Актуальность.
Физико-математические науки, вместе со всей наукой в целом, переживают эпоху сменяющих друг друга научных революций и, как следствие, смену типов научной рациональности: от классического ньютоновского детерминизма, когда весь мир представлялся точным, четким, предсказуемым, действующим по понятным, логичным, но еще не до конца открытым законам природы, к эйнштейновской неклассической относительности, когда мир вокруг нас перестает быть таким понятным и детерминированным, все приобретает свойство относительности, а вероятность становится неотъемлемым свойством материи, и, наконец, к современным постнеклассическим человеко-центрированным взглядам на мир. В частности, стало понятно, что далеко не все явления нашей жизни можно описать при помощи лишь строгих детерминированных математических моделей, что многие практические задачи приходится решать в условиях неопределенности, возникающей по самым разным причинам: из-за неполноты, неточности или полного отсутствия информации или из-за того, что ряд задач принципиально не решается методами строгой математики.
Одним из ярких примеров современных постнеклассических наук являются науки из цикла искусственного интеллекта, основная задача которых — моделирование человеческого интеллекта, самого процесса мышления и принятия решений, механизма человеческого восприятия, рассуждений и оценки, агрегирования и оперирования знаниями и т. д. — иными словами решение человеко-центрированных задач. При этом многие классические математические науки, применяемые для решения практических задач, как например теория оптимизации, также получили свое дальнейшее развитие в свете постнеклассических идей искусственного интеллекта. Очевидно, что результат применения современных математических методов оптимизации может быть в ряде случаев (в силу своего детерминизма) абстрагированным от действительности. С одной стороны, человек, принимая те или иные решения, в основном оперирует не точными значениями, а нечеткими понятиями: больше, меньше, примерно, около и т. д. С другой стороны, иногда задачи приходится решать в условиях неполной (неточной) исходной информации.
В настоящее время интенсивно разрабатываются многочисленные математические формализмы для описания и моделирования неопределенности. Одним из таковых является подход, предложенный в середине 60-х годов американским ученым Лотфи Заде. Он предложил способ моделирования неопределенности как нечеткости, основанный на идее расширения понятия характеристической функции множества до функции принадлежности, принимающей значения на отрезке [0,1]: л (-): >4 [0,1].
Значения функции /¿-л (-) характеризуют степень проявления отдельных свойств объектом А.
Одним из многих научных направлений, использующих упомянутый математический аппарат для моделирования нечеткой информации, является теория нечеткой (возможностной) оптимизации. Предметом ее изучения стали модели и методы оптимизации в условиях неточности, нечеткости, неполноты информации. Вместо четких значений параметров в таких задачах используются возможностные величины, которые моделируют неопределенность описания модели.
Возможностная оптимизация — это сравнительно молодая научная дисциплина, в которой есть еще много нерешенных вопросов, требующих дальнейшего исследования. К настоящему моменту достаточно хорошо исследованы модели и методы возможностной оптимизации с минисвя-занными нечеткими параметрами. Однако минисвязанность не является единственным способом агрегирования неопределенности. В настоящее время существует и активно развивается новое научное направление: методы агрегирования информации — в значительной степени оно опирается на использование математического аппарата ¿—норм.
Цель данной диссертационной работы состоит в изучении вопросов, связанных с агрегированием нечеткой информации, неизбежно происходящим при любых операциях над нечеткими величинами и моделируемом при помощи аппарата треугольных норм, применительно к классу задач возможностной оптимизации.
В диссертационной работе показано, что минисвязанность это лишь одна из возможных реализаций ¿—нормы. В ней проводится сравнительное изучение других ¿—норм — в частности исследуется взаимозависимость параметров по другой экстремальной ¿—норме — слабой треугольной норме Тцг. При использовании различных ¿—норм можно добиться управления «нечеткостью» при решении задач оптимизации, что, в свою очередь, дает большую гибкость при принятии решений.
Однако разработка этого вопроса применительно к задачам возможностной оптимизации находится на начальном этапе развития. Этим определяется актуальность темы диссертации.
Обзор литературы.
Основоположником теории нечетких множеств и связанной с ней теории возможностей является профессор Калифорнийского университета Беркли Лотфи Заде, который в своей знаменитой работе «Fuzzy Sets» [115] обобщил понятие характеристической функции множества предположив, что она может принимать значения не только из множества {0,1}, но и из всего отрезка [0,1], характеризуя таким образом «степень принадлежности» элемента нечеткому множеству.
В 1978 году Стефан Намиас в своей работе «Fuzzy Variables» [97] предложил «аксиоматическую базу, являющуюся основой для построения строгой теории возможностей» («theoretical framework from which a rigorous theory may ultimately be constructed»). В этой статье было введено понятие нечеткой переменной, которое в дальнейшем трансформировалось в такое важное понятие, как возможностная (нечеткая) величина. В этой основополагающей статье Намиас также ввел понятие несвязанности (unrelatedness) нечетких величин и аксиоматически определил бинарные операции над несвязанными нечеткими величинами, тем самым заложив теоретические основы современного исчисления возможностей. Позже в работе Pao и Рашеда [105] было замечено, что несвязанность, определенную Намиасом, было бы логичней называть минисвязанностыо (min-relatedness), так как получалось, в частности, что по Намиасу нечеткая величина, А несвязанна сама с собой. Эти работы можно считать одними из основополагающих в теории возможностей.
В дальнейшем была установлена взаимосвязь (интерпретация) теории нечетких множеств и теории возможностей. Дальнейшие исследования показали, что различные модели неопределенности (теория вероятностей, теория возможностей) и другие так называемые нечеткие меры, могут быть построены на основе монотонных функций множества при наложении на них дополнительных требований.
Появление теории нечетких множеств и теории возможностей послужило началом новых научных направлений. Многие из этих направлений являют собой обобщение существующих классических теорий и формализмов и ориентированы на более сложные методы агрегирования информации. В частности, возможностное математическое программирование изучает оптимизационные модели, в которых вместо обычных четких параметров и отношений используются нечеткие величины.
Одной из первых работ в области возможностной оптимизации можно назвать работу Беллмана и Заде «Decision making in a fuzzy environment» [68]. Значительную роль в развитии данного научного направления также сыграли работы Циммермана [118], Луханджулы [89−91], Дюбуа и Прада [14], К. Негойце [33], Бакли [69,70], Орловского С. А. [26], Р. Фуллера [53], Рамика [104], А. В. Язенина [58−65,113] и М. Вагенкнех-та [114] и многие др.
К настоящему моменту хорошо изученными являются модели возможностной (нечеткой) оптимизации в случае независимых (минисвязан-ных) нечетких параметров. Получены методы решения соответствующих задач как в классах параметризованных возможностных распределений, так и в общем случае — квазивогнутых полунепрерывных сверху распределений. Следует отметить, что взаимодействие нечетких параметров в них основано на использовании жесткой конъюнкции, принятой в нечеткой логике. Помимо разработки непрямых методов решения, проведены также исследования вопросов устойчивости данных задач [11,12,37−42], изучены модели возможностной оптимизации, в которых не только параметры, но и отношения, связывающие операнды моделей критерия и моделей ограничения, являются нечеткими [8−10,13]. Однако в том случае, когда параметры оптимизационных моделей являются взаимодействующими, исследования в этом научном направлении находятся на начальном этапе развития.
Стоит отметить, что учет зависимости нечетких параметров может быть осуществлен различными способами, а не только на основе ¿—норм.
В работе Танака и Ишибучи [108] зависимость параметров «отражается» через совместную функцию распределения нечетких параметров. В том случае, когда это распределение является эллипсоидальным, в [114] рассматривается одна из возможных постановок задачи идентификации функции распределения взвешенной суммы возможностных величин и предлагается метод ее решения, основанный на методе множителей Лагранжа. В работах Фуллера, Мажлендера и Карлссона [71,77,78] вводятся понятия вариации, ковариации и корреляции возможностных переменных и предлагаются методы их расчета в ряде случаев. Интерпретация данных характеристик тесно связана с теорией вероятностей. Как видно из работ авторов, возможностная ковариация между нечеткими числами, А и В есть ни что иное, как взвешенное среднее вероятностных ковариаций между случайными величинами, имеющими равномерное совместное распределение на уровневых множествах совместного распределения возможностей, А и В:
Соу/(А, В) = Г соу (Х7, У7)/(7) ?7 J о о где и У7 — это случайные величины, имеющие равномерное совместное распределение вероятностей на С7 для всех 7 е [0,1], С7 — 7-уровневое множество совместного распределения нечетких величин, А и В, /(7): [0,1] —> М — неотрицательная, монотонно возрастающая весовая функция, удовлетворяющая следующему условию нормировки:
Использование весовой функции мотивировано, в частности, желанием дать меньшую степень важности нижним уровням нечетких множеств (именно поэтому / является монотонно возрастающей).
Точно так же возможностная вариация нечеткого числа есть взвешенное среднее вероятностных вариаций случайных величин, равномерно распределенных на его уровневых множествах: где Щ — это случайная величина, равномерно распределенная на А1 для всех 7 6 [0,1].
Как видно из формул, соответствующие понятия возможностной вариации и ковариации базируются на рандомизации. Эти результаты также могут быть положены в основу соответствующего исчисления, необходимого для построения методов решения задач возможностного программирования в случае зависимых нечетких параметров, чья зависимость моделируется таким образом.
В настоящей работе взаимодействие возможностных переменных моделируется, как нам представляется, более естественным образом — при помощи аппарата ¿—норм. Это есть более естественный механизм моделирования процесса агрегирования нечеткой информации, к тому же позволяющий контролировать рост нечеткости результатов, неизбежно возникающий при выполнении операций над нечеткими величинами. С этой 1 целью в работе используется понятие взаимной Т-связанности, которое было введено в работе Хонга «Parameter estimations of mutually T-related fuzzy variables» [79]. Такой способ моделирования взаимодействия (зависимости) параметров позволяет более гибко управлять нечеткостью при решении задач возможностной оптимизации и является в данный момент наиболее общим. В частности, операция конъюнкции (минимума) выступает одним из видов ¿—норм. Подробную информацию о ¿—нормах можно найти, например, в [83−85]. Вопросам построения исчислений, основанных на различных ¿—нормах, посвящены работы Месьяра [93−96], Дюбуа и Прада [72,74] и многих других.
Цель работы.
Целью работы является разработка моделей и методов возможностной оптимизации в случае агрегирования неопределенности с использованием математического аппарата ¿—норм. Это предполагает разработку соответствующего исчисления возможностей, построение непрямых методов решения задач возможностной оптимизации в возможностно-необходимостном контексте, их реализацию на основе генетических алгоритмов и разработку программного комплекса поддержки соответствующих методов оптимизации.
Основные задачи.
Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:
• разработано исчисление возможностей для взаимно Т^-связанных нечетких величин, предполагающее решение задач идентификации функций распределения взвешенных TV-сумм нечетких величин с одинаковыми и различными функциями представления формы;
• получены формулы для вычисления границ а-уровневых множеств взвешенной TV-суммы возможностных величин;
• разработаны непрямые методы решения задач возможностной оптимизации при взаимно Тр^-евязанных параметрах в возможностно-необходимостном контексте;
• осуществлена спецификация генетических алгоритмов оптимизации, ориентированных на исследуемый класс задач;
• проведено сравнительное изучение моделей и методов возможностной оптимизации при агрегировании нечеткой информации на основе Ту/- и Тм-норм;
• реализован программный комплекс поддержки соответствующих методов возможностной оптимизации при моделировании взаимодействия нечетких параметров на основе ¿—норм.
Методика исследования.
Для построения математических моделей возможностной оптимизации используется современная теория возможностей. Для построения эквивалентных детерминированных аналогов моделей возможностной оптимизации применяются методы математического программирования, для реализации эквивалентных детерминированных аналогов — методы эволюционного программирования. Программный комплекс реализован на языке программирования высокого уровня С++.
Практическая значимость работы.
Модели и методы возможностной оптимизации, предложенные в работе, расширяют класс решаемых задач на случай, когда параметры задач оптимизации являются взаимосвязанными относительно слабой ¿—нормы ТуЭти результаты позволяют более гибко управлять нечеткостью при решении задач возможностной оптимизации. Полученные методы могут быть использованы для «интеллектуального» анализа и решения задач производственного, финансового и экономического планирования.
Внедрение результатов работы.
Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского госуниверситета. Непрямые методы решения задач, полученные в диссертации, представлены в дисциплине «Теория неопределенностей», методы агрегирования возможностной информации — в программе курса «Современные проблемы прикладной математики и информатики». Соответствующее программное обеспечение, разработанное в диссертации, используется в качестве программной составляющей учебно-методического комплекса по дисциплинам «Теория неопределенностей» и «Нечеткое математическое программирование». Часть исследований, проводимых в работе, была поддержана грантом РФФИ, проект номер 08−01−8 076.
Апробация.
Основные результаты работы докладывались автором на IV Международной научно-практической конференции «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте» (Коломна, 2007 год), на 27-м ежегодном съезде Северо-Американского общества обработки нечеткой информации КАК1Р8−2008 (Нью-Йорк, 2008 год), на семинарах в Тверском госуниверситете и ВЦ РАН.
Достоверность и обоснованность.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгостью проводимых математических обоснований при формулировании и доказательстве теорем, результатами численных расчетов, сравнительным анализом полученных в ходе модельных экспериментов результатов с известными.
Структура работы и ее содержание.
Структурно диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения и библиографии.
4.4 Выводы по четвертой главе.
В ходе работы над диссертацией автором был функционально расширен программный комплекс поддержки принятия решений FIESTA. В функциональность системы была добавлена возможность выбора t-нормы для агрегирования возможностной информации, лежащей в основе выполнения бинарных операций над нечеткими величинами.
Система FIESTA реализована на основе библиотеки MFC в виде объектно-ориентированного приложения, в результате чего есть возможность для расширения функциональности системы. Система может быть применена как для практического решения задач финансового, экономического, производственного планирования, так и для проведения лабораторных работ по изучению и применению непрямых методов решения оптимизационных задач и исследования поведения задач при использовании различных агрегирующих í—норм на занятиях по дисциплинам «Теория неопределенностей» и «Современные проблемы прикладной математики и информатики», упомянутым выше.
Заключение
.
В результате работы над диссертацией были исследованы базовые модели задач возможностной оптимизации и получены методы решения задач при описании взаимодействия нечетких параметров на основе ¿—норм. Были получены результаты, позволяющие строить детерминированные эквивалентные аналоги соответствующих задач оптимизации, специфицированы алгоритмы решения последних и разработан программный комплекс поддержки моделей.
Среди результатов можно выделить следующие основные:
1. Получены элементы исчисления возможностей для взаимно Ту/связанных нечетких величин, в частности получены методы идентификации функции распределения взвешенной Тцг-суммы нечетких величин с одинаковыми и различными левыми и правыми формами.
2. Получены формулы для рассчета границ а-уровневых множеств взвешенной Ту-суммы нечетких величин.
3. Разработаны непрямые методы решения задач возможностной' оптимизации (максимизации уровня достижения нечеткой цели и максимизации возможности достижения нечеткой цели при построчных ограничениях по возможности), позволяющие строить эквивалентные детерминированные аналоги задач.
4. Разработаны непрямые методы решения задач возможностной оптимизации в необходимостном контексте, то есть когда в качестве меры нечеткости выступает мера необходимости.
5. Проведена спецификация генетических алгоритмов, ориентированная на решение полученных детерминированных эквивалентов.
6. Исследованы свойства эквивалентных детерминированных аналогов в зависимости от вида ¿—нормы, описывающей взаимодействие нечетких параметров.
7. Доказаны теоремы, позволяющие устанавить связь между множествами допустимых решений, определямых соответствующими моделями ограничений.
8. Реализован программный комплекс, включающий в себя интерфейс для построения и исследования базовых моделей возможностной оптимизации, реализующий непрямые методы решения задач на основе генетического алгоритма оптимизации.
Результаты диссертационной работы расширяют инструментарий исследования практических задач, решаемых в рамках возможностного программирования, путем предоставления возможности в определенной степени управлять нечеткостью при агрегировании нечеткой информации.
