Математическое моделирование аномальной диффузии с использованием дробно-дифференциальных уравнений и дискретно-элементных моделей

В настоящей работе рассматриваются вопросы математического описания процессов одномерной аномальной диффузии. В отличие от классической диффузии, характеризующейся линейной зависимостью среднего квадрата смещения частиц от времени, в аномальных процессах наблюдается отклонение от линейного закона и появление дробного показателя степени р,. При этом возможны режимы супердиффузии (1<р<2) и субдиффузии (0<р<1), которые связаны соответственно с прыжковым механизмом переноса и наличием ловушек в среде.

В работе рассмотрены два подхода к описанию аномальной диффузиимакроскопический, основанный на использовании дробно-дифференциальных уравнений, и микроскопический, предполагающий прямое моделирование динамики частиц и столкновительных процессов в системе. Исследованы механизмы появления аномальных эффектов как по пространству, так и по времени, показана эквивалентность обоих подходов к описанию рассматриваемых явлений.

В данном разделе дай краткий обзор дробно-дифференциального исчисления, позволяющего описывать явления аномальной диффузии в приближении сплошной среды.

Дробно-дифференциальное исчисление — это область математического анализа, посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного и комплексного) порядка. Дробно-дифференциальное исчисление (или просто дробное исчисление) имеет давнюю историю. Мысль об обобщении понятия дифференцирования ^ ^^ на нецелые значения п возникала с самого зарождения дифференциального исчисления. Первая зафиксированная попытка обсуждения такой идеи содержится в переписке Г. Лейбница и Г. Лопиталя 1695 г., поэтому историю идеи о производных дробного порядка принято отсчитывать от знаменитого письма Лопиталя Лейбницу с вопросом о том, что может представлять собой производная порядка I/2, и ответного письма Лейбница, содержащего пророческие слова «.из этого парадокса со временем будут выведены полезные следствия». Идеи, связанные с дробным интегро-дифференцированием, разрабатывались JI. Эйлером (1730), П.-С. Лапласом (1812), Ж. Б. Ж. Фурье (1822), Н. X. Абелем (1823−1826). В 1832—1837 гг. появилась серия работ Ж. Лиувилля, сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного исчисления. Серьёзный вклад в развитие теории внесли работы Б. Римана (1847), X. Хольмгрена (1865−1867), А. К. Грюнвальда (1867−1872) и А. В. Летникова (1868−1872). Также следует отметить вклад таких учёных, как Ж. Адамар (1892), Г. Вейль (1917), П. Леви (1923), М. Риес (1949) и В. Феллер (1952). В результате, к середине 20 века вышло уже множество работ, так или иначе связанных с дробным исчислением, но результаты большинства этих работ были труднодоступны и малоизвестны. Зачастую затрачивались большие усилия для получения утверждений или уже известных, или легко вытекающих из известных. Первая монография, содержательно отражающая достижения теории дробного исчисления, вышла только в 1974 г. В этом же году в Ныо-Хейвене прошла организованная Б. Россом первая международная конференция, посвященная именно вопросам дробного интегро-дифференцирования.

Среди русскоязычной литературы первой обстоятельной работой, посвященной математике дробно-дифференциального исчисления, была книга [1]. На сегодняшний день вышло уже большое количество работ, которые посвящены не только непосредственно теории дробного исчисления, но и её применению в самых различных областях науки, техники и естествознания, например [2−17]. Среди англоязычных публикаций следует отметить большой вклад, которые внесли в теорию Meerschaert М.М. и его соавторы [18−30]. Не менее полезна и серия работ Gorenflo R. и Mainardi F. [31−35]. Также важны статьи за авторством Sokolov I.M., Chechkin A.V., Klafter J. и соавторов [36−44], Liu F., Anh V. и соавторов [45−49], Roop J.P. [50−52]. Кроме того, стоит выделить труды от Momani S., Odibat Z. [53−56] и Hristov J. 57−62]. Другие важные публикации представлены в [63−75]. Следует отметить, что в последние годы интерес к дробно-дифференциальному исчислению особо стимулируется теми практическими его приложениями, которые регулярно обнаруживаются в различных физических экспериментах.

Далее отметим самое существенное из этих работ.

На данный момент известно несколько альтернативных определений дробных интегралов и производных (Адамар, Вейль, Маршо и др.), но наиболее распространёнными являются определения Римана и Лиувилля.

Идея определения дробной производной по Риману-Лиувиллю заключается в обобщении формулы Коши для «-кратного интеграла: .]/{х0)с1×0.Ахп, =1](*-/)"-1/(/)Л (1) а, а а Vа на дробный порядок п.

В настоящее время определение дробного интеграла согласно Риману-.-Лиувиллю представляется следующими выражениями: (2).

3).

1 (и) { где и > О, Г{о) — гамма-функция Эйлера.

Первый из них называется левосторонним, а второй — правосторонним. Эти интегралы определены на интегрируемых по Лебегу функциях на интервале (а-Ь) и существуют почти всюду.

Дробные интегралы Римана-Лиувилля удовлетворяют полугрупповому свойству:

1:ЛФ=СФ, 1аьЛФ=п:рФ, а>о,/з>о.

Просто продолжить дробные интегралы на область отрицательных значений V, т. е. определить дробные производные простым изменением знака расходится на верхнем пределе.

Преодолевается эта трудность использованием соотношения: а'/дх)=?тс" т.

Таким образом, теперь применение дифференциального оператора Б" 1 к дробному интегралу Г позволяет ввести дробное дифференцирование как операцию, обратную дробному интегрированию:

01 т — (-О) —, гт=т^^г ¦ (5).

Дробные производные Римана-Лиувилля положительного порядка v определены в классе функций [и]-1 раз абсолютно дифференцируемых наотрезке [<�аЬ] и существуют почти всюду.

В итоге (положив т = [и] +1, т. е. взяв наименьшее из таких чисел) односторонние дробные производные Римана-Лиувилля произвольного порядка V определяются формулами: б> н)№ 1 г&bdquo- {) дх" + } ппа' для левосторонней и правосторонней производных.

Если V — целое число, то эти формулы дробных производных совпадают с формулами обычной производной целого порядка.

При, а = 0 и Ъ = 0 данные формулы называются так же дробной производной Римана-Лиувилля, при других конечных, а и Ь — просто дробной производной Римана, а при, а = -со для левосторонней и Ь = +оо для правосторонней — дробной производной Лиувилля и Вейля соответственно.

Дробные производные сохраняют ряд свойств обычных производных.

К (я/i (0 + с2/2 (0) = с, D" JX (/) + с2 Duaf2 (/).

2) Они обладают свойством v-однородности:

D"J{bt + с) = b-«D^J{bt + c), b> 0 .

3) Они являются левыми обратными операциями по отношению к дробному интегрированию:

1у-га.т = d: D-aom = т, о > о.

Однако иной порядок применения этих же операторов даёт другой результат: raD"a т = D~vDuaf (t)=по — x'/r (a+)(x-a)J и > о, и Ду-у) что обобщает формулу Ньютона-Лейбница.

В то же время у них появляются специфические свойства.

В первую очередь, это зависимость от предела, а (нелокальность), т.к. дробная производная является нелокальным оператором свёртки. В результате, значение левосторонней дробной производной функции f (x) в точке х зависит от значений функции во всех точках левее х, а для правосторонней — от значений функции во всех точках правее х.

Таблица производных также меняет вид, хотя формула дифференцирования степенной функции остаётся той же самой, только целое п заменяется дробным v.

Пусть ф г/) = —1—>0. ' Д/0.

Тогда:

1,. ч //-1 1.

Г{н) Г{/л — о).

Отсюда следуют два необычных факта.

Во-первых, дробная производная положительного порядка V > 0 от постоянной С не равна нулю (при, а Фсо):

-?-С (1 -а)'0.

Г (1 — и).

Следовательно, функция СФУ играет роль постоянной для у-й производной. И если, например, функция g (x) является решением уравнения /(0, то и функция ё (х) + СФу (х-а) будет его решением, а вот функция #0) + С — нет.

Иногда в качестве дробной производной используется обратная конструкция: вначале осуществляется /77-кратное дифференцирование, а затемдробное интегрирование: />," /(*) = СЯ" Я*).

Такие операции называются дробными производными Капуто, по имени итальянского математика, использовавшего их для решения некоторых задач теории упругости. В общем случае дробные производные Римана-Лиувилля и Капуто не совпадают, но на множестве функций, удовлетворяющих условию = разница исчезает. Одно из достоинств производных по.

Капуто — равенство нулю производной от константы:

С (/ - а) = 0, и > 0.

В 1867 г. Грюнвальд и в 1868 г. Летников выпустили работы, в которых они развили подход к дробному интегро-дифференцированию, основанный на конечно-разностных отношениях. Его идея в том, что производную целого порядка п (п = 1, 2, 3, .), первоначально введённую как результат /7-кратного дифференцирования, можно представить также как предел отношения приращения (разности) функции п-го порядка Ау к п-й степени приращения аргумента И1. Таким образом, Грюнвальд и Летников использовали абсолютно другой подход. Они определили производную дробного порядка, обобщив формулу: = А'-,/(х) = ?(-!){" !Ах-Щ, Н = (8) где Д'),/0) — конечная разность порядка п с шагом к, на случай нецелых п.

В случае нецелых п конечная разность определяется следующим выражением:

А1Г (х) = ^(-)к{°)дх-кН), (9) К к=О.

Ч'" / где биномиальные коэффициенты определяются как:

-? + !) Г{и +1) (10) к Г (к + 1) Г (о-к +)'.

Таким образом, дробная производная Грюнвальда-Летникова будет определяться выражением:

11).

Л->+0^и которое существует для непрерывных функций.

Этот подход, предложенный Грюнвальдом и Летниковым уже относительно давно, в последнее время вновь привлек к себе внимание с точки зрения удобства в приближённых вычислениях.

Выражения (9) — (11) можно рассматривать как обобщение известных выражений для целых порядков производной. Проще говоря, первая производная функции /(, х) может быть приближена конечной разностью назад на сетке с шагом к как дДх) ^Дх)-Дх-К) ^ дх к вторая производная — как д2Дх) Дх)-2Дх-к) + Дх-2И) дх2 ~ и2 а производная порядка п — как дх" к (п-к).

Учитывая, что п=Г (п +), и обобщая на случай нецелых п, в итоге, Летников доказал [4], что для интегрируемых по Лебегу функциях Дх) дробная производная произвольного порядка v, задаваемая формулами: ди/{х) 1. 1^Г (к-и) ". у =-Иш—> ——'-/(х + кИ), (13) дхи Г (-о) >>->° И" Г (к +1) для правосторонней дробной производной (в случае аппроксимации производной разностью вперёд), совпадает с определениями дробной производной Лиувилля и Вейля.

Эти формулы положены в основу большинства современных вычислительных алгоритмов решения дробно-дифференциальных уравнений.

Отдельно стоит сказать об определении дробных производных по Маршо, которые могут быть получены регуляризацией выражений (2) — (3), расходящихся при отрицательных v, путём выделения из этих выражений конечной части в смысле Адамара и последующей записи получившихся выражений через конечные разности: (±-1)М 7Ат±1/(х).

Г (-и)Ат (и) — /'¦" ш где ЛЯ1(и) = к-~ т к", и > 0 — нормировочные постоянные.

Можно показать, что в классе достаточно «хороших» функций дробные производные Маршо и дробные интегралы Римана-Лиувилля (при, а = 0 и Ь = 0) являются взаимно обратными операторами.

Производная Маршо от постоянной функции равна нулю.

Последнее определение производной дробного порядка, о котором стоит упомянуть, разработано Вейлем и приспособлено для периодических функций [3]. Идеи, положенные в основу этого определения, сводятся к тому, чтобы операция дробного интегро-дифференцирования переводила периодические функции вида 1 к2тг -0 в периодические с тем же периодом:

Операция дробного дифференцирования по Вейлю определяется как обратная к дробному интегрированию и сводится к выражению: ах которое можно было бы назвать дробной производной Вейля-Лиувилля в сравнении с выражением: которое можно было бы назвать дробной производной Вейля-Маршо.

Эти два определения совпадают на функциях, удовлетворяющих условию Гёльдера порядка Я > и на отрезке [0−2к].

В заключение стоит отметить, что существует несколько определений дробной производной, полученных с различных точек зрения, имеющих разные области определения и, вообще говоря, не всегда совпадающих. В частности [3]:

1) Производная Грюнвальда-Летникова совпадает с производной Маршо на функциях, измеримых на оси и удовлетворяющих условию: ^[{х)р (к <оо, где 1 < р <оо .

2) Дробная производная Вейля-Лиувилля совпадает с дробной производной Римана-Лиувилля, если:

3) Дробная производная Вейля-Маршо совпадает с дробной производной Маршо для 2жпериодических функций. и.

7(ол=о.

4) Производная Римана-Лиувилля и производная Маршо совпадают на функциях, представимых дробным интегралом Римана-Лиувилля / = от измеримой функции, удовлетворяющей условию:

С самого зарождения ингегро-дифференциального исчисления важнейшую роль играли геометрическая и физическая интерпретации производных (тангенс угла наклона касательной и скорость точки с координатой х = /(0) и интегралов (площадь криволинейной трапеции и координата точки или работа силы).

В силу рекуррентного характера операций высших целых порядков п эти интерпретации несложно распространить на произвольные п, получив конструкции типа «тангенс угла наклона тангенса угла наклона», но наглядность при этом исчезает. Дело поправляется введением понятий «выпуклость», «вогнутость», «кривизна», «ускорение», но в целом это проблемы не решает.

Проблема интерпретации дробных операторов существует более 300 лег, т. е. столько же, сколько сами операторы, и неоднократно формулировалась как нерешённая задача. В последние годы интерес к этой проблеме усилился, однако в поисках смысла дробных производных несколько упускается из виду, что эта проблема не решена ещё для целых порядков, т. е. нельзя одной общей фразой дать интерпретацию оператору Б", справедливую для всех целых пдля каждого значения п приходится давать собственную интерпретацию.

Тем не менее, существуют наиболее распространённые подходы к этой задаче [72]. Возможность интерпретации дробных операторов даёт запись левостороннего интеграла Римана-Лиувилля в виде интеграла Стилтьеса:

Л/(*)И*<�оо. а где gт (t) =.

Г (о +1).

Тогда, например, механическая интерпретация дробного интеграла выглядит как определение длины пройденного пути при движении с переменной скоростью V = /(/), вычисляемой по собственным часам, показания которых связаны с истинным временем /г (С," как /нст=я (0- Таким образом, пройденный путь будет выражаться дробным интегралом? = /0и/(г).

Производная же от этого выражения по времени г, равная скорости движения и в момент / = г, вычисленной по времени движущегося (действительный путь в единицу собственного времени) и есть производная дробного порядка 1-у от истинной скорости У (т):

Если же собственные часы идут как истинные, то V станет равным единице, и обе скорости совпадут: и (т) = /(г).

Первой прикладной задачей теории дробного исчисления считается задача о таутохроне, рассмотренная Абелем в 1823 г. Другие приложения теории дробного интегро-дифференцирования были даны Лиувиллем в 1832 г. к задачам геометрии, физики, механики (задача Лапласа о влиянии бесконечного прямолинейного проводника на магнит, задача Гаусса о приближенных квадратурах и др. [1]).

Иногда дробные производные вводят в исходные уравнения, с которых начинаются исследования. Например, закон Гука < v < 1 — порядок дробной производной, с которым можно проходить все промежуточные режимы вязкоупругости. Несмотря на то, что эта зависимостьсвоего рода интерполяция между двумя моделями процессов, дробнодифференциальный закон вязкоупругости имеет все права на существование и подтверждён многочисленными экспериментами, самые ранние из которых относятся к 1921 г.

Другой пример — дробно-дифференциальный осциллятор, выраженный уравнением: айий + Ь]х{1) = ДО, а>0, ?>0, 0<и<2.

Уравнение описывает движение осциллятора, находящегося под действием упругой силы и силы трения дробного типа, характерной для вязкоупругих сред. При а2 -46 > 0, и * 1 классическое экспоненциальное затухание дополняется более медленной компонентой степенного типа, порождаемой дробной производной. При а2−4Ь<0 в классическом случае имеют место колебания с убывающей по экспоненциальному закону амплитудой. В случае же осциллятора дробного типа доминирование степенной асимптотики на больших временах приводит к тому, что решение перестаёт быть знакопеременным: осциллятор совершает только конечное число колебаний, после чего монотонно приближается к точке равновесия х = 0, справа, если и < 1, или слева, если наоборот.

На текущий момент известны приложения теории дробного исчисления к задачам из самых различных отраслей науки, таких как химическая физика, биология, гидрология, теория случайных процессов, теория гравитации и даже математическая экономика [34]. Элементы дробного исчисления появляются при моделировании систем с памятью, в описании процессов, происходящих в средах с фрактальной геометрией [12], и во многих других задачах.

Одной из самых актуальных областей приложения дробно-дифференциального исчисления сегодня являются процессы аномальной диффузии, которые в последнее время вызывают всё больший интерес у исследователей в связи с обнаружением аномальных свойств у ряда наноматериалов и наносистем (наноканалы, нанотрубки, нанонити и т. д.). Действительно, многочисленными экспериментами было показано, что такие материалы обладают уникальными теплофизическими свойствами, которые описываются моделью аномальной диффузии. Подробную информацию об экспериментальном обнаружении аномальных свойств у самых разнообразных физических процессов можно найти в [76−95].

Закономерно, что процессы аномальной диффузии в последнее время вызывают всё больший интерес у исследователей. В настоящее время ведутся интенсивные исследования по созданию на основе подобных нанообъектов новых материалов с уникальными эксплуатационными свойствами. Таким образом, разработка методов и алгоритмов математического моделирования рассматриваемых процессов создает теоретическую основу для изучения свойств материалов нового поколения и возможностей их применения.

Настоящая работа посвящена численному моделированию процессов аномальной диффузии. Рассмотрен комплекс вычислительных экспериментов, связанных с моделированием процессов диффузии в сложно структурированных средах, среди которых — диффузия бильярдного газа в полигональном канале и диффузия в средах с неоднородной структурой. Была представлена математическая модель одномерной аномальной диффузии, были разработаны эффективные алгоритмы моделирования пространственно-временной эволюции частиц в этих средах. По результатам исследования характеристик смоделированных диффузионных процессов было проведено сопряжение конечно-элементных моделей с решениями соответствующих дробно-дифференциальных уравнений.

Актуальность темы

.

Диссертационная работа направлена на создание аппарата математического моделирования процессов аномальной диффузии. В отличие от классической диффузии, характеризующейся линейной зависимостью среднего квадрата смещения частиц от времени, в аномальных процессах наблюдается отклонение от линейного закона и появление дробного показателя степени. Такая ситуация характерна для сложно структурированных неоднородных сред, когда существенными становятся эффекты долгосрочной памяти и/или пространственной нелокальное&trade-. В качестве примеров систем, в которых наблюдается корреляция или когерентность движения частиц, можно привести пористые среды, среды с фрактальной структурой, аморфные полупроводники, аэрогели и т. д. Рассматриваемый класс процессов вызывает всё больший интерес у исследователей в связи с обнаружением аномальных свойств у ряда наноматериалов и наносистем. Разработка эффективных средств компьютерного моделирования является важнейшей составляющей научной деятельности в этом новом междисциплинарном направлении.

Целью работы является создание методов и средств математического моделирования аномальной диффузии в сложно структурированных средах. Для этого необходимо решение следующей группы задач:

• Анализ подходов к моделированию аномальной диффузии в средах с различной структурой.

• Разработка и реализация алгоритмов численного решения дробно-дифференциальных уравнений.

• Разработка и реализация алгоритмов дискретно-элементного моделирования процессов аномальной диффузии.

• Проведение вычислительного эксперимента по моделированию диффузионных процессов в полигональных каналах и неоднородных средах. Анализ типа и характеристик диффузии.

• Разработка методов согласования микрои макромасштабного описания процессов аномальной диффузии.

Научная иовизна.

Исследованы вопросы моделирования аномальной диффузии на микроуровне с использованием метода дискретных элементов и на макроуровне с помощью методов дробно-дифференциального исчисления. Предложен алгоритм определения параметров макроскопической модели по данным микромасштабного моделирования. Тем самым установлена связь между различными масштабами в описании аномальной диффузии.

Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы решения дифференциальных уравнений с дробными производными. Отличительной чертой построенных конечно-разностных схем является повышенный порядок аппроксимации, что обеспечивает достаточно высокую точность при относительно низких вычислительных затратах. Предложена эффективная реализация метода случайного блуждания, учитывающая наличие временной аномалии и конвекции, обоснована корректность предлагаемого метода.

Проведено численное моделирование пространственно-временной эволюции частиц в полигональных каналах, исследованы возникающие диффузионные процессы, на основе вычислительных экспериментов показано влияние профиля канала на характеристики установившейся диффузии. Выявлены механизмы возникновения комбинированного типа аномальной диффузии.

Проведено численное моделирование пространственно-временной' эволюции частиц в средах с неоднородной структурой, исследовано влияние микромасштабных параметров среды на характеристики и тип установившейся диффузии. Выделены различные виды аномалий: пространственная, временная и комбинированная, определены условия их возникновения.

Достоверность и обоснованность.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в ходе диссертационного исследования, обеспечивается сопоставлением между собой численных и аналитических решений тестовых задач, численных решений, полученных независимыми друг от друга способами, а также хорошей согласованностью результатов проведённых вычислительных экспериментов с использованием дискретно-элементных моделей и решений дробно-дифференциальных уравнений.

Практическая ценность.

Разработанные в диссертации средства математического моделирования имеют высокую значимость с точки зрения перспектив их применения для исследования диффузионных процессов в сложно структурированных средах.

При этом создастся теоретическая основа для исследования свойств и создания конструкционных (в том числе — нанокомпозитных) и теплозащитных материалов нового поколения, предназначенных для использования в авиационно-космической технике. Разработанные вычислительные алгоритмы обладают высоким потенциалом к распараллеливанию вычислений и представляют значительный интерес для специалистов в области математического моделирования. Результаты диссертационного исследования могут быть использованы и при составлении образовательных курсов по математическому моделированию и численным методам.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих российских и международных форумах:

• VI Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Технологии Microsoft в теории и практике' программирования», 1−2 апреля 2009 г., Москва.

• VIII Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPN.T2010), 25−31 мая 2010 г., Алушта.

• XVII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСПСС'2011), 25−31 мая 2011 г., Алушта.

• Московская молодёжная научно-практическая конференция «Инновации в авиации и космонавтике — 2012», 17−20 апреля 2012 г., Москва.

• IX Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2012), 25−31 мая 2012 г., Алушта.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 7 работ [96−102], из них 2 статьи в научных журналах из перечня ВАК РФ для представления основных научных результатов диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук. Одна статья [103] принята к публикации.

Структура и содержание работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. В работе содержится 13 таблиц, 26 рисунков и 107 библиографических ссылок. Общий объём работы составляет 105 страниц.

Выводы к главе 3.

В третьей главе были исследованы процессы диффузии в средах с неоднородной структурой, по результатам чего можно сделать следующие выводы:

1. В исследуемой среде с неоднородной структурой реализуются механизмы пространственной и временной аномалии, на которые могут влиять соответствующие независимые микромасштабные параметры среды.

2. Результаты прямого дискретно-элементного (микроскопического) моделирования диффузии в средах с неоднородной структурой свидетельствуют о том, что рассматриваемые процессы проявляют аномальный характер, зависящий от заданных микромасштабных параметров среды.

3. Получаемые распределения концентрации частиц могут быть достаточно точно описаны на макроуровне с использованием уравнения аномальной диффузии (14).

4. Для различных конфигураций этих сред определены параметры соответствующих дробно-дифференциальных уравнений, в результате чего разделение вкладов прыжкового и ловушечного механизмов в итоговый характер диффузии проведено как на микроуровне, так и на макроуровне, что позволяет априорно влиять на характер возникающей в среде комбинированной аномалии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В ходе выполнения диссертационной работы были получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы математического моделирования процессов аномальной диффузии в сложно структурированных средах. Реализованы два подхода к описанию аномальной диффузии — макроскопический, основанный на использовании дробно-дифференциальных уравнений, и микроскопический, предполагающий прямое моделирование динамики частиц и столкновительных процессов в системе. Предложен алгоритм идентификации параметров дробно-дифференциального уравнения по данным, поступающим с микроскопического уровня, что позволяет связать микроскопический и макроскопический подходы.

2. Построено семейство конечно-разностных схем повышенного порядка точности для решения дробно-дифференциальных уравнений. На основе анализа эффективности методов повышенного порядка точности с позиций критерия «точность — вычислительные затраты» установлено, что предложенное семейство алгоритмов превосходит конечно-разностные схемы первого порядка.

3. Предложена модификация метода случайного блуждания применительно к решению дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные по пространственной и временной координатам. Показано, что при наличии временной аномалии с увеличением числа рассчитываемых слоев метод случайного блуждания при той же точности начинает превосходить по скорости конечно-разностные методы.

4. Создан комплекс программ для моделирования процессов аномальной диффузии на микрои макроуровнях. Осуществлена программная реализация дискретно-элементных моделей с различным характером межчастичного взаимодействия и алгоритмов численного решения дробно-дифференциальных уравнений с использованием конечно-разностных схем повышенного порядка точности и метода случайного блуждания. Разработанное программное обеспечение позволяет моделировать пространственно-временную эволюцию частиц в сложно структурированных средах и осуществлять подбор параметров соответствующего дробно-дифференциального уравнения по результатам микромасштабного моделирования. Программный комплекс оснащён средствами распараллеливания вычислений и визуализации результатов расчётов.

5. На основе разработанных средств математического моделирования проведено исследование аномальной диффузии частиц в полигональных каналах и неоднородных средах. Выявлены основные закономерности влияния характерных параметров среды на возникновение режимов супердиффузии и субдиффузии. Проведено разделение вкладов баллистического (прыжкового) и ловушечного механизмов в итоговый характер диффузии, определены условия проявления пространственной, временной и комбинированной аномалий. Показана эквивалентность микроскопического и макроскопического подходов к моделированию аномальной диффузии.