ISSN 0363−0129.

8. Chafee, N. A bifurcation problem for a nonlinear partial differential equation of parabolic type Текст] / N. Chafee, E. F. Infante // Applicable Anal. London: Taylor & Francis, 1974. Vol. 4. P. 17−37. — ISSN 0003−6811.

9. Eirola, T. Pseudotrajectories generated by a discretization of a parabolic equation Текст] / Т. Eirola, S. Y. Pilyugin //J. Dynam. Diff. Equat. — Springer Netherlands, 1996. Vol. 8, N 2- P. 281−297.-ISSN 1040−7294.

10. Grewal, M. S. Identifiability of linear and nonlinear dynamical systems Текст] / M. S. Grewal, K. Glover // IEEE Trans, on Automat. Control.- IEEE Control Systems Society, 1976, — Vol. 21, N 6. P. 833−837.-ISSN 0018−9286.

11. Oliva, W. M. Diffeomorphisms of Rn with oscillatory Jacobians Текст] / W. M. Oliva, N. M. Kuhl, L. T. Magalhaes // Publ. Mat.-Barcelona, 1993. Vol. 37, N 2 P. 255−269. — ISSN 0214−1493.

12. Pilyugin, S. Yu. The space of dynamical systems with the C°-topology Текст] / S. Yu. Pilyugin // Lecture Notes in Math. — Springer Berlin / Heidelberg, 1994. Vol. 1571. 142 p. ISSN 0075−8434. ISBN 978−3-540−57 702−7.

13. Stuart, A. M. Dynamical Systems and Numerical Analysis Текст] / A. M. Stuart, A. R. Humphries.— Cambridge Univ. Press, 1999. — 709 p. — ISBN 0−5216−4563−8Публикации автора по теме диссертации.

14. Шляго, П. Ю. Типичность свойства гиперболичности для дискретизаций параболических уравнений с параметром Текст] / П. 10. ШлягоМ., 2004. 14 е.- Деп. в ВИНИТИ 14.05.2004, № 813-В2004.

15. Шляго, П. Ю. Типичная различимость систем дифференциальных уравнений по наблюдению траекторий численных методовТекст. / П. Ю. Шляго // Дифференциальные уравнения и процессы управления. СПб., 2006. — № 3. — С. 14−27. — ISSN 1817−2172.

16. Шляго, П. Ю. Локальная параметрическая идентифицируемость дискретизованных параболических уравнений Текст] / П. Ю. Шляго// Дифференциальные уравнения, —М.: Наука/Интериериодика, 2007. Т. 43, № 4. — С. 570−571. — ISSN 0374−0641.