Единственность решения обратных задач теории объемного потенциала для уравнения Гельмгольца

Обратными задачами излучения волн объемными источниками называют задачи отыскания неизвестного излучающего источника по заданной о нем информации в дальней зоне. Целый ряд таких объектов описывается с помощью уравнения Гельмгольца, что приводит к постановке внешних обратных задач для данного дифференциального уравнения. Решить такие задачи — это значит определить форму излучающего тела или тел, их взаимное расположение, плотность по внешнему акустическому потенциалу. Исследование вопроса существования, единственности, устойчивости решений внешних обратных задач довольно сложны. Возникающие здесь трудности связаны с их некорректностью и нелинейностью.

Многие теоремы, относящиеся к вопросу существования решений, имеют лишь локальный характер и требуют введения ряда дополнительных условий. Например, для внешней обратной задачи вопрос существования решения даже для тела, близкого к данному, в случае акустического потенциала, до сих пор остается нерешенным. Актуальность изучения таких задач связана с их прикладным характером и состоит в необходимости разработки математических методов решения связанных с обработкой и интерпретацией наблюдений.

Основополагающими в этом направлении исследования являются работы А. Н. Тихонова [50,51 ], П. С. Новикова [33], Л.Н. Сретенен-ского [Щ, И. М. Рапопорта В.К. Иванова [?2>, 16], А. И. Прилепко [ ЪЧ, ЗМЗ ]•.

Данная диссертация посвящена изучению вопроса единственности решения внешних обратных задач теории акустического потенциала в случае уравнения Гельмгольца с вещественным параметром к> О в Я3 для тела О (п = 3).

Для уравнения Гельмгольца (к2 > 0) внешние обратные задачи теории акустического потенциала рассматривались вариационным методом в работах Алексеева Г. В., Чеботарева А. Ю [4, <5″ ]. Ниже рассмотрены математические постановки задач, следуя работам Прилепко А. И. для уравнения, А и (х) — %2 и (х)= 0 [35, 40 г 4 У/¿-2].

Материал разбит на девять параграфов, размещенных в двух главах. Причем основные результаты сосредоточены в §§ 2, 3 главы I и § 4 главы II.

Первый параграф гдавы I содержит формулировки и доказательства лемм, используемых при решении задач §§ 2, 3 главы I. В этом разделе установлены некоторые интегральные соотношения функционалов, являющихся базовыми при решении обратных задач, например, об определении плотности заданного из евклидова пространства Л3 тела по его внешнему потенциалу (§ 2 глава I) для уравнения Гельмгольца (действительное к> 0), а также — об определении формы и взаимном расположении тел с контактной поверхностью и заданной плотностью по внешнему акустическому потенциалу (§ 3 глава I).

Пусть ?>0, С1а (а = 1, 2) — конечные области из евклидова пространства Я3- д?1а = Б (1, Э£)0 = 50 из класса С (1Д), -Л 6 (0,1), а.

Через. |л (у), § в (у) (а = 1,2) обозначаем функции плотностей областей? а и границ 5″ а соответственно, предполагая, что ца (у) е еС1(р0), Са (у)бС (/)0) — ца (у)*0 почти всюду в О0- 5а (у)*0 почти всюду на 5а.

Потенциалы объемных масс и простого слоя обозначим в виде Уа = У (х, аа, ца) = / [1а (у)-К (х, у)(1У> а. • где К (х, у) =- (к> 0) — фундаментальное решение уравнения.

4тс |д:-у|.

Гельмгольца в /?3 А С/(х) + Л:2 С/(х) = 0, а и (х) — любое его решение. Через 7. л (х) обозначим функцию (а = 1, 2): гл (х) = $К (х) + чра (х)> Р2 + у2^о, р, уед.

Для формулировки основных лемм, играющих вспомогательную роль, введем обозначения множеств: и функционал где р, у е/?- р2+ у2^ о.

В этих обозначениях имеет место.

Лемма 1.3. Пусть 17(х) любое регулярное решение уравнения Гельмгольца в произвольных областях ?)0, И, таких, что (а = 1,2):

Тогда Хх (х) = 1 г (х) при любом х е ?>05 тогда и только тогда, когда.

1) М*) =.

2) У (£/, ОДОо-, Ц = О2О0, ц2, 52, у.

В частности, если положить 7 = 0″ Р = 1, то получается полезное следствие 1.3 данной леммы, применяемое в § 2 и 3 главы I.

Следствие 1.3. Пусть и (у) — любое решение уравнения Гельмголыда в произвольной области 2), такой, что Тогда.

Ух{х) = У2(х)Ух б&0 В тогда и только тогда, когда.

1) ^(г) = |12(*)У^еО0> О^ПО^в;

2) / 11(у)-и (у)с1у- / х2(у)-и йДйо я2а0.

Теперь введем функционал вида о.

Для него имеет место.

Лемма 1.2. Пусть '17(у) — любое решение уравнения Гельмголыда при убБ — произвольная область с ЭХ) е С (1,Ч такая что йасП. Тогда (х) = 2 г (х) при любом х е!)4(^1102) тогда и только тогда, когда (?/) = 72 (?/) при любом у еБ. Следствие 1.2. (у = 0).

Пусть и (у) — любое решение уравнения Гельмгольца при уеЭ — произвольная область с границей дИеС¹'^, такая что.

0 э Б э ?> =э аа. Тогда У1 (х) = У2 (х) Vл: 6 111 тогда и только тогда, когда о, ¦ о2.

Аналогичные результаты в случае уравнения Лапласа, А (/(*)=(), а также уравнения А (/(х) — к2 и (х) = 0 были получены соответственно в работах П. С. Новиков [33], Л. Н. Сретенского [42,49] и А. И. Прилепко з?, п ].

Во втором параграфе главы I исследуется вопрос единственности решения задачи определения плотности вещества по известному внешнему акустическому потенциалу, создаваемому этим телом.

Предполагаем, что решение уравнения Гельмгольца в Я3.

А11(х) + к2 (х) = О существует и удовлетворяет условиям Зоммерфельда [! ]: и (х) = О (—= х*0.

4*1/ дх 11*17.

Тогда имеет место следующая задача.

Задача. Пусть тело О — односвязная область из /?3, причем.

ЭйеС (1Д) X е (0, 1) — В — область из Д3, такая что дВеС^х);

011й)с?. Тело О обладает плотностью почти всюду в В, х{(х) еС1 (В), и создает известный внешний объемный потенциал.

У1(х)еС такой что при И-*00, удовлетворяет условиям.

Зоммерфельда, х)^ Ш-К (х, у)4у, где = а1 4п к ~У.

При плотности ¡-12(х) е С1 (В), ц2(х:)*0 почти всюду в Втело? создает известный внешний потенциал У2(х)еС1, такой что У2(х) удовлетворяет условиям Зоммерфельда,.

У2(х) = /112(у)-К (х, у) с1у. а.

Причем У^х) = У2(х)У х е Вй. Как в этом случае связаны между собой функции (х) и 12(х) тела О?

Тогда выполняется следующая теорема.

Теорема (единственности) 2.1. Если для функций |1а (х) е С1{0) (а = 1,2), таких что д[ха/дх1 = 0, где х1 — фиксированная декартова координатаО — конечная односвязная область из Яъ, сЮ = 5бС (1,А) Ае (0, 1) — К1(х) = К2(х)/хей3й, а к2 — не собственное значение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Тогда = |12(*) для х е О.

Замечание 1. Через вектор q = q (0,., qlt 0,., 0) обозначается вектор постоянный, направленный по оси х1 — декартовой системы координат.

Замечание 2. В случае, если Q — множество, состоящее из конечного числа ограниченных областей, теорема 2.1 не имеет место.

Аналогичная задача для случая уравнения AU (х) — %2 U (x)= 0 (х > 0) была поставлена в работах [37, 39, 40].

В § 3 главы I исследуется внешняя обратная задача теории акустического потенциала для тел с общей контактной поверхностью, обладающих переменными плотностямиисследуется проблема взаимного расположения тел.

Пусть Qa (а = 1,2) конечные односвязные области из й3 с кусочно-гладкими границами dUa = Saпусть S — гладкий кусок из.

С"л Ле (0, 1) границы. Причем функция плотности областей 'ij (pc)*0 почти всюду в D0, где ?>0 = {*: И0};

D0^Dz3DD.

Предполагаем, что часть границ и dQ2 является общей.

Обозначим через S такую часть общей границы односвязных областей ut, Q2, что поверхностная мера mes и кроме того mes (oQx U Q2) S = 0, причем Q0 =^П Q2 * 0 и (Ql U Q2) — односвязные области.

Определение. Пусть 5еС (1Д), Ле (0, 1) и S часть S, причем Sзамкнутая поверхность, ограничивающая некоторую односвязную область или S — плоскость. Назовем S общей контактной поверхностью для областей Qa (а = 1,2) с границами Sa = dQa, если часть каждой границы Sa расположена на S. Причем области расположены по одну сторону от поверхности S> а общеконтактная часть S удовлетворяет перечисленным выше условиям.

Условие. Пусть К — концентрические сферы, такие что п = 0, 1, 2,.- к>0 — вещественный параметр из уравнения Гель-мгольца.

Обозначим через Кп — множество, получаемое из К при любом, но фиксированном п. Пусть Кп<=О0- ЗеКп.

Теорема 3.1. Пусть существует п, такой что Кп — концентрическая сфера из К, получающаяся при фиксированном п. Пусть С! а (а = 1,2) области, обладающие общеконтактной границей 5, причем а2 с сКп. Пусть ха (х) бС1(О0), такие что.

1) (х) > О, хеОДОо^'О;

2) ц2(х) — плотность и2;

3) ц^х) = 112(дс),' УхеС^Пй^.

Тогда существует точка х0 е/?3(011) 02), такая что У (х0, С^, * *К (х0, 02, |12).

Теорема 3.2. Пусть Оа (а = 1,2), а также — односвязные области из Я3. Пусть |11(х)>0 в ца (х) е С*(ро) (а = 1,2) — х) * 0 почти всюду в Ц^С^ПС^- ОДО^О;

ДеС^Ч Ае (0, 1) — общеконтактная поверхность. Пусть (х) = (х), Ух е О0. Тогда существует точка х0, такая что х0 е/?3(011) 02) и внешние потенциалы в ней У1(х^> ^(^о) не совпадают.

Следствие 3.1. Пусть Оа, (а = 1,2). удовлетворяют условиям теоремы 3.2- 5 — общеконтактная поверхность областей Пусть (х) е (а = 1,2) — плотности областей С1а, такие что х) < 0 Л/хеО2О0- ^(х) = |!2(х) ухей0.

Тогда внешние объемные потенциалы Ка (х) (а = 1, 2) тел не совпадают в некоторой точке х0, такой что х0еЯ3(О11а2).

Все результаты главы II, состоящей из § 4—9, посвящены исследованию единственности решения обратной задачи акустического потенциала для тела, близкого к данному, в следующей постановке.

Задача 2. Пусть задано тело? (односвязная область из Л3), создающее известный внешний потенциал V. Ищем тело создающее известный внешний потенциал У^ близкий к V в смысле некоторой функциональной метрики. Причем V, У1 удовлетворяют условиям поведения на бесконечности Зоммерфельда.

В § 4—9 главы II доказана теорема единственности решения этой задачи для тела О с постоянной плотностью, при условии существования такого решения.

Представленные здесь результаты получены на основе работ Л. Лихтенштейна и А. И. Прилепко? фЗ'Нд, следуя схеме в теории фигур равновесия вращающейся жидкости, посредством приведения изложенных рассуждений к интегральному уравнению Н-го рода. Так, для тела, близкого к шару, решение интегрального уравнения, описывающего границу тела, дано Л. Н. Сретенским на основе метода А.М. Ляпунова" [¿-В ]- В работах В. К. Иванова решение такой задачи для случая звездного относительно внутренней точки тела дано для уравнения Лапласа [1−8], а в работах А. И. Прилепко в случае для уравнений Аи~хги = 0 [ЗН-В6] для конечных односвязных областей. В работах В. К. Иванова и А. И. Прилепко рассмотрение соответственно звездных и связных областей вызывает необходимость пользоваться нормальной производной потенциала, что дает уравнение второго рода и увеличивает степень сингулярности подынтегрального выражения.

В изложенной в § 4 теореме рассмотрен случай конечных односвязного тела для уравнения Гельмгольца Д и (х) + к2 и (х) — 0 (вещественное к> 0). Решение проведено методом последовательных приближений. Оценки граничных значений потенциала и его производных, а также теория дифференцируемых отображений, развитая Л. Лихтенштейном и А. И. Прилепко, использованы при доказательстве теоремы единственности. В работах Г. В. Алексеева рассмотрена подобная задача в вариационной постановке [4,5].

В § 4 главы II представлена постановка задачи для тела, близкого к данному, и формулировка основной теоремы.

Обозначим через х, у — точки пространства Л3, тогда г = ху ¡-ух1 — расстояние между точками х и уйх, <1у — элементы объема области в Л3- (1х<�з, с1уа — элементы площади двумерной поверхности.

Определение. Пусть /(*) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области И. Для функции, удовлетворяющей условию Гельдера с показателем 0 < А < 1 в 3, выполнено неравенство.

-/(y)|^const x, yeD.

Введем обозначение |/L=sup ^^ /(У)1- (0

Определение. Говорят, что функция /(х)-еС^Ч если производные функции /(x) Iго порядка в D непрерывны и удовлетворяют условию Гельдера с показателем Я. Далее считаем, что к — любое, но фиксированное число из интервала (0, 1).

Пусть S — замкнутая поверхность, которая ограничивает односвязную область Q. Считаем, что S может быть разбита на конечное число кусков, каждый определяется некоторым уравнением.

R = R (Z, л).

Все компоненты вектора R из класса в некоторой области плоскости г] и RfR^ Указанный набор условий означает, что или область QU5 принадлежит классу Пусть х — точка поверхности 5, определяющаяся радиусомвектором jR (x)=R (?, ri). Тогда точка у из R3 определяется радиусом-вектором.

R (y) = R{x)+vnx> или fy=fx+ vnx> (4.1) где V — const, nx — вектор внешней нормали к поверхности S в точке х.

Числа (?, ri, v) можно рассматривать как криволинейные координаты точки у.

Вычисления показывают что якобиан преобразования криволинейных координат в прямоугольные декартовы равен.

D (xfy, z) =(i-Hv + Kv2) JEG-F2 D{i, л" v) v где Е, F, G — координаты первой квадратичной формы, Я — средняя и К — полная кривизны поверхности S. Из последнего равенства следует, что при достаточно малых v, таких, что |vj³€ 0, любая точка у eR3 по формуле (4.1) может быть единственным образом определена вблизи поверхности S с помощью трех криволинейных координат (5, ту, v), где V — координаты поверхности S.

Множество непрерывно-дифференцируемых функций ((*) = = С (?> л)" определенных на S, первые производные которых из класса.

С"л обозначим R2. На множестве R2 вводят норму функций ¦{¦(*)> определяя ее как наибольшее из чисел: max | С (*) |, max|i$(*)|, max | Сч (*) |, sup———- sup——L—.

Известно, что такое пространство — банахово ЦВ, 3&-].

Определение. Объемным потенциалом тела Q, в случае уравнения Гельмгольца (&>0), назовем функцию.

У (х) =-L f р (у) *-dy (п = 3),.

4rt q Vгде х (у) — плотность области Q, к — действительное число. Вне тела Q функция V (x) — решение уравнения Гельмгольца.

A V (x) + к2 V (x) = О, а внутри Q —.

AV (x)+k2V (x)=-[i (x) (п = 3) и удовлетворяет условиям Зоммерфельда поведения на бесконечности? х|-'<�х>,.

Постановка задачи имеет следующий вид.

Рассмотрим конечное тело Q, ограниченное поверхностью SeC (2' к односвязная область из Я3. Пусть внешний потенциал V (x)e'C создаваемый телом Q с х (х) = 1, известен и удовлетворяет условию Зоммерфельда при |дс| —"". Пусть в области, внешней относительно Ql) S, определена функция Vl (x)eCl, Vl (х)=Н (х), которая на бесконечности ведет себя как акустический потенциал, то есть удовлетворяет условиям Зоммерфельда: dV.(x).

0(1/jx|) — —p-i =-1^К1(х) + о (1/|лс|)э х— {3 40.: ох ' .

Пусть даны:

1) Q — односвязная область из R3- dQ еС (2,Ч Л е (0, 1) — - звездная область относительно начала координат oeQ- (QlloQ)cDQ, D — односвязные конечные области из R3.

Пусть точка поверхности S определяется радиус-вектором R (x) = л). Точка у еR3 определяется R (y) = R (x) + vnx, где пх — вектор внешней нормали к поверхности Sv = const. Известно, что при малых v, таких что |v|^3e0, любая точка у е#3 может быть единственным образом определена вблизи поверхности S с помощью трех криволинейных координат (?, t|, v), где (?, tj) — криволинейные координаты точки хе 5.

Уравнение поверхности Slf ограничивающую односвязную область.

Qj, зададим в виде v = i (x) — xeSС = С «л) i |v|.

На R1 введем норму, считая ее равной наибольшему из чисел:

1Г/Ч / / I 1Г/М .|СЧ (*)-|"(У)1 max |С (*)|- max ¡-Сх (х)|- max |Cn (х)|- sup —^-^— -sup — ^—.

Пространство — полнре.

2) Н (х) — решение уравнения Гельмгольца с вещественным к к> 0) при х*0: АН (х) + к2 Н (х) = 0 при Ш№+1кН (х)=о (— д I к.

При |х|.

3) У (х) = У (х> О, ц) — создаваемый телом? потенциал с плотностью ц (д) — ц (х) е (/>), А 6 (0,1) — УхеООy (x)=fi (y)K (x, y) dy, >еД3- 1 д х.

Заметим, что предельные значения извне на поверхности? для с? У дУ/д- - принадлежат R2 при условии, что 5еС (2,Ч дч2.

4) Дополнительно предполагаем, что.

1 дv дч дх2 д2 где С = С (О), С — const, g>= со (Q, У, КА, е0) — 0.

Последние условия определяют близость функций V и Vl в смысле некоторой функциональной метрики. Общая задача состоит в следующем: требуется найти тело Qj с Sx, (0 e Qt), D UdQJ, такое что Н.

О,.

Сформулируем теперь основной результат для тела, близкого к данному..

В дальнейшем предполагаем, что к2 — не собственное значение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа, А и + XV = 0 в .О..

Пусть |х (дг) = 1, а внешний потенциал У (х) (к — вещественное число, фиксированное) имеет вид. -гр)-]-,-гаУ> Vx6^г3Q. о.

Iху.

Пусть — параметрическое семейство поверхностей, уравнение которых в криволинейной системе координат задано в виде: у = С (*)} при М<&-0> СеС</д)..

В данных условиях предполагается, что решение поставленной задачи существует, для тела Ор поверхностей Я, и функций V, У1 справедлива следующая теорема единственности..

Теорема 4.1. Решение С (х) поставленной задачи при выполнении всех указанных выше условий, удовлетворяет интегро-дифференциаль-ному уравнению:.

S дПх ikr г ХУ / dV,.

11 +c.

I v =0 «dv dv dV,.

2,v=o dv l"-c n =2 где Z =lim.

0 n i.

1 dtn dV* ~dv~ t-0 ингегро-степенная форма относительно (, С^, СпУ г ~ объемный потенциал области О, с плотностью ц (х) = 1, которая ограничена поверхностью К®вычислен в точке 1.

1*1 = х + гС + епх, е>0. Причем это решение единственно и получается методом последовательных приближений..

Через С (х) обозначена функция, определяющая границу искомого тела. Именно она является решением интегро-дифференциального уравнения, вывод которого представлен в § 5 главы II..

В § 6 главы II представлена формулировка и доказательство теоремы о разложении объемного потенциала в интегро-степенной ряд и дан вывод основного интегродифференциального уравнения для случая, когда тело обладает плотностью, отличной от константы..

В § 7 и § 8 главы II представлено исследование основных операторов, используемых в интегродифференциальном уравнении..

Кроме того, сформулированы Леммы, на основании которых удалось доказать основную теорему § 4 главы II для односвязной области О..

В § 9 главы II приведено решение основного уравнения..

Все результаты § 5—9 получены при использовании методов, изложенных в работах Л. Лихтенштейна, В. К. Иванова и А. И. При-лепко [34−26-,.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4−8.

С<, 52]..

В заключение, выражаю глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору А. И. Прилепко за постановку задач, их всестороннее обсуждение и постоянное внимание к работе..

1. Алексеев А. С. Обратные динамические задачи сейсмики-В кн.: Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных, М., Наука, 1967 г., с. 9−84..

2. Алексеев А. С. Некоторые обратные задачи теории распространения волн.- Изв. АНСССР, Сер. Геофизика, 1962 г., т. 11, с. 1514−1522..

3. Алексеев А. С., Меграбов А. Т. Прямая и обратная задачи рассеяния плоских волн на неоднородных переходных слоях В к.н.: Математические проблемы геофизики. Вып. 3, Новосибирск, ВЦ СО АНСССР, 1972 г., с. 8−36..

4. Алексеев Г. В. Обратные задачи излучения волн и теории сигналов, Владивосток, изд. Дальневосточного университета^ 1991 г. т.1, 2..

5. Алексеев Г. В., Чеботарев А.ТО. Нелинейные обратные задачи акустического потенциала. В сб.: Тезисы докладов международной конференции «Некорректные задачи в естественных науках», Москва, 19−25 августа, М., 1991 г. с. 39..

6. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений.- Новосибирск, Наука, 1978 г., 118 с..

7. Бакушинский А. Б. Избранные вопросы приближенного решения некорректных задач. М., МГУ, 1968 г..

8. Бакушинский А. Б., Страхов В. Н. О решении некоторых интегральных уравнений I рода методом последовательных приближений. ЖВМ и МФ, 1968 г., 8 № 1, с. 181−185..

9. Бицадзе А. В. «Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка», М., 1966 г..

10. Владимиров В. С. Уравнения математической физики, М., Наука, 1978 г..

11. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1984 г..

12. Гласко В. Б., Мудрецова Е. А., Страхов В. Н. Обратные задачи гравиметрии и магнитометрии // Некоторые задачи естествознания. М., изд-во МГУ, 1987 г., с. 89−102..

13. Гончарский A.B., Черепащук A.M., ЯголаА. Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. — М.: Наука, 1978 г..

14. Денисов А. М.

Введение

в теорию обратных задач. — М.: Изд-во МГУ, 1994 г., с. 208..

15. Денисов А. М. Методы решения уравнений 1-го рода в гильбертовом пространстве. ДАН СССР, 1984 г., т. 274, № 3, с. 528−530..

16. Денисов А. М. Обратные задачи для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, — ДАН СССР, 1089 г., т. 307, № 5, с. 1040−1042..

17. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. О численном решении некорректных интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода // Вычислительные методы и программирование. Вып. 10, М., МГУ, 1968 г..

18. Иванов В. К. «Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному», Известия АН СССР, Матем., № 20, 1956 г., с. 793−818..

19. Иванов В. К. «Интегральные уравнения обратной задачи теории потенциала», ДАН СССР, 105 № 3,1955 г., с. 409−411..

20. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М., Наука, 1978 г., с. 196..

21. Колтон Р., Кресс Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987 г..

22. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики, изд. Сибирского отд. АН СССР, Новосибирск, 1962 г..

23. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа, М.: Наука, 1989 г., 288 с..

24. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики, изд." Наука", М&bdquo- 1973 г..

25. Lichtenstein L., а) Gleichgewichtsfiguren der rotierender Flbssigkeiten, Berlin, 1933.26. b) Uber eiorige klassen nightlinearer Integralgleich uniger, Berlin, 1931..

26. Lightenstein L., Neuere Entwicklung der Potentialtheorie, Encyklopedie der Mathematischen Wissenschaften. II c. 3, 177−377..

27. Ляпунов А. M. О некоторых рядах фигур равновесия неоднородной жидкости Собрание сочинений, М., изд. АН СССР, т.5, 1965 г..

28. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. -Изд-во интостранной литературы, М.: 1957 г., 254 с..

29. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач.-М., Наука, 1987 г..

30. Нижник JL П. Обратная нестационарная задача рассеяния. Киев, Наукова думка, 1973 г., 182 с..

31. Новиков П. С. «О единственности решения обратной задачи теории потенциала», Журнал вычислит, мат. и мат. физики, 10 № 2, 1970 г., с. 352−361..

32. А. И. Прилепко. «О разрешимости обратной задачи объемного потенциала переменной плотности для тела, близкого к данному», Сиб. мат. журнал, т. XI № 6, 1970, с. 1321−1332..

33. А. И. Прилепко. «Внешняя обратная, задача объемного потенциала переменной плотности для тела, близкого к данному» ДАН СССР, 1969 г., т. 185, № 1, с. 40−42..

34. А. И. Прилепко. «Обратная задача метагармонического потенциала для тела, близкого к данному», т. VI, № 6, 1965 г., с. 1332 1356..

35. А. И. Прилепко «Обратные задачи обобщенных магнитных потенциалов», Диф. ур-я, т. VI, № 1,1970 г., с. 27 38..

36. Прилепко А. И. «Смешанные обратные задачи теории потенциала в случае контактных тел», Диф. ур-я, т. VII, № 1, 1971 г., с. 94 108..

37. Прилепко А. И. «О единственности решения обратных задач метагармо-нических потенциалов», Диф. ур-я, 1966 г., т. II № 2, с. 194 204..

38. Прилепко А. И. «О единственности определения формы и плотности тела в обратных задачах теории потенциала», ДАН СССР, т. 193 № 2, 1970 г., с. 288−291..

39. Прилепко А. И. «О единственности решения одной обратной задачи, представленной интегральным уравнением первого рода», ДАН СССР, т. 167, № 4,1966 г., с.751−754..

40. Прилепко А. И. «Обратные задачи теории потенциала (Эллиптические, параболические, гиперболический уравнения и уравнение переноса)», Мат. заметки, т. 14 № 5, 1973 г., с. 755 767..

41. Ромм А. Г. Многомерные обратные задачи рассеяния. М., Мир, 1994 г., с. 495..

42. Раппопорт И. М. «Об устойчивости в обратной задаче теории потенциала» ДАН СССР, 31, 1941 г., с. 303 306..

43. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. -Новосибирск, НГУ, 1973 г., 252 с..

44. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М, Наука, 1984 г..

45. Санчес-Палансия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М., Мир, 1984, с. 472..

46. Сретенский Л. Н. «Об одной обратной задаче теории потенциала», Известия АН СССР, серия математ., 2 (1938 г.), с. 551 570..

47. Сретенский Л. Н. «О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала», ДАН СССР, т. 99, 1954 г., с. 21−22..

48. Тихонов А. Н. «Об устойчивости обратных задач», ДАН СССР, 39 № 5, 1943 г., с.195 198..

49. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.-М., Наука, 1986 г..

50. Тихонов А. Н. Гончарский А. В. и др. Регуляризующие алгоритмы и априорные оценки. — М., Наука, 1983 г..

51. Шашкин Ю. А. ДАН СССР, 118, № 1, 45., 1958 г..

52. Шабан К., Сабатье А. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. -М., Мир, 1980 г., 408 с. РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

53. Баскакова О. Б. «Внешняя обратная задача теории потенциала в случаеконтактных тел» М., 1989 г., Тезисы Всесоюзной конферен-ции «Условно-корректные задачи математической физики» (2−6 октября, 1989 г.) г. Алма-Ата, с.80.

54. Баскакова О. Б. «Обратная задача метагармонического потенциала для тела, близкого к данному в случае уравнения Гельмгольца», М., МИФИ, 1991 г., с. 4 6.

55. Баскакова О. Б. «О разложении объемного потенциала в интегро-степеннойряд»: В сб.: «Обратные задачи, для математических моделей физических процессов», М., изд-во МИФИ, 1991 г., с. 6 9.

56. Баскакова О. Б. «О единственности решения одной обратной задачи дляуравнения Гельмгольца». В сб.: Теоретико-функциональные и численные, методы исследования прямых и обратных задач математической физикик М., Энергоиздат, 1992 г., с. 127 133.

57. Баскакова О. Б. «Некоторые интегральные представления функци-оналов», В сб.: Теоретические функциональные и численные методы исследования прямых и обратных задач математической физики", М., Энергоиздат, 1992 г., с. 133 141.

58. Баскакова О. Б. «Интегральные представления функционалов», Тезисыдокладов 29 научной конференции факультетов физико-математических и естественных наук, 17 20 мая 1993 г., М., изд. УДН им. П. Лумумбы, с. 73..