Применение метода факторизации в асимптотической теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Основополагающей в теории преобразований обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка является классическая статья Е. Е. Куммера [55]. В основе исследований Куммера лежит дифференциальное уравнение третьего порядка, называемое в настоящее время уравнением Куммера.

Последователи Куммера изучали линейные дифференциальные уравнения высших порядков, в частности, в связи с так называемой проблемой эквивалентности (см., например, [l5], Г39J, Г43]). Эта проблема состоит в определении необходимых и достаточных условий для существования взаимного преобразования (заданного типа) двух уравнений. Изучение глобальных преобразований линейных дифференциальных уравнений П. -го порядка и, в частности, ответ на вопрос, когда и каким образом два уравнения с вещественными коэффициентами преобразуются на полном интервалеих определения, остается открытым.

В настоящее время часто приходится прибегать к некоторым преобразованиям, сохраняющим основные свойства исходного уравнения: линейность, устойчивость решений, ограниченность их коэффи-центов и т. д. В работах [18], [21], [ 22], [24], [26], [271, [29], [30], [40], [41] приведены многие конкретные преобразования и доказаны для некоторых случаев необходимые и достаточные условия сохранения тех или иных свойств исходного уравнения при применении этих преобразований.

Весьма удобным средством как для целей задачи преобразования, так и для нахождения общего решения линейного или нелинейного уравнения второго порядка, является факторизация уравнения.

Как показано в [5l] - [56 ], задача о приведении обыкно 4 венных линейных уравнений второго порядка.

5c + a, u) cic + aoU) x = 0 d) с переменными коэффициентами, посредством преобразования зависимых и независимых переменных у = V" '(-t) ос. Ыг= U (-Ir) d-fc. (2) к линейным уравнениям наперед заданного вида у'+ ?<,(*) (3) представляет определенный интерес. От того, насколько удается эффективно преобразовать данное уравнение к известному виду, интегрируемому в квадратурах или в специальных функциях, зависит решение многих фундаментальных задач механики и физики.

В работах [2] - [ 14} указано много необходимых и достаточных условий приводимости уравнения (I) к виду (3).

В некоторых случаях указаны явные виды преобразования вида (2).

Преобразование вида (2) часто называется преобразованием Куммера-Лиувилля [56 ]. Приведение уравнения (I) преобразованием Куммера-Лиувилля (2) к уравнению с постоянными коэффициентами связано с разрешимостью нелинейных уравнений для ядра U (V) и множителя V (4) преобразования (2), т. е. с разрешимостью уравнений типа Куммера-Шварца или Ермакова (см., например, ГвJ, Гп], [25]). Это сложная задача, ибо интегрирование указанных уравнений основано на отыскании какого-либо решения уравнения (I).

Основным приемом, восходящим к изучению линейного уравнения и систем уравнений, является метод факторизации, который был предложен Шредингером в [491, и с тех пор существен.

— 5 но обобщен в работах С 25 ], 131J, [бо] .

Этот метод охватывает и унифицирует исторический подход к решению не только линейных уравнений, но и позволяет непосредственно преобразовать нелинейные автономные уравнения в линейные (см., например, [ 13 ], [ 14], [ 5 J, [ 6 ], [ 19], [ 20 ], [25]).

Преобразование вида (2) и, тем самым, метод факторизации являются удобными средствами не только для редукций заданного уравнения (I) к наперед заданному виду (3), но и для точной линеаризации нелинейных автономных уравнений второго порядка. Кроме того, этот метод указывает путь, который следует продолжить, чтобы достичь ту или иную цель. Этот путь состоит в разработке методов интегрирования уравнения Риккати? уравнений Куммера-Шварца, Куммера-Лиувилля и уравнений, связанных с преобразованием Куммера-Шварца.

Используя результаты исследований [ i], Г15], [1б], [17], [28], [29], [30], [31], [34], [ 43 J, [44], [ 46 ], в настоящей работе рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, обладающие рядом свойств, значительно облегчающих построение и исследование решения. Большое внимание уделено преобразованиям Ляпунова и треугольным системам. Это оправдывается тем, что, с одной стороны, треугольные системы принадлежат к числу интегрируемых в квадратурах и поэтому допускают полное исследование, а с другой’стороны, как оказывается, к ним принципиально сводятся любые линейные системы и притом сводятся с помощью унитарных преобразований, сохраняющих важнейшие свойства систем, т. е. линейность, ограниченность коэффициентов, устойчивость и т. п. (см., например, [ 15] - [22], [24], [26] - [30], [34], [39], [40 ], [42], [ 45 ], [ 4б]).

Цель настоящей работы состоит в исследовании асимптотического поведения линейных дифференциальных уравнений, допускающих факторизацию в предположении, что эти уравнения с помощью некоторого преобразования, могут быть приведены к уравнениям наперед заданного вида.

Диссертация состоит из введения, семи параграфов и списка цитируемой литературы.

1. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Харьков, «ОНТИ», 1939, ч.1, гл.5−6.

2. Беркович Л. М. Метод факторизации дифференциальных операторов и его применение к решению обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.-Автореф. канд.дисо., Уральский госуниверситет, Свердловск, 1967. -13 с.

3. Беркович Л. М. О факторизации обыкновенных линейных дифференциальных операторов, преобразуемых в операторы с постоянными коэффициентами. «Известия высш.уч.зав. Математика», ч. I, 1965, № 4, с.8−16- ч.2, 1967, В 12, с.3−14.

4. Беркович Л. М. Метод линеаризации нелинейных автономных дифференциальных уравнений 2-го порядка. «Прикладная математика и механика», J® 4, 1979, с.629−640.

5. Беркович Л. М. О нелинейных дифференциальных операторахго порядка, допускающих разложение на коммутативные операторы 1-го порядка. -" Учен. зап. Казан, ун-та", 1964, т.124, кн.6, с.37−42.

6. Беркович Л. М., Нечаевский М. Л. Метод преобразований обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторые его приложения. «Дифференц. ур-ния» Куйбышев, гос. ун-та, 1976, с.3−18.

7. Беркович Л. М., Нечаевский М. Л. О математической интерпретации резонансных явлений в параметрических и нелинейных системах Всесоюзн. конф. по качествен, теории дифф.уравнений. Рязанский пед. ин-т. Тезисы докл., 1976, с.91−92.

8. Беркович JI.M., Нечаевский M.JI. Исследование телеграфного уравнения методом преобразования. «Труды семинара по дифференц. ур-ям», Куйбышев, гос. ун-т, 1975, с.117−119.

9. Беркович Л. М. Преобразование обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Ж. «Дифференц. ур-я», 1971, т.7, В 2.

10. Беркович Л. М. Преобразование дифференциальных уравнений типа Штурма-Лиувилля. Ж." Дифференц. ур-я", 1982, т.16, вып. З, с.42−44.

11. Беркович Л. М. Функциональный анализ и теории функций. Сборник 2, Казань, 1964, с.32−42.

12. Беркович Л. М. Преобразование нелинейных дифференциальных уравнений. Ж." Дифференц. ур-я", т.7, 1971, № 2,с.353−356.

13. Беркович Л. М. Функциональный анализ и теории преобразования дифференциальных уравнений типа Штурма-Лиувилля и его применения. Ж." Дифференц. ур-я", 1982, т.16, вып. З, с.42−44.

14. Богданов Ю. С. Метод инвариантов в асимптотической теории дифференциальных уравнений. Мн.: Вестн. БГУ, cep. I, J6 I, 1969, с.10−14.

15. Богданов Ю. С., Сыройд Ю. Б. Дифференциальные уравнения. Мн.: Вышэйшая школа, 1983. -240 с.

16. Богданов Ю. С. Нормы Ляпунова в линейных пространствах ДАН СССР, ИЗ, J& 2, 1957, с.255−257.

17. Борувка 0. Теория глобальных свойств обыкновенныхдифференциальных уравнений второго порядка. «Дифференц.ур-я», 1976, т.12, № 8, с.1347−1383.

18. Бргано А. Д. Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний. КиевНаукова думка, 1977, с.46−53.

19. Бргано АД. Асимптотика решений нелинейных систем дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1962, т.143, № 4,с.763.

20. Бибиков Ю. Н. О приводимости систем двух дифференциальных уравнений к нормальной форме. «Дифференц. ур-я», 1971, т.7, }Гз 10, с.1899−1902.

21. Былов Б. Ф. и др. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.- Наука, 1966. -576 с.

22. Вольтера В. Математическая теория борьбы за существование. -М.: Наука, 1976.

23. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1969. -576 с.

24. Ермаков В. А. Дифференциальные уравнения второго порядка. Условия интегрируемости в конечном виде. Киев, «Университетские известия», 1980, с 1−25.

25. Еругин Н. П. Приводимые системы. Труды матем. ин-та им. В.А.Стеклова", 1946, вып.13.

26. Еругин Н. П. «Прикладная математика и механика», т.16, вып.6, 1952, с.659−670.

27. Кругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Мн.: Наука и техника, 1979. -744 с.

28. Елыиин М. И. Качественные проблемы линейного дифференциального уравнения второго порядка. ДАН СССР, 1948, т.68, № 2, с.221−224.

29. Елыиин М. И. К проблеме колебаний линейного дифференциального уравнения второго порядка. ДАН СССР, 1938, т.18,Я 3, с.141−145.

30. Инфельд Л., Халл Т. Е. Метод факторизации. «Математика». Периодич. сб. переводов иностр. статей. М., 1966, & 3.

31. Кондратьев В. А. О колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядков. -" Труды Московского матем. об-ва", 1959, т.8, с.259−282.

32. Кондратьев В. А. О колеблемости решения уравнения. -" Труды Московского матем. об-ва", 196I, т.10, с.419−436.

33. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения.-М.: Гостехиздат, 1950.

34. Мохамед С. К. Эквивалентность факторизуемых дифференциальных уравнений. Рукоп. деп. в БелНИИНТЙ, I августа 1983 г., № 741 Бе-Д83.

35. Мохамед С. К. Асимптотическая эквивалентность факторизуемых дифференциальных уравнений. Мн.: «Вестник БГУ им. В.И.Ленина», сер Л, физ., мат., мех., 1984, № 3.

36. Мохамед С. К. Классификация факторизованных линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Принята в печать в ж." Известия Еузов СССР" .

37. Мохамед С. К. Асимптотическая эквивалентность линейных дифференциальных уравнений. Принята в печать в ж, Вестник БГУ им. В.И.Ленина", сер Л, физ., мат., мех.

38. Нейман Ф. Инварианты линейных дифференциальных уравнений 3-его порядка. «Дифференц. ур-я», 1973, т.15, № 3,с.405−416.

39. Петровский Г. Н. О свойстве аппроксимируемости правильных систем дифференциальных уравнений. «Дифференц. ур-я», 1976, т.12, В 2, с.359−361.

40. Петровский Г. Н. О допустимых заменах времени.Дифференц. ур-я", 1977, т.13, № 2, с.265−270.

41. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Изд-во технико-теорет. литературы, 1963. -560 с.

42. Сафронов В. И. Об интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в конечном виде. «Сб. научных трудов Владимирского веч. политехи, ин-та», 1967, с.226−228.

43. Симбирский К. С. Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц. Кишинев: Штиница, 1976. -268 с. Р. Ж. Мат., 1977, ЗБ 246 К.

44. Сыроид Ю. Б. Геометрический критерий линейной приводимости дифференциальной системы к треугольному виду. Мн: «Вестн. Б1У им. В. И. Ленина. Сер.1, физ., мат., мех.», .№ 2, 1973, с.16−17.

45. Сыроид Ю. Б. Треугольные и триангулируемые дифференциальные системы. «Дифференц. ур-я», 1971, т. 10, .№ 2,с.265−269.

46. Хартман Филип. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970. -346 с. (Пер. с англ.).

47. Цирулик В. Г. О некоторых свойствах коммутативных дифференциальных операторов над функциональным полем характеристики нуль. Труды семинара по лифференц. ур-ям. Вып. З, Куйбышевского гос. ун-та, 1979, с.117−133.

48. Шредингер Э., Инфельд. Избранные труды по квантовой механике. -М.: Наука, 1976, с.239−247. (Матем. период, сбор, переводов иностр. статей).

49. Штифель Е., Шейфель Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975. -347 с. (Пер. с англ.).

50. Boruvka О. Lineare differential transformationen2 ordnung veb heuther verlag der Wissentchaften, Berlin, 1967. 218 s (the English univ. Press, London, 1971).

51. Neuman F. Linear differential equations of the second order and their applications. «Rend, di Mat.» (3), 1971, v.1,3, 4-S, 559−617.

52. Mammana G. Decompozizione delle expressioni differential! lineari omogene improdotti di factori simboloci e appli-cazione relativa alio studia della equazioni differenziali lineari. «Math Z «, 1931, 33, p.186−231.

53. Magiros D.G. Linearization of non linear models of the phenomens «General electric company. Re entry an environmental systems division». Philadelphia, P. о USA, 1976.